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高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第8讲 功能关系 能量守恒定律（原卷版+解析）
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这是一份高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第8讲 功能关系 能量守恒定律（原卷版+解析），共52页。试卷主要包含了内容，功与对应能量的变化关系，试求，涉及弹簧的能量问题，功能关系等内容，欢迎下载使用。
——划重点之精细讲义系列
知识1：功能关系
1．内容
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．
2．功与对应能量的变化关系
知识2：能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增． ΔE增为末状态的能量减去初状态的能量，而ΔE减为初状态的能量减去末状态的能量．
(1)力对物体做了多少功，物体就有多少能．( )
(2)力对物体做功，物体的总能量一定增加．( )
(3)滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化．( )
【典例1】物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是( )
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况
D．三种情况中，物体的机械能均增加
【典例2】(多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的速度为v，与A点的竖直高度差为h，则( )
A．由A至B重力做功为mgh
B．由A至B重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A至B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为(mgh－eq \f(1,2)mv2)
【典例3】下列说法正确的是( )
A．随着科技的发展，第一类永动机是可以制成的
B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了
C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量转化和守恒定律，因而是不可能的
D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生
【典例4】(多选)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
【典例5】(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
考点1：功能关系的理解及应用
1.常见的几种功能对应关系
2.功能关系的理解和应用原则
（1）牢记三条功能关系
①重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化。
②合外力做的功等于动能的变化。
③除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化。
（2）功能关系的选用原则
①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
3.摩擦力做功的特点及其与能量的关系
【典例1】(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【典例2】如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m，现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了t0＝1.5 s时，车被地面装置锁定(g＝10 m/s2)．试求：
(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小．
考点2：对能量守恒定律的理解及应用
1.对能量守恒定律的理解
（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等，即ΔE减＝ΔE增。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。
这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路．
2.应用能量守恒定律解题的步骤
（1）选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。
（2）分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。
（3）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
（4）列出能量转化守恒关系式：ΔE减＝ΔE增，求解未知量，并对结果进行讨论。
3.能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
（2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
4．涉及弹簧的能量问题
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
（1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
（2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。
（3）当水平弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。
【典例1】(多选)一木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中．当子弹进入木块的深度达到最大值3.0 cm时，木块沿水平面恰好移动距离2.0 cm.则在上述过程中( )
A．木块获得的动能与子弹损失的动能之比为1∶1
B．系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为3∶5
C．系统损失的机械能与木块获得的动能之比为3∶2
D．系统产生的热与子弹损失的动能之比为3∶5
【典例2】如图所示，一物体的质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，AD＝3 m．挡板及弹簧的质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ.
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
考点3：动力学和功能关系问题中的传送带模型
1．模型条件
（1）传送带匀速或加速运动。
（2）物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。
（3）物体与传送带之间有相对滑动。
2．模型特点
（1）若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力。
（2）若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动。
（3）若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。
3．功能关系
（1）功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
（2）对传送带的功WF和产生的内能Q的理解
传送带做的功：W＝Fx，其中F为传送带的动力，x为传送带转过的距离。
产生的内能：ΔQ＝Ffx相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。
（3）求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
（4）相对位移：一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和。
4．传送带模型问题的分析流程
【典例1】如图所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，其上A、B两点间的距离L＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度匀速运动．现将一质量m＝10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),2)，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：(取g＝10 m/s2)
(1)传送带对小物体做的功．
(2)电动机做的功．
【典例2】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是( )
A．电动机多做的功为eq \f(1,2)mv2
B．物体在传送带上的划痕长eq \f(v2,μg)
C．传送带克服摩擦力做的功为eq \f(1,2)mv2
D．电动机增加的功率为μmgv
考点4：功能关系中的滑板模型
1．模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型。
2．处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ff ·x相对，并要注意数学知识（如图象、归纳法等）在此类问题中的应用。
质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图所示。
x板板
x物
Δx
该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，W物＝－μmg·x物 W板＝μmg·x板 。很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”
【典例1】如图所示，一个质量为m＝15 kg的特制柔软小猴模型，从离地面高h1＝6 m的树上自由下落，一辆平板车正沿着下落点正下方所在的平直路面以v0＝6 m/s的速度匀速前进。已知模型开始自由下落时，平板车前端恰好运动到距离下落点正下方s＝3 m处，该平板车总长L＝7 m，平板车板面离地面高h2＝1 m，模型可看作质点，不计空气阻力．假定模型落到板面后不弹起，在模型落到板面的瞬间，司机刹车使平板车开始以大小为a＝4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，直至停止，g取10 m/s2，模型下落过程中未与平板车车头接触，模型与平板车板面间的动摩擦因数μ＝0.2。求：
（1）模型将落在平板车上距车尾端多远处？
（2）通过计算说明，模型是否会从平板车上滑下？
（3）模型在平板车上相对滑动的过程中产生的总热量Q为多少？
【题4】[斜面上的模型问题]如图所示，AB段为一半径R＝0.2 m的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道，EF是一倾角为30°的足够长的光滑固定斜面，斜面上有一质量为0.1 kg的薄木板CD，开始时薄木板被锁定。一质量也为0.1 kg的物块（图中未画出）从A点由静止开始下滑，通过B点后水平抛出，经过一段时间后恰好以平行于薄木板的方向滑上薄木板，在物块滑上薄木板的同时薄木板解除锁定，下滑过程中某时刻物块和薄木板能达到共同速度。已知物块与薄木板间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),6)，g＝10 m/s2，结果可保留根号。求：
（1）物块到达B点时对圆弧轨道的压力；
（2）物块滑上薄木板时的速度大小；
（3）达到共同速度前物块下滑的加速度大小及从物块滑上薄木板至达到共同速度所用的时间。
一、单选题
1．如图所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短。现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．系统的机械能守恒
B．子弹克服摩擦力做功等于系统产生的热量
C．弹簧压缩至最短时，系统的产生的热能小于子弹动能的减少量
D．弹簧压缩至最短时，子弹动能全部转化成弹簧的弹性势能
2．如图所示，轻弹簧放置在倾角为的斜面上，弹簧下端与斜面底端的挡板相连，可看作质点的小物块A、B叠放在一起，在斜面的顶端由静止释放一起沿斜面下滑。弹簧被压缩到最短时，A物块刚好从B上滑离，此后弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端，已知重力加速度为g，B物块与斜面间动摩擦因数为，则关于A、B的质量m和M之间的关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能增加了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
4．如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中（ ）
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．摩擦力对物体做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
5．滑块静止于光滑斜面底端，与之相连的轻质弹簧处于自然伸直状态，现用一平行于斜面的恒力F作用于弹簧上端，使滑块沿斜面上滑一段距离，此过程拉力F做功5J，则此过程中（ ）
A．滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧的弹性势能增加了5J
C．滑块的动能增加了5J
D．滑块和弹簧组成的系统机械能增加了5J
6．如图所示，电动机通过轻绳和轻质动滑轮拉起质量为m的重物，重物原本静止，某一时刻电动机开始以恒定的输出功率（即指向外界提供的功率）工作。已知重力加速度为g，轻绳足够长，不计一切摩擦和空气阻力，忽略滑轮和轻绳的质量。以下说法正确的是（ ）
A．电动机的输出功率等于重物重力势能的变化率
B．若电动机输出功率为P，重物速度为v时，重物的加速度为
C．若经过时间t，重物的瞬时速度为v，那么重物上升的高度为
D．若电动机输出功率为P，重物上升了高度h用时为t，那么重物此时的速度为
7．如图所示，有三个斜面a、b、c，底边的长分别为L、L、3L，高度分别为3h、h、h。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．因摩擦产生的热量
B．因摩擦产生的热量
C．物体到达底端的动能
D．物体损失的机械能
二、多选题
8．如图所示，倾角为的固定粗糙斜面上有一A点，长度为的木板质量分布均匀，其质量为，开始用外力使木板下端与A点对齐，如图。木块质量为，两者用一轻质细绳绕过光滑定滑轮连接在一起，木板与斜面的动摩擦因数为。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点，此过程中，下列说法正确的是（ ）（）
A．木板M和木块m组成的系统机械能守恒
B．木板上端刚过A点时速度大小为
C．木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D．系统产生的热量为
9．如图所示，AB为固定水平长木板，长为，C为长木板的中点，AC段光滑，CB段粗糙，一原长为的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块，开始时将物块拉至长木板的右端B点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，已知物块与长木板CB段间的动摩擦因数为，物块的质量为，弹簧的劲度系数为，且，物块第一次到达C点时，物块的速度大小为，这时弹簧的弹性势能为，不计物块的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．物块可能会停在CB面上某处
B．物块最终会做往复运动
C．弹簧开始具有的最大弹性势能为
D．最终系统损失的机械能为
10．如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是（ ）
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B做的功的数值等于摩擦力对木板A做的功和系统内能的增加量之和
11．如图所示，水平轨道以点为分界点，左侧光滑，右侧粗糙。长为、质量为的长木板静置于点左侧。现对长木板施加水平向右、大小为的恒力，一段时间后，长木板恰好完全滑入粗糙部分。长木板与轨道粗糙部分间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，则（ ）
A．长木板先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．初始时长木板右端与点的距离为
C．长木板的最大动能为
D．若初始时木板右端在点，则长木板运动过程中摩擦产生的热量为
12．如图所示，水平传送带以v=6m/s顺时针匀速转动，水平部分AB的长为L，并与长为3.6m的光滑倾斜轨道BC在B点平滑连接，BC与水平面的夹角为。现将一个可视为质点的工件从A点由静止释放，滑块与传送带间的动摩擦因数为，，要使工件能到达C点（没有施加其他外力辅助），下列关于和的取值可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图所示，长为的水平传送带以的速度顺时针匀速转动，现将一质量的小物块无初速地放在传送带左端，经过一段时间小物块运动到传送带右端。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，。下列说法正确的是（ ）
A．此过程中传送带多做了的功
B．此过程中因摩擦产生的热量为
C．物体在传送带上的划痕长度为
D．此过程摩擦力对小物块做功
14．冬奥会上有一种女子单板滑雪U形池项目，如图所示为U形池模型，池内各处粗糙程度相同，其中a、c为U形池两侧边缘，且在同一水平面，b为U形池最低点。某运动员从a点上方h高的O点自由下落由左侧切线进入池中，从右侧切线飞出后上升至最高位置d点（相对c点高度为）。不计空气阻力，重力加速度为g，则运动员（ ）
A．运动员由a到c的过程中，在ab段克服摩擦力做的功大于在bc段克服摩擦力做的功
B．运动员从d返回经b恰好到达a点
C．运动员从d返回经b一定能越过a点再上升一定高度
D．运动员第一次过b点对轨道的压力大于第二次过b点对轨道的压力
15．如图， 粗糙水平面 与坚直面内半径为的半圆形导轨在点相切， 一个质量为的物块 （可视为质点）将弹簧压缩至A点并由静止释放后向右弹开， 当它经过点进入圆形导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍， 之后向上运动恰能到达最高点。物块与粗粘水平面之间的动摩擦因数为，AB部分长为， 重力加速度为， 下列说法正确的是（ ）
A．物块经过点时的速度大小
B．物块经过点时的速度大小
C．物块从点运动至点的过程中阻力做的功
D．物块在A点时弹簧的弹性势能
16．如图所示，在水平地面上有一圆弧形凹槽，AC连线与地面相平，凹槽是位于竖直平面内以O为圆心、半径为R的一段圆弧，B为圆弧最低点，而且AB段光滑，BC段粗糙。现有一质量为m的小球（可视为质点），从水平地面上P处以初速度斜向右上方飞出，与水平地面夹角为，不计空气阻力，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道，沿圆弧继续运动后从C点以速率飞出。重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球由P到A的过程中，离地面的最大高度为
B．小球进入A点时重力的瞬时功率为
C．小球在圆弧形轨道内由于摩擦产生的热量为
D．小球经过圆弧形轨道最低点B处受到轨道的支持力大小为
三、解答题
17．如图所示，从A点以某一水平速度抛出一质量的物块（可视为质点）。当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入圆心角的光滑圆弧轨道BC，且在圆弧轨道上做变速运动，经圆弧轨道后滑上与C点等高且静止在粗糙水平地面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量，A到C点的竖直高度，圆弧半径，B到C点的竖直高度为h，物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数。物块始终未滑出长木板，不计空气阻力，取重力加速度大小，，。求：
（1）物块被抛出时的初速度大小；
（2）物块到达C点时的速度大小；
（3）在物块相对长木板运动的过程中，物块与长木板之间产生的内能。
18．如图所示，某一弹射游戏装置由弹性竖直挡板P、长度的水平直轨道、半径的竖直半圆轨道和半径的竖直半圆管道组成，轨道各部分平滑连接。已知小球质量，小球直径略小于管道直径，小球与间的动摩擦因数，其余各部分轨道均光滑，小球与P的碰撞无机械能损失，某次小球从P处向右弹出时的初动能为（g取）。
（1）求小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小；
（2）若要小球能从F点射出，求的最小值；
（3）若，小球能两次进入轨道，求的范围。
19．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连）、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径m，OE长m，AC长m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数。滑块质量g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，各部分平滑连接。重力加速度，求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度大小；
（2）当m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力；
（3）要使游戏成功，h应在什么范围调节？
20．如图所示，竖直平面内固定有半径为的光滑四分之一圆轨道AB，水平直轨道，以速度逆时针转动的水平传送带CD及竖直固定反弹装置。各轨道平滑连接。现有一质量为的滑块（可视为质点）从轨道AB上高为h处由静止下滑，最终与反弹装置发生弹性碰撞。已知，，，滑块与BC和CD间的动摩擦因数，与DE间的动摩擦因数，其中x为滑块距D点的距离。
（1）若，求滑块运动至B处时对轨道的作用力。
（2）若滑块无法通过传送带，求高度h的最大值。
（3）若滑块只能经过C点两次，试求传送带因传送滑块额外做的功的最大值。
合外力做正功
动能增加
重力做正功
重力势能减少
弹簧弹力做正功
弹性势能减少
外力(除重力、弹力)做正功
机械能增加
滑动摩擦力做功
系统内能增加
电场力做正功
电势能减少
分子力做正功
分子势能减少
各种力做功
对应能的变化
定量的关系
W合：合外力的功（所有外力的功）
动能的改变量（ΔEk）
合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
WG：重力的功
重力势能的改变量（ΔEp）
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
W弹：弹簧弹力做的功
弹性势能的改变量（ΔEp）
弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力的功
不引起机
械能变化
机械能守恒ΔE＝0
W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功
机械能的改变量（ΔE）
除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE
Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和
因摩擦而产生的内能（Q）
滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移）
类别
比较
静摩擦力
滑动摩擦力
不同点
能量的转化
只有能量的转移，而没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
一对摩擦
力的总功
一对静摩擦力所做功的代数总和等于零
一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－Ff·l相对，即摩擦时产生的热量
相同点
做功的正、负
两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功
第8讲 功能关系 能量守恒定律
——划重点之精细讲义系列
知识1：功能关系
1．内容
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．
2．功与对应能量的变化关系
知识2：能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增． ΔE增为末状态的能量减去初状态的能量，而ΔE减为初状态的能量减去末状态的能量．
(1)力对物体做了多少功，物体就有多少能．(×)
(2)力对物体做功，物体的总能量一定增加．(×)
(3)滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化．(√)
【典例1】物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是( )
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况
D．三种情况中，物体的机械能均增加
【解析】 在三种情况下，外力均对物体做了功，所以物体的机械能均增加，故D正确．
【答案】 D
【典例2】(多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的速度为v，与A点的竖直高度差为h，则( )
A．由A至B重力做功为mgh
B．由A至B重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A至B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为(mgh－eq \f(1,2)mv2)
【解析】 由A到B，高度减小h，重力做功mgh，重力势能减少mgh，但因弹簧伸长，弹性势能增加，由能量守恒得：mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，可得：Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，小球克服弹力做功应小于mgh，故B、C错误，A、D正确．
【答案】 AD
【典例3】下列说法正确的是( )
A．随着科技的发展，第一类永动机是可以制成的
B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了
C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量转化和守恒定律，因而是不可能的
D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生
【解析】 第一类永动机违背了能量守恒定律，所以不可能制成，A错误；根据能量守恒定律，太阳照射到宇宙空间的能量也不会凭空消失，B错误；要让马儿跑，必须要给马儿吃草，否则就违背能量守恒定律，C正确；所谓“全自动”手表内部还是有能量转化装置的，一般是一个摆锤，当人戴着手表活动时，摆锤不停地摆动，给游丝弹簧补充能量，才会维持手表的走动，D错．
【答案】 C
【典例4】(多选)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
【解析】 物体重力做的功总等于重力势能的减少量，因此A错；根据动能定理可知合力对物体所做的功等于物体动能的改变量，因此B正确；根据重力势能的定义和特点可知C正确；当有除重力以外的力对物体做功时，运动物体动能的减少量不等于其重力势能的增加量，因此D错．
【答案】 BC
【典例5】(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
【解析】 卫星半径减小时，分析各力做功情况可判断卫星能量的变化．
卫星运转过程中，地球的引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，受稀薄气体阻力的作用时，轨道半径逐渐变小，地球的引力对卫星做正功，势能逐渐减小，动能逐渐变大，由于气体阻力做负功，卫星的机械能减小，选项B、D正确．
【答案】 BD
考点1：功能关系的理解及应用
1.常见的几种功能对应关系
2.功能关系的理解和应用原则
（1）牢记三条功能关系
①重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化。
②合外力做的功等于动能的变化。
③除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化。
（2）功能关系的选用原则
①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
3.摩擦力做功的特点及其与能量的关系
【典例1】(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【解析】 这是系统能量转化的综合问题，解题要点是分析各个力做的功与能量的转化关系．
除重力以外其他力对物体做的功等于物体机械能的变化，故M克服摩擦力做的功等于两滑块组成的系统机械能的减少量，拉力对m做的功等于m机械能的增加量，选项C、D正确．
【答案】 CD
【典例2】如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m，现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了t0＝1.5 s时，车被地面装置锁定(g＝10 m/s2)．试求：
(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小．
【审题指导】 解答该题应注意：
(1)t0＝1.5 s时，滑块是否相对车静止，故应求出二者共速所用时间进行比较．
(2)摩擦生热的求法为Q＝μmgl相对．
【解析】 (1)由机械能守恒定律和牛顿第二定律得
mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，FNB－mg＝meq \f(v\\al(2,B),R)
则：FNB＝30 N.
(2)设m滑上小车后经过时间t1与小车同速，共同速度大小为v
对滑块有：μmg＝ma1，v＝vB－a1t1
对于小车：μmg＝Ma2，v＝a2t1
解得：v＝1 m/s，t1＝1 s，因t1故滑块与小车同速后，小车继续向左匀速行驶了0.5 s，则小车右端距B端的距离为，l车＝eq \f(v,2)t1＋v(t0－t1)．解得l车＝1 m.
(3)Q＝μmgl相对＝μmg(eq \f(vB＋v,2)t1－eq \f(v,2)t1)．
解得Q＝6 J.
【答案】 (1)30 N (2)1 m (3)6 J
考点2：对能量守恒定律的理解及应用
1.对能量守恒定律的理解
（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等，即ΔE减＝ΔE增。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。
这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路．
2.应用能量守恒定律解题的步骤
（1）选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。
（2）分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。
（3）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
（4）列出能量转化守恒关系式：ΔE减＝ΔE增，求解未知量，并对结果进行讨论。
3.能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
（2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
4．涉及弹簧的能量问题
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
（1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
（2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。
（3）当水平弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。
【典例1】(多选)一木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中．当子弹进入木块的深度达到最大值3.0 cm时，木块沿水平面恰好移动距离2.0 cm.则在上述过程中( )
A．木块获得的动能与子弹损失的动能之比为1∶1
B．系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为3∶5
C．系统损失的机械能与木块获得的动能之比为3∶2
D．系统产生的热与子弹损失的动能之比为3∶5
【解析】 由动能定理对子弹f(3＋2)×10－2＝ΔEk1.对木块f×2×10－2＝ΔEk2，则ΔEk1∶ΔEk2＝5∶2，A项错．系统损失的动能为fΔs＝f×3×10－2＝ΔE.ΔE∶ΔEk1＝3∶5，B、D两项正确．ΔE∶ΔEk2＝3∶2，C项正确．
【答案】 BCD
【典例2】如图所示，一物体的质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，AD＝3 m．挡板及弹簧的质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ.
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
【审题指导】 (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化；利用公式Q＝fx计算摩擦生热时，x表示路程．
(2)物体在C点时弹性势能最大，物体从开始位置A到C的过程中，分析动能变化、重力势能变化、弹性势能变化及摩擦生热，利用能量守恒定律方程求解．
【解析】 (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为：
ΔE＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mglADsin 37°
物体克服摩擦力产生的热量Q＝Fx
其中x为物体的路程，即x＝5.4 m
F＝μmgcs 37°
由能量守恒定律可得ΔE＝Q
解得：μ＝0.52.
(2)由A到C的过程中，动能减少，即
ΔEk＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
重力势能的减少量ΔEp＝mglACsin 37°
摩擦生热Q′＝FlAC＝μmgcs 37°·lAC
由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为：
ΔEpm＝ΔEk＋ΔEp－Q′
联立解得：ΔEpm＝24.4 J.
【答案】 (1)0.52 (2)24.4 J
考点3：动力学和功能关系问题中的传送带模型
1．模型条件
（1）传送带匀速或加速运动。
（2）物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。
（3）物体与传送带之间有相对滑动。
2．模型特点
（1）若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力。
（2）若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动。
（3）若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。
3．功能关系
（1）功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
（2）对传送带的功WF和产生的内能Q的理解
传送带做的功：W＝Fx，其中F为传送带的动力，x为传送带转过的距离。
产生的内能：ΔQ＝Ffx相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。
（3）求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
（4）相对位移：一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和。
4．传送带模型问题的分析流程
【典例1】如图所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，其上A、B两点间的距离L＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度匀速运动．现将一质量m＝10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),2)，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：(取g＝10 m/s2)
(1)传送带对小物体做的功．
(2)电动机做的功．
【规范解答】 (1)小物块加速过程根据牛顿第二定律有：
μmgcs θ－mgsin θ＝ma(2分)
物块上升的加速度a＝eq \f(1,4)g＝2.5 m/s2(1分)
当物块的速度v＝1 m/s时，位移是：x＝eq \f(v2,2a)＝0.2 m(2分)
即物块将以v＝1 m/s的速度完成4.8 m的路程，(1分)
由功能关系得：W＝ΔEp＋ΔEk＝mgLsin θ＋eq \f(1,2)mv2＝255 J．(2分)
(2)电动机做功使小物体机械能增加，同时小物体与传送带间因摩擦产生热量Q，由v＝at得t＝eq \f(v,a)＝0.4 s(2分)
相对位移x′＝vt－eq \f(1,2)vt＝0.2 m(2分)
摩擦生热Q＝μmgx′cs θ＝15 J(2分)
故电动机做的功W电＝W＋Q＝270 J．(2分)
【答案】 (1)255 J (2)270 J
【典例2】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是( )
A．电动机多做的功为eq \f(1,2)mv2
B．物体在传送带上的划痕长eq \f(v2,μg)
C．传送带克服摩擦力做的功为eq \f(1,2)mv2
D．电动机增加的功率为μmgv
【解析】 小物块与传送带相对静止之前，物体做匀加速运动，由运动学公式知x物＝eq \f(v,2)t，传送带做匀速运动，由运动学公式知x传＝vt，对物块根据动能定理μmgx物＝eq \f(1,2)mv2，摩擦产生的热量Q＝μmgx相＝μmg(x传－x物)，四式联立得摩擦产生的热量Q＝eq \f(1,2)mv2，根据能量守恒定律，电动机多做的功一部分转化为物块的动能，一部分转化为热量，故电动机多做的功等于mv2，A项错误；物体在传送带上的划痕长等于x传－x物＝x物＝eq \f(v2,2μg)，B项错误；传送带克服摩擦力做的功为μmgx传＝2μmgx物＝mv2，C项错误；电动机增加的功率也就是电动机克服摩擦力做功的功率为μmgv，D项正确．
【答案】 D
考点4：功能关系中的滑板模型
1．模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型。
2．处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ff ·x相对，并要注意数学知识（如图象、归纳法等）在此类问题中的应用。
质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图所示。
x板板
x物
Δx
该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，W物＝－μmg·x物 W板＝μmg·x板 。很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”
【典例1】如图所示，一个质量为m＝15 kg的特制柔软小猴模型，从离地面高h1＝6 m的树上自由下落，一辆平板车正沿着下落点正下方所在的平直路面以v0＝6 m/s的速度匀速前进。已知模型开始自由下落时，平板车前端恰好运动到距离下落点正下方s＝3 m处，该平板车总长L＝7 m，平板车板面离地面高h2＝1 m，模型可看作质点，不计空气阻力．假定模型落到板面后不弹起，在模型落到板面的瞬间，司机刹车使平板车开始以大小为a＝4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，直至停止，g取10 m/s2，模型下落过程中未与平板车车头接触，模型与平板车板面间的动摩擦因数μ＝0.2。求：
（1）模型将落在平板车上距车尾端多远处？
（2）通过计算说明，模型是否会从平板车上滑下？
（3）模型在平板车上相对滑动的过程中产生的总热量Q为多少？
【答案】（1）4m（2）Δx1<4 m，故不会滑下（3）105J
【解析】(1)设模型经时间t1下落到平板车上，由运动学公式得： ①
平板车在t1时间内前进的距离为x1 ，则：x1=v0t1
所以模型在平板车上的落点距车尾端距离：x= L + s - x1=4m
设模型落在车上后做匀加速运动的加速度为a1，经过时间t2模型和平板车的速度相同为v，则平板车的速度为：v＝v0－at2 ④
模型的速度为：v＝a1t2 ⑤
对模型应用牛顿第二定律得：μmg＝ma1 ⑥
平板车的位移为：x2＝v0t2－eq \f(1,2)ateq \\al( 2,2) ⑦
在这段时间内的模型的位移为：x3＝eq \f(1,2)a1teq \\al( 2,2) ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧可得，在这段时间内模型相对车向后的位移为：Δx1＝x2－x3＝3 m ⑨
Δx1<4 m，故不会滑下 ⑩
（3）速度相同后模型和平板车都减速运动直到静止，平板车的位移为：x4＝eq \f(v2,2a) ⑪
模型的位移为：x5＝eq \f(v2,2a1) ⑫
模型相对平板车向前的位移为：Δx2＝x5－x4 ⑬
模型在平板车上来回摩擦产生的总热量：Q＝μmg（Δx1＋Δx2）＝105 J
【题4】[斜面上的模型问题]如图所示，AB段为一半径R＝0.2 m的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道，EF是一倾角为30°的足够长的光滑固定斜面，斜面上有一质量为0.1 kg的薄木板CD，开始时薄木板被锁定。一质量也为0.1 kg的物块（图中未画出）从A点由静止开始下滑，通过B点后水平抛出，经过一段时间后恰好以平行于薄木板的方向滑上薄木板，在物块滑上薄木板的同时薄木板解除锁定，下滑过程中某时刻物块和薄木板能达到共同速度。已知物块与薄木板间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),6)，g＝10 m/s2，结果可保留根号。求：
（1）物块到达B点时对圆弧轨道的压力；
（2）物块滑上薄木板时的速度大小；
（3）达到共同速度前物块下滑的加速度大小及从物块滑上薄木板至达到共同速度所用的时间。
【答案】（1）3 N，方向竖直向下（2）eq \f(4\r(3),3) m/s（3）2.5 m/s2，eq \f(4\r(3),15) s
设物块滑上薄木板时的速度为v，则：cs 30°＝eq \f(vB,v)
解得：v＝eq \f(4\r(3),3) m/s
（3）物块和薄木板下滑过程中，由牛顿第二定律得：
对物块：mgsin 30°－μmgcs 30°＝ma1
对薄木板：mgsin 30°＋μmgcs 30°＝ma2
设物块和薄木板达到的共同速度为v′，则：v′＝v＋a1t＝a2t
解得：a1＝2.5 m/s2，t＝eq \f(4\r(3),15) s
一、单选题
1．如图所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短。现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．系统的机械能守恒
B．子弹克服摩擦力做功等于系统产生的热量
C．弹簧压缩至最短时，系统的产生的热能小于子弹动能的减少量
D．弹簧压缩至最短时，子弹动能全部转化成弹簧的弹性势能
【答案】C
【详解】A．因为子弹进入木块的过程中，子弹需要克服摩擦力做功而产生内能，所以系统机械能不守恒，故A错误；
BCD．根据功能关系可知，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中，子弹克服摩擦力做的功等于子弹动能的减少量；根据能量守恒定律可知，弹簧压缩至最短时，子弹减少的动能等于弹簧增加的弹性势能与系统产生的热量之和，故C正确，BD错误。
故选C。
2．如图所示，轻弹簧放置在倾角为的斜面上，弹簧下端与斜面底端的挡板相连，可看作质点的小物块A、B叠放在一起，在斜面的顶端由静止释放一起沿斜面下滑。弹簧被压缩到最短时，A物块刚好从B上滑离，此后弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端，已知重力加速度为g，B物块与斜面间动摩擦因数为，则关于A、B的质量m和M之间的关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】从开始运动直到弹簧压缩最短的过程中，对整体研究，由于弹簧被压缩到最短时，A物块刚好从B上滑离，则二者速度为0，设运动距离为L，则根据能量守恒定律可知
对于弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端的过程中，根据能量守恒定律可知
联立解得
故选A。
3．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能增加了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
【答案】B
【详解】A．圆环在下落过程中受到弹簧的拉力，拉力做负功，圆环在下落过程中机械能减少， A错误；
BC．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度
所以圆环重力势能减少了mgL，弹簧弹性势能增加了mgL ，C错误B正确；
D．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，圆环沿杆下滑过程中速度先增大在减小，圆环的动能先变大后变小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先变小后变大，D错误。
故选B。
4．如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中（ ）
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．摩擦力对物体做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
【答案】C
【详解】A．物体向右运动时，当弹簧的弹力与滑动摩擦力大小相等时，即
时，速度最大，所以弹簧的最大弹力大于μmg，A错误；
B．整个过程中，物块所受的摩擦力大小恒定，摩擦力一直做负功，摩擦力所做的功为-2μmgs，B错误；
C．物体向右运动的过程，根据能量守恒定律得，弹簧的最大弹性势能
C正确；
D．设物块在A点的初速度为v0，对整个过程，利用功能定理
所得
D错误。
故选C。
5．滑块静止于光滑斜面底端，与之相连的轻质弹簧处于自然伸直状态，现用一平行于斜面的恒力F作用于弹簧上端，使滑块沿斜面上滑一段距离，此过程拉力F做功5J，则此过程中（ ）
A．滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧的弹性势能增加了5J
C．滑块的动能增加了5J
D．滑块和弹簧组成的系统机械能增加了5J
【答案】D
【详解】AD．对于滑块和弹簧组成的系统，由于有拉力F做功，系统的机械能不守恒，此过程拉力F做功5J，则机械能增加5J，A错误，D正确；
BC．物体的机械能增加量包括弹性势能的增加量、重力势能的增加量和动能的增加量，所以弹簧的弹性势能增加小于5J，滑块的动能增加量也小于5J，BC错误。
故选D。
6．如图所示，电动机通过轻绳和轻质动滑轮拉起质量为m的重物，重物原本静止，某一时刻电动机开始以恒定的输出功率（即指向外界提供的功率）工作。已知重力加速度为g，轻绳足够长，不计一切摩擦和空气阻力，忽略滑轮和轻绳的质量。以下说法正确的是（ ）
A．电动机的输出功率等于重物重力势能的变化率
B．若电动机输出功率为P，重物速度为v时，重物的加速度为
C．若经过时间t，重物的瞬时速度为v，那么重物上升的高度为
D．若电动机输出功率为P，重物上升了高度h用时为t，那么重物此时的速度为
【答案】B
【详解】A．电动机的功率等于重物机械能的变化率，故A错误；
B．假设电动机功率为P，重物速度为v时，电动机拉动绳子的速率为2v，绳中拉力大小为
重物的加速度为
故B正确；
C．随速度的增加，加速度减小，即重物做加速度减小的加速运动，则重物上升的高度不等于，故C错误；
D．由动能定理可得，若重物上升了高度h用时为t电动机做功为Pt，则
重物此时的速度为
故D错误。
故选B。
7．如图所示，有三个斜面a、b、c，底边的长分别为L、L、3L，高度分别为3h、h、h。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．因摩擦产生的热量
B．因摩擦产生的热量
C．物体到达底端的动能
D．物体损失的机械能
【答案】A
【详解】ABD．物体下滑，除重力外有摩擦力做功，根据能量守恒，损失的机械能转化成摩擦产生的内能。
x为斜面的长度，θ为斜面的倾角，由图可知a和b底边相等且等于c的，故摩擦生热的热量关系为
即
损失的机械能
即
故BD错误，A正确；
C．设物体滑到底端时的速度为v，根据动能定理得
则
根据图中斜面高度和底边长度可知滑到底边时动能大小关系为
故C错误。
故选A。
二、多选题
8．如图所示，倾角为的固定粗糙斜面上有一A点，长度为的木板质量分布均匀，其质量为，开始用外力使木板下端与A点对齐，如图。木块质量为，两者用一轻质细绳绕过光滑定滑轮连接在一起，木板与斜面的动摩擦因数为。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点，此过程中，下列说法正确的是（ ）（）
A．木板M和木块m组成的系统机械能守恒
B．木板上端刚过A点时速度大小为
C．木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D．系统产生的热量为
【答案】BC
【详解】A．由于斜面是粗糙的，木板M和木块m组成的系统在运动中会有摩擦生热，所以木板M和木块m组成的系统机械能不守恒，故A错误；
B．木板M和木块m组成的系统由能量守恒有
解得
故B正确；
C．根据能量守恒可知木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和，故C正确；
D．系统产生的热量为
故D错误。
故选BC。
9．如图所示，AB为固定水平长木板，长为，C为长木板的中点，AC段光滑，CB段粗糙，一原长为的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块，开始时将物块拉至长木板的右端B点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，已知物块与长木板CB段间的动摩擦因数为，物块的质量为，弹簧的劲度系数为，且，物块第一次到达C点时，物块的速度大小为，这时弹簧的弹性势能为，不计物块的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．物块可能会停在CB面上某处
B．物块最终会做往复运动
C．弹簧开始具有的最大弹性势能为
D．最终系统损失的机械能为
【答案】BC
【详解】A．由于
k>
由此
>μmg
由此，物块不可能停在CB面上某处，故A错误；
B．只要物块滑上BC段，就要克服摩擦力做功，物块的机械能就减小，所以物块最终会在AC段做往复运动，故B正确；
C．物块从开始运动到第一次运动到C点的过程中，根据能量守恒定律得
Epm=E0＋＋μmg
故C正确；
D．物块第一次到达C点时，物块的速度大小为v0，物块最终会在AC段做往返运动，到达C点的速度为0，可知物块克服摩擦做的功最大为
Wfm=Epm－E0=＋μmgL
故D错误。
故选BC。
10．如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是（ ）
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B做的功的数值等于摩擦力对木板A做的功和系统内能的增加量之和
【答案】CD
【详解】A．物体B以水平速度冲上木板A后，由于摩擦力作用，B减速运动，木板A加速运动，根据能量守恒定律，物体B动能的减少量等于木板A增加的动能和产生的热量之和，故A错误；
B．根据动能定理，物体B克服摩擦力做的功等于物体B损失的动能，故B错误；
C．由能量守恒定律可知，物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和，故C正确；
D．摩擦力对物体B做的功等于物体B动能的减少量，摩擦力对木板A做的功等于木板A动能的增加量，摩擦力对物体B做的功的数值等于摩擦力对木板A做的功和系统内能的增加量之和，故D正确。
故选CD。
11．如图所示，水平轨道以点为分界点，左侧光滑，右侧粗糙。长为、质量为的长木板静置于点左侧。现对长木板施加水平向右、大小为的恒力，一段时间后，长木板恰好完全滑入粗糙部分。长木板与轨道粗糙部分间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，则（ ）
A．长木板先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．初始时长木板右端与点的距离为
C．长木板的最大动能为
D．若初始时木板右端在点，则长木板运动过程中摩擦产生的热量为
【答案】BCD
【详解】A．长木板在点左侧做匀加速运动，长木板右端过点后，长木板开始受到摩擦力，且逐渐增大，先做变加速运动，后做变减速运动，A错误；
B．整个运动过程中，摩擦力做的功大小为
根据动能定理可得
解得
则初始时长木板右端与点的距离为
B正确；
C．当木板所受合力为零时，有
解得
摩擦力做的功大小为
此时长木板速度最大，动能最大，根据动能定理有
解得
C正确；
D．若初始时木板右端在点，则根据能量守恒定律有
解得
则
D正确。
故选BCD。
12．如图所示，水平传送带以v=6m/s顺时针匀速转动，水平部分AB的长为L，并与长为3.6m的光滑倾斜轨道BC在B点平滑连接，BC与水平面的夹角为。现将一个可视为质点的工件从A点由静止释放，滑块与传送带间的动摩擦因数为，，要使工件能到达C点（没有施加其他外力辅助），下列关于和的取值可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】设工件恰好到达C点，根据机械能守恒
工件达到B点的最小速度为
恰好与传送带速度相等，则在水平传送带上，根据动能定理
且
得
代入选项数据可知BC的取值时可能的。
故选BC。
13．如图所示，长为的水平传送带以的速度顺时针匀速转动，现将一质量的小物块无初速地放在传送带左端，经过一段时间小物块运动到传送带右端。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，。下列说法正确的是（ ）
A．此过程中传送带多做了的功
B．此过程中因摩擦产生的热量为
C．物体在传送带上的划痕长度为
D．此过程摩擦力对小物块做功
【答案】AC
【详解】小物块无初速地放在传送带左端，受到向右摩擦力，加速度为
达到与传送带共速的时间为
与传送带共速时小物块的位移为
共速时传送带的位移为
物体在传送带上的划痕长度为
此过程中因摩擦产生的热量为
此过程摩擦力对物块做的功为
此过程中传送带多做的功为
故选AC。
14．冬奥会上有一种女子单板滑雪U形池项目，如图所示为U形池模型，池内各处粗糙程度相同，其中a、c为U形池两侧边缘，且在同一水平面，b为U形池最低点。某运动员从a点上方h高的O点自由下落由左侧切线进入池中，从右侧切线飞出后上升至最高位置d点（相对c点高度为）。不计空气阻力，重力加速度为g，则运动员（ ）
A．运动员由a到c的过程中，在ab段克服摩擦力做的功大于在bc段克服摩擦力做的功
B．运动员从d返回经b恰好到达a点
C．运动员从d返回经b一定能越过a点再上升一定高度
D．运动员第一次过b点对轨道的压力大于第二次过b点对轨道的压力
【答案】ACD
【详解】A．运动员由a到c的过程中，由于摩擦力做负功，使得ab段与bc段在相同高度的两个位置，总是ab段的速度大于bc段的速度，故ab段的平均速率大于bc段的平均速率，ab段的平均压力大于bc段的平均压力，ab段的平均摩擦力大于bc段的平均摩擦力，故在ab段克服摩擦力做的功大于在bc段克服摩擦力做的功，故A正确；
BC．由题意数据可知第一次从a到c的过程中，克服摩擦力做功的大小为
由于从d返回的过程，经过相同位置的速度总是比从a到c过程经过相同位置的速度小，可知返回过程的平均摩擦力比a到c过程的平均摩擦力小，故返回过程中从c到a的过程中，克服摩擦力做功小于，可知运动员从d返回经b一定能越过a点再上升一定高度，故B错误，C正确；
D．运动员经过b点时，根据牛顿第二定律得
由于运动员第一次过b点的速度大于第二次经过b点的速度，故运动员第一次通过b点的受到的支持力大于第二次过b点受到的支持力，根据牛顿第三定律可知，运动员第一次过b点对轨道的压力大于第二次过b点对轨道的压力，故D正确。
故选ACD。
15．如图， 粗糙水平面 与坚直面内半径为的半圆形导轨在点相切， 一个质量为的物块 （可视为质点）将弹簧压缩至A点并由静止释放后向右弹开， 当它经过点进入圆形导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍， 之后向上运动恰能到达最高点。物块与粗粘水平面之间的动摩擦因数为，AB部分长为， 重力加速度为， 下列说法正确的是（ ）
A．物块经过点时的速度大小
B．物块经过点时的速度大小
C．物块从点运动至点的过程中阻力做的功
D．物块在A点时弹簧的弹性势能
【答案】BD
【详解】A B．已知物块经过B点进入圆形导轨的暖间对轨道的压力为其重力的7倍，根据牛顿第三定律可知，轨道对物块的支持力
在点对物块， 由牛顿第二定律有
解得
A错误，B正确；
C．物块恰能到达最高点C，在C点由重力提供向心力，则有
从B到C的过程，由动能定理得
解得阻力的功为
C 错误；
D．对 A到的过程， 由动能定理得
结合上述解得
D正确。
故选BD。
16．如图所示，在水平地面上有一圆弧形凹槽，AC连线与地面相平，凹槽是位于竖直平面内以O为圆心、半径为R的一段圆弧，B为圆弧最低点，而且AB段光滑，BC段粗糙。现有一质量为m的小球（可视为质点），从水平地面上P处以初速度斜向右上方飞出，与水平地面夹角为，不计空气阻力，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道，沿圆弧继续运动后从C点以速率飞出。重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球由P到A的过程中，离地面的最大高度为
B．小球进入A点时重力的瞬时功率为
C．小球在圆弧形轨道内由于摩擦产生的热量为
D．小球经过圆弧形轨道最低点B处受到轨道的支持力大小为
【答案】CD
【详解】A．小球从P处向斜上方飞出时，竖直方向的分速度大小为
小球由P到A的过程中，在竖直方向做竖直上抛运动，设其离地面的最大高度为H，则有
解得
故A错误；
B．小球进入A点时，竖直方向的分速度大小为
所以重力的瞬时功率为
故B错误；
C．设小球在圆弧形轨道内由于摩擦产生的热量为Q，从P到C的过程，根据能量守恒，有
解得
故C正确；
D．设小球经过圆弧形轨道最低点B处时速度大小为v，小球受到轨道的支持力大小为FN，根据向心力公式有
由P到A的过程，小球下降的高度为
根据机械能守恒，有
解得
故D正确。
故选CD。
三、解答题
17．如图所示，从A点以某一水平速度抛出一质量的物块（可视为质点）。当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入圆心角的光滑圆弧轨道BC，且在圆弧轨道上做变速运动，经圆弧轨道后滑上与C点等高且静止在粗糙水平地面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量，A到C点的竖直高度，圆弧半径，B到C点的竖直高度为h，物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数。物块始终未滑出长木板，不计空气阻力，取重力加速度大小，，。求：
（1）物块被抛出时的初速度大小；
（2）物块到达C点时的速度大小；
（3）在物块相对长木板运动的过程中，物块与长木板之间产生的内能。
【答案】（1）；（2）；（3）J
【详解】（1）根据题图中几何关系知物块下落的高度
根据平抛运动竖直方向速度-位移关系有
根据平抛运动竖直速度与水平速度关系有
解得
（2）物块进入圆弧轨道后，根据动能定理有
物块滑入B点时的速度
解得
（3）对物块受力分析有
对长木板受力分析有
根据速度-时间关系有
物块与长木板共速
根据速度-位移关系有
物块与长木板的相对位移
物块与长木板之间产生的内能
解得
18．如图所示，某一弹射游戏装置由弹性竖直挡板P、长度的水平直轨道、半径的竖直半圆轨道和半径的竖直半圆管道组成，轨道各部分平滑连接。已知小球质量，小球直径略小于管道直径，小球与间的动摩擦因数，其余各部分轨道均光滑，小球与P的碰撞无机械能损失，某次小球从P处向右弹出时的初动能为（g取）。
（1）求小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小；
（2）若要小球能从F点射出，求的最小值；
（3）若，小球能两次进入轨道，求的范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，小球从A运动到B，由动能定理有
解得
由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可知，小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小为
（2）要求运动中，滑块不脱离轨道，设通过轨道的最高点D的最小值速度为，则有
解得
对DF过程由动能定理有
解得
所以滑块通过D点后肯定能通过F点，对A到D过程，由功能关系有
解得
（3）若小球恰好运动到点，由动能定理得
解得
小球恰好第二次运动到D点，有
因此初动能的范围为
19．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连）、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径m，OE长m，AC长m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数。滑块质量g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，各部分平滑连接。重力加速度，求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度大小；
（2）当m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力；
（3）要使游戏成功，h应在什么范围调节？
【答案】（1）；（2），方向竖直向下；（3）
【详解】（1）滑块恰好过F的条件为
解得
（2）滑块从E到B，根据动能定理有
在E点有
代入数据解得
由牛顿第三定律可得，滑块在E点对轨道的压力
方向竖直向下；
（3）滑块恰能过F点的弹性势能
到B点减速到0
解得
能停在B点，则
解得
此时
综上可得
20．如图所示，竖直平面内固定有半径为的光滑四分之一圆轨道AB，水平直轨道，以速度逆时针转动的水平传送带CD及竖直固定反弹装置。各轨道平滑连接。现有一质量为的滑块（可视为质点）从轨道AB上高为h处由静止下滑，最终与反弹装置发生弹性碰撞。已知，，，滑块与BC和CD间的动摩擦因数，与DE间的动摩擦因数，其中x为滑块距D点的距离。
（1）若，求滑块运动至B处时对轨道的作用力。
（2）若滑块无法通过传送带，求高度h的最大值。
（3）若滑块只能经过C点两次，试求传送带因传送滑块额外做的功的最大值。
【答案】（1）24N，方向竖直向下；（2）；（3）
【详解】（1）滑块从A到B过程机械能守恒，有
由合外力提供向心力有
由牛顿第三定律可得滑块对轨道的作用力，方向竖直向下。
（2）滑块无法通过传送带的临界条件为滑块第一次到达D点的速度为零
由能量守恒定律有
解得
（3）传送带额外做的功最大的临界条件为滑块经E反弹后第二次到达D点时速度为零。假设以上条件可满足，设滑块第一次到达D点时速度大小为，由动能定理有
解得
设滑块第一次到达C点时速度大小为，由动能定理有
解得
由于
所以假设成立。设滑块第二次到达C点时速度大小为，则有
得
又
此后滑块无法再通过D点。滑块从C到D的过程有
滑块从D到C的过程有
故传送带额外做功的最大值为
合外力做正功
动能增加
重力做正功
重力势能减少
弹簧弹力做正功
弹性势能减少
外力(除重力、弹力)做正功
机械能增加
滑动摩擦力做功
系统内能增加
电场力做正功
电势能减少
分子力做正功
分子势能减少
各种力做功
对应能的变化
定量的关系
W合：合外力的功（所有外力的功）
动能的改变量（ΔEk）
合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
WG：重力的功
重力势能的改变量（ΔEp）
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
W弹：弹簧弹力做的功
弹性势能的改变量（ΔEp）
弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力的功
不引起机
械能变化
机械能守恒ΔE＝0
W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功
机械能的改变量（ΔE）
除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE
Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和
因摩擦而产生的内能（Q）
滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移）
类别
比较
静摩擦力
滑动摩擦力
不同点
能量的转化
只有能量的转移，而没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
一对摩擦
力的总功
一对静摩擦力所做功的代数总和等于零
一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－Ff·l相对，即摩擦时产生的热量
相同点
做功的正、负
两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功
——划重点之精细讲义系列
知识1：功能关系
1．内容
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．
2．功与对应能量的变化关系
知识2：能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增． ΔE增为末状态的能量减去初状态的能量，而ΔE减为初状态的能量减去末状态的能量．
(1)力对物体做了多少功，物体就有多少能．( )
(2)力对物体做功，物体的总能量一定增加．( )
(3)滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化．( )
【典例1】物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是( )
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况
D．三种情况中，物体的机械能均增加
【典例2】(多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的速度为v，与A点的竖直高度差为h，则( )
A．由A至B重力做功为mgh
B．由A至B重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A至B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为(mgh－eq \f(1,2)mv2)
【典例3】下列说法正确的是( )
A．随着科技的发展，第一类永动机是可以制成的
B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了
C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量转化和守恒定律，因而是不可能的
D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生
【典例4】(多选)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
【典例5】(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
考点1：功能关系的理解及应用
1.常见的几种功能对应关系
2.功能关系的理解和应用原则
（1）牢记三条功能关系
①重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化。
②合外力做的功等于动能的变化。
③除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化。
（2）功能关系的选用原则
①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
3.摩擦力做功的特点及其与能量的关系
【典例1】(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【典例2】如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m，现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了t0＝1.5 s时，车被地面装置锁定(g＝10 m/s2)．试求：
(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小．
考点2：对能量守恒定律的理解及应用
1.对能量守恒定律的理解
（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等，即ΔE减＝ΔE增。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。
这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路．
2.应用能量守恒定律解题的步骤
（1）选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。
（2）分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。
（3）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
（4）列出能量转化守恒关系式：ΔE减＝ΔE增，求解未知量，并对结果进行讨论。
3.能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
（2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
4．涉及弹簧的能量问题
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
（1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
（2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。
（3）当水平弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。
【典例1】(多选)一木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中．当子弹进入木块的深度达到最大值3.0 cm时，木块沿水平面恰好移动距离2.0 cm.则在上述过程中( )
A．木块获得的动能与子弹损失的动能之比为1∶1
B．系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为3∶5
C．系统损失的机械能与木块获得的动能之比为3∶2
D．系统产生的热与子弹损失的动能之比为3∶5
【典例2】如图所示，一物体的质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，AD＝3 m．挡板及弹簧的质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ.
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
考点3：动力学和功能关系问题中的传送带模型
1．模型条件
（1）传送带匀速或加速运动。
（2）物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。
（3）物体与传送带之间有相对滑动。
2．模型特点
（1）若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力。
（2）若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动。
（3）若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。
3．功能关系
（1）功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
（2）对传送带的功WF和产生的内能Q的理解
传送带做的功：W＝Fx，其中F为传送带的动力，x为传送带转过的距离。
产生的内能：ΔQ＝Ffx相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。
（3）求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
（4）相对位移：一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和。
4．传送带模型问题的分析流程
【典例1】如图所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，其上A、B两点间的距离L＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度匀速运动．现将一质量m＝10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),2)，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：(取g＝10 m/s2)
(1)传送带对小物体做的功．
(2)电动机做的功．
【典例2】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是( )
A．电动机多做的功为eq \f(1,2)mv2
B．物体在传送带上的划痕长eq \f(v2,μg)
C．传送带克服摩擦力做的功为eq \f(1,2)mv2
D．电动机增加的功率为μmgv
考点4：功能关系中的滑板模型
1．模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型。
2．处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ff ·x相对，并要注意数学知识（如图象、归纳法等）在此类问题中的应用。
质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图所示。
x板板
x物
Δx
该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，W物＝－μmg·x物 W板＝μmg·x板 。很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”
【典例1】如图所示，一个质量为m＝15 kg的特制柔软小猴模型，从离地面高h1＝6 m的树上自由下落，一辆平板车正沿着下落点正下方所在的平直路面以v0＝6 m/s的速度匀速前进。已知模型开始自由下落时，平板车前端恰好运动到距离下落点正下方s＝3 m处，该平板车总长L＝7 m，平板车板面离地面高h2＝1 m，模型可看作质点，不计空气阻力．假定模型落到板面后不弹起，在模型落到板面的瞬间，司机刹车使平板车开始以大小为a＝4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，直至停止，g取10 m/s2，模型下落过程中未与平板车车头接触，模型与平板车板面间的动摩擦因数μ＝0.2。求：
（1）模型将落在平板车上距车尾端多远处？
（2）通过计算说明，模型是否会从平板车上滑下？
（3）模型在平板车上相对滑动的过程中产生的总热量Q为多少？
【题4】[斜面上的模型问题]如图所示，AB段为一半径R＝0.2 m的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道，EF是一倾角为30°的足够长的光滑固定斜面，斜面上有一质量为0.1 kg的薄木板CD，开始时薄木板被锁定。一质量也为0.1 kg的物块（图中未画出）从A点由静止开始下滑，通过B点后水平抛出，经过一段时间后恰好以平行于薄木板的方向滑上薄木板，在物块滑上薄木板的同时薄木板解除锁定，下滑过程中某时刻物块和薄木板能达到共同速度。已知物块与薄木板间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),6)，g＝10 m/s2，结果可保留根号。求：
（1）物块到达B点时对圆弧轨道的压力；
（2）物块滑上薄木板时的速度大小；
（3）达到共同速度前物块下滑的加速度大小及从物块滑上薄木板至达到共同速度所用的时间。
一、单选题
1．如图所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短。现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．系统的机械能守恒
B．子弹克服摩擦力做功等于系统产生的热量
C．弹簧压缩至最短时，系统的产生的热能小于子弹动能的减少量
D．弹簧压缩至最短时，子弹动能全部转化成弹簧的弹性势能
2．如图所示，轻弹簧放置在倾角为的斜面上，弹簧下端与斜面底端的挡板相连，可看作质点的小物块A、B叠放在一起，在斜面的顶端由静止释放一起沿斜面下滑。弹簧被压缩到最短时，A物块刚好从B上滑离，此后弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端，已知重力加速度为g，B物块与斜面间动摩擦因数为，则关于A、B的质量m和M之间的关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能增加了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
4．如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中（ ）
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．摩擦力对物体做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
5．滑块静止于光滑斜面底端，与之相连的轻质弹簧处于自然伸直状态，现用一平行于斜面的恒力F作用于弹簧上端，使滑块沿斜面上滑一段距离，此过程拉力F做功5J，则此过程中（ ）
A．滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧的弹性势能增加了5J
C．滑块的动能增加了5J
D．滑块和弹簧组成的系统机械能增加了5J
6．如图所示，电动机通过轻绳和轻质动滑轮拉起质量为m的重物，重物原本静止，某一时刻电动机开始以恒定的输出功率（即指向外界提供的功率）工作。已知重力加速度为g，轻绳足够长，不计一切摩擦和空气阻力，忽略滑轮和轻绳的质量。以下说法正确的是（ ）
A．电动机的输出功率等于重物重力势能的变化率
B．若电动机输出功率为P，重物速度为v时，重物的加速度为
C．若经过时间t，重物的瞬时速度为v，那么重物上升的高度为
D．若电动机输出功率为P，重物上升了高度h用时为t，那么重物此时的速度为
7．如图所示，有三个斜面a、b、c，底边的长分别为L、L、3L，高度分别为3h、h、h。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．因摩擦产生的热量
B．因摩擦产生的热量
C．物体到达底端的动能
D．物体损失的机械能
二、多选题
8．如图所示，倾角为的固定粗糙斜面上有一A点，长度为的木板质量分布均匀，其质量为，开始用外力使木板下端与A点对齐，如图。木块质量为，两者用一轻质细绳绕过光滑定滑轮连接在一起，木板与斜面的动摩擦因数为。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点，此过程中，下列说法正确的是（ ）（）
A．木板M和木块m组成的系统机械能守恒
B．木板上端刚过A点时速度大小为
C．木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D．系统产生的热量为
9．如图所示，AB为固定水平长木板，长为，C为长木板的中点，AC段光滑，CB段粗糙，一原长为的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块，开始时将物块拉至长木板的右端B点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，已知物块与长木板CB段间的动摩擦因数为，物块的质量为，弹簧的劲度系数为，且，物块第一次到达C点时，物块的速度大小为，这时弹簧的弹性势能为，不计物块的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．物块可能会停在CB面上某处
B．物块最终会做往复运动
C．弹簧开始具有的最大弹性势能为
D．最终系统损失的机械能为
10．如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是（ ）
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B做的功的数值等于摩擦力对木板A做的功和系统内能的增加量之和
11．如图所示，水平轨道以点为分界点，左侧光滑，右侧粗糙。长为、质量为的长木板静置于点左侧。现对长木板施加水平向右、大小为的恒力，一段时间后，长木板恰好完全滑入粗糙部分。长木板与轨道粗糙部分间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，则（ ）
A．长木板先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．初始时长木板右端与点的距离为
C．长木板的最大动能为
D．若初始时木板右端在点，则长木板运动过程中摩擦产生的热量为
12．如图所示，水平传送带以v=6m/s顺时针匀速转动，水平部分AB的长为L，并与长为3.6m的光滑倾斜轨道BC在B点平滑连接，BC与水平面的夹角为。现将一个可视为质点的工件从A点由静止释放，滑块与传送带间的动摩擦因数为，，要使工件能到达C点（没有施加其他外力辅助），下列关于和的取值可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图所示，长为的水平传送带以的速度顺时针匀速转动，现将一质量的小物块无初速地放在传送带左端，经过一段时间小物块运动到传送带右端。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，。下列说法正确的是（ ）
A．此过程中传送带多做了的功
B．此过程中因摩擦产生的热量为
C．物体在传送带上的划痕长度为
D．此过程摩擦力对小物块做功
14．冬奥会上有一种女子单板滑雪U形池项目，如图所示为U形池模型，池内各处粗糙程度相同，其中a、c为U形池两侧边缘，且在同一水平面，b为U形池最低点。某运动员从a点上方h高的O点自由下落由左侧切线进入池中，从右侧切线飞出后上升至最高位置d点（相对c点高度为）。不计空气阻力，重力加速度为g，则运动员（ ）
A．运动员由a到c的过程中，在ab段克服摩擦力做的功大于在bc段克服摩擦力做的功
B．运动员从d返回经b恰好到达a点
C．运动员从d返回经b一定能越过a点再上升一定高度
D．运动员第一次过b点对轨道的压力大于第二次过b点对轨道的压力
15．如图， 粗糙水平面 与坚直面内半径为的半圆形导轨在点相切， 一个质量为的物块 （可视为质点）将弹簧压缩至A点并由静止释放后向右弹开， 当它经过点进入圆形导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍， 之后向上运动恰能到达最高点。物块与粗粘水平面之间的动摩擦因数为，AB部分长为， 重力加速度为， 下列说法正确的是（ ）
A．物块经过点时的速度大小
B．物块经过点时的速度大小
C．物块从点运动至点的过程中阻力做的功
D．物块在A点时弹簧的弹性势能
16．如图所示，在水平地面上有一圆弧形凹槽，AC连线与地面相平，凹槽是位于竖直平面内以O为圆心、半径为R的一段圆弧，B为圆弧最低点，而且AB段光滑，BC段粗糙。现有一质量为m的小球（可视为质点），从水平地面上P处以初速度斜向右上方飞出，与水平地面夹角为，不计空气阻力，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道，沿圆弧继续运动后从C点以速率飞出。重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球由P到A的过程中，离地面的最大高度为
B．小球进入A点时重力的瞬时功率为
C．小球在圆弧形轨道内由于摩擦产生的热量为
D．小球经过圆弧形轨道最低点B处受到轨道的支持力大小为
三、解答题
17．如图所示，从A点以某一水平速度抛出一质量的物块（可视为质点）。当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入圆心角的光滑圆弧轨道BC，且在圆弧轨道上做变速运动，经圆弧轨道后滑上与C点等高且静止在粗糙水平地面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量，A到C点的竖直高度，圆弧半径，B到C点的竖直高度为h，物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数。物块始终未滑出长木板，不计空气阻力，取重力加速度大小，，。求：
（1）物块被抛出时的初速度大小；
（2）物块到达C点时的速度大小；
（3）在物块相对长木板运动的过程中，物块与长木板之间产生的内能。
18．如图所示，某一弹射游戏装置由弹性竖直挡板P、长度的水平直轨道、半径的竖直半圆轨道和半径的竖直半圆管道组成，轨道各部分平滑连接。已知小球质量，小球直径略小于管道直径，小球与间的动摩擦因数，其余各部分轨道均光滑，小球与P的碰撞无机械能损失，某次小球从P处向右弹出时的初动能为（g取）。
（1）求小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小；
（2）若要小球能从F点射出，求的最小值；
（3）若，小球能两次进入轨道，求的范围。
19．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连）、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径m，OE长m，AC长m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数。滑块质量g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，各部分平滑连接。重力加速度，求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度大小；
（2）当m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力；
（3）要使游戏成功，h应在什么范围调节？
20．如图所示，竖直平面内固定有半径为的光滑四分之一圆轨道AB，水平直轨道，以速度逆时针转动的水平传送带CD及竖直固定反弹装置。各轨道平滑连接。现有一质量为的滑块（可视为质点）从轨道AB上高为h处由静止下滑，最终与反弹装置发生弹性碰撞。已知，，，滑块与BC和CD间的动摩擦因数，与DE间的动摩擦因数，其中x为滑块距D点的距离。
（1）若，求滑块运动至B处时对轨道的作用力。
（2）若滑块无法通过传送带，求高度h的最大值。
（3）若滑块只能经过C点两次，试求传送带因传送滑块额外做的功的最大值。
合外力做正功
动能增加
重力做正功
重力势能减少
弹簧弹力做正功
弹性势能减少
外力(除重力、弹力)做正功
机械能增加
滑动摩擦力做功
系统内能增加
电场力做正功
电势能减少
分子力做正功
分子势能减少
各种力做功
对应能的变化
定量的关系
W合：合外力的功（所有外力的功）
动能的改变量（ΔEk）
合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
WG：重力的功
重力势能的改变量（ΔEp）
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
W弹：弹簧弹力做的功
弹性势能的改变量（ΔEp）
弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力的功
不引起机
械能变化
机械能守恒ΔE＝0
W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功
机械能的改变量（ΔE）
除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE
Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和
因摩擦而产生的内能（Q）
滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移）
类别
比较
静摩擦力
滑动摩擦力
不同点
能量的转化
只有能量的转移，而没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
一对摩擦
力的总功
一对静摩擦力所做功的代数总和等于零
一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－Ff·l相对，即摩擦时产生的热量
相同点
做功的正、负
两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功
第8讲 功能关系 能量守恒定律
——划重点之精细讲义系列
知识1：功能关系
1．内容
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．
2．功与对应能量的变化关系
知识2：能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增． ΔE增为末状态的能量减去初状态的能量，而ΔE减为初状态的能量减去末状态的能量．
(1)力对物体做了多少功，物体就有多少能．(×)
(2)力对物体做功，物体的总能量一定增加．(×)
(3)滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化．(√)
【典例1】物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是( )
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况
D．三种情况中，物体的机械能均增加
【解析】 在三种情况下，外力均对物体做了功，所以物体的机械能均增加，故D正确．
【答案】 D
【典例2】(多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的速度为v，与A点的竖直高度差为h，则( )
A．由A至B重力做功为mgh
B．由A至B重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A至B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为(mgh－eq \f(1,2)mv2)
【解析】 由A到B，高度减小h，重力做功mgh，重力势能减少mgh，但因弹簧伸长，弹性势能增加，由能量守恒得：mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，可得：Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，小球克服弹力做功应小于mgh，故B、C错误，A、D正确．
【答案】 AD
【典例3】下列说法正确的是( )
A．随着科技的发展，第一类永动机是可以制成的
B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了
C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量转化和守恒定律，因而是不可能的
D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生
【解析】 第一类永动机违背了能量守恒定律，所以不可能制成，A错误；根据能量守恒定律，太阳照射到宇宙空间的能量也不会凭空消失，B错误；要让马儿跑，必须要给马儿吃草，否则就违背能量守恒定律，C正确；所谓“全自动”手表内部还是有能量转化装置的，一般是一个摆锤，当人戴着手表活动时，摆锤不停地摆动，给游丝弹簧补充能量，才会维持手表的走动，D错．
【答案】 C
【典例4】(多选)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
【解析】 物体重力做的功总等于重力势能的减少量，因此A错；根据动能定理可知合力对物体所做的功等于物体动能的改变量，因此B正确；根据重力势能的定义和特点可知C正确；当有除重力以外的力对物体做功时，运动物体动能的减少量不等于其重力势能的增加量，因此D错．
【答案】 BC
【典例5】(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
【解析】 卫星半径减小时，分析各力做功情况可判断卫星能量的变化．
卫星运转过程中，地球的引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，受稀薄气体阻力的作用时，轨道半径逐渐变小，地球的引力对卫星做正功，势能逐渐减小，动能逐渐变大，由于气体阻力做负功，卫星的机械能减小，选项B、D正确．
【答案】 BD
考点1：功能关系的理解及应用
1.常见的几种功能对应关系
2.功能关系的理解和应用原则
（1）牢记三条功能关系
①重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化。
②合外力做的功等于动能的变化。
③除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化。
（2）功能关系的选用原则
①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
3.摩擦力做功的特点及其与能量的关系
【典例1】(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【解析】 这是系统能量转化的综合问题，解题要点是分析各个力做的功与能量的转化关系．
除重力以外其他力对物体做的功等于物体机械能的变化，故M克服摩擦力做的功等于两滑块组成的系统机械能的减少量，拉力对m做的功等于m机械能的增加量，选项C、D正确．
【答案】 CD
【典例2】如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m，现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了t0＝1.5 s时，车被地面装置锁定(g＝10 m/s2)．试求：
(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小．
【审题指导】 解答该题应注意：
(1)t0＝1.5 s时，滑块是否相对车静止，故应求出二者共速所用时间进行比较．
(2)摩擦生热的求法为Q＝μmgl相对．
【解析】 (1)由机械能守恒定律和牛顿第二定律得
mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，FNB－mg＝meq \f(v\\al(2,B),R)
则：FNB＝30 N.
(2)设m滑上小车后经过时间t1与小车同速，共同速度大小为v
对滑块有：μmg＝ma1，v＝vB－a1t1
对于小车：μmg＝Ma2，v＝a2t1
解得：v＝1 m/s，t1＝1 s，因t1
(3)Q＝μmgl相对＝μmg(eq \f(vB＋v,2)t1－eq \f(v,2)t1)．
解得Q＝6 J.
【答案】 (1)30 N (2)1 m (3)6 J
考点2：对能量守恒定律的理解及应用
1.对能量守恒定律的理解
（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等，即ΔE减＝ΔE增。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。
这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路．
2.应用能量守恒定律解题的步骤
（1）选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。
（2）分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。
（3）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
（4）列出能量转化守恒关系式：ΔE减＝ΔE增，求解未知量，并对结果进行讨论。
3.能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
（2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
4．涉及弹簧的能量问题
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
（1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
（2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。
（3）当水平弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。
【典例1】(多选)一木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中．当子弹进入木块的深度达到最大值3.0 cm时，木块沿水平面恰好移动距离2.0 cm.则在上述过程中( )
A．木块获得的动能与子弹损失的动能之比为1∶1
B．系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为3∶5
C．系统损失的机械能与木块获得的动能之比为3∶2
D．系统产生的热与子弹损失的动能之比为3∶5
【解析】 由动能定理对子弹f(3＋2)×10－2＝ΔEk1.对木块f×2×10－2＝ΔEk2，则ΔEk1∶ΔEk2＝5∶2，A项错．系统损失的动能为fΔs＝f×3×10－2＝ΔE.ΔE∶ΔEk1＝3∶5，B、D两项正确．ΔE∶ΔEk2＝3∶2，C项正确．
【答案】 BCD
【典例2】如图所示，一物体的质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，AD＝3 m．挡板及弹簧的质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ.
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
【审题指导】 (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化；利用公式Q＝fx计算摩擦生热时，x表示路程．
(2)物体在C点时弹性势能最大，物体从开始位置A到C的过程中，分析动能变化、重力势能变化、弹性势能变化及摩擦生热，利用能量守恒定律方程求解．
【解析】 (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为：
ΔE＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mglADsin 37°
物体克服摩擦力产生的热量Q＝Fx
其中x为物体的路程，即x＝5.4 m
F＝μmgcs 37°
由能量守恒定律可得ΔE＝Q
解得：μ＝0.52.
(2)由A到C的过程中，动能减少，即
ΔEk＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
重力势能的减少量ΔEp＝mglACsin 37°
摩擦生热Q′＝FlAC＝μmgcs 37°·lAC
由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为：
ΔEpm＝ΔEk＋ΔEp－Q′
联立解得：ΔEpm＝24.4 J.
【答案】 (1)0.52 (2)24.4 J
考点3：动力学和功能关系问题中的传送带模型
1．模型条件
（1）传送带匀速或加速运动。
（2）物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。
（3）物体与传送带之间有相对滑动。
2．模型特点
（1）若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力。
（2）若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动。
（3）若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。
3．功能关系
（1）功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
（2）对传送带的功WF和产生的内能Q的理解
传送带做的功：W＝Fx，其中F为传送带的动力，x为传送带转过的距离。
产生的内能：ΔQ＝Ffx相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。
（3）求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
（4）相对位移：一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和。
4．传送带模型问题的分析流程
【典例1】如图所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，其上A、B两点间的距离L＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度匀速运动．现将一质量m＝10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),2)，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：(取g＝10 m/s2)
(1)传送带对小物体做的功．
(2)电动机做的功．
【规范解答】 (1)小物块加速过程根据牛顿第二定律有：
μmgcs θ－mgsin θ＝ma(2分)
物块上升的加速度a＝eq \f(1,4)g＝2.5 m/s2(1分)
当物块的速度v＝1 m/s时，位移是：x＝eq \f(v2,2a)＝0.2 m(2分)
即物块将以v＝1 m/s的速度完成4.8 m的路程，(1分)
由功能关系得：W＝ΔEp＋ΔEk＝mgLsin θ＋eq \f(1,2)mv2＝255 J．(2分)
(2)电动机做功使小物体机械能增加，同时小物体与传送带间因摩擦产生热量Q，由v＝at得t＝eq \f(v,a)＝0.4 s(2分)
相对位移x′＝vt－eq \f(1,2)vt＝0.2 m(2分)
摩擦生热Q＝μmgx′cs θ＝15 J(2分)
故电动机做的功W电＝W＋Q＝270 J．(2分)
【答案】 (1)255 J (2)270 J
【典例2】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是( )
A．电动机多做的功为eq \f(1,2)mv2
B．物体在传送带上的划痕长eq \f(v2,μg)
C．传送带克服摩擦力做的功为eq \f(1,2)mv2
D．电动机增加的功率为μmgv
【解析】 小物块与传送带相对静止之前，物体做匀加速运动，由运动学公式知x物＝eq \f(v,2)t，传送带做匀速运动，由运动学公式知x传＝vt，对物块根据动能定理μmgx物＝eq \f(1,2)mv2，摩擦产生的热量Q＝μmgx相＝μmg(x传－x物)，四式联立得摩擦产生的热量Q＝eq \f(1,2)mv2，根据能量守恒定律，电动机多做的功一部分转化为物块的动能，一部分转化为热量，故电动机多做的功等于mv2，A项错误；物体在传送带上的划痕长等于x传－x物＝x物＝eq \f(v2,2μg)，B项错误；传送带克服摩擦力做的功为μmgx传＝2μmgx物＝mv2，C项错误；电动机增加的功率也就是电动机克服摩擦力做功的功率为μmgv，D项正确．
【答案】 D
考点4：功能关系中的滑板模型
1．模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型。
2．处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ff ·x相对，并要注意数学知识（如图象、归纳法等）在此类问题中的应用。
质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图所示。
x板板
x物
Δx
该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，W物＝－μmg·x物 W板＝μmg·x板 。很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”
【典例1】如图所示，一个质量为m＝15 kg的特制柔软小猴模型，从离地面高h1＝6 m的树上自由下落，一辆平板车正沿着下落点正下方所在的平直路面以v0＝6 m/s的速度匀速前进。已知模型开始自由下落时，平板车前端恰好运动到距离下落点正下方s＝3 m处，该平板车总长L＝7 m，平板车板面离地面高h2＝1 m，模型可看作质点，不计空气阻力．假定模型落到板面后不弹起，在模型落到板面的瞬间，司机刹车使平板车开始以大小为a＝4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，直至停止，g取10 m/s2，模型下落过程中未与平板车车头接触，模型与平板车板面间的动摩擦因数μ＝0.2。求：
（1）模型将落在平板车上距车尾端多远处？
（2）通过计算说明，模型是否会从平板车上滑下？
（3）模型在平板车上相对滑动的过程中产生的总热量Q为多少？
【答案】（1）4m（2）Δx1<4 m，故不会滑下（3）105J
【解析】(1)设模型经时间t1下落到平板车上，由运动学公式得： ①
平板车在t1时间内前进的距离为x1 ，则：x1=v0t1
所以模型在平板车上的落点距车尾端距离：x= L + s - x1=4m
设模型落在车上后做匀加速运动的加速度为a1，经过时间t2模型和平板车的速度相同为v，则平板车的速度为：v＝v0－at2 ④
模型的速度为：v＝a1t2 ⑤
对模型应用牛顿第二定律得：μmg＝ma1 ⑥
平板车的位移为：x2＝v0t2－eq \f(1,2)ateq \\al( 2,2) ⑦
在这段时间内的模型的位移为：x3＝eq \f(1,2)a1teq \\al( 2,2) ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧可得，在这段时间内模型相对车向后的位移为：Δx1＝x2－x3＝3 m ⑨
Δx1<4 m，故不会滑下 ⑩
（3）速度相同后模型和平板车都减速运动直到静止，平板车的位移为：x4＝eq \f(v2,2a) ⑪
模型的位移为：x5＝eq \f(v2,2a1) ⑫
模型相对平板车向前的位移为：Δx2＝x5－x4 ⑬
模型在平板车上来回摩擦产生的总热量：Q＝μmg（Δx1＋Δx2）＝105 J
【题4】[斜面上的模型问题]如图所示，AB段为一半径R＝0.2 m的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道，EF是一倾角为30°的足够长的光滑固定斜面，斜面上有一质量为0.1 kg的薄木板CD，开始时薄木板被锁定。一质量也为0.1 kg的物块（图中未画出）从A点由静止开始下滑，通过B点后水平抛出，经过一段时间后恰好以平行于薄木板的方向滑上薄木板，在物块滑上薄木板的同时薄木板解除锁定，下滑过程中某时刻物块和薄木板能达到共同速度。已知物块与薄木板间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),6)，g＝10 m/s2，结果可保留根号。求：
（1）物块到达B点时对圆弧轨道的压力；
（2）物块滑上薄木板时的速度大小；
（3）达到共同速度前物块下滑的加速度大小及从物块滑上薄木板至达到共同速度所用的时间。
【答案】（1）3 N，方向竖直向下（2）eq \f(4\r(3),3) m/s（3）2.5 m/s2，eq \f(4\r(3),15) s
设物块滑上薄木板时的速度为v，则：cs 30°＝eq \f(vB,v)
解得：v＝eq \f(4\r(3),3) m/s
（3）物块和薄木板下滑过程中，由牛顿第二定律得：
对物块：mgsin 30°－μmgcs 30°＝ma1
对薄木板：mgsin 30°＋μmgcs 30°＝ma2
设物块和薄木板达到的共同速度为v′，则：v′＝v＋a1t＝a2t
解得：a1＝2.5 m/s2，t＝eq \f(4\r(3),15) s
一、单选题
1．如图所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短。现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．系统的机械能守恒
B．子弹克服摩擦力做功等于系统产生的热量
C．弹簧压缩至最短时，系统的产生的热能小于子弹动能的减少量
D．弹簧压缩至最短时，子弹动能全部转化成弹簧的弹性势能
【答案】C
【详解】A．因为子弹进入木块的过程中，子弹需要克服摩擦力做功而产生内能，所以系统机械能不守恒，故A错误；
BCD．根据功能关系可知，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中，子弹克服摩擦力做的功等于子弹动能的减少量；根据能量守恒定律可知，弹簧压缩至最短时，子弹减少的动能等于弹簧增加的弹性势能与系统产生的热量之和，故C正确，BD错误。
故选C。
2．如图所示，轻弹簧放置在倾角为的斜面上，弹簧下端与斜面底端的挡板相连，可看作质点的小物块A、B叠放在一起，在斜面的顶端由静止释放一起沿斜面下滑。弹簧被压缩到最短时，A物块刚好从B上滑离，此后弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端，已知重力加速度为g，B物块与斜面间动摩擦因数为，则关于A、B的质量m和M之间的关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】从开始运动直到弹簧压缩最短的过程中，对整体研究，由于弹簧被压缩到最短时，A物块刚好从B上滑离，则二者速度为0，设运动距离为L，则根据能量守恒定律可知
对于弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端的过程中，根据能量守恒定律可知
联立解得
故选A。
3．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能增加了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
【答案】B
【详解】A．圆环在下落过程中受到弹簧的拉力，拉力做负功，圆环在下落过程中机械能减少， A错误；
BC．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度
所以圆环重力势能减少了mgL，弹簧弹性势能增加了mgL ，C错误B正确；
D．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，圆环沿杆下滑过程中速度先增大在减小，圆环的动能先变大后变小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先变小后变大，D错误。
故选B。
4．如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中（ ）
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．摩擦力对物体做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
【答案】C
【详解】A．物体向右运动时，当弹簧的弹力与滑动摩擦力大小相等时，即
时，速度最大，所以弹簧的最大弹力大于μmg，A错误；
B．整个过程中，物块所受的摩擦力大小恒定，摩擦力一直做负功，摩擦力所做的功为-2μmgs，B错误；
C．物体向右运动的过程，根据能量守恒定律得，弹簧的最大弹性势能
C正确；
D．设物块在A点的初速度为v0，对整个过程，利用功能定理
所得
D错误。
故选C。
5．滑块静止于光滑斜面底端，与之相连的轻质弹簧处于自然伸直状态，现用一平行于斜面的恒力F作用于弹簧上端，使滑块沿斜面上滑一段距离，此过程拉力F做功5J，则此过程中（ ）
A．滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧的弹性势能增加了5J
C．滑块的动能增加了5J
D．滑块和弹簧组成的系统机械能增加了5J
【答案】D
【详解】AD．对于滑块和弹簧组成的系统，由于有拉力F做功，系统的机械能不守恒，此过程拉力F做功5J，则机械能增加5J，A错误，D正确；
BC．物体的机械能增加量包括弹性势能的增加量、重力势能的增加量和动能的增加量，所以弹簧的弹性势能增加小于5J，滑块的动能增加量也小于5J，BC错误。
故选D。
6．如图所示，电动机通过轻绳和轻质动滑轮拉起质量为m的重物，重物原本静止，某一时刻电动机开始以恒定的输出功率（即指向外界提供的功率）工作。已知重力加速度为g，轻绳足够长，不计一切摩擦和空气阻力，忽略滑轮和轻绳的质量。以下说法正确的是（ ）
A．电动机的输出功率等于重物重力势能的变化率
B．若电动机输出功率为P，重物速度为v时，重物的加速度为
C．若经过时间t，重物的瞬时速度为v，那么重物上升的高度为
D．若电动机输出功率为P，重物上升了高度h用时为t，那么重物此时的速度为
【答案】B
【详解】A．电动机的功率等于重物机械能的变化率，故A错误；
B．假设电动机功率为P，重物速度为v时，电动机拉动绳子的速率为2v，绳中拉力大小为
重物的加速度为
故B正确；
C．随速度的增加，加速度减小，即重物做加速度减小的加速运动，则重物上升的高度不等于，故C错误；
D．由动能定理可得，若重物上升了高度h用时为t电动机做功为Pt，则
重物此时的速度为
故D错误。
故选B。
7．如图所示，有三个斜面a、b、c，底边的长分别为L、L、3L，高度分别为3h、h、h。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．因摩擦产生的热量
B．因摩擦产生的热量
C．物体到达底端的动能
D．物体损失的机械能
【答案】A
【详解】ABD．物体下滑，除重力外有摩擦力做功，根据能量守恒，损失的机械能转化成摩擦产生的内能。
x为斜面的长度，θ为斜面的倾角，由图可知a和b底边相等且等于c的，故摩擦生热的热量关系为
即
损失的机械能
即
故BD错误，A正确；
C．设物体滑到底端时的速度为v，根据动能定理得
则
根据图中斜面高度和底边长度可知滑到底边时动能大小关系为
故C错误。
故选A。
二、多选题
8．如图所示，倾角为的固定粗糙斜面上有一A点，长度为的木板质量分布均匀，其质量为，开始用外力使木板下端与A点对齐，如图。木块质量为，两者用一轻质细绳绕过光滑定滑轮连接在一起，木板与斜面的动摩擦因数为。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点，此过程中，下列说法正确的是（ ）（）
A．木板M和木块m组成的系统机械能守恒
B．木板上端刚过A点时速度大小为
C．木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D．系统产生的热量为
【答案】BC
【详解】A．由于斜面是粗糙的，木板M和木块m组成的系统在运动中会有摩擦生热，所以木板M和木块m组成的系统机械能不守恒，故A错误；
B．木板M和木块m组成的系统由能量守恒有
解得
故B正确；
C．根据能量守恒可知木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和，故C正确；
D．系统产生的热量为
故D错误。
故选BC。
9．如图所示，AB为固定水平长木板，长为，C为长木板的中点，AC段光滑，CB段粗糙，一原长为的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块，开始时将物块拉至长木板的右端B点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，已知物块与长木板CB段间的动摩擦因数为，物块的质量为，弹簧的劲度系数为，且，物块第一次到达C点时，物块的速度大小为，这时弹簧的弹性势能为，不计物块的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．物块可能会停在CB面上某处
B．物块最终会做往复运动
C．弹簧开始具有的最大弹性势能为
D．最终系统损失的机械能为
【答案】BC
【详解】A．由于
k>
由此
>μmg
由此，物块不可能停在CB面上某处，故A错误；
B．只要物块滑上BC段，就要克服摩擦力做功，物块的机械能就减小，所以物块最终会在AC段做往复运动，故B正确；
C．物块从开始运动到第一次运动到C点的过程中，根据能量守恒定律得
Epm=E0＋＋μmg
故C正确；
D．物块第一次到达C点时，物块的速度大小为v0，物块最终会在AC段做往返运动，到达C点的速度为0，可知物块克服摩擦做的功最大为
Wfm=Epm－E0=＋μmgL
故D错误。
故选BC。
10．如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是（ ）
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B做的功的数值等于摩擦力对木板A做的功和系统内能的增加量之和
【答案】CD
【详解】A．物体B以水平速度冲上木板A后，由于摩擦力作用，B减速运动，木板A加速运动，根据能量守恒定律，物体B动能的减少量等于木板A增加的动能和产生的热量之和，故A错误；
B．根据动能定理，物体B克服摩擦力做的功等于物体B损失的动能，故B错误；
C．由能量守恒定律可知，物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和，故C正确；
D．摩擦力对物体B做的功等于物体B动能的减少量，摩擦力对木板A做的功等于木板A动能的增加量，摩擦力对物体B做的功的数值等于摩擦力对木板A做的功和系统内能的增加量之和，故D正确。
故选CD。
11．如图所示，水平轨道以点为分界点，左侧光滑，右侧粗糙。长为、质量为的长木板静置于点左侧。现对长木板施加水平向右、大小为的恒力，一段时间后，长木板恰好完全滑入粗糙部分。长木板与轨道粗糙部分间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，则（ ）
A．长木板先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．初始时长木板右端与点的距离为
C．长木板的最大动能为
D．若初始时木板右端在点，则长木板运动过程中摩擦产生的热量为
【答案】BCD
【详解】A．长木板在点左侧做匀加速运动，长木板右端过点后，长木板开始受到摩擦力，且逐渐增大，先做变加速运动，后做变减速运动，A错误；
B．整个运动过程中，摩擦力做的功大小为
根据动能定理可得
解得
则初始时长木板右端与点的距离为
B正确；
C．当木板所受合力为零时，有
解得
摩擦力做的功大小为
此时长木板速度最大，动能最大，根据动能定理有
解得
C正确；
D．若初始时木板右端在点，则根据能量守恒定律有
解得
则
D正确。
故选BCD。
12．如图所示，水平传送带以v=6m/s顺时针匀速转动，水平部分AB的长为L，并与长为3.6m的光滑倾斜轨道BC在B点平滑连接，BC与水平面的夹角为。现将一个可视为质点的工件从A点由静止释放，滑块与传送带间的动摩擦因数为，，要使工件能到达C点（没有施加其他外力辅助），下列关于和的取值可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】设工件恰好到达C点，根据机械能守恒
工件达到B点的最小速度为
恰好与传送带速度相等，则在水平传送带上，根据动能定理
且
得
代入选项数据可知BC的取值时可能的。
故选BC。
13．如图所示，长为的水平传送带以的速度顺时针匀速转动，现将一质量的小物块无初速地放在传送带左端，经过一段时间小物块运动到传送带右端。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，。下列说法正确的是（ ）
A．此过程中传送带多做了的功
B．此过程中因摩擦产生的热量为
C．物体在传送带上的划痕长度为
D．此过程摩擦力对小物块做功
【答案】AC
【详解】小物块无初速地放在传送带左端，受到向右摩擦力，加速度为
达到与传送带共速的时间为
与传送带共速时小物块的位移为
共速时传送带的位移为
物体在传送带上的划痕长度为
此过程中因摩擦产生的热量为
此过程摩擦力对物块做的功为
此过程中传送带多做的功为
故选AC。
14．冬奥会上有一种女子单板滑雪U形池项目，如图所示为U形池模型，池内各处粗糙程度相同，其中a、c为U形池两侧边缘，且在同一水平面，b为U形池最低点。某运动员从a点上方h高的O点自由下落由左侧切线进入池中，从右侧切线飞出后上升至最高位置d点（相对c点高度为）。不计空气阻力，重力加速度为g，则运动员（ ）
A．运动员由a到c的过程中，在ab段克服摩擦力做的功大于在bc段克服摩擦力做的功
B．运动员从d返回经b恰好到达a点
C．运动员从d返回经b一定能越过a点再上升一定高度
D．运动员第一次过b点对轨道的压力大于第二次过b点对轨道的压力
【答案】ACD
【详解】A．运动员由a到c的过程中，由于摩擦力做负功，使得ab段与bc段在相同高度的两个位置，总是ab段的速度大于bc段的速度，故ab段的平均速率大于bc段的平均速率，ab段的平均压力大于bc段的平均压力，ab段的平均摩擦力大于bc段的平均摩擦力，故在ab段克服摩擦力做的功大于在bc段克服摩擦力做的功，故A正确；
BC．由题意数据可知第一次从a到c的过程中，克服摩擦力做功的大小为
由于从d返回的过程，经过相同位置的速度总是比从a到c过程经过相同位置的速度小，可知返回过程的平均摩擦力比a到c过程的平均摩擦力小，故返回过程中从c到a的过程中，克服摩擦力做功小于，可知运动员从d返回经b一定能越过a点再上升一定高度，故B错误，C正确；
D．运动员经过b点时，根据牛顿第二定律得
由于运动员第一次过b点的速度大于第二次经过b点的速度，故运动员第一次通过b点的受到的支持力大于第二次过b点受到的支持力，根据牛顿第三定律可知，运动员第一次过b点对轨道的压力大于第二次过b点对轨道的压力，故D正确。
故选ACD。
15．如图， 粗糙水平面 与坚直面内半径为的半圆形导轨在点相切， 一个质量为的物块 （可视为质点）将弹簧压缩至A点并由静止释放后向右弹开， 当它经过点进入圆形导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍， 之后向上运动恰能到达最高点。物块与粗粘水平面之间的动摩擦因数为，AB部分长为， 重力加速度为， 下列说法正确的是（ ）
A．物块经过点时的速度大小
B．物块经过点时的速度大小
C．物块从点运动至点的过程中阻力做的功
D．物块在A点时弹簧的弹性势能
【答案】BD
【详解】A B．已知物块经过B点进入圆形导轨的暖间对轨道的压力为其重力的7倍，根据牛顿第三定律可知，轨道对物块的支持力
在点对物块， 由牛顿第二定律有
解得
A错误，B正确；
C．物块恰能到达最高点C，在C点由重力提供向心力，则有
从B到C的过程，由动能定理得
解得阻力的功为
C 错误；
D．对 A到的过程， 由动能定理得
结合上述解得
D正确。
故选BD。
16．如图所示，在水平地面上有一圆弧形凹槽，AC连线与地面相平，凹槽是位于竖直平面内以O为圆心、半径为R的一段圆弧，B为圆弧最低点，而且AB段光滑，BC段粗糙。现有一质量为m的小球（可视为质点），从水平地面上P处以初速度斜向右上方飞出，与水平地面夹角为，不计空气阻力，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道，沿圆弧继续运动后从C点以速率飞出。重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球由P到A的过程中，离地面的最大高度为
B．小球进入A点时重力的瞬时功率为
C．小球在圆弧形轨道内由于摩擦产生的热量为
D．小球经过圆弧形轨道最低点B处受到轨道的支持力大小为
【答案】CD
【详解】A．小球从P处向斜上方飞出时，竖直方向的分速度大小为
小球由P到A的过程中，在竖直方向做竖直上抛运动，设其离地面的最大高度为H，则有
解得
故A错误；
B．小球进入A点时，竖直方向的分速度大小为
所以重力的瞬时功率为
故B错误；
C．设小球在圆弧形轨道内由于摩擦产生的热量为Q，从P到C的过程，根据能量守恒，有
解得
故C正确；
D．设小球经过圆弧形轨道最低点B处时速度大小为v，小球受到轨道的支持力大小为FN，根据向心力公式有
由P到A的过程，小球下降的高度为
根据机械能守恒，有
解得
故D正确。
故选CD。
三、解答题
17．如图所示，从A点以某一水平速度抛出一质量的物块（可视为质点）。当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入圆心角的光滑圆弧轨道BC，且在圆弧轨道上做变速运动，经圆弧轨道后滑上与C点等高且静止在粗糙水平地面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量，A到C点的竖直高度，圆弧半径，B到C点的竖直高度为h，物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数。物块始终未滑出长木板，不计空气阻力，取重力加速度大小，，。求：
（1）物块被抛出时的初速度大小；
（2）物块到达C点时的速度大小；
（3）在物块相对长木板运动的过程中，物块与长木板之间产生的内能。
【答案】（1）；（2）；（3）J
【详解】（1）根据题图中几何关系知物块下落的高度
根据平抛运动竖直方向速度-位移关系有
根据平抛运动竖直速度与水平速度关系有
解得
（2）物块进入圆弧轨道后，根据动能定理有
物块滑入B点时的速度
解得
（3）对物块受力分析有
对长木板受力分析有
根据速度-时间关系有
物块与长木板共速
根据速度-位移关系有
物块与长木板的相对位移
物块与长木板之间产生的内能
解得
18．如图所示，某一弹射游戏装置由弹性竖直挡板P、长度的水平直轨道、半径的竖直半圆轨道和半径的竖直半圆管道组成，轨道各部分平滑连接。已知小球质量，小球直径略小于管道直径，小球与间的动摩擦因数，其余各部分轨道均光滑，小球与P的碰撞无机械能损失，某次小球从P处向右弹出时的初动能为（g取）。
（1）求小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小；
（2）若要小球能从F点射出，求的最小值；
（3）若，小球能两次进入轨道，求的范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，小球从A运动到B，由动能定理有
解得
由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可知，小球第一次运动到B点时对圆轨道的压力大小为
（2）要求运动中，滑块不脱离轨道，设通过轨道的最高点D的最小值速度为，则有
解得
对DF过程由动能定理有
解得
所以滑块通过D点后肯定能通过F点，对A到D过程，由功能关系有
解得
（3）若小球恰好运动到点，由动能定理得
解得
小球恰好第二次运动到D点，有
因此初动能的范围为
19．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连）、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径m，OE长m，AC长m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数。滑块质量g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，各部分平滑连接。重力加速度，求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度大小；
（2）当m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力；
（3）要使游戏成功，h应在什么范围调节？
【答案】（1）；（2），方向竖直向下；（3）
【详解】（1）滑块恰好过F的条件为
解得
（2）滑块从E到B，根据动能定理有
在E点有
代入数据解得
由牛顿第三定律可得，滑块在E点对轨道的压力
方向竖直向下；
（3）滑块恰能过F点的弹性势能
到B点减速到0
解得
能停在B点，则
解得
此时
综上可得
20．如图所示，竖直平面内固定有半径为的光滑四分之一圆轨道AB，水平直轨道，以速度逆时针转动的水平传送带CD及竖直固定反弹装置。各轨道平滑连接。现有一质量为的滑块（可视为质点）从轨道AB上高为h处由静止下滑，最终与反弹装置发生弹性碰撞。已知，，，滑块与BC和CD间的动摩擦因数，与DE间的动摩擦因数，其中x为滑块距D点的距离。
（1）若，求滑块运动至B处时对轨道的作用力。
（2）若滑块无法通过传送带，求高度h的最大值。
（3）若滑块只能经过C点两次，试求传送带因传送滑块额外做的功的最大值。
【答案】（1）24N，方向竖直向下；（2）；（3）
【详解】（1）滑块从A到B过程机械能守恒，有
由合外力提供向心力有
由牛顿第三定律可得滑块对轨道的作用力，方向竖直向下。
（2）滑块无法通过传送带的临界条件为滑块第一次到达D点的速度为零
由能量守恒定律有
解得
（3）传送带额外做的功最大的临界条件为滑块经E反弹后第二次到达D点时速度为零。假设以上条件可满足，设滑块第一次到达D点时速度大小为，由动能定理有
解得
设滑块第一次到达C点时速度大小为，由动能定理有
解得
由于
所以假设成立。设滑块第二次到达C点时速度大小为，则有
得
又
此后滑块无法再通过D点。滑块从C到D的过程有
滑块从D到C的过程有
故传送带额外做功的最大值为
合外力做正功
动能增加
重力做正功
重力势能减少
弹簧弹力做正功
弹性势能减少
外力(除重力、弹力)做正功
机械能增加
滑动摩擦力做功
系统内能增加
电场力做正功
电势能减少
分子力做正功
分子势能减少
各种力做功
对应能的变化
定量的关系
W合：合外力的功（所有外力的功）
动能的改变量（ΔEk）
合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
WG：重力的功
重力势能的改变量（ΔEp）
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
W弹：弹簧弹力做的功
弹性势能的改变量（ΔEp）
弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力的功
不引起机
械能变化
机械能守恒ΔE＝0
W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功
机械能的改变量（ΔE）
除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE
Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和
因摩擦而产生的内能（Q）
滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移）
类别
比较
静摩擦力
滑动摩擦力
不同点
能量的转化
只有能量的转移，而没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
一对摩擦
力的总功
一对静摩擦力所做功的代数总和等于零
一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－Ff·l相对，即摩擦时产生的热量
相同点
做功的正、负
两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功
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