2024年中考数学压轴题专项练习—矩形综合题

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（2）大约还需要多少千克油漆才能把图1中①②部分涂完？（π≈3.14）
（3）如图2中的矩形ABCD是面积为18m2的广告牌，现已用同样的油漆对图中的阴影部分完成涂刷、已知S△ABE＝S△ADF＝6m2．现需对空白的△AEF部分用特殊涂料涂色，求△AEF面积．
【解答】解：（1）根据题意，已涂色部分涂刷用去3.75千克油漆，每平方米涂刷需要用油漆0.5千克，
则涂色部分面积为3.75÷0.5＝7.5m2，
设矩形广告的高是x米．
则有x+x+x＝7.5．
解得x＝3．
答：矩形广告的高是3米．
（2）图中①部分的面积为S1＝×3×3＝4.5m2．
图中②部分的面积为S2＝2×3﹣＝2.86m2．
∴0.5×（4.5+2.86）＝3.86kg．
答：大约还需要3.68千克油漆才能把图1中①②部分涂完．
（3）设矩形ABCD的宽和长分别为a、b，如下图，
根据题意，可得 ab＝18，
∵S△ABE+S△ADF＝6m2，S△ABC＝S△ADC＝S矩形ABCD＝9m2，
∴S△AEC＝S△AFC＝9﹣6＝3m2，
∴＝，
解得CE＝，
同理，
∴S△CEF＝，
∴S△AEF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF＝18﹣6﹣6﹣1＝5m2．
答：三角形AEF的面积为5m2．
2．（2023•松原四模）如图，在矩形中，，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动；同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，以，为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为．
（1）当点在上时， ；
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）连接，直接写出当时的值．
【解答】解：（1）如图，当点在上时，
在中，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
（2）如图，
点在线段运动时间为，
当时，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，
，
与的函数关系式为，
当时，延长与交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
与的函数关系式为，
点在上的运动时间是，点从点到再到点运动时间为，
当 时，设与交于点，与交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
．
与的函数关系式为，
综上所述，．
（3）情况一，如图，设直线与交于点，与交于点，
由（1）知，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
情况二，如图，
，
，
在中，，，，
，
，
解得．
综上所述，的值为2或．
3．（2023春•罗定市期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）①当 时，四边形为菱形；
②当 时，四边形为矩形，请写出解答过程．
【解答】（1）证明：由题意得：，，
，
，
，
；
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：①
，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，是菱形，
故答案为：；
②若四边形为矩形．则，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：5．
4．（2023•宛城区校级四模）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
（1）折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②．
问题1：重叠部分的的形状 是 （是、不是）等腰三角形．
问题2：如果长方形纸片，，重叠部分的面积为 ．
（2）折纸2：如图③，长方形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点的位置．
（3）折纸3：如图④，长方形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．
【解答】解：（1）问题1：如图②，设点是纸片下边上的点，
纸片为矩形，则，
，
由折叠的性质知，，
，
的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点作于点，则，
则，
则的面积，
故答案为：；
（2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，
作图过程如下：
（3）过点作于点，交于点，
由题意得：，
点恰好落在的垂直平分线上，故，
在△中，，
，，则，则，
则，
，，
，
在△中，，
解得：，
则．
当点落在矩形内部时，
同理可得，．
故答案为9或15．
5．（2023•乡宁县二模）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，，的对应点分别为，，且，，三点共线．
观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则 45 ， ；
问题探究：（2）如图2，若，，，求的长；
拓展延伸：（3），，若为的三等分点，请直接写出的长．
【解答】解：（1），四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
将和沿、翻折，点，的对应点分别为点，，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
；
将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，
，，
，
．
故答案为：45；；
（2）如图2，延长交于点，
，，
，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
即，
解得，
；
（3）分两种情况：①当时，
如图3，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，，，
，
解得，
，
．
②当时，
如图4，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，
，，
由①知：，
，
，．
设，，，
，
，
解得，
．
综上可知，的长为6或．
6．（2023•宜都市二模）已知，四边形是矩形，，，，分别是，边上的点，且，与交于点，垂足为点，以，为邻边作．
（1）如图1，当点在边上时，求证：；
（2）如图2，当是矩形时，求的长；
（3）当点在内部（含边上）时，求线段的取值范围．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图2，设，则，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
经检验：是原方程的解，
；
（3）解：当点在上时，如图3，
，，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
当点在边上时，如图4，
，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
线段的取值范围是．
7．（2023•濮阳二模）数学综合实践课上，老师与同学们探索了下列问题：
如图，矩形中，点为中点，点为上一动点，将四边形沿折叠，、的对应点分别为、连接、．
【问题解决】
（1）如图（1），当时，的大小为 ．
【问题探究】
如图（2），连接．
（2）分别判断与，与的位置关系，并给出证明；
（3）若，，当与相似时，直接写出的长度．
【解答】解：（1）四边形为矩形，
，，
，
，
，
四边形折叠得到四边形，
，，
，
度，
，
故选：，
（2），，
理由如下：由翻折得得到，，，
点为中点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
（3）
如图（1）过点作于点，
，
四边形折叠得到四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，为中点，
，
，
如图2，过点作于，
由图（1）可得，，，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
不符合题意舍去，
，
，
综上所述：的长度为2或，
8．（2023•梁溪区一模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．
（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点，求点的坐标．
（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）如图①中，
，，
，，
四边形是矩形，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
，
．
（2）如图②中，
由四边形是矩形，得到，
点在线段上，
，
由（1）可知，，又，，
．
，
又在矩形中，，
，
，
，设，则，
在中，，
，
，
，
，．
（3）．
如图③中，当点在线段上时，的面积最小，
最小值，
当点在的延长线上时，△的面积最大，
最大面积．
综上所述，．
9．（2023春•莲池区期末）如图，在四边形中，，，．延长到，使，连接，由直角三角形的性质可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．．
（1）当时， 6 ；
（2）当时， ；（用含的代数式表示）
（3）当 时，点运动到的角平分线上；
（4）请用含的代数式表示的面积；（不包括点与点，点重合的情况）
（5）当点在边上时，直接写出点到四边形任意相邻两边距离相等时的值．
【解答】解：（1）由题意得：，
，
，
故答案为：6；
（2）当时，点运动的距离为，
在上，
；
故答案为：；
（3）作的角平分线交于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，解得．
当时，点运动到的角平分线上；
故答案为：7；
（4）根据题意分3种情况讨论：
①当点在上运动时，
；
②当点在上运动时，
；
③当点在上运动时，
；
综上所述：；
（5）当时，点在边上运动，
根据题意分情况讨论：
①点到四边形相邻两边距离相等，
点到边的距离为3，
点到边的距离也为3，
即，
，解得；
②当点到边的距离等于点到边的距离时，
过作于点，
，，，
，
，
，
，
，
解得；
综上所述：或．
10．（2023•崇川区校级四模）如图，矩形中，，．
（1）点是边上一点，将沿直线翻折，得到．
①如图1，当平分时，求的长；
②如图2，连接，当时，求的面积；
（2）点为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．
【解答】解：（1）①四边形是矩形，
，
将沿直线翻折，得到，
，
平分，
，
，
，，
；
②如图所示，延长交的延长线于点，
四边形是矩形，
，
，
将沿直线翻折，得到，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
，，
设边上的高为，则，
，
的面积；
（2）当点、、三点共线时，分两种情况：
①当在的延长线上时，
四边形是矩形，
，，，，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
△，
，
，
；
②当在线段上时，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
综上所述，的长为或．
11．（2023•李沧区三模）如图，已知矩形，，，点为中点．点从点出发，沿方向匀速向点运动，同时，点从点出发，沿方向匀速向点运动，点，点的运动速度均为；当点、中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接、．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当点在的平分线上时，求的值；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是等腰三角形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点作于点，
由题意得：，
矩形中，，，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
当点在的平分线上时，求的值为5；
（2）如图2，过点作于，过点作于，
由题意得：，
，即，
，
同理得：，
，
即；
（3）存在，
分三种情况：
①如图3，当与重合时，，此时；
②如图4，，此时；
③如图5，，过点作于，
，即，
，
，
，
综上，的值是5或6或7.2．
12．（2023•新昌县模拟）如图，在矩形中，，点是对角线上一个动点，以直线为对称轴，点的对称点为点，连结与．
（1）直接写出点到直线的距离；
（2）当点落在矩形的边上时，求的度数；
（3）当为直角三角形时，求长．
【解答】解：（1）设点到直线的距离是，
四边形是矩形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
即到直线的距离是2；
（2）如图1，、关于对称，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
（3）分三种情况：
①当时，
如图2，过点作，交延长线于点，过点作于，
在中，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
；
②当时，
如图3，延长交于点，则，
、关于对称，
，，
，
在中，，
由①知：，
，
，
，
在中，；
③当时，如图4，过点作于，
、关于对称，
，
，，
，
，
，
，即
，
不存在，舍去．
综上所述，当为直角三角形时，的长是或．
13．（2023春•林州市期末）已知，在矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
（1）如图1，连接、，求证四边形为菱形，并求的长；
（2）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，设运动时间为秒．
①问在运动的过程中，以、、、四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间和点的速度；若不可能，请说明理由；
②若点的速度为每秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【解答】解：（1）如图1，是的垂直平分线，
，，
，，，
，
，
，
四边形为菱形，
设，则，，
在中，，
，
则；
（2）①在运动的过程中，以、、、四点为顶点的四边形有可能是矩形，
只有当运动到点，运动到点时，以、、、四点为顶点的四边形是矩形，
点运动的时间是：
的速度是：
即当、、、四点为顶点的四边形是矩形时，运用的时间为，此时的速度是；
②分为三种情况：在上，，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，
只能在上，此时以、、、四点为顶点的四边形不可能是平行四边形；
当在上时，，在上，、、、四点为顶点的四边形有可能是平行四边形；
如图3，
，，
，
；
当在上时，，在或上，此时以、、、四点为顶点的四边形不是平行四边形，
综上所述：当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，．
14．（2023•绿园区校级三模）如图①，在矩形中，点、，分别是、、的中点，连结、，为的中点，连结．将绕点旋转，线段、的位置和长度也随之变化．当绕点顺时针旋转时，解决下列问题：
（1）如图②，若，此时点落在的延长线上，点落在线段上，连结，猜想、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，若，，则 ；（用含、的式子表示）
（3）如图④，若，则 ．
【解答】（1）证明：四边形为矩形，，
四边形为正方形，
，
点、分别是、的中点，
，，
即，
，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
即；
（2）连接，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
点、分别是、的中点，
，，
即，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
（3），
，
又，
，
，
，
即，
由（2）可知，，
故，
即，
，
由（2）可知，
故，
故答案为：．
15．（2023•二道区校级模拟）【感知】如图1，在矩形中，是上的点， 沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点．求证：．
【应用】如图2，是上的点，； 沿折叠点的对应点是点，若、、、在同一直线上，且、互相重合，则的值是 ．
【拓展】如图3，是上的点，，，沿折叠点的对应点是点，若， 的最小值是1，则的长是 ．
【解答】（1）证明：如图1中，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，
，
；
（2）解：如图2，
由题意得，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，，，
，
故答案为：；
（3）解：如图3中，当点在点的左侧时，，，，共线时，的值最小．
此时在中，，，，
．
如图4中，当点在点的右侧时，，，，共线时，的值最小．
此时在中，，，，
，
，
，即，
不符合题意，
不符合题意，舍去，
综上所述，满足条件的的值为．
故答案为：．
16．（2023春•台江区期末）矩形的边长，，将矩形绕点顺时针旋转角得到矩形，点、、的对应点分别为、、．
（1）如图1，当过点时，求的长；
（2）如图2，当点落在上时，连结、．
①四边形是何特殊的四边形？请说明理由；
②证明点、、三点共线．
【解答】（1）解：，，
由旋转的性质得：，
在中，，
由勾股定理得：；
（2）①解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图2，矩形是由矩形旋转所得，
，，，
，
，，
，
，
，
，
又，
四边形是为平行四边形；
②证明：【方法一】如图3，连接．
矩形是由矩形旋转所得，
，
，，
，
，
，
点、、三点共线．
【方法二】矩形中，，
又中，，
点、、三点共线．
17．（2022秋•南阳期末）在我们的数学活动中，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，再把纸片展开；
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．
（1）在图2中，请至少写出3个的角；
（2）猜想论证：若延长交于点，如图3所示，请判定的形状并证明你的结论；
（3）拓展探究：在图3中，若，，请说明当，满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符合（2）中的．
【解答】解：（1）设交与点，连接，如图：
由折叠可知，，，，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：，，．
（2）是等边三角形，证明如下：
连接，如图：
由折叠可知：，垂直平分．
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
是等边三角形．
（3）当或时，在矩形纸片上能剪出等边．
要在矩形纸片上剪出等边，则，
在中，，，
，
，
，即，
当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．
18．（2023春•徐汇区期末）在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．
（1）如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值；
（2）若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是 ．
【解答】解：（1）矩形，
，，
，
、分别是，中点，
，
、分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
如图1，连接，
矩形，，分别是，中点，
四边形是矩形，
矩形中，，，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
或，
解得：或；
（2）①由（1）知：，
如图2，连接，，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3，连接，
由①同理得：，，
由①知：，
，
、分别从点、沿折线，运动，
，
又，
，
，
同理可证，
四边形是平行四边形，
四边形的面积是矩形面积的，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
19．（2023•福田区校级模拟）在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点．交直线于点．
（1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是 相等 ，位置关系是 ；
②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明：如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作，是中点，连接，，．
①则 面积的最大值是多少？
②直接写出的最小值是 ．
【解答】解：（1）①四边形为正方形，
，，即，
，
，
，
又，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点在线段的延长线上时，
同理可得：，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
且，
，；
（2）①连接，，
，，
设，则，
同（1）可得：，
又，
，
，即，
，
的面积，
当时，的面积取最大值为；
②四边形是平行四边形，
，
，
，
要最小，即最小，由①可得：
，
设，
当时，取最小值为：，
的最小值为，
故的最小值为．
20．（2023•二道区模拟）【实践操作】如图①，在矩形纸片中，，，为边上一点，把沿着折叠得到△，作射线交射线于点．过点作于点．
（1）求证：△；
（2）当时， ；
（3）【问题解决】如图②，在正方形纸片中，取边中点，，将沿着折叠得到△，作射线交边于点，点为边中点，是边上一动点，将沿着折叠得到△，当点落在线段上时， ．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
由折叠得：，，
，，
，
，
△；
（2）解：设，
△，
，
，
，
在中，，
，
，
；
故答案为：；
（3）解：如图②，连接，，
关于对称，
，，
是的中点，
，
，
是直角三角形，
，
，
为的中点，
是的中点，
为的中点，，
，，
设，
则，
，，，
△，
，
在中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
；学号：