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高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第2讲 抛体运动的规律及其应用（原卷版+解析）
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这是一份高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第2讲 抛体运动的规律及其应用（原卷版+解析），共40页。试卷主要包含了定义，性质，方法，基本规律等内容，欢迎下载使用。
——划重点之精细讲义系列
知识点1：平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动．
4．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
(3)轨迹方程：y＝eq \f(g,2v\\al(2,0))x2
知识2:斜抛运动
1．定义
将物体以v沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．研究方法
斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动．
4．基本规律
(1)水平方向：v0x＝v0cs θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(1)平抛、斜抛运动都是匀变速运动．
(2)在平抛、斜抛运动中，相同时间内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，但速率的变化量不相同.
【典例1】(多选)对平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动
B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
【典例2】关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是( )
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
【典例3】做斜抛运动的物体，到达最高点时( )
A．速度为零，加速度向下
B．速度为零，加速度为零
C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度
D．具有水平方向的速度和加速度
【典例4】(多选)在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在M点右方地面上N点处，将S2球以初速度v2斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中( )
A．初速度大小关系为v1＝v2
B．速度变化量相等
C．水平位移相等
D．都不是匀变速运动
【典例5】(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于Leq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
考点1:平抛运动基本规律的理解
①飞行时间
t＝ eq \r(\f(2h,g))，取决于下落高度h，与初速度v0无关．
②水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，由平抛初速度v0和下落高度h共同决定．
③速度变化
Δv＝Δvy＝gΔt，任意相等的时间间隔内速度变化量相等，方向竖直向下．如图所示
四、两个推论
1．做平抛运动的物体，在任一位置(x，y)的瞬时速度反向延长线与x轴交点A的横坐标为eq \f(x,2)，如图所示．
2.做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角α与位移偏向角θ的关系：tanα＝2tanθ.
【典例1】(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
【典例2】(多选)如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
A．1 m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s
考点2:平抛规律的应用——“平抛＋斜面”类问题
①对着斜面抛
②顺着斜面抛
【典例1】(多选)(2013·上海高考)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
【典例2】(多选)倾角为θ的斜面静止在水平面上，在斜面上的A点以v0的初速度水平抛出一小球，其落点与A的水平距离为s1；若改为2v0的速度在同一点抛出，则落点与A的水平距离为s2，则s1：s2可能为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动．
(2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系.
“类平抛”模型
1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2.运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3.处理方法
1．常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
2．特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小．
【典例2】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
1．关于平抛运动，下列说法正确的是（ ）
A．平抛运动的轨迹为抛物线，其速度方向和加速度方向都时刻在变化
B．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长
C．平抛运动是一种非匀变速曲线运动
D．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
2．从高为的斜面顶端以一定的水平速度抛出一个小球，改变斜面的倾角，小球在斜面上的落点将不同，已知斜面倾角的正切 与小球落在斜面上的时间的关系如图所示，（取），则小球抛出的速度等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，某同学在距离篮筐中心水平距离为x的地方跳起投篮。出手点离地面的高度为h，篮筐离地面的高度为H。该同学出手的瞬时速度，要使篮球到达篮筐中心时，竖直速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
B．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
C．水平距离
D．水平距离
4．随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则（ ）
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球飞到最高点时速度为零
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
5．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
A．C．6．物体以速度水平抛出，若不计空气阻力，则当其竖直分速度与水平分速度相等时，下说法中正确的是（ ）
A．竖直分位移等于水平分位移
B．即时速度大小为
C．运动的时间为
D．运动的位移为
7．据报道，尹某在小区内不幸被楼上抛落的酒瓶砸伤左脚。办案民警分析监控可描绘出酒瓶落在尹某脚面时速度与水平地面所成角度，随后民警又测量出尹某所在位置与楼房的水平距离。假设酒瓶飞出窗口的速度是水平的，若已知每层楼房高度，不计空气阻力，当地重力加速度已知，则通过以上信息能估算出（ ）
①酒瓶落至尹某脚面时的速度
②酒瓶从飞出至落地所用时间
③酒瓶对脚面的平均作用力
④酒瓶是从第几层楼房抛出的
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
8．如图所示，以的速度水平抛出的小球，飞行一段时间，垂直地撞在倾角的斜面上，，以下结论中正确的是（ ）
A．物体飞行时间是
B．物体飞行的时间是
C．物体下降的距离是
D．物体撞击斜面时的速度大小为10m/s
9．如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（ ）
A．2∶1B．C．D．
10．竖直边长为，倾角为的直角斜面固定在水平面地上，若将某小球a以速度从斜面顶端水平抛出，正好落在该斜面的中点上，现将该小球b以的初速度水平抛出，下面说法正确的是（ ）
A．小球b的水平位移为
B．小球a与小球b落在斜面上的时间之比为
C．小球a落在斜面上的速度与水平方向夹角为
D．小球a与小球b落在接触面上的速度方向不同
二、多选题
11．高一新生军训模拟投弹演练中，在陡峭山头上的同一位置，小明先后两次沿水平方向向山下同一目标投掷出甲，乙两颗仿真手榴弹（可视为质点），轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙飞行的时间相同B．甲的飞行时间比乙的长
C．甲的水平速度比乙大D．甲落地时的速度比乙小
12．如图所示，从倾角为的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为2v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则（ ）
A．B．C．D．
13．如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B．A、B两球的初速度大小之比为∶4
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为
D．若两球同时抛出，则落地的时间差为
14．有A、B、C、D四个完全相同的小球从地面上同一位置抛出，轨迹分别如图中①②③④所示。由图中轨迹可知A、B到达的最大高度相同，B、C的水平射程相同，A、D的水平射程相同，C、D到达的最大高度相同，不计空气阻力，则下列有关四个小球的运动分析正确的是（ ）
A．A、B两球抛出时竖直方向的速度相等
B．A、D两球在最高点时的速度相等
C．B、C在空中运动时间不相同
D．C、D两球落地时速度与地面的夹角一定不相等
三、实验题
15．在“研究小球做平抛运动的规律”的实验中：
（1）如图甲所示的实验中，观察到两球同时落地，说明平抛运动在竖直方向做_________；如图乙所示的实验：将两个光滑斜轨道固定在同一竖直面内，滑道末端水平，把两个质量相等的小钢球，从斜面的相同高度由静止同时释放，观察到球1落到水平板上并击中球2，这说明平抛运动在水平方向做_________；
（2）该同学用频闪照相机拍摄到如图所示的小球平抛运动的照片，照片中小方格的边长，小球在平抛运动中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则照相机每隔_________s曝光一次，小球平抛初速度为_________（当地重力加速度大小）。
四、解答题
16．2022年冬奥会首钢滑雪大跳台上，跳台滑雪运动员经过一段滑行后从斜坡上的A点水平飞出，落到斜坡上的B点。AB两点间的竖直高度，斜坡与水平方向的夹角，不计空气阻力，。求：
（1）运动员在空中的飞行时间为多少秒？
（2）运动员刚落到B点时的速度大小为多少？
（3）求此段时间内运动员发生的位移。
17．如图所示，倾角为37°的斜面长，在斜面底端正上方的O点将一小球以的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取，，），求：
（1）抛出点O离斜面底端的高度；
（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
18．如图所示，某滑雪者（视为质点）从山上A点以的初速度水平飞出，经一段时间刚好经过斜坡顶点P并无碰撞地沿斜坡向下滑，再经到达坡底B处。斜坡与水平面的夹角，取重力加速度大小，不计滑雪者受到的摩擦阻力和空气阻力。求：
（1）滑雪者在空中运动的时间t'；
（2）滑雪者到达B点时的速度大小v；
（3）A、B两点之间的高度差H。
方法
示意图
时间
总结
分解速度
对着斜面抛
如图，vy＝gt，tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，故t＝eq \f(v0,gtan θ)
分解速度，构建速度三角形
方法
示意图
时间
总结
分解位移
顺着斜面抛
如图，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，而tan θ＝eq \f(y,x)，联立得t＝eq \f(2v0tan θ,g)
分解位移，构建位移三角形
第2讲 抛体运动的规律及其应用
——划重点之精细讲义系列
知识点1：平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动．
4．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
(3)轨迹方程：y＝eq \f(g,2v\\al(2,0))x2
知识2:斜抛运动
1．定义
将物体以v沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．研究方法
斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动．
4．基本规律
(1)水平方向：v0x＝v0cs θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(1)平抛、斜抛运动都是匀变速运动．
(2)在平抛、斜抛运动中，相同时间内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，但速率的变化量不相同.
【典例1】(多选)对平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动
B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
【解析】 平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故A项正确；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy＝gt2，水平方向位移不变，故B项错误．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t＝eq \r(\f(2h,g))，落地速度为v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(,y)2)＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，所以C项正确，D项错误．
【答案】 AC
【典例2】关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是( )
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
【解析】 平抛运动的物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)知合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度方向的夹角，有tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，因t一直增大，所以tan θ变小，θ变小．故D正确，B错误．
【答案】 B
【典例3】做斜抛运动的物体，到达最高点时( )
A．速度为零，加速度向下
B．速度为零，加速度为零
C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度
D．具有水平方向的速度和加速度
【解析】 斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动．因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C选项正确．
【答案】 C
【典例4】(多选)在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在M点右方地面上N点处，将S2球以初速度v2斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中( )
A．初速度大小关系为v1＝v2
B．速度变化量相等
C．水平位移相等
D．都不是匀变速运动
【解析】 由题意可知，两球的水平位移相等，C正确；由于只受重力的作用，故都是匀变速运动，且相同时间内速度变化量相等，B正确，D错误；又由v1t＝v2xt可得A错误．
【答案】 BC
【典例5】(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于Leq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
【解析】 球做平抛运动，则其在竖直方向做自由落体运动，H＝eq \f(1,2)gt2得t＝ eq \r(\f(2H,g))，故B正确．水平方向做匀速运动，L＝v0t得v0＝eq \f(L,t)＝L eq \r(\f(g,2H))，可知A正确．球从击球点到落地点的位移s＝eq \r(H2＋L2)与m无关，可知C、D错误．
【答案】 AB
考点1:平抛运动基本规律的理解
①飞行时间
t＝ eq \r(\f(2h,g))，取决于下落高度h，与初速度v0无关．
②水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，由平抛初速度v0和下落高度h共同决定．
③速度变化
Δv＝Δvy＝gΔt，任意相等的时间间隔内速度变化量相等，方向竖直向下．如图所示
四、两个推论
1．做平抛运动的物体，在任一位置(x，y)的瞬时速度反向延长线与x轴交点A的横坐标为eq \f(x,2)，如图所示．
2.做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角α与位移偏向角θ的关系：tanα＝2tanθ.
【典例1】(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
【解析】 根据平抛运动的规律h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hb＝hc＞ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误，选项B正确；又因为xa＞xb，而ta＜tb，所以a的水平初速度比b的大，选项C错误；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，b的水平位移大于c，而tb＝tc，所以vb＞vc，即b的水平初速度比c的大，选项D正确．
【答案】 BD
【典例2】(多选)如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
A．1 m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s
【审题指导】 在竖直半圆内进行平抛时，圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约．画出轨迹和落点相对圆心的位置，利用几何关系和平抛运动规律求解．
【解析】 由于小球经0.4 s落到半圆上，下落的高度h＝eq \f(1,2)gt2＝0.8 m，位置可能有两处，如图所示．
第一种可能：小球落在半圆左侧，
v0t＝R－eq \r(R2－h2)＝0.4 m，v0＝1 m/s
第二种可能：小球落在半圆右侧，
v0t＝R＋eq \r(R2－h2)，v0＝4 m/s，选项A、D正确．
【答案】 AD
考点2:平抛规律的应用——“平抛＋斜面”类问题
①对着斜面抛
②顺着斜面抛
【典例1】(多选)(2013·上海高考)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
【解析】 设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为s，则H－h＝eq \f(1,2)vy·t，s＝v0t，二式相除eq \f(H－h,s)＝eq \f(1,2)·eq \f(vy,v0)，因为eq \f(vy,v0)＝eq \f(1,tan θ)，s＝eq \f(h,tan θ)，所以H＝h＋eq \f(h,2 tan2 θ)，A正确；根据H－h＝eq \f(1,2)gt2可求出飞行时间，再由s＝v0t可求出飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误．
【答案】 ABC
【典例2】(多选)倾角为θ的斜面静止在水平面上，在斜面上的A点以v0的初速度水平抛出一小球，其落点与A的水平距离为s1；若改为2v0的速度在同一点抛出，则落点与A的水平距离为s2，则s1：s2可能为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
【解析】 当两次都落在斜面上时，由s＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，tan θ＝eq \f(y,s)有s＝eq \f(2v\\al(2,0)tan θ,g)，得s∝veq \\al(2,0)，所以s1∶s2＝1∶4；当两次都落在水平面上时，由s＝v0t，h＝eq \f(1,2)gt2有s＝v0eq \r(\f(2h,g))，得s∝v0，所以s1∶s2＝1∶2，而一次落在斜面上一次落在水平面上时，其比值介于这两者之间，故A、B、C正确．
【答案】 ABC
(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动．
(2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系.
“类平抛”模型
1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2.运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3.处理方法
1．常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
2．特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小．
【审题指导】(1)此质点做类平抛运动．
(2)图中角度α是从抛点O到P点的位移与x轴方向的夹角，相当于平抛运动中的位移与v0的夹角．
【规范解答】(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动．
由牛顿第二定律得
a＝eq \f(F－mg,m)＝eq \f(15－10,1) m/s2＝5 m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，
则xP＝v0t，
yP＝eq \f(1,2)at2
又tan α＝eq \f(yP,xP)
联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m.
(2)质点经过P点时沿y方向的速度
vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝ eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝5eq \r(13) m/s.
【答案】(1)3 s P(30 m,22.5 m) (2)5eq \r(13) m/s
【典例2】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
【解析】(1)沿斜面向下的方向有
mgsin θ＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
联立解得t＝eq \r(\f(2l,gsin θ)).
(2)沿水平方向有b＝v0t
v0＝eq \f(b,t)＝beq \r(\f(gsin θ,2l)).
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋at2)＝eq \r(\f(b2＋4l2gsin θ,2l))
【答案】(1)eq \r(\f(2l,gsin θ)) (2)beq \r(\f(gsin θ,2l))
(3)eq \r(\f(b2＋4l2gsin θ,2l))
1．关于平抛运动，下列说法正确的是（ ）
A．平抛运动的轨迹为抛物线，其速度方向和加速度方向都时刻在变化
B．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长
C．平抛运动是一种非匀变速曲线运动
D．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
【答案】D
【详解】A．平抛运动的轨迹为抛物线，其速度方向时刻在变化，只受到重力，加速度方向不变,故A错误；
B．做平抛运动的物体在空中运动的时间和高度有关，与初速度无关，故B错误；
C．平抛运动只受到重力，加速度不变，是一种匀变速曲线运动，故C错误；
D．平抛运动只受到重力，是一种在恒力作用下的曲线运动，故D正确。
故选D。
2．从高为的斜面顶端以一定的水平速度抛出一个小球，改变斜面的倾角，小球在斜面上的落点将不同，已知斜面倾角的正切 与小球落在斜面上的时间的关系如图所示，（取），则小球抛出的速度等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知
解得
由图像可知
解得
v0=10m/s
故选B。
3．如图所示，某同学在距离篮筐中心水平距离为x的地方跳起投篮。出手点离地面的高度为h，篮筐离地面的高度为H。该同学出手的瞬时速度，要使篮球到达篮筐中心时，竖直速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
B．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
C．水平距离
D．水平距离
【答案】C
【详解】根据题意可知，篮球到达篮筐时，竖直速度刚好为零；根据逆向思维将篮球看成从篮筐处开始做平抛运动；设出手时瞬时速度与水平方向的夹角为，由平抛运动规律可得
联立解得
，
故选C。
4．随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则（ ）
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球飞到最高点时速度为零
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
【答案】A
【详解】ABD．由图可知三个球最高点相同，运动时间相同；由于运动时间相等，水平位移甲的最大，故击出初速度的水平分量甲的最大，据运动的对称性和速度的合成可知甲击出的高尔夫球落地速率最大，故BD错误，A正确；
C．做斜抛运动的物体最高点还有水平速度，速度不为零，故C错误。
故选A。
5．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
A．C．【答案】D
【详解】设以最小速率发射乒乓球经过时间到达球网中心，由平抛公式得
设以最大速率发射乒乓球经过时间到达球桌两角，由平抛公式得
能使乒乓球落到球网右侧台面上，则
联立解得
故选D。
6．物体以速度水平抛出，若不计空气阻力，则当其竖直分速度与水平分速度相等时，下说法中正确的是（ ）
A．竖直分位移等于水平分位移
B．即时速度大小为
C．运动的时间为
D．运动的位移为
【答案】C
【详解】AC．根据
得运动的时间
水平分位移
竖直分位移
可知水平分位移和竖直分位移不相等，故A错误，C正确；
B．瞬时速度的大小
故B错误；
D．则运动的位移
故D错误；
故选C。
7．据报道，尹某在小区内不幸被楼上抛落的酒瓶砸伤左脚。办案民警分析监控可描绘出酒瓶落在尹某脚面时速度与水平地面所成角度，随后民警又测量出尹某所在位置与楼房的水平距离。假设酒瓶飞出窗口的速度是水平的，若已知每层楼房高度，不计空气阻力，当地重力加速度已知，则通过以上信息能估算出（ ）
①酒瓶落至尹某脚面时的速度
②酒瓶从飞出至落地所用时间
③酒瓶对脚面的平均作用力
④酒瓶是从第几层楼房抛出的
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】B
【详解】根据题意可知，速度与水平方向的夹角已知，则
位移与水平方向的夹角
则位移与水平方向的夹角正切值已知，又因为尹某所在位置与楼房的水平距离已知，则竖直方向的下落高度可以求出，楼层高度已知，则可以计算出酒瓶是从第几层楼房抛出的。落地时间
又根据
，
落地时竖直方向速度为
故可以求出酒瓶从飞出至落地所用时间以及酒瓶落至尹某脚面时的速度。酒瓶质量以及落到脚上的缓冲时间未知，故无法求出对脚的平均作用力。
故选B。
8．如图所示，以的速度水平抛出的小球，飞行一段时间，垂直地撞在倾角的斜面上，，以下结论中正确的是（ ）
A．物体飞行时间是
B．物体飞行的时间是
C．物体下降的距离是
D．物体撞击斜面时的速度大小为10m/s
【答案】A
【详解】AB．根据题意可知，小球垂直撞在斜面上，小球的速度方向如图所示
由几何关系可知，速度与水平方向的夹角为
根据平抛运动规律，水平方向上
竖直方向上
又有
整理得
解得
故A正确，B错误；
D．则物体的竖直分速度为
则物体撞击斜面时的速度大小为
故D错误；
C．由公式可得，物体下降的距离是
故C错误。
故选A。
9．如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（ ）
A．2∶1B．C．D．
【答案】B
【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律
，
联立得
所以
又因为
所以
故选B。
10．竖直边长为，倾角为的直角斜面固定在水平面地上，若将某小球a以速度从斜面顶端水平抛出，正好落在该斜面的中点上，现将该小球b以的初速度水平抛出，下面说法正确的是（ ）
A．小球b的水平位移为
B．小球a与小球b落在斜面上的时间之比为
C．小球a落在斜面上的速度与水平方向夹角为
D．小球a与小球b落在接触面上的速度方向不同
【答案】D
【详解】C．根据题意，小球a落在斜面的中点，根据平抛运动规律可得
，
可得
，，
小球a落在斜面上时与水平方向夹角满足
故C错误；
AB．假设小球以初速度抛出，刚好落在斜面底端，根据平抛运动规律可得
，
解得
又
可得
由于该小球b以的初速度水平抛出，可知小球b将落在水平面上，则有
解得
小球b的水平位移为
故AB错误；
D．小球b落在地面上的竖直分速度为
小球b落在水平面上时与水平方向夹角满足
可知小球a与小球b落在接触面上的速度方向不同，故D正确。
故选D。
二、多选题
11．高一新生军训模拟投弹演练中，在陡峭山头上的同一位置，小明先后两次沿水平方向向山下同一目标投掷出甲，乙两颗仿真手榴弹（可视为质点），轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙飞行的时间相同B．甲的飞行时间比乙的长
C．甲的水平速度比乙大D．甲落地时的速度比乙小
【答案】AC
【详解】AB．仿真手榴弹在空中做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得
甲、乙下落的高度相同，甲和乙飞行的时间相同，故A正确，B错误；
C．平抛运动在水平方向做匀速直线运动，则有
由于甲和乙飞行的时间相同，甲的水平位移大于乙的水平位移，可知甲的水平速度比乙大，故C正确；
D．仿真手榴弹落地时的速度为
甲、乙下落高度相同，甲的水平速度大于乙的水平速度，则甲落地时的速度比乙大，故D错误。
故选AC。
12．如图所示，从倾角为的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为2v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】D．根据平抛运动规律可知，斜面上平抛出的物体落到斜面上时速度偏转角的正切值与位移偏转角的正切值分别为
，
由题意可知位移偏转角不变，则速度偏转角不变，则也不变。即
故D正确；
A．根据速度偏转角不变，则
解得
故A正确；
B．落回斜面时速度为
则
故B正确；
C．根据水平位移为，则两次的水平位移为
，
且根据位移偏转角不变，竖直方向位移
则
故C错误。
故选ABD。
13．如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B．A、B两球的初速度大小之比为∶4
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为
D．若两球同时抛出，则落地的时间差为
【答案】BC
【详解】AB．小球做平抛运动，竖直方向有
则运动时间
所以A球的运动时间
B球的运动时间
所以
由得
结合两球落地时的水平位移之比
可知A、B两球的初速度之比为即∶4，故A错误，B正确；
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差
故C正确，故D错误。
故选BC。
14．有A、B、C、D四个完全相同的小球从地面上同一位置抛出，轨迹分别如图中①②③④所示。由图中轨迹可知A、B到达的最大高度相同，B、C的水平射程相同，A、D的水平射程相同，C、D到达的最大高度相同，不计空气阻力，则下列有关四个小球的运动分析正确的是（ ）
A．A、B两球抛出时竖直方向的速度相等
B．A、D两球在最高点时的速度相等
C．B、C在空中运动时间不相同
D．C、D两球落地时速度与地面的夹角一定不相等
【答案】ACD
【详解】A．A、B到达的最大高度相同，由
可知，A、B抛出时的竖直速度相等，在空中运动的时间相等，故A正确；
B．由
可知，A运动的时间比D的要长，又A和D水平射程相等，由
可得，A的水平速度比D的小，而最高点时的速度即为水平方向的速度，故两者不相等，故B错误；
C．B、C的最大高度不同，则运动时间不同，故C正确；
D．由对称性可知，落地时速度与水平方向的夹角与抛出时速度与水平方向的夹角相同，对于C和D，由轨迹可知，C到达的最大高度与D的相等，则竖直初速度相等，运动时间相等，结合水平位移知，C的水平速度要小于D的，设抛出时速度与水平方向的夹角为，则
分析可知，C抛出时速度与水平方向的夹角比D的大，故一定不相等，故D正确。
故选ACD。
三、实验题
15．在“研究小球做平抛运动的规律”的实验中：
（1）如图甲所示的实验中，观察到两球同时落地，说明平抛运动在竖直方向做_________；如图乙所示的实验：将两个光滑斜轨道固定在同一竖直面内，滑道末端水平，把两个质量相等的小钢球，从斜面的相同高度由静止同时释放，观察到球1落到水平板上并击中球2，这说明平抛运动在水平方向做_________；
（2）该同学用频闪照相机拍摄到如图所示的小球平抛运动的照片，照片中小方格的边长，小球在平抛运动中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则照相机每隔_________s曝光一次，小球平抛初速度为_________（当地重力加速度大小）。
【答案】 自由落体运动 匀速直线运动 0.05 1
【详解】（1）[1]用小锤打击弹性金属片，B球就水平飞出，同时A球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面，则说明平抛运动竖直方向是自由落体运动；
[2]因为观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2，可知球1在水平方向上的运动规律与球2相同，即平抛运动在水平方向上做匀速直线运动；
（2）[3]在竖直方向上，根据匀变速直线运动的规律可得
得
[4]由公式，可得小球初速度为
四、解答题
16．2022年冬奥会首钢滑雪大跳台上，跳台滑雪运动员经过一段滑行后从斜坡上的A点水平飞出，落到斜坡上的B点。AB两点间的竖直高度，斜坡与水平方向的夹角，不计空气阻力，。求：
（1）运动员在空中的飞行时间为多少秒？
（2）运动员刚落到B点时的速度大小为多少？
（3）求此段时间内运动员发生的位移。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）平抛运动则竖直方向上自由落体运动，则有
解得运动员在空中的飞行时间为
（2）落到点时，水平速度为
竖直速度为
则运动员刚落到点时的速度大小为
（3）根据几何关系可得此段时间内运动员发生的位移
17．如图所示，倾角为37°的斜面长，在斜面底端正上方的O点将一小球以的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取，，），求：
（1）抛出点O离斜面底端的高度；
（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
【答案】（1）1.74m；（2）0.20
【详解】（1）小球抛出后，在斜面P点处垂直击中滑块，可知此时小球速度方向与斜面垂直，设此时小球竖直方向分速度为vy，则有
解得
小球由O到P做平抛运动，则其运动的时间为
小球水平位移为
小球竖直位移为
根据几何关系可知，P点高度为
所以O离斜面底端的高度为
（2）对滑块受力分析，设其沿斜面向下运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有
可得
所以滑块沿斜面向下由静止开始做匀加速直线运动，到达P点被小球击中，滑块位移为
小球抛出的同时释放滑块，所以滑块运动时间也为
由
解得
进一步解得
18．如图所示，某滑雪者（视为质点）从山上A点以的初速度水平飞出，经一段时间刚好经过斜坡顶点P并无碰撞地沿斜坡向下滑，再经到达坡底B处。斜坡与水平面的夹角，取重力加速度大小，不计滑雪者受到的摩擦阻力和空气阻力。求：
（1）滑雪者在空中运动的时间t'；
（2）滑雪者到达B点时的速度大小v；
（3）A、B两点之间的高度差H。
【答案】（1）0.3s；（2）；（3）5.95m
【详解】（1）从A点到P点的过程中做平抛运动，则有
解得
（2）滑雪者到达P点时的速度大小为
从P点到B点的过程中，由牛顿第二定律可得
由匀变速直线运动规律得
解得
（3）A、B两点之间的高度差
解得
方法
示意图
时间
总结
分解速度
对着斜面抛
如图，vy＝gt，tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，故t＝eq \f(v0,gtan θ)
分解速度，构建速度三角形
方法
示意图
时间
总结
分解位移
顺着斜面抛
如图，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，而tan θ＝eq \f(y,x)，联立得t＝eq \f(2v0tan θ,g)
分解位移，构建位移三角形
——划重点之精细讲义系列
知识点1：平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动．
4．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
(3)轨迹方程：y＝eq \f(g,2v\\al(2,0))x2
知识2:斜抛运动
1．定义
将物体以v沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．研究方法
斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动．
4．基本规律
(1)水平方向：v0x＝v0cs θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(1)平抛、斜抛运动都是匀变速运动．
(2)在平抛、斜抛运动中，相同时间内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，但速率的变化量不相同.
【典例1】(多选)对平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动
B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
【典例2】关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是( )
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
【典例3】做斜抛运动的物体，到达最高点时( )
A．速度为零，加速度向下
B．速度为零，加速度为零
C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度
D．具有水平方向的速度和加速度
【典例4】(多选)在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在M点右方地面上N点处，将S2球以初速度v2斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中( )
A．初速度大小关系为v1＝v2
B．速度变化量相等
C．水平位移相等
D．都不是匀变速运动
【典例5】(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于Leq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
考点1:平抛运动基本规律的理解
①飞行时间
t＝ eq \r(\f(2h,g))，取决于下落高度h，与初速度v0无关．
②水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，由平抛初速度v0和下落高度h共同决定．
③速度变化
Δv＝Δvy＝gΔt，任意相等的时间间隔内速度变化量相等，方向竖直向下．如图所示
四、两个推论
1．做平抛运动的物体，在任一位置(x，y)的瞬时速度反向延长线与x轴交点A的横坐标为eq \f(x,2)，如图所示．
2.做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角α与位移偏向角θ的关系：tanα＝2tanθ.
【典例1】(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
【典例2】(多选)如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
A．1 m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s
考点2:平抛规律的应用——“平抛＋斜面”类问题
①对着斜面抛
②顺着斜面抛
【典例1】(多选)(2013·上海高考)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
【典例2】(多选)倾角为θ的斜面静止在水平面上，在斜面上的A点以v0的初速度水平抛出一小球，其落点与A的水平距离为s1；若改为2v0的速度在同一点抛出，则落点与A的水平距离为s2，则s1：s2可能为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动．
(2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系.
“类平抛”模型
1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2.运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3.处理方法
1．常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
2．特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小．
【典例2】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
1．关于平抛运动，下列说法正确的是（ ）
A．平抛运动的轨迹为抛物线，其速度方向和加速度方向都时刻在变化
B．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长
C．平抛运动是一种非匀变速曲线运动
D．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
2．从高为的斜面顶端以一定的水平速度抛出一个小球，改变斜面的倾角，小球在斜面上的落点将不同，已知斜面倾角的正切 与小球落在斜面上的时间的关系如图所示，（取），则小球抛出的速度等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，某同学在距离篮筐中心水平距离为x的地方跳起投篮。出手点离地面的高度为h，篮筐离地面的高度为H。该同学出手的瞬时速度，要使篮球到达篮筐中心时，竖直速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
B．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
C．水平距离
D．水平距离
4．随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则（ ）
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球飞到最高点时速度为零
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
5．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
A．
A．竖直分位移等于水平分位移
B．即时速度大小为
C．运动的时间为
D．运动的位移为
7．据报道，尹某在小区内不幸被楼上抛落的酒瓶砸伤左脚。办案民警分析监控可描绘出酒瓶落在尹某脚面时速度与水平地面所成角度，随后民警又测量出尹某所在位置与楼房的水平距离。假设酒瓶飞出窗口的速度是水平的，若已知每层楼房高度，不计空气阻力，当地重力加速度已知，则通过以上信息能估算出（ ）
①酒瓶落至尹某脚面时的速度
②酒瓶从飞出至落地所用时间
③酒瓶对脚面的平均作用力
④酒瓶是从第几层楼房抛出的
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
8．如图所示，以的速度水平抛出的小球，飞行一段时间，垂直地撞在倾角的斜面上，，以下结论中正确的是（ ）
A．物体飞行时间是
B．物体飞行的时间是
C．物体下降的距离是
D．物体撞击斜面时的速度大小为10m/s
9．如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（ ）
A．2∶1B．C．D．
10．竖直边长为，倾角为的直角斜面固定在水平面地上，若将某小球a以速度从斜面顶端水平抛出，正好落在该斜面的中点上，现将该小球b以的初速度水平抛出，下面说法正确的是（ ）
A．小球b的水平位移为
B．小球a与小球b落在斜面上的时间之比为
C．小球a落在斜面上的速度与水平方向夹角为
D．小球a与小球b落在接触面上的速度方向不同
二、多选题
11．高一新生军训模拟投弹演练中，在陡峭山头上的同一位置，小明先后两次沿水平方向向山下同一目标投掷出甲，乙两颗仿真手榴弹（可视为质点），轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙飞行的时间相同B．甲的飞行时间比乙的长
C．甲的水平速度比乙大D．甲落地时的速度比乙小
12．如图所示，从倾角为的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为2v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则（ ）
A．B．C．D．
13．如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B．A、B两球的初速度大小之比为∶4
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为
D．若两球同时抛出，则落地的时间差为
14．有A、B、C、D四个完全相同的小球从地面上同一位置抛出，轨迹分别如图中①②③④所示。由图中轨迹可知A、B到达的最大高度相同，B、C的水平射程相同，A、D的水平射程相同，C、D到达的最大高度相同，不计空气阻力，则下列有关四个小球的运动分析正确的是（ ）
A．A、B两球抛出时竖直方向的速度相等
B．A、D两球在最高点时的速度相等
C．B、C在空中运动时间不相同
D．C、D两球落地时速度与地面的夹角一定不相等
三、实验题
15．在“研究小球做平抛运动的规律”的实验中：
（1）如图甲所示的实验中，观察到两球同时落地，说明平抛运动在竖直方向做_________；如图乙所示的实验：将两个光滑斜轨道固定在同一竖直面内，滑道末端水平，把两个质量相等的小钢球，从斜面的相同高度由静止同时释放，观察到球1落到水平板上并击中球2，这说明平抛运动在水平方向做_________；
（2）该同学用频闪照相机拍摄到如图所示的小球平抛运动的照片，照片中小方格的边长，小球在平抛运动中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则照相机每隔_________s曝光一次，小球平抛初速度为_________（当地重力加速度大小）。
四、解答题
16．2022年冬奥会首钢滑雪大跳台上，跳台滑雪运动员经过一段滑行后从斜坡上的A点水平飞出，落到斜坡上的B点。AB两点间的竖直高度，斜坡与水平方向的夹角，不计空气阻力，。求：
（1）运动员在空中的飞行时间为多少秒？
（2）运动员刚落到B点时的速度大小为多少？
（3）求此段时间内运动员发生的位移。
17．如图所示，倾角为37°的斜面长，在斜面底端正上方的O点将一小球以的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取，，），求：
（1）抛出点O离斜面底端的高度；
（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
18．如图所示，某滑雪者（视为质点）从山上A点以的初速度水平飞出，经一段时间刚好经过斜坡顶点P并无碰撞地沿斜坡向下滑，再经到达坡底B处。斜坡与水平面的夹角，取重力加速度大小，不计滑雪者受到的摩擦阻力和空气阻力。求：
（1）滑雪者在空中运动的时间t'；
（2）滑雪者到达B点时的速度大小v；
（3）A、B两点之间的高度差H。
方法
示意图
时间
总结
分解速度
对着斜面抛
如图，vy＝gt，tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，故t＝eq \f(v0,gtan θ)
分解速度，构建速度三角形
方法
示意图
时间
总结
分解位移
顺着斜面抛
如图，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，而tan θ＝eq \f(y,x)，联立得t＝eq \f(2v0tan θ,g)
分解位移，构建位移三角形
第2讲 抛体运动的规律及其应用
——划重点之精细讲义系列
知识点1：平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动．
4．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
(3)轨迹方程：y＝eq \f(g,2v\\al(2,0))x2
知识2:斜抛运动
1．定义
将物体以v沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．研究方法
斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动．
4．基本规律
(1)水平方向：v0x＝v0cs θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(1)平抛、斜抛运动都是匀变速运动．
(2)在平抛、斜抛运动中，相同时间内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，但速率的变化量不相同.
【典例1】(多选)对平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动
B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
【解析】 平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故A项正确；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy＝gt2，水平方向位移不变，故B项错误．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t＝eq \r(\f(2h,g))，落地速度为v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(,y)2)＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，所以C项正确，D项错误．
【答案】 AC
【典例2】关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是( )
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
【解析】 平抛运动的物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)知合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度方向的夹角，有tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，因t一直增大，所以tan θ变小，θ变小．故D正确，B错误．
【答案】 B
【典例3】做斜抛运动的物体，到达最高点时( )
A．速度为零，加速度向下
B．速度为零，加速度为零
C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度
D．具有水平方向的速度和加速度
【解析】 斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动．因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C选项正确．
【答案】 C
【典例4】(多选)在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在M点右方地面上N点处，将S2球以初速度v2斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中( )
A．初速度大小关系为v1＝v2
B．速度变化量相等
C．水平位移相等
D．都不是匀变速运动
【解析】 由题意可知，两球的水平位移相等，C正确；由于只受重力的作用，故都是匀变速运动，且相同时间内速度变化量相等，B正确，D错误；又由v1t＝v2xt可得A错误．
【答案】 BC
【典例5】(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A．球的速度v等于Leq \r(\f(g,2H))
B．球从击出至落地所用时间为 eq \r(\f(2H,g))
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
【解析】 球做平抛运动，则其在竖直方向做自由落体运动，H＝eq \f(1,2)gt2得t＝ eq \r(\f(2H,g))，故B正确．水平方向做匀速运动，L＝v0t得v0＝eq \f(L,t)＝L eq \r(\f(g,2H))，可知A正确．球从击球点到落地点的位移s＝eq \r(H2＋L2)与m无关，可知C、D错误．
【答案】 AB
考点1:平抛运动基本规律的理解
①飞行时间
t＝ eq \r(\f(2h,g))，取决于下落高度h，与初速度v0无关．
②水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，由平抛初速度v0和下落高度h共同决定．
③速度变化
Δv＝Δvy＝gΔt，任意相等的时间间隔内速度变化量相等，方向竖直向下．如图所示
四、两个推论
1．做平抛运动的物体，在任一位置(x，y)的瞬时速度反向延长线与x轴交点A的横坐标为eq \f(x,2)，如图所示．
2.做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角α与位移偏向角θ的关系：tanα＝2tanθ.
【典例1】(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
【解析】 根据平抛运动的规律h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hb＝hc＞ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误，选项B正确；又因为xa＞xb，而ta＜tb，所以a的水平初速度比b的大，选项C错误；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，b的水平位移大于c，而tb＝tc，所以vb＞vc，即b的水平初速度比c的大，选项D正确．
【答案】 BD
【典例2】(多选)如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
A．1 m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s
【审题指导】 在竖直半圆内进行平抛时，圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约．画出轨迹和落点相对圆心的位置，利用几何关系和平抛运动规律求解．
【解析】 由于小球经0.4 s落到半圆上，下落的高度h＝eq \f(1,2)gt2＝0.8 m，位置可能有两处，如图所示．
第一种可能：小球落在半圆左侧，
v0t＝R－eq \r(R2－h2)＝0.4 m，v0＝1 m/s
第二种可能：小球落在半圆右侧，
v0t＝R＋eq \r(R2－h2)，v0＝4 m/s，选项A、D正确．
【答案】 AD
考点2:平抛规律的应用——“平抛＋斜面”类问题
①对着斜面抛
②顺着斜面抛
【典例1】(多选)(2013·上海高考)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
【解析】 设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为s，则H－h＝eq \f(1,2)vy·t，s＝v0t，二式相除eq \f(H－h,s)＝eq \f(1,2)·eq \f(vy,v0)，因为eq \f(vy,v0)＝eq \f(1,tan θ)，s＝eq \f(h,tan θ)，所以H＝h＋eq \f(h,2 tan2 θ)，A正确；根据H－h＝eq \f(1,2)gt2可求出飞行时间，再由s＝v0t可求出飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误．
【答案】 ABC
【典例2】(多选)倾角为θ的斜面静止在水平面上，在斜面上的A点以v0的初速度水平抛出一小球，其落点与A的水平距离为s1；若改为2v0的速度在同一点抛出，则落点与A的水平距离为s2，则s1：s2可能为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
【解析】 当两次都落在斜面上时，由s＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，tan θ＝eq \f(y,s)有s＝eq \f(2v\\al(2,0)tan θ,g)，得s∝veq \\al(2,0)，所以s1∶s2＝1∶4；当两次都落在水平面上时，由s＝v0t，h＝eq \f(1,2)gt2有s＝v0eq \r(\f(2h,g))，得s∝v0，所以s1∶s2＝1∶2，而一次落在斜面上一次落在水平面上时，其比值介于这两者之间，故A、B、C正确．
【答案】 ABC
(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动．
(2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系.
“类平抛”模型
1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2.运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m).
3.处理方法
1．常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
2．特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【典例1】在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小．
【审题指导】(1)此质点做类平抛运动．
(2)图中角度α是从抛点O到P点的位移与x轴方向的夹角，相当于平抛运动中的位移与v0的夹角．
【规范解答】(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动．
由牛顿第二定律得
a＝eq \f(F－mg,m)＝eq \f(15－10,1) m/s2＝5 m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，
则xP＝v0t，
yP＝eq \f(1,2)at2
又tan α＝eq \f(yP,xP)
联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m.
(2)质点经过P点时沿y方向的速度
vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝ eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝5eq \r(13) m/s.
【答案】(1)3 s P(30 m,22.5 m) (2)5eq \r(13) m/s
【典例2】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
【解析】(1)沿斜面向下的方向有
mgsin θ＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
联立解得t＝eq \r(\f(2l,gsin θ)).
(2)沿水平方向有b＝v0t
v0＝eq \f(b,t)＝beq \r(\f(gsin θ,2l)).
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋at2)＝eq \r(\f(b2＋4l2gsin θ,2l))
【答案】(1)eq \r(\f(2l,gsin θ)) (2)beq \r(\f(gsin θ,2l))
(3)eq \r(\f(b2＋4l2gsin θ,2l))
1．关于平抛运动，下列说法正确的是（ ）
A．平抛运动的轨迹为抛物线，其速度方向和加速度方向都时刻在变化
B．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长
C．平抛运动是一种非匀变速曲线运动
D．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
【答案】D
【详解】A．平抛运动的轨迹为抛物线，其速度方向时刻在变化，只受到重力，加速度方向不变,故A错误；
B．做平抛运动的物体在空中运动的时间和高度有关，与初速度无关，故B错误；
C．平抛运动只受到重力，加速度不变，是一种匀变速曲线运动，故C错误；
D．平抛运动只受到重力，是一种在恒力作用下的曲线运动，故D正确。
故选D。
2．从高为的斜面顶端以一定的水平速度抛出一个小球，改变斜面的倾角，小球在斜面上的落点将不同，已知斜面倾角的正切 与小球落在斜面上的时间的关系如图所示，（取），则小球抛出的速度等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知
解得
由图像可知
解得
v0=10m/s
故选B。
3．如图所示，某同学在距离篮筐中心水平距离为x的地方跳起投篮。出手点离地面的高度为h，篮筐离地面的高度为H。该同学出手的瞬时速度，要使篮球到达篮筐中心时，竖直速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
B．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
C．水平距离
D．水平距离
【答案】C
【详解】根据题意可知，篮球到达篮筐时，竖直速度刚好为零；根据逆向思维将篮球看成从篮筐处开始做平抛运动；设出手时瞬时速度与水平方向的夹角为，由平抛运动规律可得
联立解得
，
故选C。
4．随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则（ ）
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球飞到最高点时速度为零
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
【答案】A
【详解】ABD．由图可知三个球最高点相同，运动时间相同；由于运动时间相等，水平位移甲的最大，故击出初速度的水平分量甲的最大，据运动的对称性和速度的合成可知甲击出的高尔夫球落地速率最大，故BD错误，A正确；
C．做斜抛运动的物体最高点还有水平速度，速度不为零，故C错误。
故选A。
5．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
A．
【详解】设以最小速率发射乒乓球经过时间到达球网中心，由平抛公式得
设以最大速率发射乒乓球经过时间到达球桌两角，由平抛公式得
能使乒乓球落到球网右侧台面上，则
联立解得
故选D。
6．物体以速度水平抛出，若不计空气阻力，则当其竖直分速度与水平分速度相等时，下说法中正确的是（ ）
A．竖直分位移等于水平分位移
B．即时速度大小为
C．运动的时间为
D．运动的位移为
【答案】C
【详解】AC．根据
得运动的时间
水平分位移
竖直分位移
可知水平分位移和竖直分位移不相等，故A错误，C正确；
B．瞬时速度的大小
故B错误；
D．则运动的位移
故D错误；
故选C。
7．据报道，尹某在小区内不幸被楼上抛落的酒瓶砸伤左脚。办案民警分析监控可描绘出酒瓶落在尹某脚面时速度与水平地面所成角度，随后民警又测量出尹某所在位置与楼房的水平距离。假设酒瓶飞出窗口的速度是水平的，若已知每层楼房高度，不计空气阻力，当地重力加速度已知，则通过以上信息能估算出（ ）
①酒瓶落至尹某脚面时的速度
②酒瓶从飞出至落地所用时间
③酒瓶对脚面的平均作用力
④酒瓶是从第几层楼房抛出的
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】B
【详解】根据题意可知，速度与水平方向的夹角已知，则
位移与水平方向的夹角
则位移与水平方向的夹角正切值已知，又因为尹某所在位置与楼房的水平距离已知，则竖直方向的下落高度可以求出，楼层高度已知，则可以计算出酒瓶是从第几层楼房抛出的。落地时间
又根据
，
落地时竖直方向速度为
故可以求出酒瓶从飞出至落地所用时间以及酒瓶落至尹某脚面时的速度。酒瓶质量以及落到脚上的缓冲时间未知，故无法求出对脚的平均作用力。
故选B。
8．如图所示，以的速度水平抛出的小球，飞行一段时间，垂直地撞在倾角的斜面上，，以下结论中正确的是（ ）
A．物体飞行时间是
B．物体飞行的时间是
C．物体下降的距离是
D．物体撞击斜面时的速度大小为10m/s
【答案】A
【详解】AB．根据题意可知，小球垂直撞在斜面上，小球的速度方向如图所示
由几何关系可知，速度与水平方向的夹角为
根据平抛运动规律，水平方向上
竖直方向上
又有
整理得
解得
故A正确，B错误；
D．则物体的竖直分速度为
则物体撞击斜面时的速度大小为
故D错误；
C．由公式可得，物体下降的距离是
故C错误。
故选A。
9．如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（ ）
A．2∶1B．C．D．
【答案】B
【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律
，
联立得
所以
又因为
所以
故选B。
10．竖直边长为，倾角为的直角斜面固定在水平面地上，若将某小球a以速度从斜面顶端水平抛出，正好落在该斜面的中点上，现将该小球b以的初速度水平抛出，下面说法正确的是（ ）
A．小球b的水平位移为
B．小球a与小球b落在斜面上的时间之比为
C．小球a落在斜面上的速度与水平方向夹角为
D．小球a与小球b落在接触面上的速度方向不同
【答案】D
【详解】C．根据题意，小球a落在斜面的中点，根据平抛运动规律可得
，
可得
，，
小球a落在斜面上时与水平方向夹角满足
故C错误；
AB．假设小球以初速度抛出，刚好落在斜面底端，根据平抛运动规律可得
，
解得
又
可得
由于该小球b以的初速度水平抛出，可知小球b将落在水平面上，则有
解得
小球b的水平位移为
故AB错误；
D．小球b落在地面上的竖直分速度为
小球b落在水平面上时与水平方向夹角满足
可知小球a与小球b落在接触面上的速度方向不同，故D正确。
故选D。
二、多选题
11．高一新生军训模拟投弹演练中，在陡峭山头上的同一位置，小明先后两次沿水平方向向山下同一目标投掷出甲，乙两颗仿真手榴弹（可视为质点），轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙飞行的时间相同B．甲的飞行时间比乙的长
C．甲的水平速度比乙大D．甲落地时的速度比乙小
【答案】AC
【详解】AB．仿真手榴弹在空中做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得
甲、乙下落的高度相同，甲和乙飞行的时间相同，故A正确，B错误；
C．平抛运动在水平方向做匀速直线运动，则有
由于甲和乙飞行的时间相同，甲的水平位移大于乙的水平位移，可知甲的水平速度比乙大，故C正确；
D．仿真手榴弹落地时的速度为
甲、乙下落高度相同，甲的水平速度大于乙的水平速度，则甲落地时的速度比乙大，故D错误。
故选AC。
12．如图所示，从倾角为的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为2v时，小球落回斜面所用的时间为，小球落回斜面的速度为，小球的位移为，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】D．根据平抛运动规律可知，斜面上平抛出的物体落到斜面上时速度偏转角的正切值与位移偏转角的正切值分别为
，
由题意可知位移偏转角不变，则速度偏转角不变，则也不变。即
故D正确；
A．根据速度偏转角不变，则
解得
故A正确；
B．落回斜面时速度为
则
故B正确；
C．根据水平位移为，则两次的水平位移为
，
且根据位移偏转角不变，竖直方向位移
则
故C错误。
故选ABD。
13．如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B．A、B两球的初速度大小之比为∶4
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为
D．若两球同时抛出，则落地的时间差为
【答案】BC
【详解】AB．小球做平抛运动，竖直方向有
则运动时间
所以A球的运动时间
B球的运动时间
所以
由得
结合两球落地时的水平位移之比
可知A、B两球的初速度之比为即∶4，故A错误，B正确；
C．若两球同时落地，则两球抛出的时间差
故C正确，故D错误。
故选BC。
14．有A、B、C、D四个完全相同的小球从地面上同一位置抛出，轨迹分别如图中①②③④所示。由图中轨迹可知A、B到达的最大高度相同，B、C的水平射程相同，A、D的水平射程相同，C、D到达的最大高度相同，不计空气阻力，则下列有关四个小球的运动分析正确的是（ ）
A．A、B两球抛出时竖直方向的速度相等
B．A、D两球在最高点时的速度相等
C．B、C在空中运动时间不相同
D．C、D两球落地时速度与地面的夹角一定不相等
【答案】ACD
【详解】A．A、B到达的最大高度相同，由
可知，A、B抛出时的竖直速度相等，在空中运动的时间相等，故A正确；
B．由
可知，A运动的时间比D的要长，又A和D水平射程相等，由
可得，A的水平速度比D的小，而最高点时的速度即为水平方向的速度，故两者不相等，故B错误；
C．B、C的最大高度不同，则运动时间不同，故C正确；
D．由对称性可知，落地时速度与水平方向的夹角与抛出时速度与水平方向的夹角相同，对于C和D，由轨迹可知，C到达的最大高度与D的相等，则竖直初速度相等，运动时间相等，结合水平位移知，C的水平速度要小于D的，设抛出时速度与水平方向的夹角为，则
分析可知，C抛出时速度与水平方向的夹角比D的大，故一定不相等，故D正确。
故选ACD。
三、实验题
15．在“研究小球做平抛运动的规律”的实验中：
（1）如图甲所示的实验中，观察到两球同时落地，说明平抛运动在竖直方向做_________；如图乙所示的实验：将两个光滑斜轨道固定在同一竖直面内，滑道末端水平，把两个质量相等的小钢球，从斜面的相同高度由静止同时释放，观察到球1落到水平板上并击中球2，这说明平抛运动在水平方向做_________；
（2）该同学用频闪照相机拍摄到如图所示的小球平抛运动的照片，照片中小方格的边长，小球在平抛运动中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则照相机每隔_________s曝光一次，小球平抛初速度为_________（当地重力加速度大小）。
【答案】 自由落体运动 匀速直线运动 0.05 1
【详解】（1）[1]用小锤打击弹性金属片，B球就水平飞出，同时A球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面，则说明平抛运动竖直方向是自由落体运动；
[2]因为观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2，可知球1在水平方向上的运动规律与球2相同，即平抛运动在水平方向上做匀速直线运动；
（2）[3]在竖直方向上，根据匀变速直线运动的规律可得
得
[4]由公式，可得小球初速度为
四、解答题
16．2022年冬奥会首钢滑雪大跳台上，跳台滑雪运动员经过一段滑行后从斜坡上的A点水平飞出，落到斜坡上的B点。AB两点间的竖直高度，斜坡与水平方向的夹角，不计空气阻力，。求：
（1）运动员在空中的飞行时间为多少秒？
（2）运动员刚落到B点时的速度大小为多少？
（3）求此段时间内运动员发生的位移。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）平抛运动则竖直方向上自由落体运动，则有
解得运动员在空中的飞行时间为
（2）落到点时，水平速度为
竖直速度为
则运动员刚落到点时的速度大小为
（3）根据几何关系可得此段时间内运动员发生的位移
17．如图所示，倾角为37°的斜面长，在斜面底端正上方的O点将一小球以的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取，，），求：
（1）抛出点O离斜面底端的高度；
（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
【答案】（1）1.74m；（2）0.20
【详解】（1）小球抛出后，在斜面P点处垂直击中滑块，可知此时小球速度方向与斜面垂直，设此时小球竖直方向分速度为vy，则有
解得
小球由O到P做平抛运动，则其运动的时间为
小球水平位移为
小球竖直位移为
根据几何关系可知，P点高度为
所以O离斜面底端的高度为
（2）对滑块受力分析，设其沿斜面向下运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有
可得
所以滑块沿斜面向下由静止开始做匀加速直线运动，到达P点被小球击中，滑块位移为
小球抛出的同时释放滑块，所以滑块运动时间也为
由
解得
进一步解得
18．如图所示，某滑雪者（视为质点）从山上A点以的初速度水平飞出，经一段时间刚好经过斜坡顶点P并无碰撞地沿斜坡向下滑，再经到达坡底B处。斜坡与水平面的夹角，取重力加速度大小，不计滑雪者受到的摩擦阻力和空气阻力。求：
（1）滑雪者在空中运动的时间t'；
（2）滑雪者到达B点时的速度大小v；
（3）A、B两点之间的高度差H。
【答案】（1）0.3s；（2）；（3）5.95m
【详解】（1）从A点到P点的过程中做平抛运动，则有
解得
（2）滑雪者到达P点时的速度大小为
从P点到B点的过程中，由牛顿第二定律可得
由匀变速直线运动规律得
解得
（3）A、B两点之间的高度差
解得
方法
示意图
时间
总结
分解速度
对着斜面抛
如图，vy＝gt，tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，故t＝eq \f(v0,gtan θ)
分解速度，构建速度三角形
方法
示意图
时间
总结
分解位移
顺着斜面抛
如图，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，而tan θ＝eq \f(y,x)，联立得t＝eq \f(2v0tan θ,g)
分解位移，构建位移三角形
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