2024年中考数学压轴题专项练习—数学建模思想

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（1）求直线的解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）如图2，连接，若，求点的坐标．
2．（2021秋•上城区期末）已知，两直角边与之和为4，作的外接圆，点为圆心．
（1）如图1，连结，当时，求的值．
（2）如图2，过点作于点，点为中点，连结，求证：．
（3）如图3，作的平分线交于点，线段是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
3．（2021•临海市一模）【发现问题】
小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：．
【提出问题】
对于任意一个矩形，是否一定存在矩形，使得成立？
【解决问题】
（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为和，使得成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；
（2）矩形两条邻边长分别为和1，若一定存在矩形，使得成立，求的取值范围；
（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形两条邻边长，满足什么条件时一定存在矩形．
4．（2017秋•汉阳区校级月考）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
（3）根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
5．（2011•白下区一模）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关系的方法：
①恰当选取变量和．小明设2点钟之后经过，时针、分针分别与竖轴线（即经过表示“12”和“6”的点的直线，如图所成的角的度数为、；
②确定函数关系．由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出、关于的函数关系式，也可以画出它们的图象．小明选择了后者，画出了图2；
③根据题目的要求，利用函数求解．本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题．
请你按照小明的思路解决这个问题．
（2）请运用建立函数关系的方法解决问题：钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？
6．（2023春•船营区校级期末）如图①，直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线相交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为2．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）求出直线的函数表达式；
（3）如图②，点是射线上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，连接．设点的横坐标为，的面积为．
①用表示点，的坐标： ， ；
②求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
7．（2023春•荆门期末）如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄，江边原有两个观景台，，其中，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）是不是从村庄到江边的最短路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
8．（2023春•宁江区期中）如图，在中，，厘米，厘米．两个动点，分别从，两点同时按顺时针方向沿的边运动．当点运动到点时，，两点运动即停止．点，的运动速度分别为1厘米秒、2厘米秒，设点运动的时间为（秒．记线段与从点按顺时针方向沿的边到点的折线段所围成的图形的面积为（平方厘米）．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）当点，运动时，求与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点，在运动的过程中，有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
9．（2023春•南通期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”．
（1）在①，；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有 （填序号）；
（2）若关于的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求的值；
（3）若关于的函数图象存在“级限距点”，求出的取值范围．
10．（2023春•碑林区校级期中）如图①，点、点分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．
（1） ；
（2）在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）在转动过程中，若射线与射线交于点，过点做交直线于点，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．
11．（2023春•普陀区期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤、上安置了、两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．
（1）如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒，
①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即 ；用含的代数式表示光线转动的角度，即 ．
②如图2，当光线与光线垂直，垂足为时，求的值．
（2）如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？
12．（2022春•武汉期末）如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当 时，为定值，此时定值为 ．
13．（2021秋•碑林区校级期中）【知识准备】：数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：．
【问题探究】：数轴上、两点对应的数分别为、，且满足．
（1）求得、两点之间的距离是 ；
（2）若在数轴上有一点，满足，求点表示的数；
（3）若、两点在数轴上运动，点从出发以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时，点从出发以3个单位长度秒的速度向左匀速运动．经过 秒，、相距2个单位长度；
（4）原点在数轴上表示0，点在数轴上表示3，若、两点在数轴上以2个单位长度秒的速度同时向右匀速运动，与此同时，、以3个单位长度秒的速度在数轴上向左匀速运动，在这个过程中，有一段时间，、两点都运动在线段上，则这段时间的时长是 秒．
14．（2020秋•石狮市期末）如图，将一块直角三角板按如图所示放置，点，在数轴上，，点在点右边，点表示的数是．
（1）直接填空：点表示的数是 ；
（2）将三角板沿数轴正方向移动至三角板的位置，点，，的对应点分别是点，，．
①连结，若恰好将三角板的面积分成的两部分，求这时点表示的数；
②设三角板的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．设三角板移动的时间为（秒．试探索：是否存在某一时刻，使点与点表示的两个数互为相反数？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
15．（2021秋•禅城区校级期中）在中，它的边，高．
（1）如图1，正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问正方形的边长是多少？
（2）如图2，点、分别在，上，且，点为上一点，连接、，则当 时，的面积最大值 ．
16．（2021秋•郾城区期中）下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行的探究过程．
（1）函数的自变量的取值范围是 ．
（2）列表
表格中的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（4）对于上面的函数，
下列四个结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而减小；④函数图象与轴有2个公共点．所有正确结论的序号是： ．
（5）结合函数图象，解决问题：
关于的方程有 个不相等的实数根．
17．（2019秋•长乐区期末）已知两条直线，，，点，在直线上，点在点的左边，点，在直线上，且满足．
（1）如图①，求证：；
（2）点，在线段上，点在点的左边且满足，且平分；
（Ⅰ）如图②，当时，求的度数；
（Ⅱ）如图③，当时，求的度数．
18．（2014•鸡西一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
（1）求二月份甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型每台进价为3500元，乙型每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.5万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）对于（2）中刚进货的20台两种型号的手机，该店计划对甲型号手机在二月份售价基础上每售出一台甲型手机再返还顾客现金元，乙型手机按销售价4400元销售，若要使（2）中所有方案获利相同，应取何值？
19．（2013•南岸区校级模拟）某公司研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，公司决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品件，开发公司所获的利润为元．在公司规定范围内，商家购买多少件时，公司可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）某商家一次购买这种产品件，以每件3200元的价格全部售出，共获利24750元（不计其它成本），请求出产品件数的值．
20．（2013秋•永川区校级月考）我市的公租房建设卓有成效，目前已有部分公租房投入使用，计划从今年起，在未来的10年内解决低收入人群的住房问题，预计第年竣工并投入使用的公租房面积（百万平方米）满足关系式：
时，；时，．
（1）假设第6年到第8年间每年竣工并投入使用的公租房面积呈下降趋势，且年平均下降率相同，求这个年平均下降率．
（2）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年竣工投入使用的公租房在原预计总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年提高，这样解决住房的人数将比第6年解决的人数减少，求的值，结果保留整数）．0
1
1.5
2
3
4
2
4
4.25
4
2
4
4
2