2024年中考数学压轴题专项练习—菱形综合题

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②用含t的代数式表示线段AP的长；
（2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当▱APDE是菱形时，求t的值；
（4）作点B关于直线PD的对称点B′，连接B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．
2．（2023春•丰台区期末）在平面直角坐标系中，对于点和菱形，给出如下定义：若菱形上存在一点，使点绕点逆时针旋转的对应点在菱形的较短的一条对角线上，则称点为菱形的环绕点．图1为菱形的环绕点的示意图．
如图，设菱形的中心为，，点和点都在轴上，且．
（1）在点，，中，菱形的环绕点是 ；
（2）若为菱形的环绕点，求的取值范围；
（3）设正方形以点为中心，各边均与坐标轴平行，边长为．若正方形上任意一点都是菱形的环绕点，请你直接写出的取值范围．
3．（2023春•丰都县期末）已知在菱形中，，连接对角线．
（1）如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点．
①求证：；
②过点作，垂足为，求证：；
（2）如图2，已知，将沿射线平移，得到△，连接，，请直接写出的最小值．
4．（2023春•青羊区校级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE．求证：CE+PD＝BD；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE．若，，求PD．
5．（2023春•连城县期中）如图①，点是等边中线上一点，连接，为等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，当在线段的延长线上，求证：；
（3）如图③，，点是射线的动点，是否其中存在以、、为顶点的菱形，若存在，请直接写出线段的长度（不写过程），若不存在，说明理由．
6．（2023春•思明区校级期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点是线段的中点，点，线段与轴交于点（备注：在平面直角坐标系中以任意两点，、，为端点的线段中点坐标为．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，点，分别在线段，上，，且，求线段的长．
7．（2023春•天宁区校级期中）在菱形中，．点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
（1）如图1，当点在线段上时，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，请直接写出的长．
8．（2023•武义县一模）如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点．
（1）求和的值．
（2）根据图象，当时，求的取值范围．
（3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标．
9．（2023•衡水二模）如图，和均为边长为4的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求的最小值；
（3）若与垂直，求的长．
10．（2023春•思明区校级期中）如图，中，，，，点从出发沿以每秒2个单位的速度向终点匀速运动，同时，点从出发沿以每秒1个单位的速度向终点匀速运动．设点、运动的时间为，作于，连、．
（1）求证：；
（2）当为多少时，四边形为菱形？说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？说明理由．
11．（2021秋•东乡区校级期末）如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求的长以及菱形的面积；
（3）在（2）的条件下，若动点从出发，沿以2米秒的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿以1米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为2平方米．
12．（2022•三亚模拟）如图1，在菱形中，是锐角，、分别是边、延长线上的动点，连接、分别交、于点、．
（1）当且时，证明：；
（2）如图2，当时，连接、．
①证明：；
②若，，则当为何值时，是以为底边的等腰三角形．
13．（2022春•雨花区校级期末）如图，已知在菱形中，，点，，，分别是，，，上一点，且始终满足，的长为4．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）判断直线是否经过某定点？若经过，请指明该点的位置并说明理由；若不经过，也请说明理由；
（3）设菱形的边长为，的面积记为，请建立与之间的函数关系式并指出的取值范围．
14．（2021秋•瑞安市期末）如图1，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且，在边上取点，（点在之间）使．点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，连结，分别交对角线于，，记，，已知．
（1）①请判断与的大小关系，并说明理由；
②求，的长；
（2）如图2，连结，当四边形中有两边平行时，求的值；
（3）若，连结，求面积的最小值．
15．（2021秋•和平区期末）如图1，在菱形中，对角线与相交于点，且，．
（1）求菱形的面积及周长；
（2）点是射线上一个动点，作射线，交射线于点．将射线绕点逆时针旋转后交射线于点，旋转角为，且，连接．
①如图2，当点与点重合时，求的周长；
②当时，请直接写出的长为 ；
③时，请直接写出的长为 ．
16．（2021秋•吉安期中）如图1，在菱形中，对角线，，，交于点，是边的中点，是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．
（1）求证：是等边三角形．
（2）如图2，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）直接写出当的值为多少时，四边形是矩形．
17．（2021秋•李沧区期中）在菱形中，对角线，交于点，且，；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；若，两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点作，交于点，交于点，设运动时间为．解答下列问题：
（1）求菱形的边长，并用含的代数式表示的长度；
（2）当为何值时，线段？
（3）设四边形的面积为，求关于的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（2021春•江夏区校级月考）如图，菱形中，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点．
（1）如图1，若，连接，，求证：；
（2）如图2，若，点是延长线上的一点，点为延长线上的一点，且．连接、，交的延长线于点，连接，已知，，求线段的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，点，分别在线段，上，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，，若，求的值．（用含的代数式表示）
19．（2021秋•西湖区校级月考）如图1，在菱形中，，点在边上（不与点，重合），连结，交于点．
（1）如图2，若点在边上，且，连结，．求证：三角形为等边三角形；
（2）设，求的值（用的代数式表示）；
（3）如图3，若点在线段上，且，连结、，，四边形的面积为，的面积为，求的最大值．
20．（2021秋•和平区校级月考）在菱形中，，为等边三角形．
（1）如图1，、分别为、的中点，为的中点，求证：
（2）如图2，为上一点，为的中点，问（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立请说明理由；若成立，请证明．
（3）如图3，以为边在菱形外作正方形，连交于，若菱形的边长为，请直接写出三角形的面积 ．