统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题四统计与概率第2讲概率与统计文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题四统计与概率第2讲概率与统计文，共10页。试卷主要包含了古典概型的概率公式，几何概型的概率公式，841，635，879等内容，欢迎下载使用。

1.古典概型的概率公式
P（A）＝ eq \f(m,n) ＝ eq \f(事件A中所含的基本事件数,试验的基本事件总数) .
2.几何概型的概率公式
P（A）＝
eq \f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）) .
例 1 （1）[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,5) D． eq \f(2,3)
（2）[2023·河南省杞县高中]在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于 eq \f(1,2) 的概率为（ ）
A． eq \f(3,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,8)
归纳总结
1.求古典概型的两个关键点
一是会利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m；二是会运用古典概型的概率公式P（A）＝ eq \f(m,n) 求事件A发生的概率．
2.解几何概型的步骤
（1）“定变量”，根据事件发生的过程确定事件中的相关变量，确定变量的取值范围；
（2）“观图形”，根据变量的取值范围，画出基本事件所包含的图形和所求事件对应的图形；
（3）“求度量”，根据图形的直观性，结合变量的取值范围，求出相应图形的几何度量；
（4）“求概率”，把所求得的几何度量代入几何概型的概率计算公式，即可求出概率．
提醒 对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
对点训练
1.某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（ ）
A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,7) C． eq \f(3,7) D． eq \f(4,7)
2.[2021·全国乙卷]在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 eq \f(7,4) 的概率为（ ）
A． eq \f(7,9) B． eq \f(23,32) C． eq \f(9,32) D． eq \f(2,9)
考点二 概率与统计的综合应用
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略，在高考中才能游刃有余．
考向一概率与统计图表的交汇问题——先识图，再转化
例1 [2023·安徽省芜湖市教育局模拟预测]当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该兴趣小组称这种方法为“长队法”．为了检验他们的想法，该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验．“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图．
（1）根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；
（2）为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率．
归纳总结
破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤
对点训练
1.[2023·黑龙江齐齐哈尔三模]中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今在太空轨道上停留时间最长的一次任务，航天员王亚平成为第一位在太空行走的中国女性．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课．神州十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
（1）分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生航天知识的整体水平差异；
（2）若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率．
考向二概率与统计案例的交汇问题——准确审题，数据分析
例2 [2023·陕西省、青海省、四川省联考]某校组织了600名高中学生参加中国共青团相关的知识竞赛，将竞赛成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间[60，70)内的人数为300.
(1)求出频率分布直方图中a，b，c的值；
(2)估计该校学生分数的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(3)现采用分层抽样的方法从分数落在[80，90)，[90，100]内的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行现场知识答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间[90，100]内的概率．
归纳总结
解决概率、统计与其他知识的综合
对点训练
[2023·河南省济洛平许高三质量检测]4月15日是全民国家安全教育日．以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值．只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青年学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要．某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份(答卷卷面满分100分).回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份．有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间．同时根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数n(同一组数据用该组中点值代替).
(2)如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
附：独立性检验临界值表
公式：K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，其中n＝a＋b＋c＋d.
[高考5个大题] 解题研诀窍（四）概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图
[思维流程——找突破口]
[技法指导——迁移搭桥]
概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略
（1）准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立等．
（2）理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等．
（3）明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等．
（4）分清是古典概型还是几何概型后再求概率．
（5）会套用求 eq \(b,\s\up6(^))、K2的公式，再作进一步求值与分析．
（6）理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据．
[典例] 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
[快审题]
第（1）问
第（2）问
第（3）问
[稳解题]
（1）频率分布直方图如图所示．
（2）根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
eq \(x,\s\up6(－))1＝ eq \f(1,50)×（0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5）＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 eq \(x,\s\up6(－))2＝ eq \f(1,50)×（0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5）＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水（0.48－0.35）×365＝47.45（m3）.
题后悟道
（1）求概率的关键：定型——定性——定数量（几何量）——求概率．
（2）求解统计案例问题的关键：作图（列表格）——计算——得结论．
第2讲 概率与统计
考点一
[例1] 解析：（1）从6张卡片中任取2张的取法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种，所以所求概率P＝ eq \f(6,15)＝ eq \f(2,5).故选C.
（2）设在[0，1]上取的两数为x，y，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－y))> eq \f(1,2)，即x－y> eq \f(1,2)，或x－y<－ eq \f(1,2).画出可行域，如图所示，
则x－y> eq \f(1,2)，或x－y<－ eq \f(1,2)所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为 eq \f(1,4)，故所求概率P＝ eq \f(\f(1,4),1)＝ eq \f(1,4).故选C.
答案：（1）C （2）C
对点训练
1．解析：由题意得所有不同方案有（甲，乙，乙，乙），（乙，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，乙），（乙，乙，乙，甲），（甲，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲，乙），（甲，乙，甲，乙），（乙，甲，乙，甲），（乙，甲，甲，甲），（甲，乙，甲，甲），（甲，甲，乙，甲），（甲，甲，甲，乙），一共14个基本事件，其中（甲，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲，乙），（甲，乙，甲，乙），（乙，甲，乙，甲）共6个基本事件符合题意，故所求的概率为 eq \f(6,14)＝ eq \f(3,7)，故选C.
答案：C
2．解析：
在区间（0，1）中随机取一个数，记为x，在区间（1，2）中随机取一个数，记为y，两数之和大于 eq \f(7,4)，即x＋y> eq \f(7,4)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0\f(7,4))).在如图所示的平面直角坐标系中，点（x，y）构成的区域是边长为1的正方形区域（不含边界），事件A“两数之和大于 eq \f(7,4)”即x＋y> eq \f(7,4)中，点（x，y）构成的区域为图中阴影部分（不含边界），由几何概型的概率计算公式得P（A）＝ eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝ eq \f(23,32)，故选B.
答案：B
考点二
考向一
[例1] 解析：
（1） eq \f(1×8＋3×12＋5×25＋7×36＋9×15＋11×4,100)＝6（分钟），
因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间，所以选择“传统排队法”更适合．
（2）记事件A＝“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a表示等待时间在[10，12]的满意顾客，
Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}
n（Ω）＝15，事件A包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
n（A）＝10，
p（A）＝ eq \f(n（A）,n（Ω）)＝ eq \f(10,15)＝ eq \f(2,3).
对点训练
1．解析：（1） eq \x\t(x)甲＝ eq \f(1,8)（76＋79＋80＋81＋85＋88＋90＋93）＝84，
eq \x\t(x)乙＝ eq \f(1,8)（73＋80＋81＋82＋83＋89＋90＋94）＝84.
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) ＝ eq \f(1,8)（64＋25＋16＋9＋1＋16＋36＋81）＝31，
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ＝ eq \f(1,8)（121＋16＋9＋4＋1＋25＋36＋100）＝39，
因为两个班级学生得分的平均值相同，所以我们估计两个班级航天知识整体水平相差不大，又由于乙班级学生得分的方差比甲班大，所以我们估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大．
（2）甲班级得分不低于85分的有4名同学，记为A，B，C，D.乙班级得分不低于85分的有3名同学，记为a，b，c，
从这7名同学中选取2人共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a），（D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c）21个基本事件．
其中两名学生均来自于乙班级的有（a，b），（a，c），（b，c）共3个基本事件，
所以所求事件的概率P＝ eq \f(3,21)＝ eq \f(1,7).
考向二
[例2] 解析：（1）由已知可得a＝ eq \f(300,600)× eq \f(1,10)＝0.05，
则（0.005＋0.05＋b＋c＋0.005）×10＝1，即b＋c＝0.04，
又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝0.05＋c，
解得b＝0.03，c＝0.01，
（2）可知0.005×10＝0.05<0.5，（0.005＋0.05）×10＝0.55>0.5，
设中位数为x，则x∈[60，70），由0.005×10＋（x－60）×0.05＝0.5，解得x＝69，即中位数为69，
平均数为（55×0.005＋65×0.05＋75×0.03＋85×0.01＋95×0.005）×10＝71.
（3）成绩位于区间[80，90）内的学生有0.01×10×600＝60人，成绩位于区间[90，100]内的学生有0.005×10×600＝30人，
通过分层抽样抽取的6人中成绩位于[80，90）的人数为6× eq \f(60,90)＝4，这4人分别记为a，b，c，d，成绩位于[90，100]的人数为6× eq \f(30,90)＝2，这2人分别记为E，F，
从上述6人中抽取2人的基本事件有ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF，共15种，
其中恰有1人的得分在区间[90，100]内的基本事件有aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，dF，共8种，故所求概率P＝ eq \f(8,15).
对点训练
解析：（1）因为10m＝1－10×（0.003＋2×0.006＋0.009＋2×0.012＋2×0.016），
所以m＝0.02.
又10（0.003＋0.006＋0.009＋0.012＋0.016）＝0.46<0.5，
故设中位数为x，则（x－60）×0.02＝0.5－0.46＝0.04，所以x＝62.
平均数n＝0.03×15＋0.06×25＋0.09×35＋0.12×45＋0.16×55＋0.20×65＋0.16×75＋0.12×85＋0.06×95＝60.2.
（2）由题意可得列联表如下：
K2＝ eq \f(560（80×240－80×160）2,160×400×240×320)＝ eq \f(14,3)≈4.667>3.841，
故有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
高敏感
低敏感
总计
男生
80
女生
80
总计
560
P(K2≥k0)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
K2
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
GAOKAOWUGEDATI
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6）
[0.6，0.7]
频数
1
3
2
4
9
26
5
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6]
频数
1
5
13
10
16
5
求什么想什么
作频率分布直方图，想到频率分布直方图的画法．
给什么用什么
给出了频数分布表，计算各组的频率，结合每组的组距，计算频率与组距的比值．
求什么想什么
求概率，想到利用频率来估计概率．
给什么用什么
给出了数据，计算对应的频率，然后利用频率估计概率．
求什么想什么
求一年来节省多少水，想到一天能省多少水．
给什么用什么
给出50天的日用水量数据，可计算日用水量的平均数．
差什么找什么
计算一年节省多少水，应计算一天节省多少水，即求两种情况下日平均用水量差．
高敏感
低敏感
总计
男生
80
160
240
女生
80
240
320
总计
160
400
560