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高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第4讲 万有引力与航天（原卷版+解析）
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这是一份高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第4讲 万有引力与航天（原卷版+解析），共49页。试卷主要包含了开普勒第一定律，开普勒第二定律，开普勒第三定律，4×1019 kg D．7， 9 km/s等内容，欢迎下载使用。
——划重点之精细讲义系列
知识点1：开普勒的行星运动定律
开普勒根据第谷的观测数据及个人的理论分析，对前人提出的天体做圆周运动的说法产生了怀疑，经过周密计算，他发现所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆。
1.开普勒第一定律（轨道定律）：
内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.
2.开普勒第二定律(面积定律)
内容:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律(周期定律)
内容:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等、因此有,式中的k是对绕太阳运动的所有行星都相同的常量。
对开普勒第三定律的理解
①k值由中心天体决定与绕中心天体运动的行星(或卫星)无关，即对于绕同一中心天体运动的行星，k值相同;中心天体不同，则k值一般不同。例如绕太阳运动的八大行星k值相同，卫星绕地球运动的k值与行星绕太阳运动的k值不同，常数k不是个普适常量。
②对于绕同一中心天体运动的行星,椭圆轨道半长轴越长的行星,公转周期越大,反之公转周期越小。
③大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，在中学阶段研究时均按圆轨道处理，太阳处在圆心，对某一行星来说它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变。若用r代表轨道半径，T代表公转周期，开普勒第三定律可以表示为。
知识点2：万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
3．适用条件
（1）严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用。
（2）两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的情形也适用，其中 r为球心到质点间的距离。
（4）两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。
(1)只有天体之间才存在万有引力．( )
(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(Mm,R2)计算物体间的万有引力．( )
(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．( )
知识3：万有引力定律应用及三种宇宙速度
1．万有引力定律基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
Geq \f(Mm,r2)＝mgr＝ma＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r),mrω2,mr\f(2π,T)2,mvω))
其中gr为距天体中心r处的重力加速度．
2．三种宇宙速度
(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．
1.万有引力与重力的关系
（1）物体在一般位置（不在赤道和两极）时，，F向、F引、G不在一条直线上。
（2）当物体在赤道上时，F向达到最大值，，此时重力G最小，。
（3）当物体在两极时F向=0，G=F引，重力达到最大值
可见只有在两极时，重力等于万有引力，其他位置时重力小于万有引力。
2.黄金代换式
由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转（忽略）的影响时，在地球附近有，化简得。通常叫作黄金代换式，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径 R 和表面的"重力加速度"g 代换 M。
知识4：经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝eq \f(m0,\r(1－\f(v2,c2))).
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
3．经典力学有它的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
【典例1】关于万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【典例2】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【典例3】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【典例4】设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝eq \f(4π2r3,T2) B．GM＝eq \f(4π2r2,T2)
C．GM＝eq \f(4π2r2,T3) D．GM＝eq \f(4πr3,T2)
考点1：天体质量和密度的估算
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
（1）由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
（2）天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2.卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
（1）由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2).
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r＝R，则有ρ＝eq \f(3π,GT2).
【典例1】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
【典例2】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A.eq \f(mv2,GN) B.eq \f(mv4,GN) C.eq \f(Nv2,Gm) D.eq \f(Nv4,Gm)
考点2： 卫星运行参量的比较与运算
1.卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝ma向＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2).
2.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
（1）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)→v＝eq \r(\f(GM,r))→v∝eq \f(1,\r(r)).
（2）Geq \f(Mm,r2)＝mω2r→ω＝eq \r(\f(GM,r3))→ω∝eq \f(1,\r(r3)).
（3）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r→T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))→T∝eq \r(r3).
（4）Geq \f(Mm,r2)＝ma→a＝eq \f(GM,r2)→a∝eq \f(1,r2).
（5）mg＝eq \f(GMm,R\\al(2,地))(近地时)→GM＝gReq \\al(2,地).
3.极地卫星和近地卫星
1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7. 9 km/s.
【典例1】 迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )
A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B．如果人到了该行星，其体重是地球上的2eq \f(2,3)倍
C．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 eq \r(\f(13,365))倍
D．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
【典例2】(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝ eq \r(\f(GM,R))
B．角速度ω＝ eq \r(gR)
C．运行周期T＝2π eq \r(\f(R,g))
D．向心加速度a＝eq \f(Gm,R2)
考点3：赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别
1.区别
（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．
（2）近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．
（3）三者的线速度各不相同．
2.求解此类题的关键
（1）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a＝ω2r而不能运用公式a＝eq \f(GM,r2).
（2）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v＝ωr而不能运用公式v＝eq \r(GM/r).
（3）在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v＝eq \r(GM/r)，而不能运用公式v＝ωr或v＝eq \r(gr).
【典例1】西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比( )
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
同步卫星的六个“一定”
【典例2】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是π/6
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
考点4：卫星的发射与变轨
1.宇宙速度
（1）第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
（2）第一宇宙速度的求法：
①eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(\f(GM,R)).
②mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(gR).
③第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．
2.卫星的变轨分析
卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．
（1）大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．
eq \x(\a\al(较低圆,轨道))eq \(,\s\up7(近地点向后喷气),\s\d5(近地点向前喷气))eq \x(\a\al(椭圆,轨道))eq \(,\s\up7(远地点向后喷气),\s\d5(远地点向前喷气))eq \x(\a\al(较高圆,轨道))
（2）空气阻力使速度减少，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v′＝eq \r(\f(GM,r′)).
【典例1】(多选)神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
【典例2】 (多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是( )
A．“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇
B．“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C．“神舟十号”变轨后在M点的速度大于变轨前的速度
D．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期
“多星”模型
1.双星系统
（1）双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
（2）双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
（3）双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L，质量分别为 M1和M2，线速度分别为v1和v2 ，轨道半径分别为 r1和 r2，共同运动的周期为T、角速度为ω，如图所示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
，
其中r1＋r2=L。
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的距离相混淆。
（4）几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径∶，
②星体质量∶，
④系统质量∶
④星体周期∶
2.三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R1的圆轨道上运动;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图 所示（设每颗星体的质量均为m）。
（1）对第一种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
（2）对第二种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
这里 。
【典例1】一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【典例2】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))T
C.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T
一、单选题
1．如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
D．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
2．2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即天王星和太阳正好分处在地球的两侧，三者几乎成一条直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知此时地球到天王星和太阳的距离分别为，地球的公转周期为T，则天王星公转周期约为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A．B．C．D．0
4．下列对天体的认识正确的是（ ）
A．由可知，两物体间距离减小时，它们间的引力增大，距离趋于零时，万有引力无限大
B．开普勒行星运动三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
C．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
D．根据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度小于在远日点的速度
5．太空行走又称为出舱活动。2021年11月8日1时16分，神舟十三号航天员乘组圆满完成出舱活动全部既定任务，王亚平成为中国首位进行出舱活动的女航天员，迈出了中国女性舱外太空行走第一步。假设质量为m的航天员出舱离开空间站后，某时刻其相对地心的速度为v，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则（ ）
A．该航天员离开空间站在太空行走时所受合外力为零
B．该航天员离开空间站在太空行走时所受的合外力大小等于mg
C．此时该航天员距离地球表面的高度为－R
D．此时该航天员指向地心的加速度大小为
6．上世纪70年代，苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（ ）
A．B．C．D．
7．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度是
B．火星表面的重力加速度是
C．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
D．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
8．2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其中a卫星为圆轨道，距离地面高度为，b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为v1，b卫星在近地点M时线速度大小为v2，在远地点N时线速度大小为v3，地球半径为R，P点为两个轨道的交点。下列说法正确的是（ ）
A．b卫星远地点N距离地面高度为
B．b卫星从N点运动到M点时间为
C．
D．a、b两卫星在P点受到地球的引力相等
9．北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以“一箭十四星”发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星、吉林一号高分03D34星等4颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．假设其中的甲、乙两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，甲的质量也是乙的2倍．则（ ）
A．由可知，甲的速度是乙的倍
B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由可知，甲的向心力是乙的
D．由可知，甲的周期是乙的倍
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，变轨使其沿椭圆轨道2运行，最后变轨将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道1上运行的速率小于赤道上随地球自转物体的速率
B．卫星在轨道3上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度
C．三条轨道中速率最大时刻为经过2上的Q点，速率最小时刻为经过2上的P点
D．周期关系为T2>T3>T1
11．如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．b卫星转动线速度大于7.9km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=TcD．在b、c中，b的线速度大
12．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为
C．恒星B的质量为
D．设三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
13．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为，万有引力常量为G，则（ ）
A．发射卫星b时速度要大于11.2km/s
B．卫星c的机械能小于卫星a的机械能
C．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过
14．在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（ ）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
15．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（ ）
A．环绕星运动的线速度为
B．环绕星运动的线速度为
C．环绕星动的周期为运
D．环绕星运动的周期为
二、多选题
16．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。假设火星可视为半径为R且质量分布均匀的球体，火星赤道处的重力加速度为g火，火星的自转周期为T，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．火星极点处的重力加速度大小为g火
B．火星的质量为
C．火星的平均密度为
D．火星卫星的最大环绕速度为
17．我国发射的火星探测器经过漫长的飞行进入绕火星运转的圆形轨道，在圆轨道上运动时，周期为，轨道离火星地面高度为；当探测器在近火星轨道做匀速圆周运动时，周期为，设引力常量为，火星视为匀质球体。则以下判断正确的是（ ）
A．火星的半径是
B．火星的密度是
C．火星的半径是
D．火星的密度是
18．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
B．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
C．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
D．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
三、解答题
19．2019年3月10日，全国政协十三届二次会议第三次全体会议上，相关人士透露：未来十年左右，月球南极将出现中国主导、多国参与的月球科研站，中国人的足迹将踏上月球。假设你经过刻苦学习与训练后成为宇航员并登上月球，你站在月球表面沿水平方向以大小为的速度抛出一个小球，小球经时间落到月球表面上的速度方向与月球表面间的夹角为，如图所示。已知月球的半径为，引力常量为。求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的质量和密度；
（3）绕月球做匀速圆周运动的人造卫星的最小周期。
20．如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角，设地球半径为，地球表面重力加速度为。
（1）求A做圆周运动的角速度；
（2）已知地球自转周期为，赤道上有一个航天测控站B（图中未标出），求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间。（卫星信号传输时间可忽略）
21．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体将绕地球运行
第二宇宙速度(逃逸速度)
11.2
是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体将绕太阳运行
第三宇宙速度
16.7
这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行
第4讲 万有引力与航天
——划重点之精细讲义系列
知识点1：开普勒的行星运动定律
开普勒根据第谷的观测数据及个人的理论分析，对前人提出的天体做圆周运动的说法产生了怀疑，经过周密计算，他发现所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆。
1.开普勒第一定律（轨道定律）：
内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.
2.开普勒第二定律(面积定律)
内容:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律(周期定律)
内容:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等、因此有,式中的k是对绕太阳运动的所有行星都相同的常量。
对开普勒第三定律的理解
①k值由中心天体决定与绕中心天体运动的行星(或卫星)无关，即对于绕同一中心天体运动的行星，k值相同;中心天体不同，则k值一般不同。例如绕太阳运动的八大行星k值相同，卫星绕地球运动的k值与行星绕太阳运动的k值不同，常数k不是个普适常量。
②对于绕同一中心天体运动的行星,椭圆轨道半长轴越长的行星,公转周期越大,反之公转周期越小。
③大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，在中学阶段研究时均按圆轨道处理，太阳处在圆心，对某一行星来说它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变。若用r代表轨道半径，T代表公转周期，开普勒第三定律可以表示为。
知识点2：万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
3．适用条件
（1）严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用。
（2）两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的情形也适用，其中 r为球心到质点间的距离。
（4）两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。
(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)
(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(Mm,R2)计算物体间的万有引力．(×)
(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)
知识3：万有引力定律应用及三种宇宙速度
1．万有引力定律基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
Geq \f(Mm,r2)＝mgr＝ma＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r),mrω2,mr\f(2π,T)2,mvω))
其中gr为距天体中心r处的重力加速度．
2．三种宇宙速度
(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．
1.万有引力与重力的关系
（1）物体在一般位置（不在赤道和两极）时，，F向、F引、G不在一条直线上。
（2）当物体在赤道上时，F向达到最大值，，此时重力G最小，。
（3）当物体在两极时F向=0，G=F引，重力达到最大值
可见只有在两极时，重力等于万有引力，其他位置时重力小于万有引力。
2.黄金代换式
由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转（忽略）的影响时，在地球附近有，化简得。通常叫作黄金代换式，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径 R 和表面的"重力加速度"g 代换 M。
知识4：经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝eq \f(m0,\r(1－\f(v2,c2))).
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
3．经典力学有它的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
【典例1】关于万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【解析】 万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r)，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.
【答案】 C
【典例2】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【解析】 设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳到地球距离为r1，月球到地球距离为r2，由题意eq \f(M,m)＝2.7×107，eq \f(r1,r2)＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1＝eq \f(GMm′,r\\al(2,1))，月球对海水的引力F2＝eq \f(Gmm′,r\\al(2,2))，则eq \f(F1,F2)＝eq \f(Mr\\al(2,2),mr\\al(2,1))＝eq \f(2.7×107,4002)＝eq \f(2 700,16)，故A选项正确，B选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C选项错误，D选项正确．
【答案】 AD
【典例3】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D错误．
【答案】 C
【典例4】设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝eq \f(4π2r3,T2) B．GM＝eq \f(4π2r2,T2)
C．GM＝eq \f(4π2r2,T3) D．GM＝eq \f(4πr3,T2)
【解析】 本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．
对行星有：eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，故GM＝eq \f(4π2r3,T2)，选项A正确．
【答案】 A
考点1：天体质量和密度的估算
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
（1）由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
（2）天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2.卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
（1）由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2).
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r＝R，则有ρ＝eq \f(3π,GT2).
【典例1】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：eq \f(GMm,r2)＝eq \f(4π2mr,T2)，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022kg，选项D正确．
【答案】 D
【典例2】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A.eq \f(mv2,GN) B.eq \f(mv4,GN) C.eq \f(Nv2,Gm) D.eq \f(Nv4,Gm)
【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系．
(2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系．
【解析】 设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，得Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(v2,R)①
m′eq \f(v2,R)＝m′g②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg③
由③得g＝eq \f(N,m)，代入②得：R＝eq \f(mv2,N)
代入①得M＝eq \f(mv4,GN)，故B项正确．
【答案】 B
考点2： 卫星运行参量的比较与运算
1.卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝ma向＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2).
2.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
（1）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)→v＝eq \r(\f(GM,r))→v∝eq \f(1,\r(r)).
（2）Geq \f(Mm,r2)＝mω2r→ω＝eq \r(\f(GM,r3))→ω∝eq \f(1,\r(r3)).
（3）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r→T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))→T∝eq \r(r3).
（4）Geq \f(Mm,r2)＝ma→a＝eq \f(GM,r2)→a∝eq \f(1,r2).
（5）mg＝eq \f(GMm,R\\al(2,地))(近地时)→GM＝gReq \\al(2,地).
3.极地卫星和近地卫星
1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7. 9 km/s.
【典例1】 迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )
A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B．如果人到了该行星，其体重是地球上的2eq \f(2,3)倍
C．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 eq \r(\f(13,365))倍
D．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
【解析】 行星、地球绕其中心天体做匀速圆周运动．根据万有引力提供向心力解决问题．
由题意知，行星、地球的质量之比eq \f(m1,m2)＝6，半径之比eq \f(R1,R2)＝1.5，公转周期之比eq \f(T1,T2)＝eq \f(13,365)，中心天体质量之比eq \f(M1,M2)＝0.31.根据Geq \f(mm′,R2)＝m′eq \f(v2,R)，得第一宇宙速度之比eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(Gm1,R1)·\f(R2,Gm2))＝ eq \r(\f(m1,m2)·\f(R2,R1))＝2，选项A错误；根据m′g＝Geq \f(mm′,R2)，得到人的体重之比eq \f(m′g1,m′g2)＝eq \f(m1,R\\al(2,1))·eq \f(R\\al(2,2),m2)＝eq \f(m1,m2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R2,R1)))2＝eq \f(8,3)，选项B正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，得与中心天体的距离之比eq \f(r1,r2)＝eq \r(3,\f(M1,M2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T1,T2)))2)＝eq \r(3,0.31×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,365)))2)，选项C错误；米尺在该行星上长度不一定会变短，选项D错误．
【答案】 B
【典例2】(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝ eq \r(\f(GM,R))
B．角速度ω＝ eq \r(gR)
C．运行周期T＝2π eq \r(\f(R,g))
D．向心加速度a＝eq \f(Gm,R2)
【解析】 对航天器：Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，v＝ eq \r(\f(GM,R))，故A正确．由mg＝mω2R得ω＝ eq \r(\f(g,R))，故B错误．由mg＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R得T＝2πeq \r(\f(R,g))，故C正确．由Geq \f(Mm,R2)＝ma得a＝eq \f(GM,R2)，故D错误．
【答案】 AC
考点3：赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别
1.区别
（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．
（2）近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．
（3）三者的线速度各不相同．
2.求解此类题的关键
（1）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a＝ω2r而不能运用公式a＝eq \f(GM,r2).
（2）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v＝ωr而不能运用公式v＝eq \r(GM/r).
（3）在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v＝eq \r(GM/r)，而不能运用公式v＝ωr或v＝eq \r(gr).
【典例1】西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比( )
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
【解析】 由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r1小于同步卫星轨道半径r2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F向＝Geq \f(Mm,r2)知，两卫星的向心力F1>F2，选项A错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)＝mω2r，得环绕速度v1>v2，角速度ω1＞ω2，两卫星质量相等，则动能Ek1>Ek2，故选项B正确，选项D错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v01【答案】 B
同步卫星的六个“一定”
【典例2】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是π/6
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
【解析】 对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，eq \f(GMm,r2)－N＝ma向，而eq \f(GMm,r2)＝mg，故a的向心加速度小于重力加速度g，A项错；由c是同步卫星可知卫星c在4 h内转过的圆心角是eq \f(π,3)，B项错；由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得，v＝eq \r(\f(GM,r))，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b的线速度大于卫星c的线速度，卫星c的线速度大于卫星d的线速度，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大于卫星a的线速度，C项对；由Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，得，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，轨道半径r越大，周期越长，故卫星d的周期大于同步卫星c的周期，D项错．
【答案】 C
考点4：卫星的发射与变轨
1.宇宙速度
（1）第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
（2）第一宇宙速度的求法：
①eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(\f(GM,R)).
②mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(gR).
③第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．
2.卫星的变轨分析
卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．
（1）大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．
eq \x(\a\al(较低圆,轨道))eq \(,\s\up7(近地点向后喷气),\s\d5(近地点向前喷气))eq \x(\a\al(椭圆,轨道))eq \(,\s\up7(远地点向后喷气),\s\d5(远地点向前喷气))eq \x(\a\al(较高圆,轨道))
（2）空气阻力使速度减少，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v′＝eq \r(\f(GM,r′)).
【典例1】(多选)神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
【解析】 本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手．
第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力Fn＝eq \f(mv2,r)减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误．
【答案】 BC
【典例2】 (多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是( )
A．“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇
B．“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C．“神舟十号”变轨后在M点的速度大于变轨前的速度
D．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期
【解析】 飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇，A错；飞船在M点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B错；飞船在M点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则变轨后在M点的速度大于变轨前的速度，C对；由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知轨道半径增大，周期增大，D项正确．
【答案】 CD
“多星”模型
1.双星系统
（1）双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
（2）双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
（3）双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L，质量分别为 M1和M2，线速度分别为v1和v2 ，轨道半径分别为 r1和 r2，共同运动的周期为T、角速度为ω，如图所示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
，
其中r1＋r2=L。
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的距离相混淆。
（4）几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径∶，
②星体质量∶，
④系统质量∶
④星体周期∶
2.三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R1的圆轨道上运动;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图 所示（设每颗星体的质量均为m）。
（1）对第一种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
（2）对第二种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
这里 。
【典例1】一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【解析】 对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝Geq \f(M1M2,L2)，距离L不变，M1与M2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：Geq \f(M1M2,L2)＝M1ω2r1，Geq \f(M1M2,L2)＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝eq \f(ω2L3,G)，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D错，C对．
【答案】 C
【典例2】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))T
C.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T
【解析】 双星间的万有引力提供向心力．
设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.
对质量为m的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝m(eq \f(2π,T))2·r
对质量为M的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝M(eq \f(2π,T))2(L－r)
得Geq \f(M＋m,L2)＝eq \f(4π2,T2)·L，即T2＝eq \f(4π2L3,GM＋m)
则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝eq \r(\f(n3,k))T，选项B正确．
【答案】 B
一、单选题
1．如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
D．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第一定律可知，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；
B．地球绕太阳运行的过程中，近日点速度最大，远日点速度最小，所以地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，故B错误；
C．根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
故选C。
2．2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即天王星和太阳正好分处在地球的两侧，三者几乎成一条直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知此时地球到天王星和太阳的距离分别为，地球的公转周期为T，则天王星公转周期约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据开普勒第三定律可知
解得
故选C。
3．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【详解】将挖空部分填满，大球体的剩余部分对该质点的万有引力与填入球体对质点的万有引力的质量和等于，填满的大球体对质点的万有引力。由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则
填满后大球体的有效质量为
得大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为
故选C。
4．下列对天体的认识正确的是（ ）
A．由可知，两物体间距离减小时，它们间的引力增大，距离趋于零时，万有引力无限大
B．开普勒行星运动三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
C．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
D．根据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度小于在远日点的速度
【答案】B
【详解】A．当两物体之间的距离趋于零时，万有引力定律不再适用，故A错误。
B．开普勒行星运动三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，故B正确。
C．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于其与地球间的万有引力全部用来提供做圆周运动的向心力，故C错误。
D．开普勒第二定律指出，当行星绕太阳运动时，在相等的时间内，其与太阳的连线扫过的面积相等。由此可知，行星在近日点的速度大于在远日点的速度，故D错误。
故选B。
5．太空行走又称为出舱活动。2021年11月8日1时16分，神舟十三号航天员乘组圆满完成出舱活动全部既定任务，王亚平成为中国首位进行出舱活动的女航天员，迈出了中国女性舱外太空行走第一步。假设质量为m的航天员出舱离开空间站后，某时刻其相对地心的速度为v，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则（ ）
A．该航天员离开空间站在太空行走时所受合外力为零
B．该航天员离开空间站在太空行走时所受的合外力大小等于mg
C．此时该航天员距离地球表面的高度为－R
D．此时该航天员指向地心的加速度大小为
【答案】C
【详解】AB．在地球表面，该航天员所受重力等于万有引力，有
该航天员离开空间站在太空行走时，只受万有引力作用，故该航天员离开空间站在太空行走时所受合外力为
小于其在地球表面时所受的重力mg，且不为零，故AB错误；
CD．该航天员离开空间站在太空行走时，所受万有引力提供向心力，有
又
，
联立解得此时该航天员距离地球表面的高度为
该航天员指向地心的加速度大小为
故C正确，D错误。
故选C。
6．上世纪70年代，苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零
则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有
设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得
所以
解得，F的大小为
B正确，ACD错误。
故选B。
7．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度是
B．火星表面的重力加速度是
C．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
D．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
【答案】B
【详解】AB．根据题意，由万有引力等于重力有
解得
则火星表面的重力加速度是
故A错误，B正确；
CD．根据题意，由公式可知，王跃在火星表面受的万有引力与在地球表面受万有引力之比为
即王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍，故CD错误。
故选B。
8．2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其中a卫星为圆轨道，距离地面高度为，b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为v1，b卫星在近地点M时线速度大小为v2，在远地点N时线速度大小为v3，地球半径为R，P点为两个轨道的交点。下列说法正确的是（ ）
A．b卫星远地点N距离地面高度为
B．b卫星从N点运动到M点时间为
C．
D．a、b两卫星在P点受到地球的引力相等
【答案】C
【详解】A．设b卫星运行的椭圆轨道半长轴为，根据开普勒第三定律有
即
设近地点M距离地面高度为，有
解得
故b卫星远地点N距离地面高度为，A错误；
B．对卫星a有
在地球表面有
联立解得
故b卫星从N点运动到M点时间为
B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，卫星b由N点运动到P点时速度在增大，分析可知若在P点点火加速可进入圆形a轨道，可得；同理，卫星b在近地点M减速可进入以M点高度所在处的圆轨道，根据万有引力公式可知当卫星围绕地球做圆周运动时轨道越高，速度越小，所以可知卫星a的速度小于M点高度所在处的圆轨道的速度，即卫星b在近地点M的速度大于卫星a的速度，所以有
C正确；
D．根据万有引力公式，a、b两卫星在P点时到地球的距离相等，由于两卫星的质量关系未知，所以无法判断受到地球引力大小关系，D错误。
故选C。
9．北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以“一箭十四星”发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星、吉林一号高分03D34星等4颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．假设其中的甲、乙两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，甲的质量也是乙的2倍．则（ ）
A．由可知，甲的速度是乙的倍
B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由可知，甲的向心力是乙的
D．由可知，甲的周期是乙的倍
【答案】D
【详解】A．卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则
因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据得出二者速度的关系，卫星的运行线速度
代入数据可得
故A错误；
B．因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度
代入数据可得
故B错误；
C．根据可得
故C错误；
D．两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律
可得
故D正确。
故选D。
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，变轨使其沿椭圆轨道2运行，最后变轨将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道1上运行的速率小于赤道上随地球自转物体的速率
B．卫星在轨道3上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度
C．三条轨道中速率最大时刻为经过2上的Q点，速率最小时刻为经过2上的P点
D．周期关系为T2>T3>T1
【答案】C
【详解】A．根据
可得
因为卫星在轨道1上的运动半径小于同步卫星的运动半径，可知卫星在轨道1上的线速度大于同步卫星的线速度；同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，根据v=ωr可知，同步卫星的线速度大于赤道上随地球自转的物体的速率，可知卫星在轨道1上运行的速率大于赤道上随地球自转物体的速率，选项A错误；
B．根据
可得
卫星在轨道3上经过P点时的加速度等于它在轨道2上经过P点时的加速度，选项B错误；
C．卫星在轨道1上经过Q点时加速才能进入轨道2；在轨道2上经过P点时加速才能进入轨道3，在轨道2上从Q到P，引力做负功，速率减小，由
可知，卫星在轨道1上的速率大于在轨道3上的速率，则
可知三条轨道中速率最大时刻为经过2上的Q点，速率最小时刻为经过2上的P点，选项C正确；
D．根据开普勒第三定律可知，在轨道3上半径最大，在轨道1上的半径最小，轨道2的半长轴大于轨道1的半径，可知周期关系为
T3>T2>T1
选项D错误。
故选C。
11．如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．b卫星转动线速度大于7.9km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=TcD．在b、c中，b的线速度大
【答案】D
【详解】A．由于b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，运行速度等于第一宇宙速度，为7.9km/s，A错误；
C．由于c为地球同步卫星，相对地面静止，因此
Ta=Tc
对于b、c卫星，根据
可得
因此
Tc>Tb
C错误；
B．对于b、c卫星，根据
可知
ab＞ac
对于a、c，根据
由于运行周期相同， 因此
ac >aa
B错误；
D．对于b、c，根据
可得
因此
D正确。
故选D。
12．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为
C．恒星B的质量为
D．设三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
【答案】D
【详解】A．C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
可得
若知道C的轨道半径，可求出B的质量，不能求出C的质量，A错误；
BC．恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，对A有
对B
联立可得
，
若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星根据上式可知，由于A与B的质量一定不相等，则其运动周期一定不是，BC错误；
D．三星由图示位置到再次共线时，有
解得
D正确。
故选D。
13．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为，万有引力常量为G，则（ ）
A．发射卫星b时速度要大于11.2km/s
B．卫星c的机械能小于卫星a的机械能
C．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过
【答案】C
【详解】A．卫星b绕地球做匀速圆周运动，7. 9km/s是指在地球上发射的物体绕地球做圆周运动所需的最小发射速度，11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b时速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，A错误；
B．三颗卫星质量相同时，高轨道卫星机械能大于低轨道卫星，B错误；
C．让卫星加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星会做离心运动，离开原轨道向高轨道运行，所以a通过调节可以与c实现对接，C正确；
D．b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球自转具有相同的周期和角速度，a距离地球表面的高度为R，由万有引力提供向心力，有
所以卫星a的角速度
此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近时，有
解得
D错误；
故选C。
14．在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（ ）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
【答案】B
【详解】A．根据题意可得每颗星轨道半径为
每颗星受到的万有引力的合力为
由万有引力提供向心力得
解得
向心加速度与质量有关，故A错误；
B．由万有引力提供向心力得
解得
则位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为，故B正确；
CD．由万有引力提供向心力得
解得
若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的，若每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的倍，即角速度变为原来的倍，故C、D错误。
故选B。
15．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（ ）
A．环绕星运动的线速度为
B．环绕星运动的线速度为
C．环绕星动的周期为运
D．环绕星运动的周期为
【答案】D
【详解】AB.对某一个环绕星
解得
故AB错误；
CD.而环绕行星运动的周期
解得
故C错误，D正确。
故选D。
二、多选题
16．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。假设火星可视为半径为R且质量分布均匀的球体，火星赤道处的重力加速度为g火，火星的自转周期为T，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．火星极点处的重力加速度大小为g火
B．火星的质量为
C．火星的平均密度为
D．火星卫星的最大环绕速度为
【答案】BD
【详解】AB．在火星赤道上的物体所受的万有引力等于物体在火星上的重力与物体随火星自转需要的向心力之和，则有
G=mg火＋mR
假设火星极点处的重力加速大小为g′火，则火星极点处物体所受的万有引力等于物体在火星极点处的重力，即
解得
火星的质量为
A错误，B正确；
C．火星的体积为
则火星的平均密度为，整理得
C错误；
D．火星卫星以最大环绕速度飞行时，轨道半径为R，此时卫星的重力近似等于万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有
，G=m′
整理得
D正确。
故选BD。
17．我国发射的火星探测器经过漫长的飞行进入绕火星运转的圆形轨道，在圆轨道上运动时，周期为，轨道离火星地面高度为；当探测器在近火星轨道做匀速圆周运动时，周期为，设引力常量为，火星视为匀质球体。则以下判断正确的是（ ）
A．火星的半径是
B．火星的密度是
C．火星的半径是
D．火星的密度是
【答案】BC
【详解】AC．根据题意，设火星半径为，由万有引力提供向心力有
联立解得
故A错误，C正确；
BD．根据题意，设火星半径为，由万有引力提供向心力有
火星的体积为
则火星的密度为
故D错误，B正确。
故选BC。
18．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
B．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
C．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
D．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
【答案】BC
【详解】A．万有引力提供向心力，则有
解得第一宇宙速度为
所以火星的第一宇宙速度为
所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误；
B．万有引力近似等于重力，则有
解得星表面的重力加速度
所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故B正确；
CD．当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故C正确，D错误。
故选BC。
三、解答题
19．2019年3月10日，全国政协十三届二次会议第三次全体会议上，相关人士透露：未来十年左右，月球南极将出现中国主导、多国参与的月球科研站，中国人的足迹将踏上月球。假设你经过刻苦学习与训练后成为宇航员并登上月球，你站在月球表面沿水平方向以大小为的速度抛出一个小球，小球经时间落到月球表面上的速度方向与月球表面间的夹角为，如图所示。已知月球的半径为，引力常量为。求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的质量和密度；
（3）绕月球做匀速圆周运动的人造卫星的最小周期。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球在月球上做平抛运动，设月球表面的重力加速度为，根据
所以月球表面的重力加速度为
（2）对月球表面的物体，万有引力等于重力
月球的质量为
密度
（3）当卫星的轨道半径等于月球半径时，周期最小，根据万有引力提供向心力
解得
20．如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角，设地球半径为，地球表面重力加速度为。
（1）求A做圆周运动的角速度；
（2）已知地球自转周期为，赤道上有一个航天测控站B（图中未标出），求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间。（卫星信号传输时间可忽略）
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设地球质量为，卫星A的质量为，A的轨道半径
万有引力提供向心力
解得
（2）角度关系
解得
21．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】(1)；(2)1.01
【详解】试题分析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：
联立解得：
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
化简得：
(2)将地月看成双星，由(1)得
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
化简得：
所以两种周期的平方比值为：
考点：考查了万有引力定律的应用
【点睛】这是一个双星的问题，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，
A和B有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题。
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体将绕地球运行
第二宇宙速度(逃逸速度)
11.2
是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体将绕太阳运行
第三宇宙速度
16.7
这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行
——划重点之精细讲义系列
知识点1：开普勒的行星运动定律
开普勒根据第谷的观测数据及个人的理论分析，对前人提出的天体做圆周运动的说法产生了怀疑，经过周密计算，他发现所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆。
1.开普勒第一定律（轨道定律）：
内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.
2.开普勒第二定律(面积定律)
内容:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律(周期定律)
内容:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等、因此有,式中的k是对绕太阳运动的所有行星都相同的常量。
对开普勒第三定律的理解
①k值由中心天体决定与绕中心天体运动的行星(或卫星)无关，即对于绕同一中心天体运动的行星，k值相同;中心天体不同，则k值一般不同。例如绕太阳运动的八大行星k值相同，卫星绕地球运动的k值与行星绕太阳运动的k值不同，常数k不是个普适常量。
②对于绕同一中心天体运动的行星,椭圆轨道半长轴越长的行星,公转周期越大,反之公转周期越小。
③大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，在中学阶段研究时均按圆轨道处理，太阳处在圆心，对某一行星来说它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变。若用r代表轨道半径，T代表公转周期，开普勒第三定律可以表示为。
知识点2：万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
3．适用条件
（1）严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用。
（2）两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的情形也适用，其中 r为球心到质点间的距离。
（4）两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。
(1)只有天体之间才存在万有引力．( )
(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(Mm,R2)计算物体间的万有引力．( )
(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．( )
知识3：万有引力定律应用及三种宇宙速度
1．万有引力定律基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
Geq \f(Mm,r2)＝mgr＝ma＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r),mrω2,mr\f(2π,T)2,mvω))
其中gr为距天体中心r处的重力加速度．
2．三种宇宙速度
(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．
1.万有引力与重力的关系
（1）物体在一般位置（不在赤道和两极）时，，F向、F引、G不在一条直线上。
（2）当物体在赤道上时，F向达到最大值，，此时重力G最小，。
（3）当物体在两极时F向=0，G=F引，重力达到最大值
可见只有在两极时，重力等于万有引力，其他位置时重力小于万有引力。
2.黄金代换式
由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转（忽略）的影响时，在地球附近有，化简得。通常叫作黄金代换式，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径 R 和表面的"重力加速度"g 代换 M。
知识4：经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝eq \f(m0,\r(1－\f(v2,c2))).
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
3．经典力学有它的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
【典例1】关于万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【典例2】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【典例3】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【典例4】设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝eq \f(4π2r3,T2) B．GM＝eq \f(4π2r2,T2)
C．GM＝eq \f(4π2r2,T3) D．GM＝eq \f(4πr3,T2)
考点1：天体质量和密度的估算
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
（1）由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
（2）天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2.卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
（1）由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2).
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r＝R，则有ρ＝eq \f(3π,GT2).
【典例1】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
【典例2】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A.eq \f(mv2,GN) B.eq \f(mv4,GN) C.eq \f(Nv2,Gm) D.eq \f(Nv4,Gm)
考点2： 卫星运行参量的比较与运算
1.卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝ma向＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2).
2.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
（1）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)→v＝eq \r(\f(GM,r))→v∝eq \f(1,\r(r)).
（2）Geq \f(Mm,r2)＝mω2r→ω＝eq \r(\f(GM,r3))→ω∝eq \f(1,\r(r3)).
（3）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r→T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))→T∝eq \r(r3).
（4）Geq \f(Mm,r2)＝ma→a＝eq \f(GM,r2)→a∝eq \f(1,r2).
（5）mg＝eq \f(GMm,R\\al(2,地))(近地时)→GM＝gReq \\al(2,地).
3.极地卫星和近地卫星
1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7. 9 km/s.
【典例1】 迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )
A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B．如果人到了该行星，其体重是地球上的2eq \f(2,3)倍
C．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 eq \r(\f(13,365))倍
D．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
【典例2】(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝ eq \r(\f(GM,R))
B．角速度ω＝ eq \r(gR)
C．运行周期T＝2π eq \r(\f(R,g))
D．向心加速度a＝eq \f(Gm,R2)
考点3：赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别
1.区别
（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．
（2）近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．
（3）三者的线速度各不相同．
2.求解此类题的关键
（1）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a＝ω2r而不能运用公式a＝eq \f(GM,r2).
（2）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v＝ωr而不能运用公式v＝eq \r(GM/r).
（3）在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v＝eq \r(GM/r)，而不能运用公式v＝ωr或v＝eq \r(gr).
【典例1】西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比( )
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
同步卫星的六个“一定”
【典例2】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是π/6
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
考点4：卫星的发射与变轨
1.宇宙速度
（1）第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
（2）第一宇宙速度的求法：
①eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(\f(GM,R)).
②mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(gR).
③第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．
2.卫星的变轨分析
卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．
（1）大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．
eq \x(\a\al(较低圆,轨道))eq \(,\s\up7(近地点向后喷气),\s\d5(近地点向前喷气))eq \x(\a\al(椭圆,轨道))eq \(,\s\up7(远地点向后喷气),\s\d5(远地点向前喷气))eq \x(\a\al(较高圆,轨道))
（2）空气阻力使速度减少，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v′＝eq \r(\f(GM,r′)).
【典例1】(多选)神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
【典例2】 (多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是( )
A．“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇
B．“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C．“神舟十号”变轨后在M点的速度大于变轨前的速度
D．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期
“多星”模型
1.双星系统
（1）双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
（2）双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
（3）双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L，质量分别为 M1和M2，线速度分别为v1和v2 ，轨道半径分别为 r1和 r2，共同运动的周期为T、角速度为ω，如图所示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
，
其中r1＋r2=L。
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的距离相混淆。
（4）几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径∶，
②星体质量∶，
④系统质量∶
④星体周期∶
2.三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R1的圆轨道上运动;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图 所示（设每颗星体的质量均为m）。
（1）对第一种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
（2）对第二种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
这里 。
【典例1】一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【典例2】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))T
C.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T
一、单选题
1．如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
D．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
2．2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即天王星和太阳正好分处在地球的两侧，三者几乎成一条直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知此时地球到天王星和太阳的距离分别为，地球的公转周期为T，则天王星公转周期约为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A．B．C．D．0
4．下列对天体的认识正确的是（ ）
A．由可知，两物体间距离减小时，它们间的引力增大，距离趋于零时，万有引力无限大
B．开普勒行星运动三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
C．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
D．根据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度小于在远日点的速度
5．太空行走又称为出舱活动。2021年11月8日1时16分，神舟十三号航天员乘组圆满完成出舱活动全部既定任务，王亚平成为中国首位进行出舱活动的女航天员，迈出了中国女性舱外太空行走第一步。假设质量为m的航天员出舱离开空间站后，某时刻其相对地心的速度为v，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则（ ）
A．该航天员离开空间站在太空行走时所受合外力为零
B．该航天员离开空间站在太空行走时所受的合外力大小等于mg
C．此时该航天员距离地球表面的高度为－R
D．此时该航天员指向地心的加速度大小为
6．上世纪70年代，苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（ ）
A．B．C．D．
7．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度是
B．火星表面的重力加速度是
C．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
D．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
8．2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其中a卫星为圆轨道，距离地面高度为，b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为v1，b卫星在近地点M时线速度大小为v2，在远地点N时线速度大小为v3，地球半径为R，P点为两个轨道的交点。下列说法正确的是（ ）
A．b卫星远地点N距离地面高度为
B．b卫星从N点运动到M点时间为
C．
D．a、b两卫星在P点受到地球的引力相等
9．北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以“一箭十四星”发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星、吉林一号高分03D34星等4颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．假设其中的甲、乙两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，甲的质量也是乙的2倍．则（ ）
A．由可知，甲的速度是乙的倍
B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由可知，甲的向心力是乙的
D．由可知，甲的周期是乙的倍
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，变轨使其沿椭圆轨道2运行，最后变轨将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道1上运行的速率小于赤道上随地球自转物体的速率
B．卫星在轨道3上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度
C．三条轨道中速率最大时刻为经过2上的Q点，速率最小时刻为经过2上的P点
D．周期关系为T2>T3>T1
11．如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．b卫星转动线速度大于7.9km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=Tc
12．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为
C．恒星B的质量为
D．设三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
13．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为，万有引力常量为G，则（ ）
A．发射卫星b时速度要大于11.2km/s
B．卫星c的机械能小于卫星a的机械能
C．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过
14．在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（ ）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
15．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（ ）
A．环绕星运动的线速度为
B．环绕星运动的线速度为
C．环绕星动的周期为运
D．环绕星运动的周期为
二、多选题
16．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。假设火星可视为半径为R且质量分布均匀的球体，火星赤道处的重力加速度为g火，火星的自转周期为T，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．火星极点处的重力加速度大小为g火
B．火星的质量为
C．火星的平均密度为
D．火星卫星的最大环绕速度为
17．我国发射的火星探测器经过漫长的飞行进入绕火星运转的圆形轨道，在圆轨道上运动时，周期为，轨道离火星地面高度为；当探测器在近火星轨道做匀速圆周运动时，周期为，设引力常量为，火星视为匀质球体。则以下判断正确的是（ ）
A．火星的半径是
B．火星的密度是
C．火星的半径是
D．火星的密度是
18．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
B．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
C．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
D．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
三、解答题
19．2019年3月10日，全国政协十三届二次会议第三次全体会议上，相关人士透露：未来十年左右，月球南极将出现中国主导、多国参与的月球科研站，中国人的足迹将踏上月球。假设你经过刻苦学习与训练后成为宇航员并登上月球，你站在月球表面沿水平方向以大小为的速度抛出一个小球，小球经时间落到月球表面上的速度方向与月球表面间的夹角为，如图所示。已知月球的半径为，引力常量为。求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的质量和密度；
（3）绕月球做匀速圆周运动的人造卫星的最小周期。
20．如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角，设地球半径为，地球表面重力加速度为。
（1）求A做圆周运动的角速度；
（2）已知地球自转周期为，赤道上有一个航天测控站B（图中未标出），求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间。（卫星信号传输时间可忽略）
21．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体将绕地球运行
第二宇宙速度(逃逸速度)
11.2
是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体将绕太阳运行
第三宇宙速度
16.7
这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行
第4讲 万有引力与航天
——划重点之精细讲义系列
知识点1：开普勒的行星运动定律
开普勒根据第谷的观测数据及个人的理论分析，对前人提出的天体做圆周运动的说法产生了怀疑，经过周密计算，他发现所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆。
1.开普勒第一定律（轨道定律）：
内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.
2.开普勒第二定律(面积定律)
内容:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律(周期定律)
内容:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等、因此有,式中的k是对绕太阳运动的所有行星都相同的常量。
对开普勒第三定律的理解
①k值由中心天体决定与绕中心天体运动的行星(或卫星)无关，即对于绕同一中心天体运动的行星，k值相同;中心天体不同，则k值一般不同。例如绕太阳运动的八大行星k值相同，卫星绕地球运动的k值与行星绕太阳运动的k值不同，常数k不是个普适常量。
②对于绕同一中心天体运动的行星,椭圆轨道半长轴越长的行星,公转周期越大,反之公转周期越小。
③大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，在中学阶段研究时均按圆轨道处理，太阳处在圆心，对某一行星来说它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变。若用r代表轨道半径，T代表公转周期，开普勒第三定律可以表示为。
知识点2：万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
3．适用条件
（1）严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用。
（2）两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的情形也适用，其中 r为球心到质点间的距离。
（4）两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。
(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)
(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(Mm,R2)计算物体间的万有引力．(×)
(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)
知识3：万有引力定律应用及三种宇宙速度
1．万有引力定律基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
Geq \f(Mm,r2)＝mgr＝ma＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r),mrω2,mr\f(2π,T)2,mvω))
其中gr为距天体中心r处的重力加速度．
2．三种宇宙速度
(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．
1.万有引力与重力的关系
（1）物体在一般位置（不在赤道和两极）时，，F向、F引、G不在一条直线上。
（2）当物体在赤道上时，F向达到最大值，，此时重力G最小，。
（3）当物体在两极时F向=0，G=F引，重力达到最大值
可见只有在两极时，重力等于万有引力，其他位置时重力小于万有引力。
2.黄金代换式
由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转（忽略）的影响时，在地球附近有，化简得。通常叫作黄金代换式，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径 R 和表面的"重力加速度"g 代换 M。
知识4：经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝eq \f(m0,\r(1－\f(v2,c2))).
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
3．经典力学有它的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
【典例1】关于万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【解析】 万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r)，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.
【答案】 C
【典例2】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【解析】 设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳到地球距离为r1，月球到地球距离为r2，由题意eq \f(M,m)＝2.7×107，eq \f(r1,r2)＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1＝eq \f(GMm′,r\\al(2,1))，月球对海水的引力F2＝eq \f(Gmm′,r\\al(2,2))，则eq \f(F1,F2)＝eq \f(Mr\\al(2,2),mr\\al(2,1))＝eq \f(2.7×107,4002)＝eq \f(2 700,16)，故A选项正确，B选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C选项错误，D选项正确．
【答案】 AD
【典例3】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D错误．
【答案】 C
【典例4】设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝eq \f(4π2r3,T2) B．GM＝eq \f(4π2r2,T2)
C．GM＝eq \f(4π2r2,T3) D．GM＝eq \f(4πr3,T2)
【解析】 本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．
对行星有：eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，故GM＝eq \f(4π2r3,T2)，选项A正确．
【答案】 A
考点1：天体质量和密度的估算
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
（1）由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
（2）天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2.卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
（1）由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2).
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r＝R，则有ρ＝eq \f(3π,GT2).
【典例1】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：eq \f(GMm,r2)＝eq \f(4π2mr,T2)，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022kg，选项D正确．
【答案】 D
【典例2】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A.eq \f(mv2,GN) B.eq \f(mv4,GN) C.eq \f(Nv2,Gm) D.eq \f(Nv4,Gm)
【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系．
(2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系．
【解析】 设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，得Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(v2,R)①
m′eq \f(v2,R)＝m′g②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg③
由③得g＝eq \f(N,m)，代入②得：R＝eq \f(mv2,N)
代入①得M＝eq \f(mv4,GN)，故B项正确．
【答案】 B
考点2： 卫星运行参量的比较与运算
1.卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝ma向＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2).
2.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
（1）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)→v＝eq \r(\f(GM,r))→v∝eq \f(1,\r(r)).
（2）Geq \f(Mm,r2)＝mω2r→ω＝eq \r(\f(GM,r3))→ω∝eq \f(1,\r(r3)).
（3）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r→T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))→T∝eq \r(r3).
（4）Geq \f(Mm,r2)＝ma→a＝eq \f(GM,r2)→a∝eq \f(1,r2).
（5）mg＝eq \f(GMm,R\\al(2,地))(近地时)→GM＝gReq \\al(2,地).
3.极地卫星和近地卫星
1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7. 9 km/s.
【典例1】 迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )
A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B．如果人到了该行星，其体重是地球上的2eq \f(2,3)倍
C．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 eq \r(\f(13,365))倍
D．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
【解析】 行星、地球绕其中心天体做匀速圆周运动．根据万有引力提供向心力解决问题．
由题意知，行星、地球的质量之比eq \f(m1,m2)＝6，半径之比eq \f(R1,R2)＝1.5，公转周期之比eq \f(T1,T2)＝eq \f(13,365)，中心天体质量之比eq \f(M1,M2)＝0.31.根据Geq \f(mm′,R2)＝m′eq \f(v2,R)，得第一宇宙速度之比eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(Gm1,R1)·\f(R2,Gm2))＝ eq \r(\f(m1,m2)·\f(R2,R1))＝2，选项A错误；根据m′g＝Geq \f(mm′,R2)，得到人的体重之比eq \f(m′g1,m′g2)＝eq \f(m1,R\\al(2,1))·eq \f(R\\al(2,2),m2)＝eq \f(m1,m2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R2,R1)))2＝eq \f(8,3)，选项B正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，得与中心天体的距离之比eq \f(r1,r2)＝eq \r(3,\f(M1,M2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T1,T2)))2)＝eq \r(3,0.31×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,365)))2)，选项C错误；米尺在该行星上长度不一定会变短，选项D错误．
【答案】 B
【典例2】(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝ eq \r(\f(GM,R))
B．角速度ω＝ eq \r(gR)
C．运行周期T＝2π eq \r(\f(R,g))
D．向心加速度a＝eq \f(Gm,R2)
【解析】 对航天器：Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，v＝ eq \r(\f(GM,R))，故A正确．由mg＝mω2R得ω＝ eq \r(\f(g,R))，故B错误．由mg＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R得T＝2πeq \r(\f(R,g))，故C正确．由Geq \f(Mm,R2)＝ma得a＝eq \f(GM,R2)，故D错误．
【答案】 AC
考点3：赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别
1.区别
（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．
（2）近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．
（3）三者的线速度各不相同．
2.求解此类题的关键
（1）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a＝ω2r而不能运用公式a＝eq \f(GM,r2).
（2）在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v＝ωr而不能运用公式v＝eq \r(GM/r).
（3）在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v＝eq \r(GM/r)，而不能运用公式v＝ωr或v＝eq \r(gr).
【典例1】西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比( )
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
【解析】 由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r1小于同步卫星轨道半径r2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F向＝Geq \f(Mm,r2)知，两卫星的向心力F1>F2，选项A错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)＝mω2r，得环绕速度v1>v2，角速度ω1＞ω2，两卫星质量相等，则动能Ek1>Ek2，故选项B正确，选项D错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v01
同步卫星的六个“一定”
【典例2】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是π/6
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
【解析】 对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，eq \f(GMm,r2)－N＝ma向，而eq \f(GMm,r2)＝mg，故a的向心加速度小于重力加速度g，A项错；由c是同步卫星可知卫星c在4 h内转过的圆心角是eq \f(π,3)，B项错；由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得，v＝eq \r(\f(GM,r))，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b的线速度大于卫星c的线速度，卫星c的线速度大于卫星d的线速度，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大于卫星a的线速度，C项对；由Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，得，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，轨道半径r越大，周期越长，故卫星d的周期大于同步卫星c的周期，D项错．
【答案】 C
考点4：卫星的发射与变轨
1.宇宙速度
（1）第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
（2）第一宇宙速度的求法：
①eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(\f(GM,R)).
②mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，所以v1＝eq \r(gR).
③第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．
2.卫星的变轨分析
卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．
（1）大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．
eq \x(\a\al(较低圆,轨道))eq \(,\s\up7(近地点向后喷气),\s\d5(近地点向前喷气))eq \x(\a\al(椭圆,轨道))eq \(,\s\up7(远地点向后喷气),\s\d5(远地点向前喷气))eq \x(\a\al(较高圆,轨道))
（2）空气阻力使速度减少，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v′＝eq \r(\f(GM,r′)).
【典例1】(多选)神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
【解析】 本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手．
第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力Fn＝eq \f(mv2,r)减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误．
【答案】 BC
【典例2】 (多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是( )
A．“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇
B．“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C．“神舟十号”变轨后在M点的速度大于变轨前的速度
D．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期
【解析】 飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇，A错；飞船在M点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B错；飞船在M点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则变轨后在M点的速度大于变轨前的速度，C对；由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知轨道半径增大，周期增大，D项正确．
【答案】 CD
“多星”模型
1.双星系统
（1）双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
（2）双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
（3）双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L，质量分别为 M1和M2，线速度分别为v1和v2 ，轨道半径分别为 r1和 r2，共同运动的周期为T、角速度为ω，如图所示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
，
其中r1＋r2=L。
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的距离相混淆。
（4）几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径∶，
②星体质量∶，
④系统质量∶
④星体周期∶
2.三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R1的圆轨道上运动;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图 所示（设每颗星体的质量均为m）。
（1）对第一种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
（2）对第二种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有
这里 。
【典例1】一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【解析】 对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝Geq \f(M1M2,L2)，距离L不变，M1与M2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：Geq \f(M1M2,L2)＝M1ω2r1，Geq \f(M1M2,L2)＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝eq \f(ω2L3,G)，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D错，C对．
【答案】 C
【典例2】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))T
C.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T
【解析】 双星间的万有引力提供向心力．
设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.
对质量为m的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝m(eq \f(2π,T))2·r
对质量为M的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝M(eq \f(2π,T))2(L－r)
得Geq \f(M＋m,L2)＝eq \f(4π2,T2)·L，即T2＝eq \f(4π2L3,GM＋m)
则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝eq \r(\f(n3,k))T，选项B正确．
【答案】 B
一、单选题
1．如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
D．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第一定律可知，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；
B．地球绕太阳运行的过程中，近日点速度最大，远日点速度最小，所以地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，故B错误；
C．根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
故选C。
2．2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即天王星和太阳正好分处在地球的两侧，三者几乎成一条直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知此时地球到天王星和太阳的距离分别为，地球的公转周期为T，则天王星公转周期约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据开普勒第三定律可知
解得
故选C。
3．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【详解】将挖空部分填满，大球体的剩余部分对该质点的万有引力与填入球体对质点的万有引力的质量和等于，填满的大球体对质点的万有引力。由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则
填满后大球体的有效质量为
得大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为
故选C。
4．下列对天体的认识正确的是（ ）
A．由可知，两物体间距离减小时，它们间的引力增大，距离趋于零时，万有引力无限大
B．开普勒行星运动三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
C．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
D．根据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度小于在远日点的速度
【答案】B
【详解】A．当两物体之间的距离趋于零时，万有引力定律不再适用，故A错误。
B．开普勒行星运动三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，故B正确。
C．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于其与地球间的万有引力全部用来提供做圆周运动的向心力，故C错误。
D．开普勒第二定律指出，当行星绕太阳运动时，在相等的时间内，其与太阳的连线扫过的面积相等。由此可知，行星在近日点的速度大于在远日点的速度，故D错误。
故选B。
5．太空行走又称为出舱活动。2021年11月8日1时16分，神舟十三号航天员乘组圆满完成出舱活动全部既定任务，王亚平成为中国首位进行出舱活动的女航天员，迈出了中国女性舱外太空行走第一步。假设质量为m的航天员出舱离开空间站后，某时刻其相对地心的速度为v，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则（ ）
A．该航天员离开空间站在太空行走时所受合外力为零
B．该航天员离开空间站在太空行走时所受的合外力大小等于mg
C．此时该航天员距离地球表面的高度为－R
D．此时该航天员指向地心的加速度大小为
【答案】C
【详解】AB．在地球表面，该航天员所受重力等于万有引力，有
该航天员离开空间站在太空行走时，只受万有引力作用，故该航天员离开空间站在太空行走时所受合外力为
小于其在地球表面时所受的重力mg，且不为零，故AB错误；
CD．该航天员离开空间站在太空行走时，所受万有引力提供向心力，有
又
，
联立解得此时该航天员距离地球表面的高度为
该航天员指向地心的加速度大小为
故C正确，D错误。
故选C。
6．上世纪70年代，苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零
则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有
设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得
所以
解得，F的大小为
B正确，ACD错误。
故选B。
7．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（ ）
A．火星表面的重力加速度是
B．火星表面的重力加速度是
C．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
D．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍
【答案】B
【详解】AB．根据题意，由万有引力等于重力有
解得
则火星表面的重力加速度是
故A错误，B正确；
CD．根据题意，由公式可知，王跃在火星表面受的万有引力与在地球表面受万有引力之比为
即王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍，故CD错误。
故选B。
8．2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其中a卫星为圆轨道，距离地面高度为，b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为v1，b卫星在近地点M时线速度大小为v2，在远地点N时线速度大小为v3，地球半径为R，P点为两个轨道的交点。下列说法正确的是（ ）
A．b卫星远地点N距离地面高度为
B．b卫星从N点运动到M点时间为
C．
D．a、b两卫星在P点受到地球的引力相等
【答案】C
【详解】A．设b卫星运行的椭圆轨道半长轴为，根据开普勒第三定律有
即
设近地点M距离地面高度为，有
解得
故b卫星远地点N距离地面高度为，A错误；
B．对卫星a有
在地球表面有
联立解得
故b卫星从N点运动到M点时间为
B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，卫星b由N点运动到P点时速度在增大，分析可知若在P点点火加速可进入圆形a轨道，可得；同理，卫星b在近地点M减速可进入以M点高度所在处的圆轨道，根据万有引力公式可知当卫星围绕地球做圆周运动时轨道越高，速度越小，所以可知卫星a的速度小于M点高度所在处的圆轨道的速度，即卫星b在近地点M的速度大于卫星a的速度，所以有
C正确；
D．根据万有引力公式，a、b两卫星在P点时到地球的距离相等，由于两卫星的质量关系未知，所以无法判断受到地球引力大小关系，D错误。
故选C。
9．北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以“一箭十四星”发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星、吉林一号高分03D34星等4颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．假设其中的甲、乙两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，甲的质量也是乙的2倍．则（ ）
A．由可知，甲的速度是乙的倍
B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由可知，甲的向心力是乙的
D．由可知，甲的周期是乙的倍
【答案】D
【详解】A．卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则
因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据得出二者速度的关系，卫星的运行线速度
代入数据可得
故A错误；
B．因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度
代入数据可得
故B错误；
C．根据可得
故C错误；
D．两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律
可得
故D正确。
故选D。
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，变轨使其沿椭圆轨道2运行，最后变轨将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道1上运行的速率小于赤道上随地球自转物体的速率
B．卫星在轨道3上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度
C．三条轨道中速率最大时刻为经过2上的Q点，速率最小时刻为经过2上的P点
D．周期关系为T2>T3>T1
【答案】C
【详解】A．根据
可得
因为卫星在轨道1上的运动半径小于同步卫星的运动半径，可知卫星在轨道1上的线速度大于同步卫星的线速度；同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，根据v=ωr可知，同步卫星的线速度大于赤道上随地球自转的物体的速率，可知卫星在轨道1上运行的速率大于赤道上随地球自转物体的速率，选项A错误；
B．根据
可得
卫星在轨道3上经过P点时的加速度等于它在轨道2上经过P点时的加速度，选项B错误；
C．卫星在轨道1上经过Q点时加速才能进入轨道2；在轨道2上经过P点时加速才能进入轨道3，在轨道2上从Q到P，引力做负功，速率减小，由
可知，卫星在轨道1上的速率大于在轨道3上的速率，则
可知三条轨道中速率最大时刻为经过2上的Q点，速率最小时刻为经过2上的P点，选项C正确；
D．根据开普勒第三定律可知，在轨道3上半径最大，在轨道1上的半径最小，轨道2的半长轴大于轨道1的半径，可知周期关系为
T3>T2>T1
选项D错误。
故选C。
11．如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．b卫星转动线速度大于7.9km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=Tc
【答案】D
【详解】A．由于b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，运行速度等于第一宇宙速度，为7.9km/s，A错误；
C．由于c为地球同步卫星，相对地面静止，因此
Ta=Tc
对于b、c卫星，根据
可得
因此
Tc>Tb
C错误；
B．对于b、c卫星，根据
可知
ab＞ac
对于a、c，根据
由于运行周期相同， 因此
ac >aa
B错误；
D．对于b、c，根据
可得
因此
D正确。
故选D。
12．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为
C．恒星B的质量为
D．设三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
【答案】D
【详解】A．C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
可得
若知道C的轨道半径，可求出B的质量，不能求出C的质量，A错误；
BC．恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，对A有
对B
联立可得
，
若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星根据上式可知，由于A与B的质量一定不相等，则其运动周期一定不是，BC错误；
D．三星由图示位置到再次共线时，有
解得
D正确。
故选D。
13．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为，万有引力常量为G，则（ ）
A．发射卫星b时速度要大于11.2km/s
B．卫星c的机械能小于卫星a的机械能
C．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过
【答案】C
【详解】A．卫星b绕地球做匀速圆周运动，7. 9km/s是指在地球上发射的物体绕地球做圆周运动所需的最小发射速度，11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b时速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，A错误；
B．三颗卫星质量相同时，高轨道卫星机械能大于低轨道卫星，B错误；
C．让卫星加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星会做离心运动，离开原轨道向高轨道运行，所以a通过调节可以与c实现对接，C正确；
D．b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球自转具有相同的周期和角速度，a距离地球表面的高度为R，由万有引力提供向心力，有
所以卫星a的角速度
此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近时，有
解得
D错误；
故选C。
14．在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（ ）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
【答案】B
【详解】A．根据题意可得每颗星轨道半径为
每颗星受到的万有引力的合力为
由万有引力提供向心力得
解得
向心加速度与质量有关，故A错误；
B．由万有引力提供向心力得
解得
则位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为，故B正确；
CD．由万有引力提供向心力得
解得
若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的，若每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的倍，即角速度变为原来的倍，故C、D错误。
故选B。
15．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（ ）
A．环绕星运动的线速度为
B．环绕星运动的线速度为
C．环绕星动的周期为运
D．环绕星运动的周期为
【答案】D
【详解】AB.对某一个环绕星
解得
故AB错误；
CD.而环绕行星运动的周期
解得
故C错误，D正确。
故选D。
二、多选题
16．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。假设火星可视为半径为R且质量分布均匀的球体，火星赤道处的重力加速度为g火，火星的自转周期为T，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．火星极点处的重力加速度大小为g火
B．火星的质量为
C．火星的平均密度为
D．火星卫星的最大环绕速度为
【答案】BD
【详解】AB．在火星赤道上的物体所受的万有引力等于物体在火星上的重力与物体随火星自转需要的向心力之和，则有
G=mg火＋mR
假设火星极点处的重力加速大小为g′火，则火星极点处物体所受的万有引力等于物体在火星极点处的重力，即
解得
火星的质量为
A错误，B正确；
C．火星的体积为
则火星的平均密度为，整理得
C错误；
D．火星卫星以最大环绕速度飞行时，轨道半径为R，此时卫星的重力近似等于万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有
，G=m′
整理得
D正确。
故选BD。
17．我国发射的火星探测器经过漫长的飞行进入绕火星运转的圆形轨道，在圆轨道上运动时，周期为，轨道离火星地面高度为；当探测器在近火星轨道做匀速圆周运动时，周期为，设引力常量为，火星视为匀质球体。则以下判断正确的是（ ）
A．火星的半径是
B．火星的密度是
C．火星的半径是
D．火星的密度是
【答案】BC
【详解】AC．根据题意，设火星半径为，由万有引力提供向心力有
联立解得
故A错误，C正确；
BD．根据题意，设火星半径为，由万有引力提供向心力有
火星的体积为
则火星的密度为
故D错误，B正确。
故选BC。
18．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
B．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
C．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
D．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
【答案】BC
【详解】A．万有引力提供向心力，则有
解得第一宇宙速度为
所以火星的第一宇宙速度为
所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误；
B．万有引力近似等于重力，则有
解得星表面的重力加速度
所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故B正确；
CD．当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故C正确，D错误。
故选BC。
三、解答题
19．2019年3月10日，全国政协十三届二次会议第三次全体会议上，相关人士透露：未来十年左右，月球南极将出现中国主导、多国参与的月球科研站，中国人的足迹将踏上月球。假设你经过刻苦学习与训练后成为宇航员并登上月球，你站在月球表面沿水平方向以大小为的速度抛出一个小球，小球经时间落到月球表面上的速度方向与月球表面间的夹角为，如图所示。已知月球的半径为，引力常量为。求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的质量和密度；
（3）绕月球做匀速圆周运动的人造卫星的最小周期。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球在月球上做平抛运动，设月球表面的重力加速度为，根据
所以月球表面的重力加速度为
（2）对月球表面的物体，万有引力等于重力
月球的质量为
密度
（3）当卫星的轨道半径等于月球半径时，周期最小，根据万有引力提供向心力
解得
20．如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角，设地球半径为，地球表面重力加速度为。
（1）求A做圆周运动的角速度；
（2）已知地球自转周期为，赤道上有一个航天测控站B（图中未标出），求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间。（卫星信号传输时间可忽略）
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设地球质量为，卫星A的质量为，A的轨道半径
万有引力提供向心力
解得
（2）角度关系
解得
21．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】(1)；(2)1.01
【详解】试题分析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：
联立解得：
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
化简得：
(2)将地月看成双星，由(1)得
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
化简得：
所以两种周期的平方比值为：
考点：考查了万有引力定律的应用
【点睛】这是一个双星的问题，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，
A和B有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题。
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体将绕地球运行
第二宇宙速度(逃逸速度)
11.2
是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体将绕太阳运行
第三宇宙速度
16.7
这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行
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