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统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积与体积文
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这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积与体积文，共9页。
一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
例 1 [2023·贵州省贵阳五校联合考试]一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( )
[听课记录]
归纳总结
由三视图还原到直观图的思路
[注意] 三视图中的虚线表示几何体中看不到的线．
对点训练
[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )
考点二 空间几何体的表面积与体积——找特征、求标量、代公式，割补相济
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式
(1)S直棱柱侧＝________(c为底面周长，h为高)；
(2)S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)；
(3)S正棱台侧＝________(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高).
2．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)V柱体＝________(S为底面面积，h为高)，
(2)V锥体＝________(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝_______________________(S，S′分别为上、下底面面积，h为高).
3．球的表面积和体积公式
(1)S球表＝________(R为球的半径)；
(2)V球＝________(R为球的半径).
角度1求空间几何体的表面积
例2 [2023·四川省巴中市考试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．7π B．8π
C．9π D．(5＋)π
[听课记录]
归纳总结
角度2求空间几何体的体积
例 3 [2022·全国甲卷]如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
归纳总结
求空间几何体体积的常用方法
对点训练
1.[2023·四川省成都市树德中学三诊]如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )
A． B．1
C． D．4
2．[2023·贵州省威宁县试题]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π＋4 B．2π＋4
C．3π＋2 D．4π＋2
考点三 多面体与球的切、接问题——找“切”点，抓“接”点，与半径相“联”
几何体与球组合体的结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.
①正方体的外接球，则2R＝ eq \r(3)a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝ eq \r(2)a.
(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝ eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
例 4 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 eq \r(3)和4 eq \r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
(2)[2023·全国甲卷]在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．
(3)[2023·河南省开封市杞县三模]在三棱锥PABC中，PA＝AB，PA⊥平面ABC，∠ABC＝ eq \f(π,2)，AB＋BC＝6，则三棱锥PABC外接球体积的最小值为( )
A．8 eq \r(6)π B．16 eq \r(6)π
C．24 eq \r(6)π D．32 eq \r(6)π
[听课记录]
归纳总结
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．
(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则的几何体．
提醒 内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．这也是解决此类问题的易错点．
对点训练
1.[2023·陕西省商洛市三模]在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BC⊥AD，若AB＝6，BC＝AD＝3，则该四面体外接球的表面积为________．
2．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ABC的体积为( )
A． eq \f(\r( ,2),12) B． eq \f(\r( ,3),12)
C． eq \f(\r( ,2),4) D． eq \f(\r( ,3),4)
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
考点一
[例1] 解析：由正视图、俯视图可得几何体的直观图如图所示，
∴侧视图如下图所示，
故选C.
答案：C
对点训练
解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.
答案：D
考点二
1．（1）ch （2） eq \f(1,2)ch′ （3） eq \f(1,2)（c＋c′）h′
2．（1）Sh （2） eq \f(1,3)Sh （3） eq \f(1,3)（S＋ eq \r(SS′)＋S′）h
3．（1）4πR2 （2） eq \f(4,3)πR3
[例2] 解析：
由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，上接一个底面直径为2，高为 eq \r(3)的圆锥构成的组合体，如图，
则有圆锥的母线为 eq \r(12＋\r(3)2)＝2，圆锥的侧面积S1＝π×1×2＝2π，圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，圆柱下底面圆面积S3＝π·12＝π，
这个几何体的表面由圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，
所以这个几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝7π.故选A.
答案：A
[例3] 解析：如图，将三视图还原成直观图．该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面积S＝ eq \f(（2＋4）×2,2)＝6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积V＝Sh＝6×2＝12.故选B.
答案：B
对点训练
1．解析：如图所示，
题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥CABD，
其体积V＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×2×2×2＝ eq \f(4,3).
故选C.
答案：C
2．解析：该几何体为两个四分之一圆柱拼接而成，拼接方式如图，
圆柱底面圆的半径为1，高为2，
所以几何体的表面积为π×12＋ eq \f(1,2)×2π×1×2＋2×1×2＝3π＋4.
故选A.
答案：A
考点三
[例4] 解析：（1）设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝ eq \f(3\r(3),sin 60°)＝6，2r2＝ eq \f(4\r(3),sin 60°)＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋t2＝r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝4，,R2＝25.))所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
（2）由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间（包含棱切球半径和外接球半径）.设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝ eq \r(2)×4，所以r＝2 eq \r(2)；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以（2R）2＝42＋42＋42，所以R＝2 eq \r(3).所以球O的半径的取值范围是[2 eq \r(2)，2 eq \r(3)].
（3）根据题意三棱锥PABC可以补成分别以BC，AB，PA为长、宽、高的长方体，其中PC为长方体的对角线，
则三棱锥PABC的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥PABC的外接球的体积最小，则PC最小．
设AB＝x，则PA＝x，BC＝6－x，|PC|＝ eq \r(AB2＋PA2＋BC2)＝ eq \r(3（x－2）2＋24)，
所以当x＝2时，|PC|min＝2 eq \r(6)，则有三棱锥PABC的外接球的球半径最小为 eq \r(6)，
所以Vmin＝ eq \f(4,3)πR3＝8 eq \r(6)π.
答案：（1）A （2）[2 eq \r(2)，2 eq \r(3)] （3）A
对点训练
1.
解析：∵AB⊥BC，BC⊥AD，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，
∴BC⊥平面ABD，
BD⊂平面ABD，BC⊥BD.取AC的中点G，BD的中点O1，CD的中点O，
又AD⊥AB，AD⊥BC，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AD⊥平面ABC，
∴OG∥AD，OG⊥平面ABC，G是△ABC外接圆的圆心，O1O∥BC，O1O⊥平面ABD，O1是△ABD外接圆的圆心，∴O是四面体ABCD外接球的球心；
BD2＝62＋32＝45，CD2＝BC2＋BD2＝54，∴外接球O的半径为OC＝ eq \f(CD,2)＝ eq \f(3\r(6),2)，外接球的表面积S＝4πOC2＝54π.
答案：54π
2．解析：如图所示，因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝ eq \r(2).连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(2),2)，所以三棱锥O ABC的体积V＝ eq \f(1,3)S△ABC×OO1＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×1×1× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),12).故选A.
答案：A
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
公式法
直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算
等积法
根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等
割补法
把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体
一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
例 1 [2023·贵州省贵阳五校联合考试]一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( )
[听课记录]
归纳总结
由三视图还原到直观图的思路
[注意] 三视图中的虚线表示几何体中看不到的线．
对点训练
[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )
考点二 空间几何体的表面积与体积——找特征、求标量、代公式，割补相济
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式
(1)S直棱柱侧＝________(c为底面周长，h为高)；
(2)S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)；
(3)S正棱台侧＝________(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高).
2．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)V柱体＝________(S为底面面积，h为高)，
(2)V锥体＝________(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝_______________________(S，S′分别为上、下底面面积，h为高).
3．球的表面积和体积公式
(1)S球表＝________(R为球的半径)；
(2)V球＝________(R为球的半径).
角度1求空间几何体的表面积
例2 [2023·四川省巴中市考试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．7π B．8π
C．9π D．(5＋)π
[听课记录]
归纳总结
角度2求空间几何体的体积
例 3 [2022·全国甲卷]如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
归纳总结
求空间几何体体积的常用方法
对点训练
1.[2023·四川省成都市树德中学三诊]如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )
A． B．1
C． D．4
2．[2023·贵州省威宁县试题]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π＋4 B．2π＋4
C．3π＋2 D．4π＋2
考点三 多面体与球的切、接问题——找“切”点，抓“接”点，与半径相“联”
几何体与球组合体的结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.
①正方体的外接球，则2R＝ eq \r(3)a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝ eq \r(2)a.
(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝ eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
例 4 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 eq \r(3)和4 eq \r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
(2)[2023·全国甲卷]在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．
(3)[2023·河南省开封市杞县三模]在三棱锥PABC中，PA＝AB，PA⊥平面ABC，∠ABC＝ eq \f(π,2)，AB＋BC＝6，则三棱锥PABC外接球体积的最小值为( )
A．8 eq \r(6)π B．16 eq \r(6)π
C．24 eq \r(6)π D．32 eq \r(6)π
[听课记录]
归纳总结
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．
(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则的几何体．
提醒 内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．这也是解决此类问题的易错点．
对点训练
1.[2023·陕西省商洛市三模]在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BC⊥AD，若AB＝6，BC＝AD＝3，则该四面体外接球的表面积为________．
2．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ABC的体积为( )
A． eq \f(\r( ,2),12) B． eq \f(\r( ,3),12)
C． eq \f(\r( ,2),4) D． eq \f(\r( ,3),4)
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
考点一
[例1] 解析：由正视图、俯视图可得几何体的直观图如图所示，
∴侧视图如下图所示，
故选C.
答案：C
对点训练
解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.
答案：D
考点二
1．（1）ch （2） eq \f(1,2)ch′ （3） eq \f(1,2)（c＋c′）h′
2．（1）Sh （2） eq \f(1,3)Sh （3） eq \f(1,3)（S＋ eq \r(SS′)＋S′）h
3．（1）4πR2 （2） eq \f(4,3)πR3
[例2] 解析：
由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，上接一个底面直径为2，高为 eq \r(3)的圆锥构成的组合体，如图，
则有圆锥的母线为 eq \r(12＋\r(3)2)＝2，圆锥的侧面积S1＝π×1×2＝2π，圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，圆柱下底面圆面积S3＝π·12＝π，
这个几何体的表面由圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，
所以这个几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝7π.故选A.
答案：A
[例3] 解析：如图，将三视图还原成直观图．该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面积S＝ eq \f(（2＋4）×2,2)＝6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积V＝Sh＝6×2＝12.故选B.
答案：B
对点训练
1．解析：如图所示，
题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥CABD，
其体积V＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×2×2×2＝ eq \f(4,3).
故选C.
答案：C
2．解析：该几何体为两个四分之一圆柱拼接而成，拼接方式如图，
圆柱底面圆的半径为1，高为2，
所以几何体的表面积为π×12＋ eq \f(1,2)×2π×1×2＋2×1×2＝3π＋4.
故选A.
答案：A
考点三
[例4] 解析：（1）设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝ eq \f(3\r(3),sin 60°)＝6，2r2＝ eq \f(4\r(3),sin 60°)＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋t2＝r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝4，,R2＝25.))所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
（2）由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间（包含棱切球半径和外接球半径）.设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝ eq \r(2)×4，所以r＝2 eq \r(2)；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以（2R）2＝42＋42＋42，所以R＝2 eq \r(3).所以球O的半径的取值范围是[2 eq \r(2)，2 eq \r(3)].
（3）根据题意三棱锥PABC可以补成分别以BC，AB，PA为长、宽、高的长方体，其中PC为长方体的对角线，
则三棱锥PABC的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥PABC的外接球的体积最小，则PC最小．
设AB＝x，则PA＝x，BC＝6－x，|PC|＝ eq \r(AB2＋PA2＋BC2)＝ eq \r(3（x－2）2＋24)，
所以当x＝2时，|PC|min＝2 eq \r(6)，则有三棱锥PABC的外接球的球半径最小为 eq \r(6)，
所以Vmin＝ eq \f(4,3)πR3＝8 eq \r(6)π.
答案：（1）A （2）[2 eq \r(2)，2 eq \r(3)] （3）A
对点训练
1.
解析：∵AB⊥BC，BC⊥AD，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，
∴BC⊥平面ABD，
BD⊂平面ABD，BC⊥BD.取AC的中点G，BD的中点O1，CD的中点O，
又AD⊥AB，AD⊥BC，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AD⊥平面ABC，
∴OG∥AD，OG⊥平面ABC，G是△ABC外接圆的圆心，O1O∥BC，O1O⊥平面ABD，O1是△ABD外接圆的圆心，∴O是四面体ABCD外接球的球心；
BD2＝62＋32＝45，CD2＝BC2＋BD2＝54，∴外接球O的半径为OC＝ eq \f(CD,2)＝ eq \f(3\r(6),2)，外接球的表面积S＝4πOC2＝54π.
答案：54π
2．解析：如图所示，因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝ eq \r(2).连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(2),2)，所以三棱锥O ABC的体积V＝ eq \f(1,3)S△ABC×OO1＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×1×1× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),12).故选A.
答案：A
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
公式法
直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算
等积法
根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等
割补法
把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体
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