统考版2024高考数学二轮专题复习第四篇满分专项突破第1讲四大数学思想(解题有道)理

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数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．
一 函数与方程思想——求解数学问题最常用的工具
应用 1 借助“函数关系”解决问题
在方程、不等式、三角、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
例 1 已知复数z的模为1，复数w＝z2＋3z.则在复平面内，复数w所对应的点与点(4，0)的距离的最大值是( )
A．6 B．
C．3D．2
[听课记录]
名师点题
本题考查两点间距离最值的求解问题，解题关键是能够将两点间距离表示为关于cs θ的二次函数的形式，利用二次函数的最值求得结果．
对 点 训 练
1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，CD＝2，BC＝·＝0，M，N分别是线段AB，AD上的点，且||＋||＝2，则·的最大值为________．
2．在等差数列{an}中，a1＋a7＝12，当取得最小值时，a2 020＝________．
应用 2 转换函数关系解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
例 2 关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0恒有解，求a的取值范围．
名师点题
对于多元方程(含参数)通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图象和性质来解决．
对 点 训 练
1.方程m＋＝x有解，则m的最大值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－2
2．对任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围．
应用 3 构造函数关系解决问题
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
例 3 若方程x2＋m2＋2x＋3m＝m cs (x＋1)＋7有且仅有1个实数根，则实数m的值可能为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
名师点题
本题的解题关键是构造函数f(x)，求出函数f(x)图象的对称轴，利用对称的性质得出f(－1)＝0.
对 点 训 练
[2023·广西崇左市模拟]若3a＋(ln 2)b≥3b＋(ln 2)a(a，b∈R)，则( )
A．3a＋b≥1 B．3|a－b|≥2
C．3a－b≥1 D．3|a＋b|≥2
应用 4 转换方程形式解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面．
例 4 对于函数y＝f(x)(x∈D)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内为单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫闭函数，若y＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
名师点题
方程的观点把函数与方程紧密联系起来，应用方程的知识使得问题得以解决．本例题意新颖，解决这类问题的关键是：一是熟读题目，搞清告诉的新概念、新运算、新函数；二是把掩盖在新概念下的知识挖掘出来，转化为已有的知识来解决．
对 点 训 练
已知函数y＝(x∈R，且a≠0)的值域为[－1，4]，求常数a，b.
总 结 升 华
函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识
(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．
(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．
(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
二 数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径
应用 1 利用数形结合思想研究函数的零点问题
例 1 [2023·河北衡水中学一模]已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－mx－1，当实数m的取值范围为________时，g(x)的零点最多．
[听课记录]
名师点题
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
对 点 训 练
[2023·湖北模拟预测]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)＋f(－x)有5个零点，则实数k的取值范围为________．
应用 2 利用数形结合思想解决不等式问题
例 2 已知函数f(x)＝ex－a＋ea－x＋x2－a2ln x－2(a>0)，若f(x)有2个零点，则a的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，e2)
C．(，＋∞) D．[e2，＋∞)
[听课记录]
名师点题
利用数形结合解不等式应注意的问题
解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．
对 点 训 练
已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝mx＋1，若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是________．
应用 3 利用数形结合求解解析几何问题
例 3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
名师点题
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
对 点 训 练
点M为抛物线y＝x2上任意一点，点N为圆x2＋y2－2y＋＝0上任意一点，若函数f(x)＝lga(x＋2)＋2(a>1)的图象恒过定点P，则|MP|＋|MN|的最小值为( )
A． B．
C．3 D．
总 结 升 华
运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
(3)简单性原则
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
三 分类讨论思想——求解数学问题最简便的技巧

应用 1 由概念、法则、公式引起的分类讨论
例 1 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________．
[听课记录]
名师点题
本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由>0，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．
对 点 训 练
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是( )
A．－ B． C．－ D．
2．已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的取值集合是________．
应用 2 由运算、性质引起的分类讨论
例 2已知a>0，b>0且a≠1，b≠1，若lgab>1，则( )
A．(a－1)(b－1)0
C．(b－1)(b－a)0
名师点题
应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
对 点 训 练
在△ABC中，C＝，AB＝2，AC＝，则cs B的值为( )
A．B．－
C．或－ D．或－
应用 3 由参数变化引起的分类讨论
例 3[2023·山东师范大学附中]已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x－ln x(a∈R)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实数根，求实数a的取值范围．
[听课记录]
名师点题
(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．
(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论．
(3)分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．
对 点 训 练
1.若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
2．函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
应用 4 根据图形位置或形状分类讨论
例 4 (1)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝( )
A．－ B． C．0 D．－或0
(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．
名师点题
(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论．
(2)相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．
对 点 训 练
设F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则＝________．
总 结 升 华
1.分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
四 转化与化归思想——求解数学问题最常用的方法
应用 1 正与反的转化
例 1 (1)由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．1 D．2
(2)若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
名师点题
根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元．
对 点 训 练
设命题p：函数f(x)＝lg 的定义域为R；命题q：3x－9x4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
名师点题
在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的．但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解．本题中，若视x为主元来处理，既繁琐且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行．
对 点 训 练
已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)0.原方程有解即方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正根，设为t1，t2，
∴，即
∴
解得a≤－8.
方法二 设f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4(t＞0)，
①当Δ＝0时，即(4＋a)2－16＝0，∴a＝0或a＝－8.
a＝0时，f(t)＝(t＋2)2＝0，得t＝－20，符合题意．
∴a＝－8.
②Δ>0，即a0时，∵f(0)＝4，故只需对称轴－>0，即a0，ln 3>0，(ln 2)x>0，又∵0a>1，
∴(a－1)(a－b)0，(b－1)(b－a)>0.
当04x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有，
∴x>3或xln ＝ln (n＋1)．
即1＋＋…＋>ln (n＋1)(n∈N*)．
[例5] 解析：将平面图形还原成三棱锥P ­ ABC(如图)，
在△PAB中，∠PAB＝90°，PA＝，AB＝，
∴PB＝，
在△PAC中，PA＝，AC＝1，∠PAC＝30°，由余弦定理得PC2＝3＋1－2·cs 30°，∴PC＝1，
在Rt△BAC中，易知BC＝2，
在△PCB中，由余弦定理得cs ∠PCB＝＝－，即cs ∠FCB＝－.
答案：－
对点训练
解析：将平面AA1B1B沿着B1B旋转到与平面CC1B1B在同一平面上(点B在线段AC上)，连接AC1与B1B相交于点D，此时AD＋DC1最小，BD＝CC1＝1.因为在直三棱柱中，BC⊥AB，BC⊥BB1，且BB1＝B，所以BC⊥平面AA1B1B，又CC1∥平面AA1B1B，所以V三棱锥D ­ ABC1＝V三棱锥C1 ­ ABD＝V三棱锥C ­ ABD＝·BC＝×1×1×2＝.
答案：
函数思想
方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决
方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：
以形助数
以数助形
借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法
借助于数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化
分类讨论的原则
分类讨论的常见类型
(1)不重不漏
(2)标准要统一，层次要分明
(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论
(1)由数学概念而引起的分类讨论
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论
(5)由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略
转化与化归的原则
常见的转化与化归的方法
(1)熟悉化原则 (2)简单化原则
(3)直观化原则 (4)正难则反原则
(1)直接转化法 (2)换元法 (3)数形结合法 (4)构造法 (5)坐标法 (6)类比法 (7)特殊化方法 (8)等价问题法 (9)加强命题法 (10)补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法