2024年中考数学压轴题专项练习—正方形中的十字模型

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【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且于点．请直接写出的值．
【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得；
（2）作于点，作于点，证明，得，可得答案；
（3）过点作于点，交于点，首先说明，得，再利用是等腰三角形，得出，进而解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：作于点，作于点，
则，，
，，，
又，
，
，
，
即；
（3）解：过点作于点，交于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在中，，
，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
22．（2023•湘潭县三模）已知点、分别是四边形边、上的点，且与相交于点．
（1）如图①，若，，，且，求证：；
（2）如图②，若，，且时，求证：；
（3）如图③，若，，设，当时，直接写出的值．
【分析】（1）根据矩形的判定知四边形是矩形，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知，则，从而证明结论成立；
（2）首先可知，得，再通过，得，进而解决问题；
（3）作于点，交的延长线于点，连接，设，可知四边形是矩形，利用证明，得，根据，得，则，在中，利用勾股定理列方程，再利用（1）中基本模型解决问题．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作于点，交的延长线于点，连接，设，
，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或（不合题意舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，构造模型、应用模型解决问题是解题的关键．
23．（2022春•潮阳区期末）（1）如图1，在正方形中，、相交于点且则和的数量关系为 ．
（2）如图2，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，垂足为．求证：．
（3）如图3，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，，，将正方形沿折叠，点的对应点恰好与边上的点重合，求的长度．
【分析】（1）证明，则，即可求解；
（2）证明△，即可求解；
（3）证明知，则，而，，故，进而求解．
【解答】解：（1），，
，
在和中，，
，
，
故答案为；
（2）如图1，故点作于点，则四边形为矩形，
则，
在正方形中，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）如图2，连接，
、关于对称，
，过点作于点，
过点作于点，则，
由（2）同理可得：，
，
，，
，
又，
．
【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是三角形全等和正方形的性质，有一定的综合性，难度适中．
24．（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践：
如图，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；
（3）如图3，若，连接，当点在边上运动的过程中．是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，及此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由“”可证；
（2）由“”可证，可得，证出，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得结论；
（3）以为直径作，连接，，由题意可得点在以为直径的上，则当点在上时，有最小值，由勾股定理可求的长，可得，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得，即可求解．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）证明：如图2，延长，交于点，
点是的中点，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
．
（3）解：存在最小值．
如图3，以为直径作，连接，，
，
，
点在以为直径的上，
在中，，
当点在上时，有最小值，
此时：如图4，
，点是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可得，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（2022•天桥区一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为 1 ；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，．请问．是定值吗？若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得，从而得出答案；
（2）首先根据同角的余角相等知，则，得；
（3）过点作，交延长线于，利用两个角相等可证明，得；
（4）连接交于，与交于，与交于，首先可证明，得，再利用勾股定理求出，面积法求出的长，从而得出答案．
【解答】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）解：四边形为矩形，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（3）证明：如图，过点作，交延长线于，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）解：是定值，理由如下：
连接交于，与交于，与交于，
将沿翻折，点落在点处得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（2023春•青秀区校级期中）在正方形中：
（1）已知：如图①，点、分别在、上，且，垂足为，求证：．
（2）如图②，如果点、、分别在、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论．
（3）如图③，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论．
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，进而得到，则，进一步根据全等三角形的性质进行证明；
（2）过点作，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，由（1）的结论可知，所以；
（3）分别过点、作，，可证四边形、四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，，由（1）的结论可知，所以．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）．
证明：如图②，过点作，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
由（1）可得，
，
；
（3）．
证明：如图③，分别过点、作，，
，，
四边形、四边形为平行四边形，
，，
，
，
由（1）可得，
，
．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，熟练掌握正方形性质确定三角形全等的条件是解题的关键，（2）（3）两题通过作辅助线构造成（1）的形式是得解的关键．
27．（2012秋•盱眙县校级期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边、上，，交于点，．求证：．
（2）如图2，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，、交于点，，．求的长．
（3）如图3，在矩形中，，点、、、分别在矩形的边、、、上，、交于点，，，求的长．
【分析】（1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出．
（2）可以认为图2中的线段、是由图1中的线段、平移得到，故．
（3）由于，可见图3是由三个图2的基本型转化而来，据此即可解答．
【解答】解：（1），
，
又，
．
又，
，
．
故．
（2）图2中的线段、是由图1中的线段、平移得到，
即平移后得到，
平移后得到，
，
故．
（3）把三等分，得到三个矩形，
将（2）过程重复，即得到，
得．
【点评】此题不仅考查了正方形的性质，还考查了平移的性质，将（2）（3）转化为（1）是解题的关键．此题体现了转化思想的重要作用．
28．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？
（1）直接判断： （填“”或“” ；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．
①四边形是正方形吗？请说明理由；
②若，点在上，，直接写出的最小值为 ．
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）过点作，证明，由此可得；
（3）①如图3，连接，证明，所以，；由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论；
②作交的延长线于点，作于点，可证明△，由此可得；易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则；作关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论．
【解答】解：（1），
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，过点作，交于点，交于点，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①如图3，连接，
由（2）的结论可知，，
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，，
，
，
，，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
菱形是正方形；
②如图4，作交的延长线于点，作于点，
，
由上知四边形是正方形，
，，，
，
，
△，
，；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，
则是等腰直角三角形，
，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．
，
，
，
，
，
，
，即的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角 形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键
29．（2022•锦江区校级模拟）在正方形中，点是边上的一个动点，点、在边上，，且，、的延长线相交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的度数；
（2）如图2，当点与点不重合时，问：（1）中的度数是否发生变化，若有改变，请求出的度数，若不变，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作于点，连接、，取的中点，连接，在点的运动过程中，求证：为定值．
【分析】（1）属于基础问题，根据图形性质求解即可．
（2）利用辅助线构造正方形中常见的旋转型全等，结合中位线得出结论．
（3）本题辅助线是关键，通过题目中给出的中点条件考虑可取其他中点结合中位线推导，并找到一组旋转型相似的三角形，进而解决问题．
【解答】解：（1），与重合，
，
，
，
．
（2）不变．理由如下：
如图所示，连接，
取中点，连接，，．
在正方形中，有：
，，
又，
，
．
，，
，
为等腰直角三角形．
又，分别是，的中点，
，
．
（3）如图所示，取中点，连接，，，
由题意可得，为等腰直角三角形，
为中点，
．
设，则，，
，分别是，的中点，
，
，
，
．
又，，
，
又为等腰直角三角形，
，
，
．
．
为定值．
【点评】本题属于难题，灵活选择辅助线并需要熟练掌握正方形的性质以及相似三角形模型是解题的关键．
30．（2020春•江岸区期中）问题背景：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：．
证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
，．
四边形为平行四边形，则 ，．
，．
又，为等边三角形， ．
，即．
请完成证明中的两个填空．
迁移应用：
如图2，正方形的边长为4，点在边上，点在边上，点在上，过点作的垂线，交于点，交于点．求证：
①；
②．
联系拓展：
如图3，为等腰三角形，，过点作的平行线，点在直线上，点到的距离为2，求线段的最小值．
【分析】问题背景：利用平行四边形的性质以及等边三角形的性质即可解决问题．
迁移应用：①如图2中，作于，于．证明可得结论．②如图2中，以，为邻边作平行四边形，连接．证明是等腰直角三角形即可解决问题．
联系拓展：如图3中，以，为邻边作平行四边形，连接交于．证明，求出的最小值即可解决问题．
【解答】解：问题背景：根据平行四边形的性质可知，
根据等边三角形的性质可知，
故答案为，．
迁移应用：①如图2中，作于，于．
四边形是正方形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同理可证：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图2中，以，为邻边作平行四边形，连接．
，，，，
，
，
，
，
，
，
．
联系拓展：如图3中，以，为邻边作平行四边形，连接交于．
，
，
，，
，
，
到的距离为2，
，
，
的最小值为4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考压轴题．
31．（2016•东台市二模）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于，于，证明：；
如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交、、、于点、、、．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为2，则线段的最小值 1 ，最大值 ．
【分析】（1）先判断出，再根据从而得到，
（2）先判断出，代换即可得到结论，
（3）当点和重合时，最小，当点和点重合时，最大，即可．
【解答】解：（1），
理由如下：
如图1，四边形是正方形，
，，
过点作交于，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，，
正方形是轴对称图形，为对角线上一点
，
又垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，
（3）由（2）有，，
，
，
，是正方形的对角线，
，
当点和点重合时，最小，
当点和重合时，最大，
故答案为1，
【点评】此题是正方形性质题，主要考查了平行四边形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出，也是解本题的难点．
32．（2012秋•温岭市校级月考）问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图，在正三角形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则；
②如图，在正方形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图，在正五边形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则；
任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；（说明选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
ⅰ、如图，在正边形中，、分别是、上的点，与相交于点，试问当等于多少度时，结论成立？（不要求证明）
ⅱ、如图，在正五边形中，、分别是、上的点，与相交于点，若时，试问结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立．请说明理由．
【分析】（1）正三角形中，可通过全等三角形来证明，由于，而，因此，又知道，，因此，可得出；正方形和正五边形的证明过程与正三角形的一样，都是通过全等三角形来得出线段的相等，证三角形的过程中都是根据和多边形的内角相等得出一组两三角形中的一组对应角相等，然后根据正多边形的内角和边相等，得出和全等，进而得出；
（2）①由（1）的证明过程可知道的度数应该是正多边形的内角的度数，当时，结论成立，
②可参照（1）先得出三角形和全等，然后通过证三角形和全等来得出结论，在证三角形和全等的过程中也是通过与正五边形的内角相等得出一组对应角相等，然后根据正五边形的内角减去第一对全等三角形中得出的相等角来得出另一组对应角相等，可通过得出，那么可得出三角形和全等，由此可得证．
【解答】解：（1）选命题①
在图中，是正三角形，
，．
，
．
，
．
．
．
选命题②
在图中四边形是正方形，
，．
，
．
，
．
．
．
选命题③
在图中，五边形是正五边形，
，．
，
．
，
．
．
．
（2）①当时，结论成立．
在正边形中，
，，
，
，
，
．
．
．
②成立．
在图⑤中，连接、，
五边形是正五边形，
，，，．
，
．
，，．
，
．
，
（即．
，即．
，即．
．
．
【点评】本题主要考查了全等三角形，正多边形等几何知识，是一道几何型探究题，层层深入，体现了一个由特殊到一般的过程，考查学生的逻辑思维能力及归纳探索诸多方面的能力，是一道很好的压轴题．本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题．
33．（2023春•增城区期末）如图1，在正方形中，，点在边上，连接，且，点是的中点．
（1）求的长；
（2）过点作直线，分别交，于点，，且，求的长；
（3）如图2，过点作的垂线，分别交，，于点，，，连接，求的度数．
【分析】（1）由得出，设，则，根据勾股定理列出方程即可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）由角平分线的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，由“”可证，可得，由平角的性质可求解．
【解答】解：（1），
，
设，则，
在中，，
解得或（舍去），
；
（2）如图，过点作，交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
；
如图，过点作，交于，过点作于点，
同理可证：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为或；
（3）如图，连接，过点作于点，于点，
四边形是正方形，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．
34．（2023•南关区四模）【问题提出】如图①，在正方形中，点，，分别在边，，上，．请判断与的数量关系，并说明理由．
【类比探究】如图②，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连结交于点．则与之间的数量关系为 ．
【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的长为 ．
【分析】【问题提出】，过作，然后证明即可；
【类比探究】过作，证明即可解答；
【拓展应用】由可设，，则，，由（2）可得，从而可得，在中根据勾股定理即可求出的长，，从而求出．
【解答】解：【问题提出】，理由如下：
过作，如图：
四边形是正方形，
，，，
，
．
，
，
；
【类比探究】，理由如下：
过作，如图：
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【拓展应用】，
，
由折叠性质可知，
设，，则，，，
由（2）可知，
，
，
在中，
，
解得或（舍去），
，，
，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．
35．（2023春•福田区校级期末）【探索发现】
“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形中，点在上，点在上，．
某同学进行如下探索：
第一步：将绕点顺时针旋转，得到，且、、三点共线；
第二步：证明；
第三步：得到和的大小关系，以及、、之间的数量关系；
请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．
【问题解决】
如图2，在正方形中，点在上，且不与、重合，将绕点顺时针旋转，旋转角度小于，得到△，当、、三点共线时，这三点所在直线与交于点，要求使用无刻度的直尺与圆规找到点位置，某同学做法如下：连接，与交于点，以为圆心，为半径画圆弧，与相交于一点，该点即为所求的点．
请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）
【拓展运用】
如图3，在边长为2的正方形中，点在上，与交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，直接写出关于的函数表达式．
【分析】【探索发现】根据全等三角形的判定定理证明即可；
【问题解决】求证，结合“探索发现”的结论即可证明；
【拓展运用】利用几何图形建立等量关系，即可求解．
【解答】【探索发现】证明：，
，，
，
，
，
，，
结论：，；
【问题解决】过点作的垂线，交于点，交于点，
，又，
，
可得，所以 为等腰直角三角形，
，
由前面结论知，当时，，作于点，则，
当旋转至位置时，、、三点共线，这三点所在直线与交于点；
【拓展运用】连接、、，如图：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
由探索发现可知，
设，，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
把代入得，
，，
，
．
．
【点评】本题以正方形作为几何背景，结合旋转变换，综合考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，旨在考查学生的自主探究能力．
36．（2023春•武汉期末）【探索发现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形绕点怎么转动，总有，连接，求证：；
【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
【迁移拓展】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，直接写出线段的长度．
【分析】（1）根据正方形的性质证明，推出，得到，然后根据股定理和线段的代换即可证得结论．
（2）连接，证明，可得，，然后根据股定理和线段的代换证明即可；
（3）设，分两种情况：当点在边上，点在边延长线上时，结合（2）的结论利用股定理构建方程求解即
【解答】（1）证明：四边形、都是正方形，
，，，，
，
，
，
，连接，
在中，，
．
（2）仍然成立．
连接，
是矩形的中心，
在上，且，
延长交于，连接，如图：
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
又矩形中，，
．
（3）当点在边上时，如图：
，
，
设，则，
则，
解得，即，
．
当点在边延长线上时，如图：
同理可证．，
设，则，
，
，
解得，即，
，
综上所述，或，
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、灵活利用方程思想是解题的关键
37．（2023•运城二模）综合与实践：
问题情境：在数学活动课上，老师出了这样一道题：
在矩形中，，，将矩形绕着点顺时针旋转到矩形的位置，点恰好在边上．
问题解决：（1）如图1，连接，，，与交于点．
①的值为 ， ；
②求的长．
（2）如图2，若将四边形沿渞直线折叠，得到四边形，使得点的对应点恰好在上，点的对应点为，点在上，求的长．
【分析】（1）①根据矩形的每一个角都是直角，以及点恰好在边上和得出旋转角的度数；
②先由旋转的性质可得出：，，然后在中由勾股定理求出的长，进而即可求出的长；
（2）连接，先求出’的长，进而可求出，再利用勾股定理可求出，，然后设，则，，，，最后在中由勾股定理列出关于的方程即可得出答案．
【解答】解：（1）①四边形为矩形，，，，
，，
当矩形绕着点顺时针旋转到矩形的位置，点恰好在边上时，
旋转角，
由旋转的性质可知：点与点为旋转前、后的对应点，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，，
由勾股定理得：．
②由旋转的性质可知：，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，，，，
，解得：，
．
故答案为：①，；②1.5．
（2）连接．
由旋转的性质可知：，，
由翻折的性质可知：，，，
在中，，，
由勾股定理得：．
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在△中，，，
由勾股定理得：．
设，则，
，，．
在中，由勾股定理得：，
，解得：，
．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，图形的翻折变换及性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的旋转、翻折变换，难点是设置适当的未知数，灵活利用勾股定理进行计算．
38．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：．
【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点在边上，点、分别在边、上，且，求的值．
【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点、分别在边、上，点、分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由．
【分析】【问题探究】利用证明，得；
【知识迁移】过点作于点，利用，得，即可得出答案；
【拓展应用】作，交于，，交于，说明，得，且四边形、是平行四边形，进而解决问题．
【解答】【问题探究】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在与中，
，
，
；
【知识迁移】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，，
在与中，，，
，
，
，
；
【拓展应用】解：当时，，
作，交于，，交于，
则，，，
，
，
，
，
，，，，
四边形、是平行四边形，
，，
当时，．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．
39．（2022春•惠民县期末）（1）如图①，已知正方形的对角线、相交于点，是上一点，过点作，垂足为，求证：；
（2）如图②，若点在的延长线上，，交的延长线于．的延长线交的延长线于，其他条件不变，则结论“”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
【分析】（1）首先利用正方形的性质得到，，然后利用得到，最后利用全等三角形的判定解决问题；
（2）结论成立．证明方法和（1）相似．
【解答】（1）证明：四边形为正方形，
，，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）结论成立．
证明如下：
四边形为正方形，
，，
又，
，
，
，
在和中，
，
和，
；
【点评】本题主要考查了正方形的性质，也利用了全等三角形的判定和性质，有一定的综合性．
40．（2022春•孝南区期中）如图1，为正方形的边上一动点与、不重合），点在边上，且，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）当运动到中点处时（如图，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度．
【分析】（1）证明即可得出答案；
（2）延长、交于一点，证明，在中利用直角三角形斜边中线定理即可得出答案；
（3）通过角度的推导证明和均为等腰三角形，设，在中利用勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：（1）在正方形中有：，，
，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图，延长、交于一点，
当点为中点时，为中点，即，
，，
，
，
，
由（1）得：，
；
（3）由（1）得：，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得：，
．
【点评】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的边角性质及正方形中常考的“十字架”模型是解题关键．
41．（2013秋•锡山区期末）探究一：如图1，已知正方形，、分别是、上的两点，且．小明经探究，发现．请你帮他写出证明过程．
探究二：如图2，在矩形中，，，、分别在边、上，、分别在边、上，且．小明发现，与并不相等，请你帮他求出的值．
探究三：小明思考这样一个问题：如图3，在正方形中，若、分别在边、上，、分别在边、上，且，试问：是否成立？若一定成立，请给予证明；若不一定成立，请画图并作出说明．
【分析】探究一、求出，，求出即可；
探究二、作于，于，证出即可；
探究三、画出图形，即可得出答案．
【解答】探究一
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
探究二、
解：作于，于，如图2，
则，，，
，，
，
，
，
，
，
又，，
；
探究三、
解：不一定成立，如图3，当在时，和垂直，当在时，和就不垂直．
【点评】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
42．（2013•房山区二模）（1）如图1，正方形中，、分别是、边上的点，且满足，连接、交于点请直接写出线段与的数量关系和位置关系；
（2）如图2，正方形中，、分别是、边上的点，连接，过点作于点，交于点，试判断线段与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、．
求证：①；
②．
【分析】（1）证，推出，，求出，求出即可；
（2）过点作交于，证，推出，根据且推出即可；
（3）①过点作，且使，连接、，根据四边形是平行四边形的性质求出，，求出为等腰直角三角形，由勾股定理得，即，即可求出答案；②证、、、四点共圆，根据圆周角定理得出即可．
【解答】（1）解：且，
理由是：四边形是正方形，
，，
在和中
，
，，
，
，
，
，
．
（2），
证明：过点作交于，
，
，
，
正方形，
，，，
，
，
在和中
，
，
且，
，
；
（3）证明：①：过点作，且使，
连接、，
四边形是平行四边形，
，，
由（2）可知，，且，
且，
为等腰直角三角形，
由勾股定理得，
，
当点与点不重合，点与点不重合时，、、三点不共线，
此时，在中，，即，
当点与点重合，点与点重合时，、、三点共线，
此时，，即；
②证明：正方形
以为直径作，则点在上
点也在上
．
【点评】本题考查了圆周角定理，正方形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．