2024年中考数学压轴题专项练习—四边形中的对角互补模型

这是一份2024年中考数学压轴题专项练习—四边形中的对角互补模型，文件包含52四边形中的对角互补模型答案docx、52四边形中的对角互补模型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。

（1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为 ；
（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）如图3，若，若，，求线段的长和四边形的面积．
【分析】（1）先证得出，再求的度数，得出，进而求出；
（2）先画辅助线：以为顶点，为一边作，的另一边交延长线于点，作出辅助线后证明为等边三角形，根据四边形内角和为和，求出，进而证明，得出，最后得出；
（3）先证为等腰直角三角形，再证明得出，进而求出，求四边形的面积可以转化为求的面积．
【解答】解：（1），，
，
对角线平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）（1）中结论成立，理由如下：
，
以为顶点，为一边作，的另一边交延长线于点，
由（1）可得：，
，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作交延长线于点，
，
对角线平分，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
在中：
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了四边形的知识、全等三角形的知识、勾股定理的知识、等腰直角三角形的知识，有一定的难度．
2．（2023春•分宜县期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 ④ （请填序号）；
（2）在“完美”四边形中，，，连接．
①如图1，求证：平分；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分
想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；
想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分．
请你参考上面的想法，帮助小明证明平分；
②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由“完美四边形”定义可求解；
（2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论；
想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论；
②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解．
【解答】解：（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”．
故答案为：④
（2）
①想法一：延长使，连接
，，
，
，
．
．
即平分；
想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到，
．
；
；
．
，
．
点，，在一条直线上．
，
即平分
②
理由如下：
延长使，连接，
由 ①得为等腰三角形．
，
，
．
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
3．（2021秋•丹阳市期末）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
（1）四边形为对角互补四边形，且，则的度数为 ；
（2）如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道、、三者关系为： ；
（3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明：
①平分；
②；
（4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足，，则、、三者关系为： ．
【分析】（1）根据对角互补，求解即可；
（2）由题意可得，，，即可得；
（3）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明；
②由①直接可证明；
（4）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解．
【解答】解：（1）四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：；
（3）①延长至，使，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分；
②，，
，
；
（4）延长至，使，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作交于点，
为的中点，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，恰当的构造辅助线是解题的关键．
4．（2021秋•碑林区校级期末）同学们在第一次微课中听取了刘老师与杨老师关于面积等分线练习的讲评，小浩同学对此产生兴趣，上网又查到了长方形的一些性质：长方形的对角线相等且互相平分，对角线所在的直线是其一条面积等分线．请你利用以上性质，帮小浩解决下面问题：
问题发现：
（1）如图①，已知长方形，请画出它的一条面积等分线（不经过对角线）；
问题探究：
（2）四边形位于如图②所示的平面直角坐标系中，顶点位于原点，其余顶点坐标为，，，是四边形的一条面积等分线，点在轴上，请求出点的坐标．
问题解决：
（3）全民抗疫，西安加油！如图③，在平面直角坐标系中（长度单位为米），长方形是西安某小区在疫情期间为居民核酸检测围成的一个工作区域，顶点，在坐标轴上，为坐标原点，记顶点，原有的一个出入口在边上，且米．为使工作高效有序，现计划在边，，上依次再设出入口，，，沿，拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分．请问，是否存在满足上述条件的点，，，如存在，请求出点的坐标及的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【分析】（1）找出图形的中点，即可画出一条面积等分线；
（2）几何知识的综合应用，分清矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，逐一分析坐标后，找到一条面积等分线，列式计算，即可解决问题；
（3）利用图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题．
【解答】解（1）如图①：过点作，分别交、于、，
点为正方形的对角线交点，
点为、的中点，
点、点分别是、的中点，
长方形的面积长方形的面积，
为长方形的一条面积等分线．
（2）如图②：过点作交于，过点作交于，
，，，
，
，且，
与有交点，并假设该交点为，
是四边形的一条面积等分线，
，即，
，
点在上，
，
又，
，
，
，，
直线的方程为：，
令，得，
点的坐标为．
（3）如图3：在上取，连接，则，
取的中点，的中点，连接，
则是梯形的中位线，
（米，
（米，
点的坐标为，
由于长方形被分成四块面积相等的部分，
每块面积为：（平方米），
又（平方米），
在点的下方取一点，使（平方米），
由得：（米，
（米，
点坐标为，
连接并延长交于，
则、、、为所求作的点，
设的解析式为：，
则，，
解得：，，
．
【点评】主要考查了图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，解题关键是利用面积确定点的位置．
5．（2021•宜春一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：（1）如图1，点，，在上，的平分线交于点，连接，．
求证：四边形是等补四边形．
探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．
【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知，，再证，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点分别作于点，垂直的延长线于点，证，得到，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接，先证，推出，再证，利用相似三角形对应边的比相等可求出的长．
【解答】解：（1）证明：四边形为圆内接四边形，
，，
平分，
，
弧弧，
，
四边形是等补四边形；
（2）平分，理由如下：
过点分别作于点，垂直的延长线于点，如图：
则，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
，
，
，
是的平分线，即平分；
（3）连接，如图：
四边形是等补四边形，
，
又，
，
平分，
，
由（2）知，平分，
，
，
又，
，
，
，，
，解得舍去），
．
【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．
6．（2020•新宾县模拟）在四边形中，，，连接，．
（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系 ；
（2）如图2，当时，猜想线段，，之间的数量关系；并证明你的猜想；
（3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系．（用含的代数式表示）
【分析】（1）延长到点，使，连接，利用证明，得，，，再证明是等边三角形，可得结论；
（2）延长到，使，连接，与（1）同理得，是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）延长到，使，连接，与（1）同理得，过点作于，得，，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，延长到点，使，连接，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，延长到，使，连接，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
；
（3），理由如下：
如图，延长到，使，连接，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，，
，
过点作，
，，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练掌握对角互补模型是解题的关键．
7．（2020秋•洪山区期中）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
（1）如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论．
①在图1中按要求完成作图；
②的形状为 等腰直角三角形 ；
③ ；
（2）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明：；
（3）如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明．
【分析】（1）①按题意画出图形即可；
②延长至，使得，连，证明，由全等三角形的性质得出，，可得出，则可得出答案；
③由等腰三角形的性质可得出答案；
（2）延长至，使得，连，证明，得出，，证明为等边三角形，则可得出答案；
（3）延长至，使得，连，，证明，得出，则，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出答案．
【解答】（1）解：①如图1，
②如图1，延长至，使得，连，
，，
，
，
，
，，
，
．
即，
为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
③为等腰直角三角形，
．
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长至，使得，连，
，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
．
（3）．理由如下：
证明：如图3，延长至，使得，连，，
则，
又，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．（2017秋•汉阳区期末）（1）探究：如图1，在和都是等边三角形，点在边上．
①求的度数；
②直接写出线段，，之间的数量关系；
（2）应用：如图2，在四边形中，，，是四边形内一点，且，求证：；
（3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一个动点，以为边在的下方作等边，求的最小值．
【分析】（1）①证明，可得结论：；
②由，得，利用等边三角形的等量代换可得结论；
（2）把线段绕点逆时针旋转60度，到．连接、，，根据等边三角形的性质得到，，推出，，在同一条直线上．得到为正三角形，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，等量代换即可得到结论；
（3）以为对称轴作等边，连接，并延长交轴于点．证明点在直线上运动，根据垂线段最短解答．
【解答】解：（1）①和均为等边三角形，
，，，
，
即，
，
，
；
②线段、、之间的数量关系为：；
理由是：由①得：，
，
，
；
（2）如图2，把线段绕点逆时针旋转60度，到．连接、，
，为正三角形，
，，
又，
，则，，在同一条直线上．
，，
为正三角形，
，，
，
即，
，
，
在中，，即；
（3）如图3，以为对称轴作等边，连接，并延长交轴于点．
在与中，，
，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，最小，
则的最小值为2．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．（2023•雨花区校级二模）在中，弦平分圆周角，连接，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，且是的中点，的直径是，求的长．
（3）是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点作于点，请探究点在运动的过程中，
的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
【分析】（1）利用垂径定理即可证得结论；
（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；
（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．
【解答】证明：（1）如图1，连接交于点，连接，，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
解：（2）如图2，连接，，，过点作于点，
，
，，
，
，
设，，
的直径是，
，
，
，
解得：，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
（3）解法一：如图3，延长至使得，连接，，连接，，连接交于点，连接，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
解法二：如图4，在上截取，连接，，，，
弦平分圆周角，
，
，
，
，
，，
，
为的中线，
，
，
，
．
解法三：如图：连接，，，，将沿翻折得到△，
，，
，
，
由翻折得△，
，，
，
，，三点共线，
，
，
，
又，
，
，
比值不变，恒为．
【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．
10．（2019•宁波模拟）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．
（1）如图1，在等邻边互补四边形中，，且，，求的度数；
（2）如图2，四边形内接于，连接交于点（不与点重合），若是的中点，求证：四边形是等邻边互补四边形；
（3）在（2）的条件下，延长交于点，交于点，若，，，求的长；
（4）如图3，四边形内接于，，为的直径，连接并延长交于点，交于点，连接，设，，求与之间的函数关系式．
【分析】（1）如图1中，作交于．想办法证明是等边三角形即可．
（2）证明，即可．
（3）如图中，连接，，，，作于，于．解直角三角形求出，，，证明点是的内心，求出即可解决问题．
（4）如图3中，连接，作于，于，设交于．由，推出，设，，，则，，想办法求出的值即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，作交于．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
是等边三角形，
．
（2）证明：如图2中，连接．
是的内接四边形，
，
，
，
，
四边形是等邻边互补四边形．
（3）解：如图中，连接，，，，作于，于．
，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
点是的内心，
，设，
，
，
，
．
（4）解：如图3中，连接，作于，于，设交于．
是直径，
，
，，
，
，
，
，设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，，，则，，
在中，，
，
，
，
整理得：，
，
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
11．（2019•道里区校级开学）已知：在四边形中，，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，若，试判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）得条件下，在上取一点，上取一点，连接、交于点，连接，若，，，求的长．
【分析】（1）作于点，作，交延长线于点，知，由角平分线的性质知，结合得，据此证可得答案；
（2）由，平分知，根据得，结合可得答案；
（3）作于，于，交的延长线于．先求出，，，，再证得，设，表示出，，，，在中根据勾股定理求解可得答案．
【解答】解：（1）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
则，
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，连接，
，平分，
，
，
，
又，
是等边三角形；
（3）如图3，作于，于，交的延长线于．
在中，，，
，
，，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，设，
则，，，，
在中，，
解得或，
当时，，
，
，
此时，不符合题意，舍去；
．
【点评】本题考查是四边形综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
12．（2019•信丰县模拟）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”
如图1，四边形中，，（或，则四边形叫做“邻等对补四边形”．
概念理解
（1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形；一定是“邻等对补四边形”的是 ④ ；（填写序号）
（2）如图2，点、、是网格中格点，请找出两个格点，，连接、，、画出四边形，，使四边形，均为“邻等对补四边形”．
性质证明
（3）如图1，四边形中，，，连接，求证：平分．
知识运用
（4）如图3，在“邻等对补四边形” 中，满足，，时，若，求四边形的面积的最大值．
【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义即可判断．
（2）如图作的外接圆，图中点，即为所求（答案不唯一，在直线的右侧圆上的格点，即可满足条件）．
（3）如图1中，连接，．证明，，，四点共圆，利用圆周角定理即可解决问题．
（4）如图3中，延长到，使得，连接，，作于，于，作于．设．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）根据“邻等对补四边形”的定义，正方形一定是“邻等对补四边形”．
故答案为：④．
（2）如图2中，作的外接圆，图中点，即为所求（答案不唯一）
（3）如图1中，连接，．
，
，，，四点共圆，
，
，
，
平分．
（4）如图3中，延长到，使得，连接，，作于，于，作于．设．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
由（2）可知．平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
时，有最大值，最大值，
【点评】本题属于四边形综合题，考查了“邻等对补四边形”的定义，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四点共圆，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．
13．（2018•天台县模拟）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有 正方形 ；
（2）性质探究：
①如图1，四边形是奇异四边形，，求证：平分；
②如图2，四边形是奇异四边形，，，试说明：；
（3）性质应用：
如图3，四边形是奇异四边形，四条边中仅有，且四边形的周长为，，，求奇异四边形的面积．
【分析】（1）根据奇异四边形的定义即可判断；
（2）①过点作于，于．只要证明，推出，再根据角平分线的判定定理即可解决问题；
②利用①中结论，解直角三角形即可解决问题；
（3）根据，求出，即可解决问题；
【解答】解：（1）根据奇异四边形的定义可知：正方形是奇异四边形，
故答案为正方形．
（2）①过点作于，于．
，，
，
，，
，
，于，于，
平分．
②由①可知：，
，
，
在中，．
（3）如图3中，
由（2）可知：，
，
四边形的周长为，
，
，
，
四边形是奇异四边形，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、角平分线的判定定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
14．（2018秋•南岗区校级月考）如图，在四边形中，连接对角线、，平分，，．
（1）如图1，求：的度数；
（2）如图1，求证：；
（3）如图2，在边上取一点，边上取一点，连接、交于点，连接，若，，，求的值．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可解决问题；
（2）如图1中，作于，交的延长线于点．想办法证明即可；
（3）如图2中，作于，于，交的延长线于．想办法求出，即可解决问题；
【解答】（1）解：如图1中，
，，
，
，
，．
（2）证明：如图1中，作于，交的延长线于点．
平分，，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图2中，作于，于，交的延长线于．
在中，，
，
，，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，设，
则，，，，
在中，，
解得或8（舍弃），
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15．（2021秋•莆田期末）如图，点在第一象限的角平分线上，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．
（1）求点的坐标．
（2）当绕点旋转时，
①的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
②请求出的最小值．
【分析】（1）由题意知，，即可解决问题；
（2）①过点作轴于，于．利用证明，得，从而得出；
②连接，由勾股定理得，则，当最小时，也最小．根据垂线段最短，从而得出答案．
【解答】解：（1）点在第一象限的角平分线上，
，
，
；
（2）①不变．
过点作轴于，于．
，，
四边形是正方形，
，
．
在和中，
，
，
，
，
②连接，
，
，
，
，
，当最小时，也最小．
根据垂线段最短原理，最小值为2，
的最小值为8．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了坐标与图形的变化旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是构造全等三角形，属于中考常考题型．
16．（2021秋•武冈市期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
（1）概念理解：
①在互补四边形中，与是一组对角，若，则 90 ；
②如图1，在中，点，分别在边，上，且，求证：四边形是互补四边形．
（2）探究发现：如图2，在等腰中，，点，分别在边，上，，四边形是互补四边形，求证：．
【分析】（1）①由题意知，，，，再利用四边形内角和为，可得方程；
②利用两边成比例且夹角相等，可证，得，从而得出，即可证明结论；
（2）首先利用证明，得，则可知，再根据四边形是互补四边形，得，可知，从而证明结论．
【解答】（1）①解：四边形是互补四边形，与是一组对角，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：90；
②证明：，
，
又，
，
，
，
四边形是互补四边形；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是互补四边形，
，
，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，互补四边形的定义，等腰三角形的性质等知识，本题综合性较强，熟练掌握互补四边形的性质是解题的关键．
17．（2012•南岗区校级一模）已知：在正方形中，点是边上点，点在边上，连接，，作，交边于点（图．
（1）求证：；
（2）连接正方形的对角线，连接，线段与线段相交于点（图，探究线段、、之间的数量关系，直接写出你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接线段与线段相交于点，（图若．的周长为24，求的长．
【分析】（1）连接，作，垂足．先利用证明，得出，再利用证明，得出，进而可证明；
（2）连接、．先由，得出、、、四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补得到，由勾股定理得出，再根据，由三角形的面积公式整理后可得出；
（3）先由的周长为24，结合（1）的结论求出正方形的边长为12，则，再由（2）的结论得出．然后根据，得到，由相似三角形对应边成比例得出，求出，进而得到．
【解答】（1）证明：连接，作，垂足．
，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接、．
由（1）知，，，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：的周长为24，
，
由（1）知，
，
，
，即正方形的边长为12，
．
由（2）知，
，
，，
．
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，四点共圆的条件，圆内接四边形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大．准确地作出辅助线是解题的关键．
18．（2020•襄城区模拟）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
【问题理解】
如图1，点、、在上，的平分线交于点，连接、．
求证：四边形是等补四边形；
【拓展探究】
如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由；
【升华运用】
如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点．若，，求的长．
【分析】【问题理解】
由圆内接四边形对角互补可知，，再证，即可根据等补四边形的定义得出结论；
【拓展探究】
过点分别作于点，垂直的延长线于点，证，得到，根据角平分线的判定可得出结论；
【升华运用】
连接，先证，推出，再证，利用相似三角形的性质可求出的长．
【解答】【问题理解】
证明：四边形为圆内接四边形，
，，
平分，
，
，
，
四边形是等补四边形；
【拓展探究】
解：平分，
理由如下：
过点作于，于，则，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
在与中，
，
，
，
点一定在的平分线上，
即平分；
【升华运用】
解：连接，如图3，
同（2）理得，
由（2）知平分，
，
同理，
，
又，
，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是正确理解运用新定义等补四边形．
19．（2020春•通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 正方形 ；
画图：
（2）如图1，在正方形网格中，线段的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为顶点，为边的等补四边形；
探究：
（3）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
【分析】（1）根据等补四边形的定义，在梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中分别分析每个图形的性质，筛选符合定义的图形即可；
（2）在格点上找满足定义的点作为四边形顶点即可；
（3）过点分别作于点，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定可得出结论；
【解答】解：（1）满足有一组邻边相等的四边形有菱形、正方形，满足对角互补的四边形有矩形、正方形，同时满足两个条件的只有正方形．
故答案为：正方形．
（2）如图1，等补四边形为所求图：
（3）平分，理由如下：
如图2，过点分别作于点，交的延长线于点，
则，
四边形等补四边形，
，
又，
，
，
，
，
又，，
是的平分线，即平分．
【点评】本题是四边形综合题，考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，新定义等补四边形的理解与运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2018秋•通州区期中）如图，在等边中，作，边、交于点，连接．
（1）请直接写出的度数；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图，设交于点．利用“8字型”证明角相等即可；
（2）由，推出，可得，，推出，即可解决问题；
（3）结论：．在上截取，连接．利用全等三角形的性质即可证明；
【解答】解：（1）如图，设交于点．
，，
，
是等边三角形，
，
．
（2），，
，
，
，，
，
．
即．
（3）结论：．
理由：在上截取，连接．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．