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高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第1讲 曲线运动（原卷版+解析）
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这是一份高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第1讲 曲线运动（原卷版+解析），共43页。试卷主要包含了速度的方向，运动的性质，曲线运动的条件，合运动与分运动的关系等内容，欢迎下载使用。
——划重点之精细讲义系列
知识点1：曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3.曲线运动的条件
(1)动力学角度：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
(1)曲线运动的物体速度大小不一定发生变化，但速度方向一定发生改变，所以一定是变速运动。
(2)曲线运动的物体加速度不一定是变化的，加速度不变的曲线运动是匀变速曲线运动，加速度变化的曲线运动是变加速曲线运动。
知识点2：运动的合成与分解
1.基本概念
2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可用正交分解．
3.遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
4.合运动与分运动的关系
等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．
独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
(1)合运动的速度大小不一定比每一个分运动的速度都大。
(2)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
(3)两个直线运动的合运动性质
【典例1】对于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度大小等于两分运动速度大小的和
C．互成角度的两个匀加速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
【典例2】如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回A
【典例3】从坐标原点出发的质点在xOy平面内运动轨迹如图所示，下面判断正确的是（ ）
A．若x方向始终加速，则y方向可能先加速后减速
B．若y方向始终加速，则x方向可能先减速后加速
C．若y方向先减速后加速，则x方向可能始终匀速
D．若x方向先加速后减速，则y方向可能始终匀速
【典例4】质量为1kg的物体在水平面直角坐标系内运动，已知两互相垂直方向上的速度-时间图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的初速度为5m/s
B．物体所受的合外力为3N
C．2s末物体速度大小为7m/s
D．物体初速度的方向与合外力方向相同
考点1：物体做曲线运动的条件及轨迹分析
一、条件
1．因为速度时刻在变，所以一定存在加速度．
2．物体受到的合外力与初速度不共线．
二、合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧．
三、速率变化情况判断
1．当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大．
2．当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小．
3．当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
【典例1】一科研团队在某次空气动力学实验中，通过传感器得到研究对象做匀变速曲线运动的轨迹如图所示，且质点运动到最低点D时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．质点的速率先增大后减小
B．质点的速率一直减小
C．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向竖直向上
D．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向水平向右
【典例2】质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则下列说法正确的是（ ）
A．该质点做非匀变速曲线运动
B．恒力F的方向可能沿y轴负方向
C．恒力F的方向可能沿x轴正方向
D．任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同
(1)合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内)侧．
(2)曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切．
考点2:运动的合成及性质
一、运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
二、合运动的性质判断
【典例1】如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的图像。以下判断正确的是（ ）
A．在内，物体做匀速直线运动
B．在内，物体做匀变速曲线运动
C．时物体的速度大小为
D．时物体的速度大小为
【典例2】一个质量为2 kg的物体，在5个共点力作用下处于平衡状态。现同时撤去大小分别为15 N和10 N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体的运动的说法中正确的是（ ）
A．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是5 m/s2
B．一定做匀变速运动，加速度大小可能等于重力加速度的大小
C．可能做匀减速直线运动，加速度大小可能是2.5 m/s2
D．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小是5 m/s2
考点3:绳(杆)端的关联速度分解问题
1.模型分析
“牵连物体”是指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题（下面为了方便，统一说"绳"）。解题原则是∶把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小与绳上各点的速率相同求解。
（1）合速度方向∶物体实际运动方向。
（2）分速度方向∶①沿绳方向∶使绳伸缩;②垂直于绳方向∶使绳转动。
2.四种情景
【典例1】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动．若当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成角，则小车的速度为 ( )
A．B．C．D．
【典例2】如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰好水平，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体A做减速运动B．物体A做匀速运动
C．可能小于D．一定大于
小船渡河模型
1.模型展示
小船在渡河时，同时参与了两个运动∶一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对于水的运动。小船实际发生的运动是这两个运动的合运动。模型主要讨论船渡河时间最短和位移最短这两个问题。设一条河宽为d，船在静水中的速度为vc，水流速度为vs，下面讨论小船渡河的这两类问题。
2.三种速度
vc（船在静水中的速度）、vs（水的流速）、v合（船的实际速度）。
3.船头指向与运动方向
船头指向，是分运动的方向。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动的方向，一般情况下与船头指向不一致。船头指向与河岸垂直说明船在静水中的速度方向与河岸垂直;行驶路线与河岸垂直说明船的合速度方向与河岸垂直。
4.分析思路及方法
方法一∶根据运动的实际效果分解
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水的运动速度为vs）和船相对于水的运动（船在静水中的速度为vc），船的实际运动是合运动（v合）。
①当小船垂直于河岸过河时，过河路径最短，此时应将船头偏向上游，如图所示，过河时间（d为河宽）。
同时可以看出若要使小船垂直于河岸过河，必须使vs、vc和v合构成三角形，即满足vc＞vs，也就是船在静水中的速度要大于水流速度。
②若要小船过河的时间最短，应使船头垂直于河岸行驶，如图所示，过河时间，此时小船一定在对岸下游处靠岸。
③如果vc＜vs，要使渡河位移最小，小船不能垂直于河岸渡河。以水流速度的末端A为圆心，小船在静水中速度大小为半作圆，过O点作该圆的切线，交圆于 B 点，此时船头指与半径AB平行，如图所示。小船实际运动的速度（合速度）与垂直于河岸方向的夹角最小时，小船渡河位移最小。
由相似三角形可得，解得。
渡河时间仍可以采用①中的方法求解，。
方法二∶利用正交分解法分解
将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示，则为船实际沿水流方向的速度，vcsinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。
①要使船垂直渡河，则应使vs-vccsθ=0，此时csθ=（船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为）渡河位移最小为d
②要使渡河时间最短，则应使vcsin θ最大，即当θ=90°（船头方向与河岸垂直）时，渡河时间最短，t=。
【典例1】一船行驶时船头始终垂直河岸，船到河心时水速突然变为原来的2倍，则过河时间（ ）
A．不受影响
B．时间缩短为原来的
C．增长
D．时间缩短为原来的
【典例2】如图所示，小船以大小为、方向与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处．已知河宽，则下列说法中正确的是（ ）
A．河中水流速度为
B．小船以最短位移渡河的时间为
C．小船渡河的最短时间为
D．小船以最短的时间渡河的位移是
1．关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．速度可能不变B．加速度可能不变
C．任意相等时间内的速度变化量可能不变D．合外力方向总是与速度方向相同
2.河中水流速度处处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船渡河时船头方向始终垂直于河岸，且初速度相同。若小船相对于静水分别做匀加速直线运动、匀减速直线运动和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法不正确的是（ ）
A．三种轨迹中，沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
B．三种轨迹中，沿AC轨迹渡河所用时间最短
C．沿AC和AD轨迹渡河，小船都是做匀变速运动
D．沿AD轨迹时，小船相对于静水做匀减速运动
3.如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，方向与瞬时速度相反，则小石子在轨迹OPQ中沿水平方向的加速度大小（ ）
A．O点最小B．P点最小
C．Q点最小D．整个运动过程保持不变
4．下列关于不在一条直线上的两个分运动与其合运动，说法不正确的是（ ）
A．若两个分运动都是初速度为零的匀加速直线运动，合运动一定是匀加速直线运动
B．若两个分运动都是匀速直线运动，则合运动一定是匀速直线运动
C．若两个分运动都是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动一定是匀加速直线运动
D．若一个分运动是初速度为零的匀加速直线运动，一个分运动是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动是匀变速曲线运动
5.为了抗击新冠肺炎疫情，保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”服务。一快递小哥想到了用无人机配送快递的办法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向的速度vx及竖直方向的速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．在t2～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为
6．一物体运动规律是，，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
D．物体的合运动是加速度为的曲线运动
7．如图所示，小船（视为质点）从岸边A点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为150m，水流速度大小为3m/s，船在静水中的速度大小为4m/s，则（ ）
A．船不可能到达正对岸B点
B．船的最短过河时间为30s
C．船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
D．船以最短路程过河时的速率为m/s
8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
9．如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）
A．缆绳中的拉力等于
B．货箱向上运动的速度大于v
C．货箱向上运动的速度等于
D．货箱向上做加速直线运动
10．某河宽为，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是（ ）
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．船离开河岸时的速度大小为
D．渡河最短时间为
11．如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平N位置，已知AO与竖直杆成角，则（ ）
A．刚开始时B的速度为
B．A运动到位置N时，B的速度不为零
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．重物B下降过程，绳对B的拉力等于B的重力
12．在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．相对地面做变加速曲线运动
B．相对地面的运动轨迹为直线
C．t时刻猴子对地速度的大小为
D．t时间内猴子对地的位移大小为
13．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ 时（图中未标出），关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是（ ）
A．当时，A、B两球速度大小相等
B．当时，A球速度的大小小于B球速度
C．
D．
14．如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球重力为2N，电动机从A端以的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°，对此时小球速度及绳子拉力的判断正确的是（ ）
A．小球的速度为
B．小球的速度为
C．绳子的拉力等于4N
D．绳子的拉力大于4N
15．一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B两个物体，如图所示，物体A在外力作用下，向左以匀速运动，当连A的绳子与水平方向成角，连B的绳子与水平方向成角，B物体的速度为，则（ ）
A．A物体的速度与B物体的速度的大小相等
B．A物体的速度与B物体的速度的大小关系满足
C．此后B物体以速度做匀速运动
D．此后B物体的速度越来越大，所以做加速运动
16．如图，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，小环下滑带动重物上升，当小环沿直杆下滑到图中B处时有向下的速度。下滑距离也为d，下列说法正确的是（ ）
A．小环刚释放时重物能上升，则轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
17．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力为恒为，当轻绳与水平面的夹角为时，人以速度v匀速向左运动，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
A．船的速度为B．船的速度为
C．船将匀加速靠岸D．船的加速度为
18．如图所示，一条小船位于d＝200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为v1＝4 m/s。
（1）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船到岸的最短时间是多少；
（2）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间是多少；
（3）为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少。
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速直线运动
①当两个分速度v1、v2等大反向时，合速度 v=0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀变速直线运动
①v0与a共线时，物体做匀变速直线运动
②v0与a不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变速直线运动
①v、a 共线时，物体做匀变速直线运动（含v=0）
②v、a不共线时，物体做匀变速曲线运动
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
，即
，即
第1讲 曲线运动与运动的合成与分解
——划重点之精细讲义系列
知识点1：曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3.曲线运动的条件
(1)动力学角度：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
(1)曲线运动的物体速度大小不一定发生变化，但速度方向一定发生改变，所以一定是变速运动。
(2)曲线运动的物体加速度不一定是变化的，加速度不变的曲线运动是匀变速曲线运动，加速度变化的曲线运动是变加速曲线运动。
知识点2：运动的合成与分解
1.基本概念
2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可用正交分解．
3.遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
4.合运动与分运动的关系
等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．
独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
(1)合运动的速度大小不一定比每一个分运动的速度都大。
(2)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
(3)两个直线运动的合运动性质
【典例1】对于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度大小等于两分运动速度大小的和
C．互成角度的两个匀加速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
【答案】C
【详解】AB．合速度是两个分速度的矢量和，可能大于两个分速度，可能小于两个分速度，也可能等于某个分速度，AB错误；
C．互成角度的两个匀加速直线运动，如果合加速度与合初速度在同一直线上，合运动就是匀变速直线运动，C正确；
D．要求合速度，不仅要知道两个分速度的大小，还要知道两个分速度的方向，D错误。
故选C。
【典例2】如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回A
【答案】C
【详解】根据物体做曲线运动受到的合力方向在轨迹的凹侧，可知恒力变化前的方向在点切线方向的下方，则恒力变化后的方向在点切线方向的上方，物体将在B点向上偏做曲线运动，故物体可能沿曲线Bc运动。
故选C。
【典例3】从坐标原点出发的质点在xOy平面内运动轨迹如图所示，下面判断正确的是（ ）
A．若x方向始终加速，则y方向可能先加速后减速
B．若y方向始终加速，则x方向可能先减速后加速
C．若y方向先减速后加速，则x方向可能始终匀速
D．若x方向先加速后减速，则y方向可能始终匀速
【答案】CD
【详解】A．若x方向始终加速，y方向先加速后减速，后半段物体合力方向指向右下方向，图线后半段一定向下弯曲，故A错误；
B．若y方向始终加速，x方向先减速后加速，前半段物体合力方向指向左上方向，图线前半段一定向上弯曲，故B错误；
C．若y方向先减速后加速，x方向始终匀速，前半段物体合力方向向下，后半段物体合力方向向上，图像一定先向下弯曲后向上弯曲，故C正确；
D．若x方向先加速后减速，y方向始终匀速，前半段物体合力方向向右，后半段物体合力方向向左，图像一定先向下弯曲后向上弯曲，故D正确。
故选CD。
【典例4】质量为1kg的物体在水平面直角坐标系内运动，已知两互相垂直方向上的速度-时间图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的初速度为5m/s
B．物体所受的合外力为3N
C．2s末物体速度大小为7m/s
D．物体初速度的方向与合外力方向相同
【答案】B
【详解】A．根据合速度与分速度的矢量关系，可得
易知初速度方向沿y轴正方向。故A错误；
B．根据合加速度与分加速度的矢量关系，可得
由图可知
联立，解得
易知加速度方向沿x轴正方向，根据牛顿第二定律，有
故B正确；
C．2s末物体速度大小为
故C错误；
D．结合上面选项分析可知，初速度方向与合外力方向垂直。故D错误。
故选B。
考点1：物体做曲线运动的条件及轨迹分析
一、条件
1．因为速度时刻在变，所以一定存在加速度．
2．物体受到的合外力与初速度不共线．
二、合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧．
三、速率变化情况判断
1．当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大．
2．当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小．
3．当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
【典例1】一科研团队在某次空气动力学实验中，通过传感器得到研究对象做匀变速曲线运动的轨迹如图所示，且质点运动到最低点D时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．质点的速率先增大后减小
B．质点的速率一直减小
C．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向竖直向上
D．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向水平向右
【答案】C
【详解】AB．质点做匀变速曲线运动，可知所受合外力恒定，加速度恒定，D点的加速度向上，则整个运动的任何位置加速度均向上恒定，由图可知沿着切线方向的瞬时速度与加速度的夹角从钝角变为直角后为锐角，则速度先减小后增大，D点时的速度最小；故AB错误；
CD．由可得
即加速度恒定时，任意1s时间内速度的变化均大小相等，方向相同，与加速度方向相同竖直向上，故C正确，D错误。
故选C。
【典例2】质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则下列说法正确的是（ ）
A．该质点做非匀变速曲线运动
B．恒力F的方向可能沿y轴负方向
C．恒力F的方向可能沿x轴正方向
D．任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同
【答案】BD
【详解】ABC．由于质点做的是曲线运动，根据质点做曲线运动的条件可知，质点受到的恒力的方向应指向轨迹凹侧，且与速度方向不在同一直线上，所以恒力F的方向可能沿y轴负方向，由于恒力作用，该质点做匀变速曲线运动，故AC错误，B正确。
D．速度的变化量，由于F是恒力，所以加速度不变，则任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同，故D正确。
故选BD。
(1)合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内)侧．
(2)曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切．
考点2:运动的合成及性质
一、运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
二、合运动的性质判断
【典例1】如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的图像。以下判断正确的是（ ）
A．在内，物体做匀速直线运动
B．在内，物体做匀变速曲线运动
C．时物体的速度大小为
D．时物体的速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．由图可知，物体的初速度为
方向沿x轴正方向。在内，物体的加速度为
方向沿y轴正方向，易知物体的初速度与加速度不共线，将做匀变速曲线运动。故A错误；B正确；
C．根据合速度与分速度的矢量关系，可知时物体的速度大小为
故C正确；
D．同理，时物体的速度大小为
故D错误。
故选BC。
【典例2】一个质量为2 kg的物体，在5个共点力作用下处于平衡状态。现同时撤去大小分别为15 N和10 N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体的运动的说法中正确的是（ ）
A．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是5 m/s2
B．一定做匀变速运动，加速度大小可能等于重力加速度的大小
C．可能做匀减速直线运动，加速度大小可能是2.5 m/s2
D．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小是5 m/s2
【答案】BC
【详解】A．根据平衡条件得知，其余力的合力大小范围为
5 N≤F合≤25 N
根据牛顿第二定律得物体的加速度大小范围为
2.5 m/s2≤a≤12.5 m/s2.
若物体原来做匀速直线运动，撤去的两个力的合力方向与速度方向不在同一直线上，物体做匀变速曲线运动，选项A错误；
B．由于撤去两个力后其余力保持不变，则物体所受的合力不变，一定做匀变速运动，加速度大小可能等于重力加速度的大小，选项B正确；
C．若物体原来做匀速直线运动，撤去的两个力的合力方向与速度方向相同时，物体做匀减速直线运动，加速度大小可能为2.5 m/s2，选项C正确；
D．物体在恒力作用下不可能做匀速圆周运动，选项D错误。
故选BC。
考点3:绳(杆)端的关联速度分解问题
1.模型分析
“牵连物体”是指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题（下面为了方便，统一说"绳"）。解题原则是∶把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小与绳上各点的速率相同求解。
（1）合速度方向∶物体实际运动方向。
（2）分速度方向∶①沿绳方向∶使绳伸缩;②垂直于绳方向∶使绳转动。
2.四种情景
【典例1】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动．若当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成角，则小车的速度为 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将速度v按运动效果分解如图所示：
则沿绳方向v1＝vcs，同理分解小车速度，，因为绳不可伸长，故沿绳方向速度大小相等. ,所以cs,所以；故选D.
【点睛】本题通常称为绳端物体速度分解问题，一定注意合运动是物体的实际运动．
【典例2】如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰好水平，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体A做减速运动B．物体A做匀速运动
C．可能小于D．一定大于
【答案】D
【详解】AB．由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示
由几何关系可得
由于B以速度匀速下滑，又在增大，A的速度增大，则A处于加速运动，故AB错误；
CD．根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有
故C错误，D正确。
故选D。
小船渡河模型
1.模型展示
小船在渡河时，同时参与了两个运动∶一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对于水的运动。小船实际发生的运动是这两个运动的合运动。模型主要讨论船渡河时间最短和位移最短这两个问题。设一条河宽为d，船在静水中的速度为vc，水流速度为vs，下面讨论小船渡河的这两类问题。
2.三种速度
vc（船在静水中的速度）、vs（水的流速）、v合（船的实际速度）。
3.船头指向与运动方向
船头指向，是分运动的方向。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动的方向，一般情况下与船头指向不一致。船头指向与河岸垂直说明船在静水中的速度方向与河岸垂直;行驶路线与河岸垂直说明船的合速度方向与河岸垂直。
4.分析思路及方法
方法一∶根据运动的实际效果分解
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水的运动速度为vs）和船相对于水的运动（船在静水中的速度为vc），船的实际运动是合运动（v合）。
①当小船垂直于河岸过河时，过河路径最短，此时应将船头偏向上游，如图所示，过河时间（d为河宽）。
同时可以看出若要使小船垂直于河岸过河，必须使vs、vc和v合构成三角形，即满足vc＞vs，也就是船在静水中的速度要大于水流速度。
②若要小船过河的时间最短，应使船头垂直于河岸行驶，如图所示，过河时间，此时小船一定在对岸下游处靠岸。
③如果vc＜vs，要使渡河位移最小，小船不能垂直于河岸渡河。以水流速度的末端A为圆心，小船在静水中速度大小为半作圆，过O点作该圆的切线，交圆于 B 点，此时船头指与半径AB平行，如图所示。小船实际运动的速度（合速度）与垂直于河岸方向的夹角最小时，小船渡河位移最小。
由相似三角形可得，解得。
渡河时间仍可以采用①中的方法求解，。
方法二∶利用正交分解法分解
将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示，则为船实际沿水流方向的速度，vcsinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。
①要使船垂直渡河，则应使vs-vccsθ=0，此时csθ=（船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为）渡河位移最小为d
②要使渡河时间最短，则应使vcsin θ最大，即当θ=90°（船头方向与河岸垂直）时，渡河时间最短，t=。
【典例1】一船行驶时船头始终垂直河岸，船到河心时水速突然变为原来的2倍，则过河时间（ ）
A．不受影响
B．时间缩短为原来的
C．增长
D．时间缩短为原来的
【答案】A
【详解】假设船在静水中的速度，河的宽度为d，则船头始终垂直河岸的过河时间为
可知与水速无关，所以船到河心时水速突然变为原来的2倍时过河时间不变。
故选A。
【典例2】如图所示，小船以大小为、方向与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处．已知河宽，则下列说法中正确的是（ ）
A．河中水流速度为
B．小船以最短位移渡河的时间为
C．小船渡河的最短时间为
D．小船以最短的时间渡河的位移是
【答案】D
【详解】A．由题意知，小船方向与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处，则
解得
故A错误；
B．小船以最短位移渡河的时间为
故B错误；
C．小船以最短时间渡河，船头应垂直对岸，时间为
故C错误；
D．小船以最短时间渡河时到达对岸，沿河岸通过的位移为
通过的位移
故D正确。
故选D。
1．关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．速度可能不变B．加速度可能不变
C．任意相等时间内的速度变化量可能不变D．合外力方向总是与速度方向相同
【答案】BC
【详解】A．做曲线运动的物体速度大小可能不变，速度方向一定发生改变，A错误；
B．物体做曲线运动的条件是初速度与加速度不在同一直线上，加速度可以恒定的以可以是变化的，故加速度可能不变，B正确；
C．根据B选项分析可知，加速度可能不变，根据可知任意相等时间内的速度变化量可能不变，C正确；
D．物体做曲线运动的条件是初速度与合外力不在同一直线上，D错误。
故选BC。
2.河中水流速度处处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船渡河时船头方向始终垂直于河岸，且初速度相同。若小船相对于静水分别做匀加速直线运动、匀减速直线运动和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法不正确的是（ ）
A．三种轨迹中，沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
B．三种轨迹中，沿AC轨迹渡河所用时间最短
C．沿AC和AD轨迹渡河，小船都是做匀变速运动
D．沿AD轨迹时，小船相对于静水做匀减速运动
【答案】A
【详解】CD．由题意可知小船做匀变速运动的加速度方向垂直于河岸方向，根据曲线运动合力方向处于轨迹的凹侧，可知沿AC轨迹的运动是匀加速运动，沿AB轨迹的运动是匀速运动，沿AD轨迹的运动是匀减速运动，故CD正确，不满足题意要求；
A．三种轨迹中，沿AD轨迹渡河，小船做匀减速运动，船靠岸时速度最小，故A错误，满足题意要求；
B．三种轨迹中，沿AC轨迹渡河，小船做匀加速运动，渡河所用时间最短，故B正确，不满足题意要求。
故选A。
3.如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，方向与瞬时速度相反，则小石子在轨迹OPQ中沿水平方向的加速度大小（ ）
A．O点最小B．P点最小
C．Q点最小D．整个运动过程保持不变
【答案】C
【详解】空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，方向与瞬时速度相反，小石子在水平方向只受阻力作用，所以水平方向的速度一直减小，水平方向受到的阻力减小，所以在Q点小石子受到的水平阻力最小，加速度最小。
故选C。
4．下列关于不在一条直线上的两个分运动与其合运动，说法不正确的是（ ）
A．若两个分运动都是初速度为零的匀加速直线运动，合运动一定是匀加速直线运动
B．若两个分运动都是匀速直线运动，则合运动一定是匀速直线运动
C．若两个分运动都是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动一定是匀加速直线运动
D．若一个分运动是初速度为零的匀加速直线运动，一个分运动是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动是匀变速曲线运动
【答案】C
【详解】A．两个分运动都是初速度为0的匀加速直线运动，其合加速度恒定，初速度为0，合运动为初速度为0的匀加速直线运动，故A正确，不符合题意；
B．两个分运动都是匀速直线运动，则合外力为0、初速度为某一定值，所以合运动一定为匀速直线运动，故B正确，不符合题意；
C．两个分运动都是初速度不为0的匀加速直线运动，只有当两分运动的初速度之比等于分加速度之比时，才做直线运动，否则做曲线运动，故C错误，符合题意；
D．分运动1是初速度为0的匀加速直线运动，分运动2是初速度不为0的匀加速直线运动，则初速度沿2方向、加速度沿两个分运动的合加速方向（与分运动2成某一夹角），即速度与加速度成一定夹角，做曲线运动，故D正确，不符合题意。
故选C。
5.为了抗击新冠肺炎疫情，保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”服务。一快递小哥想到了用无人机配送快递的办法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向的速度vx及竖直方向的速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．在t2～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为
【答案】D
【详解】A．在0～t1时间内，无人机在水平方向和竖直方向均做初速度为零的匀加速直线运动，合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故A错误；
B．由题图乙可知，图线始终在时间轴上方，则在竖直方向上，无人机始终竖直向上运动，即在0～t1时间内匀加速上升，在t1～t2时间内匀速上升，在t2～t4时间内匀减速上升，所以在t4时刻无人机运动到最高点，故B错误；
C．在t2～t4时间内，无人机在竖直方向上做匀减速直线运动，加速度方向竖直向下，速度方向竖直向上，在水平方向上，无人机做匀速直线运动，则两个直线运动合成后，合加速度方向竖直向下，合速度方向斜向上，不在同一直线上，所以无人机做匀变速曲线运动，故C错误；
D．在t2时刻，无人机水平方向的分速度为v0，竖直方向的分速度为v2，则合速度大小为v=，故D正确。
故选D。
6．一物体运动规律是，，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
D．物体的合运动是加速度为的曲线运动
【答案】D
【详解】A．由匀变速直线运动位移时间关系式
易得物体在x轴方向上做初速度为，加速度为的匀加速直线运动；在y轴方向上做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，A错误；
BCD．由运动的合成可知，物体的合初速度为
方向沿x轴正方向；合加速度为
合加速度大小为，方向与x轴正方向成斜向上，所以物体做匀加速曲线运动，BC错误，D正确。
故选D。
7．如图所示，小船（视为质点）从岸边A点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为150m，水流速度大小为3m/s，船在静水中的速度大小为4m/s，则（ ）
A．船不可能到达正对岸B点
B．船的最短过河时间为30s
C．船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
D．船以最短路程过河时的速率为m/s
【答案】D
【详解】ACD．由于船在静水中的速度大于水流的速度，当速度满足如图所示关系时，船垂直河岸过河，此时为最短路程过河，船头方向与方向相同，过河时的速率为
故AC错误，D正确；
B．船头垂直河岸过河时，时间最短，则有
故B错误。
故选D。
8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【答案】D
【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示，
在水平方向由牛顿第二定律得
分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确；
B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示，
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误；
C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。
故选D。
9．如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）
A．缆绳中的拉力等于
B．货箱向上运动的速度大于v
C．货箱向上运动的速度等于
D．货箱向上做加速直线运动
【答案】D
【详解】根据题意，设绳子与水平方向的夹角为，将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于货物的速度，如图所示
根据平行四边形定则得
由于汽车运动过程中，减小，则增大，物体M向上做加速运动，由牛顿第二定律有
可知，绳子的拉力大于。
故选D。
10．某河宽为，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是（ ）
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．船离开河岸时的速度大小为
D．渡河最短时间为
【答案】A
【详解】AD．当船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，且渡河时间最短为
故A正确，D错误；
B．因为静水速不变，水流速在变化，知沿河岸方向上有加速度，合速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，所以轨迹是曲线，故B错误；
C．船离开河岸400m时，离河岸较近的距离为200m，此时水流速度为2m/s，根据平行四边形定则
故C错误。
故选A。
11．如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平N位置，已知AO与竖直杆成角，则（ ）
A．刚开始时B的速度为
B．A运动到位置N时，B的速度不为零
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．重物B下降过程，绳对B的拉力等于B的重力
【答案】C
【详解】AB．环在运动过程中，环的速度沿着细杆竖直向上，而环的速度可以分解为沿着绳子的速度和垂直于绳子的速度，因此，沿着绳子的速度为
又物体B与绳子相连，所以物体B的速度大小等于绳子的速度，而当A运动到位置N时，沿着绳子的速度变为零，因此此时B的速度也为零，故AB错误；
CD．环A在上升过程中，连接A与B的绳子与竖直方向的夹角在增大，因此可知
在减小，也就是说物体B在运动过程中始终在做减速运动，速度方向与加速度方向相反，根据牛顿第二定律有
得到绳子对B的拉力为
故C正确，D错误。
故选C。
12．在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．相对地面做变加速曲线运动
B．相对地面的运动轨迹为直线
C．t时刻猴子对地速度的大小为
D．t时间内猴子对地的位移大小为
【答案】D
【详解】AB．猴子竖直向上做匀加速直线运动，水平向右做匀速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，故AB错误；
C．根据平行四边形定则，t时刻猴子对地的速度大小为
故C错误；
D．t时间内猴子对地的位移大小为
D正确。
故选D。
13．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ 时（图中未标出），关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是（ ）
A．当时，A、B两球速度大小相等
B．当时，A球速度的大小小于B球速度
C．
D．
【答案】AC
【详解】当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解，如图所示
沿杆方向两分速度大小相等，则
即
当
时，可得
故选AC。
14．如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球重力为2N，电动机从A端以的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°，对此时小球速度及绳子拉力的判断正确的是（ ）
A．小球的速度为
B．小球的速度为
C．绳子的拉力等于4N
D．绳子的拉力大于4N
【答案】AD
【详解】AB．设小球的速度为v1，则
v1cs60°=v
解得球的速度
v1=4m/s
选项A正确，B错误；
CD．小球向上运动时，θ变大，则小球的速度v1变大，即小球向上做加速运动，根据牛顿第二定律
解得
选项C错误，D正确。
故选AD。
15．一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B两个物体，如图所示，物体A在外力作用下，向左以匀速运动，当连A的绳子与水平方向成角，连B的绳子与水平方向成角，B物体的速度为，则（ ）
A．A物体的速度与B物体的速度的大小相等
B．A物体的速度与B物体的速度的大小关系满足
C．此后B物体以速度做匀速运动
D．此后B物体的速度越来越大，所以做加速运动
【答案】BD
【详解】AB．将A、B两物体的速度分解到沿绳方向和垂直绳方向，两物体沿绳方向分速度大小相等，则有
A错误，B正确；
CD．由可得
不变，A向左运动过程，减小，增大，则增大，B做加速运动，C错误，D正确。
故选BD。
16．如图，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，小环下滑带动重物上升，当小环沿直杆下滑到图中B处时有向下的速度。下滑距离也为d，下列说法正确的是（ ）
A．小环刚释放时重物能上升，则轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
【答案】AC
【详解】A．由题意知，刚释放时小环向下加速运动，则重物将加速上升，对重物由牛顿第二定律可知，绳中张力一定大于重力2mg，A正确；
B．小环到达B处时，重物上升的高度应为绳子收缩的长度，即
B错误；
CD．由题意，沿绳子方向的速度大小相等，将小环的速度沿绳子方向与垂直于绳子方向分解应满足
即
所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
C正确，D错误。
故选AC。
17．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力为恒为，当轻绳与水平面的夹角为时，人以速度v匀速向左运动，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
A．船的速度为B．船的速度为
C．船将匀加速靠岸D．船的加速度为
【答案】BD
【详解】AB．将船的速度分解为沿绳子方向与垂直绳子方向的两个分速度，其中沿绳子方向的分速度等于人的速度，则有
解得
故A错误，B正确；
C．由于船在靠岸过程中，逐渐增大，可知逐渐减小，则逐渐增大，船将加速靠岸，但船不是匀加速靠岸，因为当趋近于时，趋近于零，将趋近于无穷大，这是船在有限距离做匀加速运动无法得到的速度，故C错误；
D．水的阻为恒为，此时人的拉力大小为F，以船为对象，根据牛顿第二定律可得
解得
故D正确。
故选BD。
18．如图所示，一条小船位于d＝200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为v1＝4 m/s。
（1）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船到岸的最短时间是多少；
（2）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间是多少；
（3）为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少。
【答案】（1）20s；（2）37°，33.3s；（3）2m/s
【详解】（1）当船头方向垂直河岸时，则渡河时间最短，则最短时间为
（2）设船头与河岸的夹角为，如图
由图知
解得
船的合速度
渡河时间
（3）小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为α，即有
则
α = 30°
小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小为
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速直线运动
①当两个分速度v1、v2等大反向时，合速度 v=0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀变速直线运动
①v0与a共线时，物体做匀变速直线运动
②v0与a不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变速直线运动
①v、a 共线时，物体做匀变速直线运动（含v=0）
②v、a不共线时，物体做匀变速曲线运动
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
，即
，即
——划重点之精细讲义系列
知识点1：曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3.曲线运动的条件
(1)动力学角度：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
(1)曲线运动的物体速度大小不一定发生变化，但速度方向一定发生改变，所以一定是变速运动。
(2)曲线运动的物体加速度不一定是变化的，加速度不变的曲线运动是匀变速曲线运动，加速度变化的曲线运动是变加速曲线运动。
知识点2：运动的合成与分解
1.基本概念
2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可用正交分解．
3.遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
4.合运动与分运动的关系
等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．
独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
(1)合运动的速度大小不一定比每一个分运动的速度都大。
(2)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
(3)两个直线运动的合运动性质
【典例1】对于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度大小等于两分运动速度大小的和
C．互成角度的两个匀加速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
【典例2】如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回A
【典例3】从坐标原点出发的质点在xOy平面内运动轨迹如图所示，下面判断正确的是（ ）
A．若x方向始终加速，则y方向可能先加速后减速
B．若y方向始终加速，则x方向可能先减速后加速
C．若y方向先减速后加速，则x方向可能始终匀速
D．若x方向先加速后减速，则y方向可能始终匀速
【典例4】质量为1kg的物体在水平面直角坐标系内运动，已知两互相垂直方向上的速度-时间图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的初速度为5m/s
B．物体所受的合外力为3N
C．2s末物体速度大小为7m/s
D．物体初速度的方向与合外力方向相同
考点1：物体做曲线运动的条件及轨迹分析
一、条件
1．因为速度时刻在变，所以一定存在加速度．
2．物体受到的合外力与初速度不共线．
二、合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧．
三、速率变化情况判断
1．当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大．
2．当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小．
3．当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
【典例1】一科研团队在某次空气动力学实验中，通过传感器得到研究对象做匀变速曲线运动的轨迹如图所示，且质点运动到最低点D时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．质点的速率先增大后减小
B．质点的速率一直减小
C．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向竖直向上
D．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向水平向右
【典例2】质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则下列说法正确的是（ ）
A．该质点做非匀变速曲线运动
B．恒力F的方向可能沿y轴负方向
C．恒力F的方向可能沿x轴正方向
D．任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同
(1)合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内)侧．
(2)曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切．
考点2:运动的合成及性质
一、运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
二、合运动的性质判断
【典例1】如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的图像。以下判断正确的是（ ）
A．在内，物体做匀速直线运动
B．在内，物体做匀变速曲线运动
C．时物体的速度大小为
D．时物体的速度大小为
【典例2】一个质量为2 kg的物体，在5个共点力作用下处于平衡状态。现同时撤去大小分别为15 N和10 N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体的运动的说法中正确的是（ ）
A．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是5 m/s2
B．一定做匀变速运动，加速度大小可能等于重力加速度的大小
C．可能做匀减速直线运动，加速度大小可能是2.5 m/s2
D．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小是5 m/s2
考点3:绳(杆)端的关联速度分解问题
1.模型分析
“牵连物体”是指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题（下面为了方便，统一说"绳"）。解题原则是∶把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小与绳上各点的速率相同求解。
（1）合速度方向∶物体实际运动方向。
（2）分速度方向∶①沿绳方向∶使绳伸缩;②垂直于绳方向∶使绳转动。
2.四种情景
【典例1】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动．若当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成角，则小车的速度为 ( )
A．B．C．D．
【典例2】如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰好水平，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体A做减速运动B．物体A做匀速运动
C．可能小于D．一定大于
小船渡河模型
1.模型展示
小船在渡河时，同时参与了两个运动∶一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对于水的运动。小船实际发生的运动是这两个运动的合运动。模型主要讨论船渡河时间最短和位移最短这两个问题。设一条河宽为d，船在静水中的速度为vc，水流速度为vs，下面讨论小船渡河的这两类问题。
2.三种速度
vc（船在静水中的速度）、vs（水的流速）、v合（船的实际速度）。
3.船头指向与运动方向
船头指向，是分运动的方向。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动的方向，一般情况下与船头指向不一致。船头指向与河岸垂直说明船在静水中的速度方向与河岸垂直;行驶路线与河岸垂直说明船的合速度方向与河岸垂直。
4.分析思路及方法
方法一∶根据运动的实际效果分解
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水的运动速度为vs）和船相对于水的运动（船在静水中的速度为vc），船的实际运动是合运动（v合）。
①当小船垂直于河岸过河时，过河路径最短，此时应将船头偏向上游，如图所示，过河时间（d为河宽）。
同时可以看出若要使小船垂直于河岸过河，必须使vs、vc和v合构成三角形，即满足vc＞vs，也就是船在静水中的速度要大于水流速度。
②若要小船过河的时间最短，应使船头垂直于河岸行驶，如图所示，过河时间，此时小船一定在对岸下游处靠岸。
③如果vc＜vs，要使渡河位移最小，小船不能垂直于河岸渡河。以水流速度的末端A为圆心，小船在静水中速度大小为半作圆，过O点作该圆的切线，交圆于 B 点，此时船头指与半径AB平行，如图所示。小船实际运动的速度（合速度）与垂直于河岸方向的夹角最小时，小船渡河位移最小。
由相似三角形可得，解得。
渡河时间仍可以采用①中的方法求解，。
方法二∶利用正交分解法分解
将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示，则为船实际沿水流方向的速度，vcsinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。
①要使船垂直渡河，则应使vs-vccsθ=0，此时csθ=（船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为）渡河位移最小为d
②要使渡河时间最短，则应使vcsin θ最大，即当θ=90°（船头方向与河岸垂直）时，渡河时间最短，t=。
【典例1】一船行驶时船头始终垂直河岸，船到河心时水速突然变为原来的2倍，则过河时间（ ）
A．不受影响
B．时间缩短为原来的
C．增长
D．时间缩短为原来的
【典例2】如图所示，小船以大小为、方向与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处．已知河宽，则下列说法中正确的是（ ）
A．河中水流速度为
B．小船以最短位移渡河的时间为
C．小船渡河的最短时间为
D．小船以最短的时间渡河的位移是
1．关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．速度可能不变B．加速度可能不变
C．任意相等时间内的速度变化量可能不变D．合外力方向总是与速度方向相同
2.河中水流速度处处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船渡河时船头方向始终垂直于河岸，且初速度相同。若小船相对于静水分别做匀加速直线运动、匀减速直线运动和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法不正确的是（ ）
A．三种轨迹中，沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
B．三种轨迹中，沿AC轨迹渡河所用时间最短
C．沿AC和AD轨迹渡河，小船都是做匀变速运动
D．沿AD轨迹时，小船相对于静水做匀减速运动
3.如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，方向与瞬时速度相反，则小石子在轨迹OPQ中沿水平方向的加速度大小（ ）
A．O点最小B．P点最小
C．Q点最小D．整个运动过程保持不变
4．下列关于不在一条直线上的两个分运动与其合运动，说法不正确的是（ ）
A．若两个分运动都是初速度为零的匀加速直线运动，合运动一定是匀加速直线运动
B．若两个分运动都是匀速直线运动，则合运动一定是匀速直线运动
C．若两个分运动都是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动一定是匀加速直线运动
D．若一个分运动是初速度为零的匀加速直线运动，一个分运动是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动是匀变速曲线运动
5.为了抗击新冠肺炎疫情，保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”服务。一快递小哥想到了用无人机配送快递的办法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向的速度vx及竖直方向的速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．在t2～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为
6．一物体运动规律是，，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
D．物体的合运动是加速度为的曲线运动
7．如图所示，小船（视为质点）从岸边A点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为150m，水流速度大小为3m/s，船在静水中的速度大小为4m/s，则（ ）
A．船不可能到达正对岸B点
B．船的最短过河时间为30s
C．船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
D．船以最短路程过河时的速率为m/s
8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
9．如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）
A．缆绳中的拉力等于
B．货箱向上运动的速度大于v
C．货箱向上运动的速度等于
D．货箱向上做加速直线运动
10．某河宽为，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是（ ）
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．船离开河岸时的速度大小为
D．渡河最短时间为
11．如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平N位置，已知AO与竖直杆成角，则（ ）
A．刚开始时B的速度为
B．A运动到位置N时，B的速度不为零
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．重物B下降过程，绳对B的拉力等于B的重力
12．在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．相对地面做变加速曲线运动
B．相对地面的运动轨迹为直线
C．t时刻猴子对地速度的大小为
D．t时间内猴子对地的位移大小为
13．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ 时（图中未标出），关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是（ ）
A．当时，A、B两球速度大小相等
B．当时，A球速度的大小小于B球速度
C．
D．
14．如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球重力为2N，电动机从A端以的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°，对此时小球速度及绳子拉力的判断正确的是（ ）
A．小球的速度为
B．小球的速度为
C．绳子的拉力等于4N
D．绳子的拉力大于4N
15．一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B两个物体，如图所示，物体A在外力作用下，向左以匀速运动，当连A的绳子与水平方向成角，连B的绳子与水平方向成角，B物体的速度为，则（ ）
A．A物体的速度与B物体的速度的大小相等
B．A物体的速度与B物体的速度的大小关系满足
C．此后B物体以速度做匀速运动
D．此后B物体的速度越来越大，所以做加速运动
16．如图，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，小环下滑带动重物上升，当小环沿直杆下滑到图中B处时有向下的速度。下滑距离也为d，下列说法正确的是（ ）
A．小环刚释放时重物能上升，则轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
17．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力为恒为，当轻绳与水平面的夹角为时，人以速度v匀速向左运动，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
A．船的速度为B．船的速度为
C．船将匀加速靠岸D．船的加速度为
18．如图所示，一条小船位于d＝200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为v1＝4 m/s。
（1）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船到岸的最短时间是多少；
（2）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间是多少；
（3）为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少。
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速直线运动
①当两个分速度v1、v2等大反向时，合速度 v=0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀变速直线运动
①v0与a共线时，物体做匀变速直线运动
②v0与a不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变速直线运动
①v、a 共线时，物体做匀变速直线运动（含v=0）
②v、a不共线时，物体做匀变速曲线运动
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
，即
，即
第1讲 曲线运动与运动的合成与分解
——划重点之精细讲义系列
知识点1：曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3.曲线运动的条件
(1)动力学角度：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
(1)曲线运动的物体速度大小不一定发生变化，但速度方向一定发生改变，所以一定是变速运动。
(2)曲线运动的物体加速度不一定是变化的，加速度不变的曲线运动是匀变速曲线运动，加速度变化的曲线运动是变加速曲线运动。
知识点2：运动的合成与分解
1.基本概念
2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可用正交分解．
3.遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
4.合运动与分运动的关系
等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．
独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
(1)合运动的速度大小不一定比每一个分运动的速度都大。
(2)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
(3)两个直线运动的合运动性质
【典例1】对于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度大小等于两分运动速度大小的和
C．互成角度的两个匀加速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
【答案】C
【详解】AB．合速度是两个分速度的矢量和，可能大于两个分速度，可能小于两个分速度，也可能等于某个分速度，AB错误；
C．互成角度的两个匀加速直线运动，如果合加速度与合初速度在同一直线上，合运动就是匀变速直线运动，C正确；
D．要求合速度，不仅要知道两个分速度的大小，还要知道两个分速度的方向，D错误。
故选C。
【典例2】如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回A
【答案】C
【详解】根据物体做曲线运动受到的合力方向在轨迹的凹侧，可知恒力变化前的方向在点切线方向的下方，则恒力变化后的方向在点切线方向的上方，物体将在B点向上偏做曲线运动，故物体可能沿曲线Bc运动。
故选C。
【典例3】从坐标原点出发的质点在xOy平面内运动轨迹如图所示，下面判断正确的是（ ）
A．若x方向始终加速，则y方向可能先加速后减速
B．若y方向始终加速，则x方向可能先减速后加速
C．若y方向先减速后加速，则x方向可能始终匀速
D．若x方向先加速后减速，则y方向可能始终匀速
【答案】CD
【详解】A．若x方向始终加速，y方向先加速后减速，后半段物体合力方向指向右下方向，图线后半段一定向下弯曲，故A错误；
B．若y方向始终加速，x方向先减速后加速，前半段物体合力方向指向左上方向，图线前半段一定向上弯曲，故B错误；
C．若y方向先减速后加速，x方向始终匀速，前半段物体合力方向向下，后半段物体合力方向向上，图像一定先向下弯曲后向上弯曲，故C正确；
D．若x方向先加速后减速，y方向始终匀速，前半段物体合力方向向右，后半段物体合力方向向左，图像一定先向下弯曲后向上弯曲，故D正确。
故选CD。
【典例4】质量为1kg的物体在水平面直角坐标系内运动，已知两互相垂直方向上的速度-时间图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的初速度为5m/s
B．物体所受的合外力为3N
C．2s末物体速度大小为7m/s
D．物体初速度的方向与合外力方向相同
【答案】B
【详解】A．根据合速度与分速度的矢量关系，可得
易知初速度方向沿y轴正方向。故A错误；
B．根据合加速度与分加速度的矢量关系，可得
由图可知
联立，解得
易知加速度方向沿x轴正方向，根据牛顿第二定律，有
故B正确；
C．2s末物体速度大小为
故C错误；
D．结合上面选项分析可知，初速度方向与合外力方向垂直。故D错误。
故选B。
考点1：物体做曲线运动的条件及轨迹分析
一、条件
1．因为速度时刻在变，所以一定存在加速度．
2．物体受到的合外力与初速度不共线．
二、合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧．
三、速率变化情况判断
1．当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大．
2．当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小．
3．当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
【典例1】一科研团队在某次空气动力学实验中，通过传感器得到研究对象做匀变速曲线运动的轨迹如图所示，且质点运动到最低点D时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．质点的速率先增大后减小
B．质点的速率一直减小
C．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向竖直向上
D．在任意内，质点速度改变的大小相同、方向水平向右
【答案】C
【详解】AB．质点做匀变速曲线运动，可知所受合外力恒定，加速度恒定，D点的加速度向上，则整个运动的任何位置加速度均向上恒定，由图可知沿着切线方向的瞬时速度与加速度的夹角从钝角变为直角后为锐角，则速度先减小后增大，D点时的速度最小；故AB错误；
CD．由可得
即加速度恒定时，任意1s时间内速度的变化均大小相等，方向相同，与加速度方向相同竖直向上，故C正确，D错误。
故选C。
【典例2】质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则下列说法正确的是（ ）
A．该质点做非匀变速曲线运动
B．恒力F的方向可能沿y轴负方向
C．恒力F的方向可能沿x轴正方向
D．任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同
【答案】BD
【详解】ABC．由于质点做的是曲线运动，根据质点做曲线运动的条件可知，质点受到的恒力的方向应指向轨迹凹侧，且与速度方向不在同一直线上，所以恒力F的方向可能沿y轴负方向，由于恒力作用，该质点做匀变速曲线运动，故AC错误，B正确。
D．速度的变化量，由于F是恒力，所以加速度不变，则任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同，故D正确。
故选BD。
(1)合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内)侧．
(2)曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切．
考点2:运动的合成及性质
一、运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
二、合运动的性质判断
【典例1】如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的图像。以下判断正确的是（ ）
A．在内，物体做匀速直线运动
B．在内，物体做匀变速曲线运动
C．时物体的速度大小为
D．时物体的速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．由图可知，物体的初速度为
方向沿x轴正方向。在内，物体的加速度为
方向沿y轴正方向，易知物体的初速度与加速度不共线，将做匀变速曲线运动。故A错误；B正确；
C．根据合速度与分速度的矢量关系，可知时物体的速度大小为
故C正确；
D．同理，时物体的速度大小为
故D错误。
故选BC。
【典例2】一个质量为2 kg的物体，在5个共点力作用下处于平衡状态。现同时撤去大小分别为15 N和10 N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体的运动的说法中正确的是（ ）
A．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是5 m/s2
B．一定做匀变速运动，加速度大小可能等于重力加速度的大小
C．可能做匀减速直线运动，加速度大小可能是2.5 m/s2
D．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小是5 m/s2
【答案】BC
【详解】A．根据平衡条件得知，其余力的合力大小范围为
5 N≤F合≤25 N
根据牛顿第二定律得物体的加速度大小范围为
2.5 m/s2≤a≤12.5 m/s2.
若物体原来做匀速直线运动，撤去的两个力的合力方向与速度方向不在同一直线上，物体做匀变速曲线运动，选项A错误；
B．由于撤去两个力后其余力保持不变，则物体所受的合力不变，一定做匀变速运动，加速度大小可能等于重力加速度的大小，选项B正确；
C．若物体原来做匀速直线运动，撤去的两个力的合力方向与速度方向相同时，物体做匀减速直线运动，加速度大小可能为2.5 m/s2，选项C正确；
D．物体在恒力作用下不可能做匀速圆周运动，选项D错误。
故选BC。
考点3:绳(杆)端的关联速度分解问题
1.模型分析
“牵连物体”是指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题（下面为了方便，统一说"绳"）。解题原则是∶把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小与绳上各点的速率相同求解。
（1）合速度方向∶物体实际运动方向。
（2）分速度方向∶①沿绳方向∶使绳伸缩;②垂直于绳方向∶使绳转动。
2.四种情景
【典例1】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动．若当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成角，则小车的速度为 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将速度v按运动效果分解如图所示：
则沿绳方向v1＝vcs，同理分解小车速度，，因为绳不可伸长，故沿绳方向速度大小相等. ,所以cs,所以；故选D.
【点睛】本题通常称为绳端物体速度分解问题，一定注意合运动是物体的实际运动．
【典例2】如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰好水平，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体A做减速运动B．物体A做匀速运动
C．可能小于D．一定大于
【答案】D
【详解】AB．由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示
由几何关系可得
由于B以速度匀速下滑，又在增大，A的速度增大，则A处于加速运动，故AB错误；
CD．根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有
故C错误，D正确。
故选D。
小船渡河模型
1.模型展示
小船在渡河时，同时参与了两个运动∶一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对于水的运动。小船实际发生的运动是这两个运动的合运动。模型主要讨论船渡河时间最短和位移最短这两个问题。设一条河宽为d，船在静水中的速度为vc，水流速度为vs，下面讨论小船渡河的这两类问题。
2.三种速度
vc（船在静水中的速度）、vs（水的流速）、v合（船的实际速度）。
3.船头指向与运动方向
船头指向，是分运动的方向。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动的方向，一般情况下与船头指向不一致。船头指向与河岸垂直说明船在静水中的速度方向与河岸垂直;行驶路线与河岸垂直说明船的合速度方向与河岸垂直。
4.分析思路及方法
方法一∶根据运动的实际效果分解
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水的运动速度为vs）和船相对于水的运动（船在静水中的速度为vc），船的实际运动是合运动（v合）。
①当小船垂直于河岸过河时，过河路径最短，此时应将船头偏向上游，如图所示，过河时间（d为河宽）。
同时可以看出若要使小船垂直于河岸过河，必须使vs、vc和v合构成三角形，即满足vc＞vs，也就是船在静水中的速度要大于水流速度。
②若要小船过河的时间最短，应使船头垂直于河岸行驶，如图所示，过河时间，此时小船一定在对岸下游处靠岸。
③如果vc＜vs，要使渡河位移最小，小船不能垂直于河岸渡河。以水流速度的末端A为圆心，小船在静水中速度大小为半作圆，过O点作该圆的切线，交圆于 B 点，此时船头指与半径AB平行，如图所示。小船实际运动的速度（合速度）与垂直于河岸方向的夹角最小时，小船渡河位移最小。
由相似三角形可得，解得。
渡河时间仍可以采用①中的方法求解，。
方法二∶利用正交分解法分解
将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示，则为船实际沿水流方向的速度，vcsinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。
①要使船垂直渡河，则应使vs-vccsθ=0，此时csθ=（船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为）渡河位移最小为d
②要使渡河时间最短，则应使vcsin θ最大，即当θ=90°（船头方向与河岸垂直）时，渡河时间最短，t=。
【典例1】一船行驶时船头始终垂直河岸，船到河心时水速突然变为原来的2倍，则过河时间（ ）
A．不受影响
B．时间缩短为原来的
C．增长
D．时间缩短为原来的
【答案】A
【详解】假设船在静水中的速度，河的宽度为d，则船头始终垂直河岸的过河时间为
可知与水速无关，所以船到河心时水速突然变为原来的2倍时过河时间不变。
故选A。
【典例2】如图所示，小船以大小为、方向与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处．已知河宽，则下列说法中正确的是（ ）
A．河中水流速度为
B．小船以最短位移渡河的时间为
C．小船渡河的最短时间为
D．小船以最短的时间渡河的位移是
【答案】D
【详解】A．由题意知，小船方向与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处，则
解得
故A错误；
B．小船以最短位移渡河的时间为
故B错误；
C．小船以最短时间渡河，船头应垂直对岸，时间为
故C错误；
D．小船以最短时间渡河时到达对岸，沿河岸通过的位移为
通过的位移
故D正确。
故选D。
1．关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．速度可能不变B．加速度可能不变
C．任意相等时间内的速度变化量可能不变D．合外力方向总是与速度方向相同
【答案】BC
【详解】A．做曲线运动的物体速度大小可能不变，速度方向一定发生改变，A错误；
B．物体做曲线运动的条件是初速度与加速度不在同一直线上，加速度可以恒定的以可以是变化的，故加速度可能不变，B正确；
C．根据B选项分析可知，加速度可能不变，根据可知任意相等时间内的速度变化量可能不变，C正确；
D．物体做曲线运动的条件是初速度与合外力不在同一直线上，D错误。
故选BC。
2.河中水流速度处处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船渡河时船头方向始终垂直于河岸，且初速度相同。若小船相对于静水分别做匀加速直线运动、匀减速直线运动和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法不正确的是（ ）
A．三种轨迹中，沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
B．三种轨迹中，沿AC轨迹渡河所用时间最短
C．沿AC和AD轨迹渡河，小船都是做匀变速运动
D．沿AD轨迹时，小船相对于静水做匀减速运动
【答案】A
【详解】CD．由题意可知小船做匀变速运动的加速度方向垂直于河岸方向，根据曲线运动合力方向处于轨迹的凹侧，可知沿AC轨迹的运动是匀加速运动，沿AB轨迹的运动是匀速运动，沿AD轨迹的运动是匀减速运动，故CD正确，不满足题意要求；
A．三种轨迹中，沿AD轨迹渡河，小船做匀减速运动，船靠岸时速度最小，故A错误，满足题意要求；
B．三种轨迹中，沿AC轨迹渡河，小船做匀加速运动，渡河所用时间最短，故B正确，不满足题意要求。
故选A。
3.如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，方向与瞬时速度相反，则小石子在轨迹OPQ中沿水平方向的加速度大小（ ）
A．O点最小B．P点最小
C．Q点最小D．整个运动过程保持不变
【答案】C
【详解】空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，方向与瞬时速度相反，小石子在水平方向只受阻力作用，所以水平方向的速度一直减小，水平方向受到的阻力减小，所以在Q点小石子受到的水平阻力最小，加速度最小。
故选C。
4．下列关于不在一条直线上的两个分运动与其合运动，说法不正确的是（ ）
A．若两个分运动都是初速度为零的匀加速直线运动，合运动一定是匀加速直线运动
B．若两个分运动都是匀速直线运动，则合运动一定是匀速直线运动
C．若两个分运动都是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动一定是匀加速直线运动
D．若一个分运动是初速度为零的匀加速直线运动，一个分运动是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动是匀变速曲线运动
【答案】C
【详解】A．两个分运动都是初速度为0的匀加速直线运动，其合加速度恒定，初速度为0，合运动为初速度为0的匀加速直线运动，故A正确，不符合题意；
B．两个分运动都是匀速直线运动，则合外力为0、初速度为某一定值，所以合运动一定为匀速直线运动，故B正确，不符合题意；
C．两个分运动都是初速度不为0的匀加速直线运动，只有当两分运动的初速度之比等于分加速度之比时，才做直线运动，否则做曲线运动，故C错误，符合题意；
D．分运动1是初速度为0的匀加速直线运动，分运动2是初速度不为0的匀加速直线运动，则初速度沿2方向、加速度沿两个分运动的合加速方向（与分运动2成某一夹角），即速度与加速度成一定夹角，做曲线运动，故D正确，不符合题意。
故选C。
5.为了抗击新冠肺炎疫情，保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”服务。一快递小哥想到了用无人机配送快递的办法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向的速度vx及竖直方向的速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．在t2～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为
【答案】D
【详解】A．在0～t1时间内，无人机在水平方向和竖直方向均做初速度为零的匀加速直线运动，合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故A错误；
B．由题图乙可知，图线始终在时间轴上方，则在竖直方向上，无人机始终竖直向上运动，即在0～t1时间内匀加速上升，在t1～t2时间内匀速上升，在t2～t4时间内匀减速上升，所以在t4时刻无人机运动到最高点，故B错误；
C．在t2～t4时间内，无人机在竖直方向上做匀减速直线运动，加速度方向竖直向下，速度方向竖直向上，在水平方向上，无人机做匀速直线运动，则两个直线运动合成后，合加速度方向竖直向下，合速度方向斜向上，不在同一直线上，所以无人机做匀变速曲线运动，故C错误；
D．在t2时刻，无人机水平方向的分速度为v0，竖直方向的分速度为v2，则合速度大小为v=，故D正确。
故选D。
6．一物体运动规律是，，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动
D．物体的合运动是加速度为的曲线运动
【答案】D
【详解】A．由匀变速直线运动位移时间关系式
易得物体在x轴方向上做初速度为，加速度为的匀加速直线运动；在y轴方向上做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，A错误；
BCD．由运动的合成可知，物体的合初速度为
方向沿x轴正方向；合加速度为
合加速度大小为，方向与x轴正方向成斜向上，所以物体做匀加速曲线运动，BC错误，D正确。
故选D。
7．如图所示，小船（视为质点）从岸边A点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为150m，水流速度大小为3m/s，船在静水中的速度大小为4m/s，则（ ）
A．船不可能到达正对岸B点
B．船的最短过河时间为30s
C．船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
D．船以最短路程过河时的速率为m/s
【答案】D
【详解】ACD．由于船在静水中的速度大于水流的速度，当速度满足如图所示关系时，船垂直河岸过河，此时为最短路程过河，船头方向与方向相同，过河时的速率为
故AC错误，D正确；
B．船头垂直河岸过河时，时间最短，则有
故B错误。
故选D。
8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【答案】D
【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示，
在水平方向由牛顿第二定律得
分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确；
B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示，
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误；
C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。
故选D。
9．如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）
A．缆绳中的拉力等于
B．货箱向上运动的速度大于v
C．货箱向上运动的速度等于
D．货箱向上做加速直线运动
【答案】D
【详解】根据题意，设绳子与水平方向的夹角为，将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于货物的速度，如图所示
根据平行四边形定则得
由于汽车运动过程中，减小，则增大，物体M向上做加速运动，由牛顿第二定律有
可知，绳子的拉力大于。
故选D。
10．某河宽为，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是（ ）
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．船离开河岸时的速度大小为
D．渡河最短时间为
【答案】A
【详解】AD．当船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，且渡河时间最短为
故A正确，D错误；
B．因为静水速不变，水流速在变化，知沿河岸方向上有加速度，合速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，所以轨迹是曲线，故B错误；
C．船离开河岸400m时，离河岸较近的距离为200m，此时水流速度为2m/s，根据平行四边形定则
故C错误。
故选A。
11．如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平N位置，已知AO与竖直杆成角，则（ ）
A．刚开始时B的速度为
B．A运动到位置N时，B的速度不为零
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．重物B下降过程，绳对B的拉力等于B的重力
【答案】C
【详解】AB．环在运动过程中，环的速度沿着细杆竖直向上，而环的速度可以分解为沿着绳子的速度和垂直于绳子的速度，因此，沿着绳子的速度为
又物体B与绳子相连，所以物体B的速度大小等于绳子的速度，而当A运动到位置N时，沿着绳子的速度变为零，因此此时B的速度也为零，故AB错误；
CD．环A在上升过程中，连接A与B的绳子与竖直方向的夹角在增大，因此可知
在减小，也就是说物体B在运动过程中始终在做减速运动，速度方向与加速度方向相反，根据牛顿第二定律有
得到绳子对B的拉力为
故C正确，D错误。
故选C。
12．在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．相对地面做变加速曲线运动
B．相对地面的运动轨迹为直线
C．t时刻猴子对地速度的大小为
D．t时间内猴子对地的位移大小为
【答案】D
【详解】AB．猴子竖直向上做匀加速直线运动，水平向右做匀速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，故AB错误；
C．根据平行四边形定则，t时刻猴子对地的速度大小为
故C错误；
D．t时间内猴子对地的位移大小为
D正确。
故选D。
13．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ 时（图中未标出），关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是（ ）
A．当时，A、B两球速度大小相等
B．当时，A球速度的大小小于B球速度
C．
D．
【答案】AC
【详解】当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解，如图所示
沿杆方向两分速度大小相等，则
即
当
时，可得
故选AC。
14．如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球重力为2N，电动机从A端以的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°，对此时小球速度及绳子拉力的判断正确的是（ ）
A．小球的速度为
B．小球的速度为
C．绳子的拉力等于4N
D．绳子的拉力大于4N
【答案】AD
【详解】AB．设小球的速度为v1，则
v1cs60°=v
解得球的速度
v1=4m/s
选项A正确，B错误；
CD．小球向上运动时，θ变大，则小球的速度v1变大，即小球向上做加速运动，根据牛顿第二定律
解得
选项C错误，D正确。
故选AD。
15．一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B两个物体，如图所示，物体A在外力作用下，向左以匀速运动，当连A的绳子与水平方向成角，连B的绳子与水平方向成角，B物体的速度为，则（ ）
A．A物体的速度与B物体的速度的大小相等
B．A物体的速度与B物体的速度的大小关系满足
C．此后B物体以速度做匀速运动
D．此后B物体的速度越来越大，所以做加速运动
【答案】BD
【详解】AB．将A、B两物体的速度分解到沿绳方向和垂直绳方向，两物体沿绳方向分速度大小相等，则有
A错误，B正确；
CD．由可得
不变，A向左运动过程，减小，增大，则增大，B做加速运动，C错误，D正确。
故选BD。
16．如图，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，小环下滑带动重物上升，当小环沿直杆下滑到图中B处时有向下的速度。下滑距离也为d，下列说法正确的是（ ）
A．小环刚释放时重物能上升，则轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
【答案】AC
【详解】A．由题意知，刚释放时小环向下加速运动，则重物将加速上升，对重物由牛顿第二定律可知，绳中张力一定大于重力2mg，A正确；
B．小环到达B处时，重物上升的高度应为绳子收缩的长度，即
B错误；
CD．由题意，沿绳子方向的速度大小相等，将小环的速度沿绳子方向与垂直于绳子方向分解应满足
即
所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
C正确，D错误。
故选AC。
17．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力为恒为，当轻绳与水平面的夹角为时，人以速度v匀速向左运动，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
A．船的速度为B．船的速度为
C．船将匀加速靠岸D．船的加速度为
【答案】BD
【详解】AB．将船的速度分解为沿绳子方向与垂直绳子方向的两个分速度，其中沿绳子方向的分速度等于人的速度，则有
解得
故A错误，B正确；
C．由于船在靠岸过程中，逐渐增大，可知逐渐减小，则逐渐增大，船将加速靠岸，但船不是匀加速靠岸，因为当趋近于时，趋近于零，将趋近于无穷大，这是船在有限距离做匀加速运动无法得到的速度，故C错误；
D．水的阻为恒为，此时人的拉力大小为F，以船为对象，根据牛顿第二定律可得
解得
故D正确。
故选BD。
18．如图所示，一条小船位于d＝200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为v1＝4 m/s。
（1）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船到岸的最短时间是多少；
（2）若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间是多少；
（3）为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少。
【答案】（1）20s；（2）37°，33.3s；（3）2m/s
【详解】（1）当船头方向垂直河岸时，则渡河时间最短，则最短时间为
（2）设船头与河岸的夹角为，如图
由图知
解得
船的合速度
渡河时间
（3）小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为α，即有
则
α = 30°
小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小为
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速直线运动
①当两个分速度v1、v2等大反向时，合速度 v=0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀变速直线运动
①v0与a共线时，物体做匀变速直线运动
②v0与a不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变速直线运动
①v、a 共线时，物体做匀变速直线运动（含v=0）
②v、a不共线时，物体做匀变速曲线运动
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
情景
情景一
情景二
情景图示
分解图示
定量结论
，即
，即
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