统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质文，共10页。试卷主要包含了函数的三要素，分段函数，函数的奇偶性，函数的周期性等内容，欢迎下载使用。
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
例 1 (1)[2023·宁夏回族自治区银川一中二模]下列函数中，定义域和值域不相同的是( )
A．y＝－x＋2 B．y＝ eq \r(x)
C．y＝ eq \f(2,x) D．y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x≤0,x＋2，x>0))
(2)[2023·江苏省镇江市检测]给出下列说法，正确的是( )
A．若函数f(x)＝ eq \f(k－3x,1＋k·3x)在定义域上为奇函数，则k＝1
B．已知f(x)＝lg (x2＋2x＋a)的值域为R，则a的取值范围是a>1
C．已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域为[－1，3]
D．已知函数f(x)＝1＋lg3x，x∈[1，9]，则函数y＝f2(x)＋f(x2)的值域为[2，14]
[听课记录]
归纳总结
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．
对点训练
1.[2023·河源市河源中学模拟]函数f(x)＝ eq \f(1,\r(lg2（2x2－9x＋14）－2))的定义域为________．
2．[2023·河南省商丘市高三三模]设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，x≥0，,1＋lg3（3－x），x0)恒成立，则y＝f(x)是周期为________的周期函数．
(2)若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为________的周期函数．
(3)若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为________的周期函数．
(4)与函数周期性有关的3条结论
①若f(x＋T)＝f(x)，则________是f(x)的一个周期；
②若f(x＋T)＝ eq \f(1,f（x）)，则________是f(x)的一个周期；
③若f(x＋T)＝－ eq \f(1,f（x）)，则________是f(x)的一个周期．
例 2 (1)[2022·全国乙卷]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
(2)[2023·山师大附中高三模拟]已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是( )
A．f(x＋2)＝f(x)
B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称
C．函数y＝f(x＋1)是奇函数
D．f(2－x)＝f(x－1)
(3)[2022·全国乙卷]若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
归纳总结
高考常考函数四个性质的应用
(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；
(2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题．
对点训练
1.[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
2．[2021·全国甲卷]设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝( )
A．－ eq \f(9,4) B．－ eq \f(3,2) C． eq \f(7,4) D． eq \f(5,2)
考点三 函数的图象及应用——识图用图，数形结合
作函数图象有两种基本方法
一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
例 3 (1)[2022·全国乙卷]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )
A．y＝ eq \f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝ eq \f(x3－x,x2＋1)
C．y＝ eq \f(2x cs x,x2＋1) D．y＝ eq \f(2sin x,x2＋1)
(2)已知函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，若f(2a2－5a＋4)c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
3．函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax2＋x－1，x>2，,ax－1，x≤2))是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A．－ eq \f(1,4)≤a0))的定义域为R；
当x≤0时，y＝x－2≤－2；当x>0时，y＝x＋2>2；
所以值域为（－∞，－2]∪（2，＋∞），定义域和值域不相同，符合题意．
故选D.
（2）选项A，函数f（x）＝ eq \f(k－3x,1＋k·3x)在定义域上为奇函数，
则f（－x）＝－f（x），即 eq \f(k－3－x,1＋k·3－x)＝－ eq \f(k－3x,1＋k·3x)，
即 eq \f(3x（k－3－x）,3x（1＋k·3－x）)＝－ eq \f(k－3x,1＋k·3x)，
即 eq \f(k·3x－1,k＋3x)＝ eq \f(3x－k,1＋k·3x)，整理得k2·9x－1＝9x－k2，即（k2－1）（9x＋1）＝0，
所以k2－1＝0，解得k＝±1，
当k＝1时，f（x）＝ eq \f(1－3x,1＋3x)，该函数定义域为R，满足f（－x）＝－f（x），符合题意，
当k＝－1时，f（x）＝ eq \f(－1－3x,1－3x)＝ eq \f(3x＋1,3x－1)，由3x－1≠0可得x≠0，此时函数定义域为{x|x≠0}，满足f（－x）＝－f（x），符合题意，
综上所述k＝±1，选项A说法错误；
选项B，因为f（x）＝lg （x2＋2x＋a）的值域为R，
所以函数y＝x2＋2x＋a的值域M满足（0，＋∞）⊆M，
所以Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，所以B说法错误；
选项C，由x∈[－1，1]得2x＋1∈[－1，3]，所以f（x）的定义域为[－1，3]，选项C说法正确；
选项D，因为函数f（x）＝1＋lg3x，x∈[1，9]，
由y＝f2（x）＋f（x2）得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1≤x≤9,1≤x2≤9))，解得1≤x≤3，即函数y＝f2（x）＋f（x2）的定义域为[1，3]，
所以y＝f2（x）＋f（x2）＝（1＋lg3x）2＋1＋lg3x2＝（lg3x）2＋4lg3x＋2，x∈[1，3]，
当x∈[1，3]时，lg3x∈[0，1]，
令lg3x＝t，t∈[0，1]，则t2＋4t＋2＝（t＋2）2－2∈[2，7]，
即函数y＝f2（x）＋f（x2）的值域为[2，7]，选项D说法错误．故选C.
答案：（1）D （2）C
对点训练
1．解析：由题意可知lg2（2x2－9x＋14）－2>0，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此2x2－9x＋14>4，求解可得x eq \f(5,2).
答案：（－∞，2）∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
2．解析：f（－6）＝1＋lg3（3＋6）＝1＋2＝3，
lg26－1＝lg2 eq \f(6,2)＝lg23，
f（lg26）＝2lg23＝3，
f（－6）＋f（lg26）＝3＋3＝6.
答案：6
考点二
3．（1）f（|x|） （2）0 （3）相同 相反
4．（1）2a （2）2|a| （3）4|a| （4）|T| 2|T| 2|T|
[例2] 解析：（1）若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，则g（2－x）＝g（2＋x）.因为f（x）＋g（2－x）＝5，所以f（－x）＋g（2＋x）＝5，所以f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．由g（2）＝4，f（0）＋g（2）＝5，得f（0）＝1.由g（x）－f（x－4）＝7，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5，得f（x）＋f（－x－2）＝－2，所以f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由f（x）＋f（－x－2）＝－2，f（－x）＝f（x），得f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝－2，所以f（x＋4）＝f（x），所以f（x）为周期函数，且周期为4.由f（0）＋f（2）＝－2，得f（2）＝－3.又因为f（3）＝f（－1）＝f（1）＝－1，所以f（4）＝－2－f（2）＝1，所以 eq \i\su(k＝1,22,)f（k）＝6f（1）＋6f（2）＋5f（3）＋5f（4）＝6×（－1）＋6×（－3）＋5×（－1）＋5×1＝－24.故选D.
（2）对于A选项，因为f（－x）＋f（x）＝0，且f（1－x）＝f（1＋x），
则f（1－（1＋x））＝f（1＋（1＋x）），即f（x＋2）＝－f（x），A错；
对于B选项，因为f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
因为f（－x）＋f（x）＝0，则f（－（2＋x））＋f（2＋x）＝0，
即f（2＋x）＝－f（－2－x）＝－f（2－x），即f（2＋x）＋f（2－x）＝0，
故函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称，B对；
对于C选项，因为f（1－x）＝f（1＋x），故函数y＝f（x＋1）是偶函数，C错；
对于D选项，因为f（1－x）＝f（1＋x），则f（1＋1－x）＝f（1－（1－x）），即f（2－x）＝f（x）≠f（x－1），D错．故选B.
（3）本题先采用特殊值法求出f（x），再检验正确性．因为f（x）为奇函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝0，,f（2）＋f（－2）＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln |a＋1|＋b＝0 ①，,ln |a－1|＋ln \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)))＋2b＝0 ②.))
由①可得－b＝ln |a＋1| ③.将③代入②可得， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（a－1）（a＋\f(1,3)）)) ＝|a＋1|2.当（a－1）（a＋ eq \f(1,3) ）＝（a＋1）2时，解得a＝－ eq \f(1,2) .把a＝－ eq \f(1,2) 代入①，可得b＝ln 2，此时f（x）＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x))) ＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x))) ，所以f（－x）＋f（x）＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x))) ＋ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x))) ＝ln 1＝0，所以f（x）为奇函数，且f（0），f（2），f（－2）均有意义．当（a－1）（a＋ eq \f(1,3) ）＝－（a＋1）2时，整理可得a2＋ eq \f(2,3) a＋ eq \f(1,3) ＝0，此时Δ＝ eq \f(4,9) －4× eq \f(1,3) －1，所以 eq \f(3,5) cs 3>－ eq \f(3,5) ，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝ eq \f(2sin 3,10) >0，与图象不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.
（2）因为函数f（x）是定义在[2，＋∞）的单调递增函数，且f（2a2－5a＋4）