2024年中考数学压轴题专项练习—切线长定理

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（1）连接交于点，求证：；
（2）设，求的值；
（3）若点与点关于圆心对称，连接，求的长．
【解答】（1）证明：，是的两条切线，
，，，
，
点、在线段的垂直平分线上，
垂直平分，即，
是的直径，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：连接，，如图所示：
点与点关于圆心对称，
过圆心，且为的直径，
，
由（2）得，
，
即，
，
又，
设，，由得，
，
即，
（舍去负值），
即，，
如图，过点作，垂足为，连接，，如图所示：
点为的中点，
，，
，
，
，
，
在中，，
（负值舍去）．
2．（2023•肇东市校级二模）如图，点在以为直径的上，过作的切线交延长线于点，于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接．
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：过点作于．
是的切线，
，
，
可以假设，，则，，
，
，
，
，
，
或（舍弃），
，，
，
，，
．
3．（2023•东莞市校级二模）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点是上的一点，延长至点，连接、、，且，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：点是的中点；
（3）在（2）的条件下，若点是上一点（不与、、重合），求的值．
【解答】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
点是的中点；
（3）解：连接，
，
，，
，，
，
，
，
，
即的值为．
4．（2023•利川市一模）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若与相交于点，连接，求证：；
（3）若，求证：．
【解答】证明：（1）如图所示，连接，
，，
，
，即，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）如图所示，连接，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
；
（3）是直径，
，
，
，
在中，，
可设，
，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，
．
5．（2012•梁子湖区校级自主招生）等腰直角和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5．现以每秒2个单位的速度向右移动，同时的边长、又以每秒0.5个单位沿、方向增大．
（1）当的边边除外）与圆第一次相切时，点移动了多少距离？
（2）若在移动的同时，也以每秒1个单位的速度向右移动，则从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，与的公共部分等于的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．
【解答】
解：（1）设第一次相切时，移至△处，与切于点，连并延长，
交于．
设与直线切于点，连，则，直线．
由切线长定理可知’ ，设，则，易知．
，
，
’ ．
点运动的时间为．
点运动的距离为．
（2）与从开始运动到最后一次相切时，是与圆相切，且圆在的左侧，故路程差为6，速度差为1，
从开始运动到最后一次相切的时间为6秒．
（3）与从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1，
从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时移至△处，
．
连接并延长交于点，易证，且．
此时与相交，
不存在．
6．（2009•肇庆）如图，的直径，和是它的两条切线，切于，交于，交于．设，．
（1）求证：；
（2）求关于的关系式；
（3）求四边形的面积，并证明：．
【解答】（1）证明：是直径，、是切线，
，，
．
（2）解：过点作于，则．
由（1），四边形为矩形．
，．
、，、都是切线，
根据切线长定理，得，．
在中，，，，
，
化简，得．
（3）解：由（1）、（2）得，四边形的面积，
即．
，当且仅当时，等号成立．
，即．
7．（2007秋•张家港市期末）如图，中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点；
（1）求证：；
（2）若以、、、为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积；
（3）若，，求的半径的长．
【解答】（1）证明：连接，由是直径知；
、都是切线，所以，；
又，；
所以，所以，从而；
（2）解：连接，
当以、、、为顶点的四边形是正方形时，；
从而，即是一个等腰直角三角形；
，；
（3）解：若，，则；
在中，；所以；
在中，，即，；
另解：设，；由，得，；
则：，解得；即．
8．（2007•河池）如图1，已知正方形的边长为，点是的中点，是线段上的一动点不与，重合），以为直径作，过点作的切线交于点，切点为．
（1）除正方形的四边和中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；
（2）求四边形的周长；
（3）延长，相交于点，如图2所示．是否存在点，使？如果存在，试求此时的长；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），．
（2）四边形的周长为
．
（3）存在．
，
在中，
在中
．
9．（2007•厦门）已知：如图，、是的切线；、是切点；连接、、，
（1）若，求的度数；
（2）过作、分别交、于、两点，
①若，求证：；
②连接，设的周长为，若，判断直线与的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）为的切线，
；
又，
；
由切线长定理知，；
又，
；
．
（2）①证明：由（1）中知；
，又；
，而，，
；
；
②延长射线到使，
，；
；
；
的周长为，，
；
，
，
；
又，；
；
所以和边上所对应的高也应该相等．
过于，则为半径长度）；
所以与相切．
10．（2004•奉贤区二模）如图，已知在边长为1的正方形中，以为圆心、为半径画弧，是上的一动点，过作的切线交于点，切点为，连，过作的垂线交与，交的延长线于．
（1）求证：，；
（2）设，用含的代数式表示的长；
（3）在图中，除以外，是否还存在与相等的线段，是哪些？试证明或说明理由；
（4）当是等腰三角形时，求的长．
【解答】解：（1）由于、、都是圆的切线，且、、是切点，
因此根据切线长定理，可得出，；
（2）设，，，，
在直角三角形中，，
解出，
；
（3）存在，，是的切线，
，
连，那么平分弧，且，
，，
，
，，
，
；
（4）当是等腰三角形时，只能有，
，
，，，
．
11．（2023•惠来县模拟）如图，是的直径，且，点为外一点，且，分别切于点、，点是两条线段与延长线的交点．
（1）求证：；
（2）若为等边三角形，求的长．
【解答】（1）证明：，分别切于点、，
，，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
是的直径，
，
是等边三角形，
，，
在中，
，
在中，
，
．
12．（2022春•余干县期中）如图，在中，以为直径的交于点，连接，且，连接并延长交的延长线于点，与相切于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，求证：；
（3）若，求的值．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
即，
半径，
是的切线；
（2）证明：如图，连接，
、分别与相切于点、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
（3）由（2）知：，
，
，
，
，
设，则，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．（2022•南充模拟）如图，是的切线，是的直径，与交于，弧上一点，使得点成为弧的中点，连接与交于．
（1）比较与的长度．并说明理由．
（2）当，时，求的长．
【解答】解：（1）．理由：连接．
是的切线，
，即．
．
是的直径，
．
．
．
为的中点，
．
．
，
．
．
（2），，
．
．
．
．
由（1）知，且，
．
．
．
即的长为2.8．
14．（2022•游仙区模拟）是等边三角形，过、两点作，与相切，是弦上一点，射线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求；
（3）求当时，的值．
【解答】（1）证明：连接、、，如图所示，
是的切线，
．
．
又是等边三角形，
．
在和中，
．
．
，且是的半径．
是的切线．
（2）解：若与相交于点，
、与相切，
．
，，
．
设，
，
，．
，
是等边三角形，
．
．
在中，
，
．
在中，
．
，
．
（3），
．
，，
．
．
即．
，，
．
，．
．
．
，即．
．
在中，，
，．
．
．
15．（2022秋•秦淮区校级月考）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形内接于，且每条边均与相切，切点分别为，，，，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 互补 ，依据是 ．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接，，求证．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知，分别是双圆四边形的内切圆和外接圆的圆心，若，，，则的长为 ．
【解答】（1）解：双圆四边形的对角的数量关系是：对角互补，
理由：圆的内接四边形的对角互补，
故答案为：互补；圆内接四边形对角互补；
（2）解：双圆四边形的边的性质：双圆四边形的对边之和相等；
（3）证明：连接，，，，，设，交于点，如图，
为的切线，
，
同理：，，，
．
，
．
同理：．
，
，
．
，，
，
，
；
（4）解：双圆四边形的大致区域，用阴影表示如下：
（5）解：连接，，，如图，
四边形是双圆四边形，
，
，
，
为的直径．
，为的切线，
平分，
同理：为的平分线，
利用对称性可知：，，，在一条直线上，
，
，
在中，
，
．
．
，为的切线，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
．
设，则，
，
，
，
．
．
，
，
在中，
，
．
．
故答案为：．
16．（2022•新华区校级四模）如图1，在中，，，，点在边上，由点向点运动，当点与点重合时，停止运动．以点为圆心，为半径在的下方作半圆，半圆与交于点．，，
如图1，当时， 30 ，点到半圆的最短距离 ；
（2）半圆与相切时，求的长？
（3）如图2，半圆与交于点、，当时，求扇形的面积？
（4）以，为边矩形，当半圆与有两个公共点时，则的取值范围是
【解答】解：（1）连接，与半圆交于点，
在中，
，
．
在中，
，
．
，
，
点到半圆的最短距离，
故答案为：30；；
（2）当半圆与相切时，设切点为，连接，，如图，
，
为半圆的切线，
为半圆的切线，
，
．
设，
，
．
为半圆的切线，
．
，
，
解得：．
；
（3）过点作于点，连接，如图，
则，
，，
，
，
，
．
，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
，
，，三点重合，
．
扇形的面积；
（4）如图，
当与边相切与点时，，
此时，与有一个公共点，
由（2）知：．
当与边相切与点时，，
此时，与有三个公共点，
．
当圆心在与之间时，半圆与有两个公共点，
；
当的圆心在与点之间时，此时与有两个或三个公共点，
当经过点时，与有三个公共点，
，，，
，
解得：．
当时，与有三个公共点，
当时，，与有两个公共点，
综上，当半圆与有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
17．（2022•青山区模拟）如图，是的直径，是的切线，交于，点是弧上一点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
【解答】（1）证明：连接，，如图，
是的切线，
，
．
在和中，
，
．
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：作圆的直径，连接，，它们交于点，连接，，如图，
，
，
，
．
，
，，
，
，
．
，是的切线，
平分，
，
，．
为的直径，
，
，
，
，
，
，
．
在中，
．
是的切线，
，
．
18．（2022•威海一模）如图，的直径，，是的两条切线，切于，交于，设，．
（1）求证：；
（2）求与的函数关系式；
（3）若，是方程的两个根，求的面积．（已知：如果，为方程的两实数根，则
【解答】（1）证明：如图，连接，，；
、、与相切于、、点，
，，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，，，
，
即：；
（2）解：如图1，作交于，
、与切于点定、，
，．
又，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
切于，
，
则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
与的函数关系式是．
（3）解：如图2，连接，，，
由（2）知，
，是方程的两个根，
根据韦达定理知，，即，
原方程为，
解得，或，
，
，
，，是的切线，
，，，
，，
．
19．（2022•青羊区校级模拟）如图，已知：是以为直径的半圆上一点，直线与过点的切线相交于点，点是的中点，直线交直线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，，求．
【解答】（1）证明：连接，，如图，
是圆的切线，
，
，
，，
是的中位线，
，
，．
，
，
．
在和中，
，
．
，
，
为圆的半径，
是的切线；
（2）解：连接，，如图，
，，，
，
是圆的切线，是的切线，
，
．
，，
，
，
，
．
是的切线，
，
，
，
，
设，则，
，
，
（负数不合题意，舍去）．
．
20．（2022•石家庄模拟）如图，半圆的直径，射线和是半圆的两条切线，点在射线上运动，点在上，且，延长交射线于点．
（1）求证：．
（2）设，．
①求出与之间的函数关系式；
②当时，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接，，，如图，
射线和是半圆的两条切线，
，，
．
在和中，
，
．
，
在和中，
，
．
；
（2）解：①过点作于点，如图，
，，，
四边形为矩形，
，．
，
，，
．
在中，
，
，
．
与之间的函数关系式为；
②当时，
，
与重合，此时四边形为矩形，
连接，则四边形为正方形，如图，
，，
．
21．（2022•长沙模拟）如图1，在中，点是的中点，以点为圆心，为半径的半圆与，相切于点，点．点是线段上的动点且不与点、点重合，过点作圆的切线交于点，点是切点．，的长度是关于的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）如图2，连接线段，，在点的运动过程中，求的值；
（3）设，，求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围（解析式中可以含有字母．
【解答】解：（1），
，，
是的切线，如图1，
，
，
，
，的长度是关于的一元二次方程的两根，
，，
，
在中，，
；
（2）连接，如图2，
、分别与相切于、，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
、、分别与相切于、、，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
、是的切线，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
．
22．（2022•海珠区一模）在中，，以长为半径作．
（1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得△，使得点的对应点落在线段上（保留作图痕迹，不用写画法）；
（2）在（1）的条件下，若线段与交于点，连接．
①求证：与相切；
②如果，，与交于点，连接，求的长．
【解答】解：（1）取与的交点为，
①以为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，；
②分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、；
③作直线；
④以为圆心长为半径画弧，交于；
⑤连接；
则△即为所求，如图所示：
（2）①△是绕点顺时针旋转而成，且，
，，
点在上，
，
在和△中，
，
△，
，
是的半径，
是的切线；
②如图：
，是的半径，
是的切线，且是直角三角形，
，，
，
，
是的切线，
，
故，
即，
令，，
，
，且，
，
解得，
，
在△中，由勾股定理得，，
即的长为．
23．（2021秋•科尔沁区校级月考）如图，是的直径，且，点为延长线上的一点，过点作的切线，，切点分别为点，．
（1）连接，若，求证：是等边三角形；
（2）填空．①当 1 时，四边形是菱形；
②当 时，四边形是正方形．
【解答】（1）证明：连接，
，是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形；
（2）解：①设与交点为，
四边形是菱形，
，且，
是圆的切线，
，
，
，
，
，
，
，是的直径，
，，
，
，
故答案为：1；
②四边形是正方形，
，
，
，
，
故答案为：．
24．（2021•涟源市三模）如图，是的直径，，弦与交于点过圆心作，交过点所作的切线于点，连接并延长与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）试判断的形状，并说明理由；
（3）若且的半径为6，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形．
（3）解：，，
，
，
设，
，
在中
，
，
，
，，
，
，
，
．
25．（2021秋•温州期中）如图，已知，，点是中点，，，过，两点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，当圆心在上且点是上一动点，连接交于点，求当等于多少时，三点、、组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心不在上且动圆与相交于点时，过作（垂足为并交于点，问：当变动时，的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【解答】证明：（1）如图1，连接，
，，点是中点，
，
，
，
又，，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）连、，如图3，
，
当和为等腰三角形的两腰，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，
在中，，
当等于1时，三点、、组成的三角形是等腰三角形；
当，为底边，如图4，作，
，，
，，，
为等边三角形，
，，
，
而，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
综上所述，当三点、、组成的三角形是等腰三角形时，等于1或；
（3）当变动时的值不变，，
理由如下：连、，如图2，
，
而，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/3 1:19:34；用户：微信用户；邮箱：rFmNt0ALlhXWmlRPd3BByUm_TL4@；学号：4788