2024年中考数学压轴题专项练习—四边形中的新定义问题

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（1）操作发现：
如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 3 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
【解答】解：（1）由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
，
即，
过点作于，
四边形是矩形，
，
，
是中点，
，
，
，
，
完美长方形的面积为，
故答案为：3，6；
（2）由折叠可知，，
，
同理可知，，
长方形的面积为，
，
长方形的周长为；
（3）由折叠可证点，分别是，的中点，
，
由题意知，，
，，
为平行四边形，
，
在中，设，则，
由勾股定理得：，
又，
，
，，
周长为：，
面积为：，
故答案为：42，108．
2．（2023•五华县一模）【定义】：
对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”．
如图1，四边形为“等角线四边形”，即，．
【定义探究】：
（1）判断下列四边形是否为“等角线四边形”，如果是在括号内打“”，如果不是打“”．
①对角线所夹锐角为的平行四边形．
②对角线所夹锐角为的矩形．
③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．
【性质探究】：
（2）如图2，以为边，向下构造等边，连接，请直接写出与的大小关系；
（3）请判断与的大小关系，并说明理由；
【应用提升】：
（4）若“等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为 ．
【解答】解：（1）①对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判①是“等角线四边形”，
选择；
②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等角线四边形”，
选择；
③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等角线四边形”，
选择．
故答案为：①；②；③；
（2）是等边三角形，
，．
，
．
，
，
四边形是平行四边形，
．
中，，
即；
（3）如图，过作，且，连接，，
四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
．
过点作，交于点，
，，
．
在中，，
，
则．
；
（4）若“等角线四边形”的对角线长为2，则，
由（2）（3）可得，，
．
该四边形周长的最小值为．
故答案为：．
3．（2023春•碑林区校级期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做睦邻四边形．
探索理解：
如图1，已知、、在格点（小正方形的顶点）上，若想在网格内确定一个格点，使四边形为睦邻四边形，则符合要求的点有 4 个；
尝试解决：
如图2，睦邻四边形中，，，，，，求四边形面积．
实际应用：
如图3，点到正方形四个顶点距离相等，正方形内另有一点，满足，，且，若要在边上确定一点，使点到点和点的距离之和最小，请你找出点的位置，并求出这个最小值．
【解答】解：探索理解：
如图，点，；点，；点，；点，，点，，点，；故符合要要求的睦邻四边形的点有、、、，，个．
尝试解决：如图2，作交延长线于，作于．
，
，
在中，，
，
，
．
，
，
在中，，，
根据勾股定理：．
，，
是等边三角形．
，
，，
，
，
；；
．
实际应用：如图，作点关于的对称点，交于，连接、，作于，交延长线于，延长交于；
在中，，，
；
，
，
解得；
正方形，点到各个顶点的距离相等，
，，
在中，，
，
解得，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
在△中，，
，
解得．
综上所述，如图，点就是所求的点，点到点、点 的最短距离之和为．
4．（2023•澧县三模）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形 是 （填“是”或“不是” “直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，过点作于．
①过作于点，试证明：，并求的长；
②若是边上的动点，求周长的最小值．
【解答】解：（1）将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，即，
，
，，
四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是；
（2）①证明：四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
；
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：或（舍去），
的长是8；
②周长，
当的值最小时，的周长最小，
如图，延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，
，
点与点关于对称，
，即，
当点与重合时，的值最小，即的周长最小，
在中，，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
周长的最小值为．
5．（2023春•西城区校级期中）附加：
在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．
（1）如图1，已知点，．
①设点与线段上一点的距离为，的最小值是 3 ，最大值是 ；
②在，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 ；
（2）如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围；
（3）已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①由题意知：
，，
的最小值是3，最大值是；
②如图1，过作于，
，
根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点；
故答案为：3，，；
（2）如图2中，
，，
且，均在正方形上，符合平衡点的定义，
；
（3）如图2，正方形边长为2，设的中点为，
，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，
则，，
，
，
．
6．（2023春•丰台区校级期中）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴垂直，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图为“率矩形” 的示意图．
（1）已知“率矩形” ，且，求的值；
（2）已知，
①若矩形为“2率矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值；
②若矩形为“1率矩形”，且矩形的面积不小于，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）点在直线上，
；
（2）设和交点为，
①矩形为“2率矩形”，
直线的解析式为，
直线平分该矩形的面积，
直线必经过矩形的对角线的交点，
联立两直线解析式得：
，
解得：，
，
、两点连线垂直轴，
，
；
②矩形为“1率矩形”，
直线的解析式为，
与轴正半轴的夹角为，
对角线与轴垂直，且，
，
，，
轴，
，
过点作于，
，
，
矩形的面积不小于，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：
当或时矩形的面积不小于．
7．（2023春•西城区校级期中）平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，，，，，，，、是这个正方形外两点，且．给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段（其中，分别是点，的对应点），记线段的中点为．若点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到正方形的“回归距离”，称此时的点为线段到正方形的“回归点”．
（1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段和，这两条线段的位置关系为 ；若，分别为和的中点，则点 （填或为线段到正方形的“回归点”；
（2）若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“回归距离”为，请直接写出的最小值： ，并在图2中画出此时线段到正方形的“回归点” （画出一种情况即可）；
（3）请在图3中画出所有符合题意的线段到正方形的“回归点”组成的图形．
【解答】解：（1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段和，这两条线段的位置关系为；若，分别为和的中点，则点为线段到正方形的“回归点”．
故答案为：，；
（2）如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，最小值；
故答案为：；
（3）如图3中，弧即为所求（以为圆心，为半径画弧）．
8．（2022秋•凤城市期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．
（1）求证：四边形是垂美四边形；
（2）猜想四边形两组对边、与、之间的数量关系并说明理由；
（3）若，，，则的长为 ．
【解答】（1）证明：，
，
即，
，，
，
，
，
，
，
四边形是垂美四边形；
（2）解：猜想：；理由如下：
，
，
由勾股定理得，，
，
；
（3）和是等腰直角三角形，且，，
，，
，
，
．
故答案为：．
9．（2022春•海淀区校级期中）对于平面直角坐标系中的图形和图形．给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点、可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．
（1）如图1，点，，，点在上运动（点可以与，重合），连接，．
①线段的最小值为 ，最大值为 ；线段的取值范围是 ．
②在点，中，点 与线段满足限距关系．
（2）如图2，正方形的边长为2，直线分别与轴，轴交于点，，且与轴正方向的夹角始终是，若线段与正方形满足限距关系，求点的纵坐标的取值范围；
（3）如图3，正方形的顶点均在坐标轴上，，，，是正方形边上两点，分别以，为中心作边长为1的正方形，与正方形的四边分别平行．若对于任意的点，，以，为中心的正方形都满足限距关系，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①如图1，点，，，
，，，
，
当时，，
，
此时的值最小；
当点与点重合时，的值最大，最大值为，
当时，的值最小，
，
，
当点与点或点重合时，有最大值，
，
的最大值为2，
，
故答案为：，，；
②线段上存在点、，满足最小值为，最大值为，
则，
点与线段满足限距关系；
，
线段上不存在两点与点满足限距关系；
故答案为：；
（2），，
，，
，
正方形的边长为2，
，
当时，，此时点与点重合，
①如图2，当时，线段在正方形内部，此时与正方形无公共点，
过点作交于，过点作交于点，
，
，
正方形上到线段的最短距离为，
，
，
正方形上到线段的最大距离为，
线段与正方形满足限距关系，
，
解得，
；
②如图3，当时，线段与正方形有公共点，
线段与正方形满足限距关系；
③如图4，当时，线段在正方形的外部，与正方形无公共点，
过点作交于，过点作交于，
，
，，
，，
正方形到线段的最小距离为，
正方形到线段的最大距离为，
线段与正方形满足限距关系，
，
解得，
；
综上所述：；
（3）如图5，当中心、分别与、重合时，
，
，
小正方形的边长为1，
，
两个正方形的距离的最小值为，最大距离为，
两个正方形满足限距关系，
，
解得，
．
10．（2022春•玄武区校级期中）如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．
（1）如图2所示四幅图中，直线是该“图形”等积线的是 ①②③ （填写序号）．
（2）如图3，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 （填“是”或“不是” 该图形的等积线．
（3）在图4所示的“图形”中，，，．
①若，在图中画出与平行的等积线（在图中标明数据）；
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
【解答】解：（1）根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，
直线是该“图形”等积线的是①②③；
故答案为：①②③；
（2）如图3，，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直线是图形的面积平分线．
故答案为：是；
（3）①图形的面积，
延长交于点，
，
若是图形的面积平分线，且，点必然在线段上，如图4所示，
矩形的面积，
，
②如图5，当与重合时，最大，过点作于，
是图形的面积平分线，
梯形的面积，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即的最大值是；
③在与水平方向的两条边、相交的等积线，
如图6，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，延长交于，延长交于，
只需要满足，
即，
，
，
故答案为：．
11．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子： 矩形或正方形 ；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形中，，，的中垂线恰好交于边上一点，连结，，试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在与中，，，，将绕着点顺时针旋转角得到△（如图，当凸四边形为等邻角四边形时，求出它的面积．
【解答】解：（1）矩形或正方形是一个等邻角四边形．
故答案为：矩形，正方形；
（2）结论：，
理由：连接，，如图1所示：
是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
，，
，，即，
，
，
；
（3）分两种情况考虑：
当时，延长，交于点，
如图所示，
，
，
设，
由勾股定理得：，
解得：，
过点作于，
，
△，
，即，
解得：，
；，
则；
当时，过点作于点，
如图所示，
四边形是矩形，
，
在中，根据勾股定理得：，
，，
则．
12．（2021•海东市模拟）定义：长宽比为为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示．
操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．
操作2：将沿过点的直线折叠，使点、点分别落在边，上，折痕为．则四边形为矩形．
（1）证明：四边形为矩形；
（2）点是边上一动点．
①如图，是对角线的中点，若点在边上，，连接．求的值；
②若，点在边上，当的周长最小时，求的值；
③连接，作，垂足为．若，则的最小值 2 ．
【解答】证明：（1）设正方形的边长为，
是正方形的对角线，
，
由折叠性质可知，，
则四边形为矩形，
是等腰直角三角形．
，
．
四边形为矩形；
（2）①解：如图，作，，垂足分别为，．
四边形是矩形，，
四边形是矩形．
，，．
，．
为中点，
，．
，
．
．
．
．
②解：如图，作关于直线对称的点，连接交于点，连接．
则的周长最小，
，
，
设，则．
．
，
③如备用图，
四边形为矩形，，
，
，
点在以为直径的圆上，记的中点为，
，
最小
故答案为：2
13．（2021秋•驻马店期中）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）矩形 是 垂等四边形（填“是”或“不是” ；
（2）如图1，在正方形中，点，，分别在，，边上．若四边形是垂等四边形，且，，求证：；
（3）如图2，在中，，，，以为对角线，作垂等四边形，过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，求四边形的面积．
【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形．
故答案为：是；
（2）证明：四边形为正方形，
，．
又，
，
．
四边形是垂等四边形，
，
；
（3）解：如图2，过点作，垂足为，
四边形为矩形．
，
．
在中，，
根据勾股定理得，，即，
，．
四边形为垂等四边形，
．
第一种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
；
第二种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
．
综上所述，四边形的面积为或．
故答案为：或．
14．（2021•鄞州区模拟）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 矩形 ；
（2）如图1，在正方形中，点，，分别在，，上，四边形是垂等四边形，且，．
①求证：；
②若，求的值；
（3）如图2，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，求四边形的面积．
【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形．
故答案为：矩形；
（2）①证明：四边形为正方形，
，．
又，
，
．
四边形是垂等四边形，
，
．
②解：如图1，过点作，垂足为，
四边形为矩形，
．
由①知，
．
由题意知，，，
，
即，
为等腰直角三角形，
．
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，．
，
．
（3）解：如图2，过点作，垂足为，
四边形为矩形．
，
．
在中，，
根据勾股定理得，，即，
，．
四边形为垂等四边形，
．
第一种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
；
第二种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
．
综上所述，四边形的面积为或．
15．（2020春•奉化区期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 正方形，矩形 ．
（2）如图1，在方格纸中，，，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点在格点上．
（3）如图2，在正方形中，点，，分别在，，上，且，求证：四边形是垂等四边形．
（4）如图3，已知，，，，以为边在的右上方作等腰三角形，使四边形是垂等四边形，请直接写出四边形的面积．
【解答】解：（1）正方形，矩形是垂等四边形．
故答案为正方形，矩形．
（2）如图1中，四边形即为所求．
（3）在正方形中，
，，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是垂等四边形．
（4）①如图中，当时，连接，过点作于．
，，，
，，
四边形是垂等四边形，
，
，，
，
．
②如图中，当时，连接，过点作交的延长线于，于．
同法可得，．
③如图中，当时，取的中点，连接，，过点作交的延长线于．
设，
，
，
，，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得，
．
16．（2018秋•柯城区期末）定义：
三条线段，如果其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，那么这三条线段叫做勾股线段．例如：线段，，，满足，则线段，，就是勾股线段．
理解：
（1）已知线段，，线段，，是勾股线段，求线段的长度．
（2）如图1，正方形中，点，分别在，．上，且，将以点为旋转中心按顺时针方向旋转得到，点，，在同一直线上．求证：，，是勾股线段．
运用：
（3）如图2，等腰直角三角形中，，，是上的点，，，（其中最长）是勾股线段，求的度数．
【解答】（1）解：线段，，线段，，是勾股线段，
，
，
，
；
（2）证明：如图1中，连接．
四边形是正方形，
由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，是勾股线段；
（3）解：如图2中，将绕点顺时针旋转得到，连接，
则，，
，，
，
，
，
，
，，是勾股线段，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
17．（2019•鄞州区一模）定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形中，，满足，四边形是闪亮四边形，是亮线．
（1）以下说法正确的是 ①③ （填写序号）
①正方形不可能是闪亮四边形；
②矩形中存在闪亮四边形；
③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是．
（2）如图2，四边形中，，，，，，判断哪一条线段是四边形的亮线？请你作出判断并说明理由．
（3）如图3，是闪亮四边形的唯一亮线，，，，，请直接写出线段的长．
【解答】解：（1）①设正方形的边长为，则对角线长为，
，
正方形不可能是闪亮四边形．故①正确
②如图①中，四边形是矩形，于，不妨设矩形是闪亮四边形．
则，
，
，
，显然与矛盾，假设不成立，
矩形不可能是闪亮四边形，故②错误．
③如图②中，四边形是菱形，
四边形是闪亮四边形，
不妨设，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是．故③正确．
故答案为①③
（2）如图2中，作于．
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
是四边形的闪亮对角线．
（3）①当时，如图3中，作于．
，，，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
．
②当时，，且符合题意．
③当时，（不符合题意舍弃）．
④当时，（不符合题意舍弃），
⑤当时，作于．
，
，
，设，则，，
在中，，
，
解得或，
或
综上所述，满足条件的的值为或5或或．
18．（2017•邵阳县二模）我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为，则称这个四边形为圆满四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有 矩形，正方形 ．
（2）问题探究：如图，在四边形中，对角线、相交于点，若，问四边形是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明，得到比例式，再证明，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．
（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形中，，，与的延长线相交于点，，，，求的长．
【解答】解：（1）矩形和正方形的四个内角都是，
矩形和正方形的两组对角的和为，
矩形，正方形是圆满四边形．
故答案为：矩形，正方形；
（2）证明：，，
，
，
，又，
，
，．
，
即．
四边形是圆满四边形．
（3）如图，，，
，
四边形是圆满四边形，
由上可得，，．
又，
，
．
又，
，
又，
，
，
设，则
，
，
，解得，．
即：．
19．（2017秋•青山区期中）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 ①② ．（填写序号即可）
①矩形； ②有一个角为直角的任意凸四边形； ③有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，
①，时，连接，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点，连接，若，，，求的长度．
【解答】解：（1）①如图，
四边形是矩形，
，
，
即：矩形是勾股四边形，
②如图，
，
，
即：由一个角为直角的四边形是勾股四边形，
③有一个角为的菱形，邻边边中没有直角，所以不满足勾股四边形的定义，
故答案为①②，
（2）①如图1中，连接．
绕点顺时针旋转了到，
，，
是等边三角形．
，，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
四边形是勾股四边形．
②如图2中，延长交的延长线于．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
20．（2016秋•市南区期末）定义：长宽比为为正整数）的矩形称为矩形．
通过下面的操作方式我们可以折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．
操作2：将沿过点的直线折叠，使点，点分别落在边，上，折痕为．
则四边形为矩形．
证明：设正方形的边长为1，则．
由折叠性质可知，
，则四边形为矩形．
．
．
，即．
．
．
四边形为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）已知四边形为矩形，沿用上述操作方式，得到四边形，如图②，求证：四边形是矩形．
（2）在图②中，求的值．
（3）若将矩形沿用上述方式操作次后，得到一个矩形，求和的值．（用含和的代数式表示，直接写出结论即可）
【解答】（1）如图②中，设矩形的边，
，
，
由折叠可得，，．
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
四边形是的矩形；
（2）设，则，
在中，根据勾股定理得，
，
，
；
（3）将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，
，
将矩形沿用上述方式操作1次后，得到一个矩形，
将矩形沿用上述方式操作1次后，得到一个矩形，
，
将矩形沿用上述方式操作次后，得到一个矩形，
，
同（2）的方法得，
．