统考版2024高考数学二轮专题复习第一篇核心价值引领引领一素养导向五育并举文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第一篇核心价值引领引领一素养导向五育并举文，共12页。
素养1数学抽象
“数学抽象”素养的考查重点是学生在各种情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的能力，在日常生活和实践中善于一般性思考问题，把握事物的本质、以简驭繁，运用数学思想方法解决问题的思维品质．
数学抽象的具体表现包括：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．
例1[2022·全国乙卷]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
并计算得 eq \i\su(i＝1,10,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝0.038， eq \i\su(i＝1,10,y) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝1.615 8， eq \i\su(i＝1,10,x)iyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\(y,\s\up6(－))）2))， eq \r(1.896)≈1.377.
价值引领
[素养] 数学抽样、直观想象、逻辑推理．
[五育] 培养学生关注环境、保护环境，用所学知识解决实际问题．
真题互鉴
1．[2023·新课标Ⅰ卷改编]下列物体中，不能被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所以棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
素养2直观想象
“直观想象”素养的考查重点是学生运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合解决问题的能力；通过几何直观洞察表面现象的数学结构与联系，抓住事物的本质的思维品质．
直观想象素养的具体表现包括：建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物．
例2 [2022·新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为( eq \r(7)≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
[听课记录]
价值引领
[素养] 直观想象、数学运算．
[五育] 引导学生关注社会主义建设的成果，增强社会责任感．
真题互鉴
2．[2023·全国乙卷]如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为( )
A．24 B．26
C．28 D．30
3．[2020·新高考Ⅰ卷]日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A．20° B．40°
C．50° D．90°
[说明] 此两题展现了我国古代文明，历史上的辉煌成就，提倡文化自信及生活之美教育．
导向二 用数学的思维分析世界
素养3逻辑推理
“逻辑推理”素养的考查重点是学生运用逻辑推理的基本形式，提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质．逻辑推理素养涉及的行为表现包括：发现问题和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地进行表达与交流．
例3. [2023·全国甲卷]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cs β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
价值引领
[素养] 逻辑推理、数学运算．
[五育] 倡导热爱体育运动，锻炼强健的体魄．
真题互鉴
4.[2021·新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么 eq \i\su(k＝1,n,S)k＝________ dm2.
[说明] 此题考查了逻辑推理、数学运算的素养，与社会热点相结合，体现中国人民的智慧．
素养4数学运算
“数学运算”虽然是传统的数学三大能力之一，但作为数学核心素养的数学运算不仅要考查学生的运算基本功，更重要的是考查学生有效借助运算方法解决实际问题的能力．通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的数学思维品质，其具体表现包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、形成程序化思维．
例 4 [2023·全国乙卷]函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)
C．(－4，－1) D．(－3，0)
[听课记录]
价值引领
[素养] 数学运算．
[五育] 热爱学习，提升基本运算能力．
真题互鉴
5.[2023·全国甲卷]曲线y＝ eq \f(ex,x＋1) 在点(1， eq \f(e,2) )处的切线方程为( )
A．y＝ eq \f(e,4) x B．y＝ eq \f(e,2) x
C．y＝ eq \f(e,4) x＋ eq \f(e,4) D．y＝ eq \f(e,2) x＋ eq \f(3e,4)
6．[2020·全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A． eq \f(\r(5),3) B． eq \f(2,3)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(\r(5),9)
eq \a\vs4\al([说明]) 此两题是用数学基本知识进行运算，解决数学问题．
导向三 用数学的语言表达世界
素养5数学建模
“数学建模”的考查重点是学生用数学模型解决实际问题，其中涉及数学建模的完整过程，即在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．由于在常规的纸笔测试中较难反映数学建模的完整过程，因此，在编制考查数学建模的测试题时，通常依据数学建模的各个环节来命题．如设置一个实际情境，重点考查学生发现和提出合适的数学问题的能力，或者给定一个初步的数学模型，要求学生依据实际情况对模型进行修正等．
例5[2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 eq \f(DD1,OD1)＝0.5， eq \f(CC1,DC1)＝k1， eq \f(BB1,CB1)＝k2， eq \f(AA1,BA1)＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( )
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
[听课记录]
价值引领
[素养] 数学建模、数学运算．
[五育] 感受中国古代文化，让学生领略中华民族的智慧，增强民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感．
真题互鉴
7.[2023·新课标Ⅰ卷改编]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0) ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则不正确的有( )
A．p1≥p2B．p2>10p3
C．p3＝100p0D．p1≤100p2
8．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
[说明] 此两题旨在用数学建模解决现实生活问题．
素养6数据分析
“数据分析”核心素养的考查重点是学生基于数据表达现实问题、运用合适的统计方法进行推断和决策的能力，形成通过数据认识事物的思维品质．其具体表现包括：收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．
例6 [2023·全国甲卷]一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，
[听课记录]
价值引领
[素养] 数据分析、数学运算．
[五育] 从生活实际问题出发，培养学生热爱科学，用所学知识解决实际问题的能力．
真题互鉴
9.[2021·全国甲卷]为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
10．[2023·全国乙卷]某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为 eq \(z,\s\up6(－)) ，样本方差为s2.
(1)求 eq \(z,\s\up6(－)) ，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果 eq \(z,\s\up6(－)) ≥2 eq \r(\f(s2,10)) ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).
[说明] 此两题具有现实意义，了解农村经济情况，治理沙漠，保护环境及野生动物，进行调查统计．
引领一 素养导向 五育并举
导向一
素养1
[例1] 解析：（1）该林区这种树木平均一棵的根部横截面积 eq \(x,\s\up6(－))＝ eq \f(0.6,10))＝0.06（m2），
平均一棵的材积量 eq \(y,\s\up6(－))＝ eq \f(3.9,10)＝0.39（m3）.
（2）由题意，得 eq \i\su(i＝1,10,)（xi－ eq \(x,\s\up6(－)) ）2＝ eq \i\su(i＝1,10,)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －10 eq \(x,\s\up6(－)) 2＝0.038－10×0.062＝0.002，
eq \i\su(i＝1,10,)（yi－ eq \(y,\s\up6(－)) ）2＝ eq \i\su(i＝1,10,)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －10 eq \(y,\s\up6(－)) 2＝1.615 8－10×0.392＝0.094 8，
eq \i\su(i＝1,10,)（xi－ eq \(x,\s\up6(－)) ）（yi－ eq \(y,\s\up6(－)) ）＝ eq \i\su(i＝1,10,)xiyi－10 eq \(x,\s\up6(－)) eq \(y,\s\up6(－)) ＝0.247 4－10×0.06×0.39＝0.013 4，
所以相关系数r＝ eq \f(0.013 4,\r(0.002×0.094 8)) ＝ eq \f(0.013 4,\r(1.896×0.000 1)) ≈ eq \f(0.013 4,0.013 77) ≈0.97.
（3）因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k＝ eq \f(\(y,\s\up6(－)),\(x,\s\up6(－))) ＝ eq \f(0.39,0.06) ＝6.5，所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5＝1 209（m3）.
真题互鉴
1．解析：对于A，因为0.99 m1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B不符合题意；对于C，因为正方体的体对角线长为 eq \r(3) m，且 eq \r(3)1 m，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过AC1的中点O作OE⊥AC1，设OE∩AC＝E，可知AC＝ eq \r(2)，CC1＝1，AC1＝ eq \r(3)，OA＝ eq \f(\r(3),2)，则tan ∠CAC1＝ eq \f(CC1,AC)＝ eq \f(OE,AO)，即 eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(OE,\f(\r(3),2))，解得OE＝ eq \f(\r(6),4)，且（ eq \f(\r(6),4)）2＝ eq \f(3,8)＝ eq \f(9,24)> eq \f(9,25)＝0.62，即 eq \f(\r(6),4)>0.6，故以AC1为轴可能对称放置底面直径为1.2 m圆柱，若底面直径为1.2 m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心O1，与正方体的下底面的切点为M，可知：AC1⊥O1M，O1M＝0.6，则tan ∠CAC1＝ eq \f(CC1,AC)＝ eq \f(O1M,AO1)，即 eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(0.6,AO1)，解得AO1＝0.6 eq \r(2)，根据对称性可知圆柱的高为 eq \r(3)－2×0.6 eq \r(2)≈1.732－1.2×1.414＝0.0352>0.01，所以能够被整体放入正方体内，故D不符合题意．故选C.
答案：C
素养2
[例2] 解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为 eq \f(1,3)×（157.5－148.5）×（140×106＋180×106＋ eq \r(140×106×180×106)）＝3×106×（140＋180＋60 eq \r(7)）≈3×106×（140＋180＋60×2.65）≈1.4×109（m3）.故选C.
答案：C
真题互鉴
2.
解析：作出该零件的直观图如图所示，该零件可看作是长、宽、高分别为2，2，3的长方体去掉一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体所得，其表面积为2×（2×2＋2×3＋2×3）－2×1×1＝30，故选D.
答案：D
3．解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.
答案：B
导向二
素养3
[例3] 解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cs2β，等价于sinα＝±cs β，所以由甲不能推导出sin α＋cs β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cs β＝0，得sin α＝－cs β，平方可得sin2α＝cs2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.
答案：B
真题互鉴
4．解析：（1）由对折2次共可以得到5dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有： eq \f(5,2)×12，5×6，10×3，20× eq \f(3,2)，共4种不同规格（单位dm2）；
故对折4次可得到如下规格： eq \f(5,4)×12， eq \f(5,2)×6，5×3，10× eq \f(3,2)，20× eq \f(3,4)，共5种不同规格；
（2）由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为 eq \f(1,2)的等比数列，首项为120 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(dm2))，第n次对折后的图形面积为120× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为n＋1种（证明从略），故得猜想Sn＝ eq \f(120（n＋1）,2n－1)，
设S＝ eq \i\su(k＝1,n,S)k＝ eq \f(120×2,20)＋ eq \f(120×3,21)＋ eq \f(120×4,22)＋…＋ eq \f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),2n－1)，
则 eq \f(1,2)S＝ eq \f(120×2,21)＋ eq \f(120×3,22)＋…＋ eq \f(120n,2n－1)＋ eq \f(120（n＋1）,2n)，
两式作差得：
eq \f(1,2)S＝240＋120 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))－ eq \f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),2n)
＝240＋ eq \f(60\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－ eq \f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),2n)
＝360－ eq \f(120,2n－1)－ eq \f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),2n)＝360－ eq \f(120\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋3)),2n)，
因此，S＝720－ eq \f(240\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋3)),2n)＝720－ eq \f(15\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋3)),2n－4).
答案：5 720－ eq \f(15\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋3)),2n－4)
素养4
[例4] 解析：由题意知f′（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，则f′（x）＝0要有2个不同的根，则a0，则x eq \r(\f(－a,3))，令f′（x）0，可得p2≥ eq \r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于选项C，因为Lp3＝20×lg eq \f(p3,p0)＝40，即lg eq \f(p3,p0)＝2，可得 eq \f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于选项D，由选项A可知：Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg eq \f(p1,p2)≤40，即p1≤100p2，故D正确．故选B.
答案：B
8．解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(I（t1）＝e0.38t1，,I（t2）＝e0.38t2，,I（t2）＝2I（t1），))则e0.38（t2－t1）＝2，0.38（t2－t1）＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.
答案：B
素养6
[例6] 解析：（1）试验组的样本平均数为 eq \f(1,20)×（7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5）＝19.8.
（2）（ⅰ）将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位数m＝ eq \f(23.2＋23.6,2)＝23.4.
列联表如下：
（ⅱ）K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝ eq \f(40×（6×6－14×14）2,20×20×20×20)＝6.4＞3.841.
故有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
真题互鉴
9．解析：对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为（0.02＋0.04）×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为（0.04＋0.02＋0.02＋0.02）×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68（万元），故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为（0.10＋0.14＋0.20＋0.20）×1×100%＝64%>50%，故D正确．故选C.
答案：C
10．解析：（1）由题意，求出zi的值如表所示，
则z＝ eq \f(1,10)×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝ eq \f(1,10)×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）因为2 eq \r(\f(s2,10))＝2 eq \r(6.1)＝ eq \r(24.4)， eq \x\t(z)＝11＝ eq \r(121)> eq \r(24.4)，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截
面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40