2024年中考数学压轴题专项练习—正方形综合题

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1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
正方形综合题
1．（2023•海淀区校级开学）如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，延长CP至E，连结DE，使DE＝DC，DN平分∠ADE，交CE于点N，连接AE、AN、BN．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△ANE的形状，并证明；
（3）用等式表示线段AN、BN、CN三者之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图1，即为补全的图形；
（2）△ANE是等腰直角三角形，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA，
∵DC＝DE，
∴DE＝DA，
∵DN平分∠ADE，
∴∠EDN＝∠ADN，
在△EDN和△ADN中，
，
∴△EDN≌△ADN（SAS），
∴AN＝EN，
设∠ADE＝x，则∠CDE＝90°+x，
∵DA＝DE＝DC，
∴∠DEA＝∠DAE＝（180°﹣x）＝90°﹣x，∠DEC＝∠ECD＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x，
∴∠AEC＝∠DEA﹣∠DEC＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°，
∵AN＝EN，
∴∠AEN＝∠EAN＝45°，
∴∠ANE＝90°，
∴△ANE是等腰直角三角形；
（3）AN+NC＝BN，证明如下：
过点B作BF⊥BN交PC延长线于点F，如图2，
∴∠FBC＝∠ABN，
∵∠CBA＝∠CNA＝90°，
∴∠BCN+∠BAN＝180°，
∵∠FCB+∠BCN＝180°，
∴∠FCB＝∠BAN，
又∵AB＝BC，
∴△FCB≌NAB（ASA），
∴FC＝AN，FB＝BN，
∴△FBN是等腰直角三角形，
∴，
∴AN+NC＝BN．
2．（2023春•殷都区期末）如图，四边形是正方形，点在线段上，点在射线上，且，连结，点为线段中点．
【感知】如图1，当点在线段上时，
①易证：与全等（不需要证明）．进而得到与的数量关系是 ．
②过点作于点，于点，易证：（不需要证明）．进而得到与的位置关系是 ．
【探究】如图2，当点在线段上（点不与点，重合）时，试写出与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【解答】解：【感知】①四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②过点作于点，于点，如图1所示：
则，
四边形是正方形，
平分，，
四边形是矩形，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：；
【探究】与的数量关系和位置关系为：，，理由如下：
设交于，如图②所示：
四边形是正方形，
直线是正方形的对称轴，与是一对对应点，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，
．
3．（2023春•东阳市月考）如图1，已知在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）如图2，G为CD的中点，连结BG分别与CE，CF相交于M，N两点．若BE＝BM，MG＝2，求CD的长度；
（3）在（2）的条件下求出BN的长度和cs∠AEF的值；
（4）在（2）的条件下求出EF的长度．
【解答】（1）证明：由轴对称的性质，∠EFC＝∠EBC＝90°，
∴∠AFE+∠DFC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠DFC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AEF∽△DFC；
（2）解：∵BM＝BE，
∴∠EMB＝∠BEM，
∵AB∥CD，
∴∠GCM＝∠BEM，
∵∠EMB＝∠GMC，
∴∠GMC＝∠GCM，
∴GM＝GC＝2，
∵G为CD的中点，
∴CD＝2CG＝4；
（3）解：由轴对称的性质，得∠FEM＝∠BEM，
∵BM＝BE，
∴∠EMB＝∠BEM，
∴∠FEM＝∠EMB，
∴EF∥BG，
∴∠BNC＝∠EFC＝90°，
∴∠BNC＝∠D＝90°，
∵∠DFC＝∠BCN，BC＝FC，
∴△BCN≌△CFD（AAS），
∴BN＝CD＝4；
∵∠BCD＝∠GNC＝90°，∠BGC＝∠CGN，
∴△CGB～△NGC，
∴＝，
设NG＝x，则＝，
解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2（不合题意，舍去），
∵△AEF∽△DFC，
∴cs∠AEF＝cs∠NGC＝＝＝﹣1；
（4）解：由轴对称的性质，得BE＝EF，
设BE＝EF＝y，则AE＝4﹣y，
∵cs∠AEF＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴＝﹣1，
解得：y＝2，
∴EF＝2．
4．（2023春•盐都区月考）已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）直线与相交于点．
①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
；
（2）①证明：如图，设与相交于点．
，
，
，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
．
又，
，
，
矩形是正方形；
②解：作交于点，作于点，
此时．
，
，，
最大时，最小，，
，
由（2）①可知，是等腰直角三角形，
．
5．（2023春•海州区期中）如图（1），点是正方形的边上一点（点与点，不重合），点在的延长线上，且，连接，．
（1）求证：；
（2）直线交于，连接，．点是与的交点．
①若是的中点时，求证：．
②若 是大于1的实数）时，记的面积为，的面积为，求证：．
【解答】证明：（1）在与中，
，
．
（2）①，，
，
，
，
．
，
，
．
在与中，
，
．
，
，
，
，即．
②设，则，．
为等腰直角三角形，
．
；
．
，
．
6．（2023•宁阳县一模）综合与实践
如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，，垂足为．
【证明与推断】
（1）①四边形的形状是 正方形 ；
②的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形在旋转过程中，当、、三点共线时，探究和的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①正方形 ②．
理由：如图1中，四边形是正方形，
，，
、，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
故答案为：正方形，．
（2）结论：，
理由：如图2中，连接．由旋转可得，
四边形是正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，
由①得四边形是正方形，
，，
为等腰直角三角形．
，
，
，
，
线段与之间的数量关系为；
（3）结论：，
理由：如图3中，连接，
，点、、三点共线，
．
，
．
，
点，，三点共线，
，
．
7．（2023春•新野县期末）动手操作：利用“正方形纸片的折叠”开展数学活动，探究在正方形折叠的过程中图形的变化及其蕴含的数学思想方法．
折一折：如图1，已知正方形的边长，将正方形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，展开正方形，折痕为，延长交于点，连接．
思考探究：（1）图1中，与全等的三角形有 3 个， ，、、三者的数量关系是 ；
转一转：将图1中的绕点旋转到图2所示位置，与、的交点分别为、，连接．
证明推理：（2）图2中，、、三者的数量关系是 ，并给出证明；
开放拓展：（3）如图3，在旋转的过程中，当点为的中点时，的长为 ．
【解答】解：（1）如图1中，
四边形是正方形，
，，
由翻折的性质可知，，
，，，，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：3，，；
（2）结论：．
理由：延长到，使得，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）如图3中，设，则，，
，，，
，
，
，
故答案为：2．
8．（2023•长垣市二模）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点，，三点共线，且① 45 ；
②线段，，之间的数量关系为 ．
【深入探究】
操作二：如图2、将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接、．
同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，当点在边上某一位置时（点不与点，重合），点恰好落在折痕上，此时交于点，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①；②．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点落在折痕或上时，请直接写出线段的长．
【解答】解：（1）①四边形是正方形，
，
由折叠的性质可知，，，
，
即．
故答案为：45．
②由折叠的性质可知，，，
．
故答案为：．
（2）选择结论①．
结论①是正确的，理由如下：
四边形是正方形，
．
由折叠的性质可知，，，，
，
又，
．
由（1）得，
是等腰直角三角形．
．
．
．
，
．
或选择结论②．
结论②是正确的，理由如下：
由折叠的性质可知，，，．
易得是等腰直角三角形，
，
．
，
．
．
，，
．
．
（3）分两种情况讨论：
①当点落在折痕上时，如图3所示，
易得，
．
②当点落在折痕上时，如图4所示，
设，则．
易得是等腰直角三角形，
．
在中，由勾股定理，得，
解得或（舍去）．
．
综上所述，线段的长为或．
答：线段的长为或．
9．（2023•武功县模拟）（1）问题提出如图1，在和中，点在上，，．若的面积为6，则的面积为 ；
（2）问题探究如图2，四边形是正方形，点是平面内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若恰好经过点，连接，求证：；
（3）问题解决如图3，某试验基地有一块形状为四边形的试验田，为方便灌溉，现要以为边向左修建一个正方形蓄水池．已知在四边形中，，与互余，连接、，，，．若修建蓄水池的成本是10元平方米，求修建正方形蓄水池的总成本（用含的式子表示）．
【解答】（1）解：，
，
即，
，
，
，
的面积为6，
的面积为，
故答案为：．
（2）证明：四边形是正方形，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，则是等腰直角三角形，则，
，
，
，
，
恰好经过点，
，
即；
（3）解：与互余，
设，，则，
，
如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，点的对应点为点，
，
点的对应点与点重合，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
正方形蓄水池的面积为，
修建正方形蓄水池的总成本为元．
10．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形，点为对角线上一动点，将绕点顺时针旋转到处，得到，连接．
填空：① 1 ；
②的度数为 ；
（2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．
【解答】解：（1）①将绕点顺时针旋转到处，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
故答案为：1；
②四边形是正方形，
，
，
，
．
故答案为：；
（2），．
理由：四边形是矩形，
，
，
，
同理在中，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
（3）由（2）知，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
由（2）知，
，
，
又是直角三角形，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
或，
当或时，点不存在，
综上所述，的长为或．
11．（2023春•天桥区期末）在中，，，点为直线上一动点，（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接．
（1）观察猜想：如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是 ；
②，，之间的数量关系是 ．
（2）数学思考：如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸：如图3，在图2的情况下，延长交于点，连接，若，，请求出的长．
【解答】解：（1）①正方形中，，
，
，
在与中，
，
，
，
，即；
故答案为：；
②，
，
，
；
故答案为：；
（2）成立；不成立，．
正方形中，，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
．
，
，
．
，，
．
（3）过作于，过作于，于，
，，
，，
，
，
由（2）证得，，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在与中，
，
．
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
12．（2023•启东市三模）已知：在矩形中，，点是上一动点（不与端点，重合），连接，于点，交于点，连接．
（1）如图1，当点运动到的中点时．
①求证：；
②若，求的值；
（2）如图2，当时，点在运动的过程中，是否存在点和点重合的情况？若存在，试确定此时点的位置；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，当时，的延长线交正方形外角的平分线于点，连接交边于点，连接，当最小时，求的值．
【解答】（1）①证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
，
点为中点，
，
，
又，
，
；
②点是的中点，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
即，
解得：或（负值舍去）；
（2）解：，
，
，
当点和点重合时，，
，
，则，
设，，则，，
，
即，
当时，有实数解，
即，
解得：，
当时，不存在点和点重合的情况；
（3）解：，
，
，
，
设，，则，，
，
，
当时，取得最大值，
即、取得最小值，此时为的中点，
如图所示，
过点作，，垂足分别为，，过点作于点，则四边形是矩形，
的延长线交正方形外角的平分线于点，
，
四边形是正方形，
为的中点，，
，
，
即，
，
，
设正方形边长为，则，，
，
，
，
，，
，
在，中，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，，
在中，，
在中，，，
当最小时，求．
13．（2023•罗山县校级三模）问题情境：
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
解决问题：
（3）如图1，若，，请直接写出线段的长．
【解答】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
四边形是正方形，
，
由旋转得，，，
，
四边形是矩形，
由旋转得，，
四边形是正方形；
（2），证明如下：
如图，过点作于点，
则，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
四边形是正方形，
，
，
由旋转得，，
，
，
；
（3）如图3，过点作于点，
，，
，
，且，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
由（2）得，，
，，
，
，
．
14．（2023•山阳县模拟）【问题提出】：
（1）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，延长到点，使，连接．若，则可证 ；
【问题探究】：
（2）在（1）的条件下，若，求面积的最小值；
【问题解决】：
（3）如图②，是一条笔直的公路，村庄离公路的距离是5千米，现在要在公路上建两个快递转运点，，且，为了节约成本，要使得，，之和最短，求的最小值．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：；
（2）由（1）可得，则的面积等于面积．
如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点，
设的半径为．
，
，
．
在中，，．
．
又，，
，
．
当时，取得最小值即．
的最小面积为．
的最小面积为．
（3）如图，在上分别截取，，连接，，
，，
，，
，
，
，
作的外接圆，分别过点，作于点，于点，由已知得．
连接，，，设的半径为，
由可得，则．
，
，，
，即，
，
当，，，四点共线时，取最小值10，此时，
．
，
的最小值为．
15．（2023•内乡县三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中线段与线段的关系；
（2）迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由．
（3）拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ，点的运动轨迹的长为 （直接写出答案不必说明理由）
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
在和中，
，，，
，
；
（2）．理由如下：
四边形是矩形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，取的中点，连接，，
由题意知，，
由（1）可得，
同理可得：，
是的中点，，
，
在中，；
在中，
，
的最小值是，
，
、、三点共圆，
点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，
点的运动轨迹的长为：，
故答案为：；．
16．（2023•桃城区校级模拟）问题提出：
（1）如图1，在正方形中，，点，分别在，上，连接，若，，以为斜边，向下作直角三角形，则在边上存在 2 个符合条件的直角顶点；
问题探究：
（2）如图2，在（1）的条件下，是符合题意的一个直角三角形，求的面积；
问题解决：
（3）草根小区有一个边长为40米的正方形活动区域，小区物业在一面墙的处安装一台监控器，该监控器的视角为，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方如图3，正方形是过点的一个水平面，，与正方形在同一个平面内，连接，若为的中点，点在边上
①点在上，求面积的最大值；
②点在上，设为，用的代数式表示的长 ．
【解答】解：（1）由题意得，以为斜边，直角三角形，则，如图所示，
，
，
为正方形，
，
．
．
．
．
，，，则，
，
或．
在边上存在2个符合条件的直角顶点．
故答案为：2．
（2），
，
为正方形，
，
．
．
．
．
，，，则，
，
或．
，
，．
．
（3）①如图3，过点作于，
为正方形，
，
，
，
，
为矩形．
．
为中点，
．
，
，
为正方形，
，
．
．
，
．
．
．
．
．
面积最大，
与重合，此时最大，
在中，，
．
②当点在线段上时，依据题意画图，
，
，
为正方形，
，
．
．
．
．
为中点，，
．
，
，
．
在中，，
在中，．
在中，
，
故答案为：．
17．（2023春•滨城区期中）如图，四边形是正方形，，点在射线上，且交正方形外角的平分线于点，过点作交直线于点．
（1）如图一，点是边的中点，求证：①．（提示：取的中点，连接．
②．
（2）如图二，当点在的延长线上时，
①判断与的数量关系，说明理由；
②直接写出，，的数量关系．
【解答】（1）证明：①如图1，取的中点，连接，
，
四边形是正方形，
，，
，
平分，
，
，
是的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图2，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
如图3，延长至，使，连接，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
②，理由如下：
如图4，，，，
，
，，
，，
．
18．（2023春•连城县期中）如图，正方形的边、在坐标轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转一个锐角，得到正方形，交线段与点，的延长线交线段于点，连、．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）连接、、、得到四边形，在旋转过程中四边形能否为矩形？如果能，请求出点的坐标；如果不能，请说明理由．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
旋转正方形到正方形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
四边形是正方形，
．
又，
．
在和中，
，
．
，．
，
，．
；
（3）解：在旋转过程中四边形能为矩形，此时．
当为中点时，四边形能为矩形，理由如下：
如图所示，连结、、、．
旋转正方形到正方形，
，
为中点，
，
又，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形．
旋转正方形到正方形，，
，，
四边形是矩形，
，
设，则，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
的坐标是．
19．（2023•容城县校级一模）如图①，已知线段，，是线段的三等分点，以为圆心，长为半径在线段的上方作半圆，以为边在的上方作正方形，将正方形沿所在直线水平向右移动．
（1）如图②，连接，当与半圆相切时，设切点为，求的长（结果保留；
（2）如图②，在平移的过程中，设与半圆交于点，连接，，当时，求的长；
（3）如图③，点是半圆上的一点，且到的距离为1，当点到达点后，正方形立即绕着点顺时针旋转，当边旋转时停止，若正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，绕点旋转的速度为每秒，求点在正方形内（含边界）的时长．
【解答】解：（1）连接，
是正方形的对角线，
，
为的切线，
，即，
，
，
；
又，，为的三等分点，
，
的长为：；
（2）过点作于点，则；
，，
，
，
，
，
；
（3）如图，当正方形向右运动时，点在上时，连接，
，，
由勾股定理得，，
，
，
正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，此时正方形向右运动，点在正方形内部，当点到达点时，；
如图，正方形进行绕点顺时针旋转过程中，当点在上时，连接，过点作于点，
，，
，
，
又，
，
此时，正方形绕点顺时针旋转了，旋转的速度为每秒，
（秒，
所以，点在正方形内的时长为（秒．
20．（2023•东营模拟）（1）如图1，正方形和正方形（其中，连接，交于点，请直接写出线段与的关系 ； ；
（2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
【解答】解：（1）如图1，
在正方形和正方形中，，
，
即，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：；；
（2）不成立；，，理由如下：
如图2，由（1）知，，
，，，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（3）①当点在线段上时，如图3，
在中，，，则，
过点作于点，
，，
，
，即，
，，
则，
则；
②当点在线段上时，如图4，
过点作于点，
，，
同理得：，，
由勾股定理得：，
则；
综上，的长为．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/4 20:58:33；用户：微信用户；邮箱：rFmNt0ALlhXWmlRPd3BByUm_TL4@；学号：47883804