统考版2024高考数学二轮专题复习第一篇核心价值引领引领一素养导向五育并举理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第一篇核心价值引领引领一素养导向五育并举理，共12页。试卷主要包含了99 m的球体，8　20，2　11，5万元等内容，欢迎下载使用。
素养1数学抽象
“数学抽象”素养的考查重点是学生在各种情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的能力，在日常生活和实践中善于一般性思考问题，把握事物的本质、以简驭繁，运用数学思想方法解决问题的思维品质．
数学抽象的具体表现包括：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．
例1.[2022·新高考Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(ⅰ)证明：R＝·；
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．
附：K2＝，
价值引领
[素养] 数学抽象、直观想象、逻辑推理．
[五育] 培养学生尊重知识，热爱科学，用所学知识解决实际问题．
真题互鉴
1.[2023·新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E( eq \i\su(i＝1,n,X)i)＝ eq \i\su(i＝1,n,q)i.
记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).
[说明] 主要考查了数学抽象、直观想象、逻辑推理的素养，培养了学生尊重科学、热爱科学、用所学知识解决问题．
素养2直观想象
“直观想象”素养的考查重点是学生运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合解决问题的能力；通过几何直观洞察表面现象的数学结构与联系，抓住事物的本质的思维品质．
直观想象素养的具体表现包括：建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物．
例2.[2022·新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
价值引领
[素养] 直观想象、数学运算．
[五育] 引导学生关注社会主义建设的成果，增强社会责任感．
真题互鉴
2．[2020·新高考Ⅰ卷]日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A．20° B．40°
C．50° D．90°
3．[2023·新课标Ⅰ卷改编]下列物体中，不能被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
[说明] 此两题展现了我国古代文明，历史上的辉煌成就，提倡文化自信及生活之美教育．
导向二 用数学的思维分析世界
素养3逻辑推理
“逻辑推理”素养的考查重点是学生运用逻辑推理的基本形式，提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质．逻辑推理素养涉及的行为表现包括：发现问题和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地进行表达与交流．
例3.[2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答).
[听课记录]
价值引领
[素养] 逻辑推理、数学运算．
[五育] 全面发展，提升综合素质．
真题互鉴
4.[2023·全国甲卷(理)]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A．120种 B．60种
C．30种 D．20种
素养4数学运算
“数学运算”虽然是传统的数学三大能力之一，但作为数学核心素养的数学运算不仅要考查学生的运算基本功，更重要的是考查学生有效借助运算方法解决实际问题的能力．通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的数学思维品质，其具体表现包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、形成程序化思维．
例 4 [2023·全国甲卷(理)]在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ eq \r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
价值引领
[素养] 数学运算．
[五育] 热爱学习，提升基本运算能力．
真题互鉴
5.[2021·全国甲卷]曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
6．[2020·全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A．B．
C．D．
[说明] 此两题是用数学基本知识进行运算，解决数学问题．
导向三 用数学的语言表达世界
素养5数学建模
“数学建模”的考查重点是学生用数学模型解决实际问题，其中涉及数学建模的完整过程，即在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．由于在常规的纸笔测试中较难反映数学建模的完整过程，因此，在编制考查数学建模的测试题时，通常依据数学建模的各个环节来命题．如设置一个实际情境，重点考查学生发现和提出合适的数学问题的能力，或者给定一个初步的数学模型，要求学生依据实际情况对模型进行修正等．
例5[2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( )
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
[听课记录]
价值引领
[素养] 数学建模、数学运算．
[五育] 感受中国古代文化，让学生领略中华民族的智慧，增强民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感．
真题互鉴
7.[2023·新课标Ⅰ卷改编]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则不正确的是( )

A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
8．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
[说明] 此两题旨在用数学建模解决现实生活问题．
素养6数据分析
“数据分析”核心素养的考查重点是学生基于数据表达现实问题、运用合适的统计方法进行推断和决策的能力，形成通过数据认识事物的思维品质．其具体表现包括：收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．
例6 [2023·全国甲卷(文)]一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
[听课记录]
价值引领
[素养] 数据分析、数学运算．
[五育] 热爱科学，保护环境．使用所学数学知识解决实际问题．
真题互鉴
9.[2021·全国甲卷]为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
10．[2023·全国乙卷(理)]某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为 eq \(z,\s\up6(－))，样本方差为s2.
(1)求 eq \(z,\s\up6(－))，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果 eq \(z,\s\up6(－))≥2 eq \r(\f(s2,10))，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).
引领一 素养导向 五育并举
导向一
素养1
[例1] 解析：（1）由题意，得
K2＝ eq \f(200×（40×90－60×10）2,100×100×50×150))＝24>6.635，
∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）（ⅰ）证明：∵ eq \f(\f(P（B|A）,P（\(B,\s\up6(－))|A） ),\f(P（B|\(A,\s\up6(－))）,P（\(B,\s\up6(－))|\(A,\s\up6(－))） ))＝ eq \f(P（B|A）,P（\(B,\s\up6(－))|A） )· eq \f(P（\(B,\s\up6(－))|\(A,\s\up6(－))）,P（B|\(A,\s\up6(－))） )＝ eq \f(P（AB）,P（A）)· eq \f(P（A）,P（A\(B,\s\up6(－))） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))B） )＝ eq \f(P（AB）,P（A\(B,\s\up6(－))） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))B） )，
eq \f(P（A|B）,P（\(A,\s\up6(－))|B） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))|\(B,\s\up6(－))）,P（A|\(B,\s\up6(－))） )＝ eq \f(P（AB）,P（B）)· eq \f(P（B）,P（\(A,\s\up6(－))B） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(B,\s\up6(－))） )· eq \f(P（\(B,\s\up6(－))）,P（A\(B,\s\up6(－))） )＝ eq \f(P（AB）,P（\(A,\s\up6(－))B） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（A\(B,\s\up6(－))） )＝ eq \f(P（AB）,P（A\(B,\s\up6(－))） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))B） )，
∴R＝ eq \f(P（A|B）,P（\(A,\s\up6(－))|B） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))|\(B,\s\up6(－))）,P（A|\(B,\s\up6(－))） ).
（ⅱ）由表格中的数据，得
P（A|B）＝ eq \f(40,100)＝ eq \f(2,5)，P（A| eq \(B,\s\up6(－))）＝ eq \f(10,100)＝ eq \f(1,10)，
∴P（ eq \(A,\s\up6(－))|B）＝1－P（A|B）＝ eq \f(3,5)，
P（ eq \(A,\s\up6(－))| eq \(B,\s\up6(－))）＝1－P（A| eq \(B,\s\up6(－))）＝ eq \f(9,10)，
∴R＝ eq \f(P（A|B）,P（\(A,\s\up6(－))|B） )· eq \f(P（\(A,\s\up6(－))|\(B,\s\up6(－))）,P（A|\(B,\s\up6(－))）)＝ eq \f(\f(2,5),\f(3,5))× eq \f(\f(9,10),\f(1,10))＝6.
真题互鉴
1．解析：（1）记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋ eq \x\t(B)A，
所以P（A）＝P（BA＋ eq \x\t(B)A）＝P（BA）＋P（ eq \x\t(B)A）＝P（B）P（A|B）＋P（ eq \x\t(B)）P（A| eq \x\t(B)）＝0.5×（1－0.6）＋0.5×0.8＝0.6.
（2）设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝ eq \f(1,2)，pi＋1＝pi×0.6＋（1－pi）×（1－0.8），即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝ eq \f(2,5)pi＋ eq \f(1,5)，
所以pi＋1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,5)（pi－ eq \f(1,3)），
又p1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(1,2)－ eq \f(1,3)＝ eq \f(1,6)，所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(pi－\f(1,3)))是以 eq \f(1,6)为首项， eq \f(2,5)为公比的等比数列，
所以pi－ eq \f(1,3)＝ eq \f(1,6)×（ eq \f(2,5)）i－1，
所以pi＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,6)×（ eq \f(2,5)）i－1.
（3）设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，所以E（Xi）＝pi.
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由（2）知，pi＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,6)×（ eq \f(2,5)）i－1，
所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝ eq \f(n,3)＋ eq \f(1,6)×[1＋ eq \f(2,5)＋（ eq \f(2,5)）2＋…＋（ eq \f(2,5)）n－1]＝ eq \f(n,3)＋ eq \f(1,6)× eq \f(1－（\f(2,5)）n,1－\f(2,5))＝ eq \f(n,3)＋ eq \f(5,18)× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－（\f(2,5)）n))，故E（Y）＝ eq \f(5,18) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))\s\up12(n)))＋ eq \f(n,3).
素养2
[例2] 解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为 eq \f(1,3)×（157.5－148.5）×（140×106＋180×106＋ eq \r(140×106×180×106)）＝3×106×（140＋180＋60 eq \r(7)）≈3×106×（140＋180＋60×2.65）≈1.4×109（m3）.故选C.
答案：C
真题互鉴
2．解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.
答案：B
3．解析：由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A不符合题意；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 eq \r(2) m的正四面体，且 eq \r(2)>1.4，所以选项B不符合题意；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 eq \r(3) m， eq \r(3)10p3，则p010 eq \f(Lp2,20)>10p010 eq \f(Lp3,20)，所以10 eq \f(Lp2,20)－ eq \f(Lp3,20)>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；因为 eq \f(100p2,p1)＝ eq \f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20)))＝10 eq \f(Lp2,20)－ eq \f(Lp1,20)＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，选B.
答案：B
8．解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(I（t1）＝e0.38t1，,I（t2）＝e0.38t2，,I（t2）＝2I（t1），))则e0.38（t2－t1）＝2，0.38（t2－t1）＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.
答案：B
素养6
[例6] 解析：（1）试验组的样本平均数为 eq \f(1,20)×（7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5）＝19.8.
（2）（ⅰ）将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位数m＝ eq \f(23.2＋23.6,2)＝23.4.
列联表如下：
（ⅱ）K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
＝ eq \f(40×（6×6－14×14）2,20×20×20×20)＝6.4＞3.841.
故有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
真题互鉴
9．解析：对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为（0.02＋0.04）×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为（0.04＋0.02＋0.02＋0.02）×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68（万元），故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为（0.10＋0.14＋0.20＋0.20）×1×100%＝64%>50%，故D正确．
答案：C
10．解析：（1）由题意，求出zi的值如表所示，
则z＝ eq \f(1,10)×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝ eq \f(1,10)×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）因为2 eq \r(\f(s2,10))＝2 eq \r(6.1)＝ eq \r(24.4)， eq \x\t(z)＝11＝ eq \r(121)> eq \r(24.4)，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40