统考版2024高考数学二轮专题复习专题四统计与概率第2讲概率随机变量及其分布列理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习专题四统计与概率第2讲概率随机变量及其分布列理，共16页。试卷主要包含了古典概型的概率公式，几何概型的概率公式，独立重复试验、二项分布等内容，欢迎下载使用。

1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
.
例 1 (1)[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． B． C． D．
（2）[2023·全国乙卷]设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2＋y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 eq \f(π,4) 的概率为（ ）
A． eq \f(1,8) B． eq \f(1,6) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
归纳总结
1．求古典概型的两个关键点
一是会利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m；二是会运用古典概型的概率公式P(A)＝求事件A发生的概率．
2．解几何概型的步骤
(1)“定变量”，根据事件发生的过程确定事件中的相关变量，确定变量的取值范围；
(2)“观图形”，根据变量的取值范围，画出基本事件所包含的图形和所求事件对应的图形；
(3)“求度量”，根据图形的直观性，结合变量的取值范围，求出相应图形的几何度量；
(4)“求概率”，把所求得的几何度量代入几何概型的概率计算公式，即可求出概率．
提醒 对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
对点训练
1.[2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
2．[2021·全国乙卷]在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为( )
A．B．C．D．
考点二 相互独立事件和独立重复试验——正难则反
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：
P(B|A)＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2…，n.
例 2 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
归纳总结
求相互独立事件的概率的两种方法
对点训练
[2023·山东济宁联考]为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动．抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖．若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．下列随机事件的概率错误的是( )
A．某顾客抽奖一次中奖的概率是
B．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是
C．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是
D．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是
考点三 离散型随机变量的分布列、均值与方差——综合各类概率，活用分布模型
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值与方差的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．
(2)两点分布与二项分布的均值、方差
①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
例 3[2023·辽宁大连测试]某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员(包含正、副队长)，每场比赛除负责人外均另需3位队员(同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛)．假设正、副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到．
(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率；
(2)记辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X，求X的分布列及其数学期望．
归纳总结
计算期望与方差的基本方法
(1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差，可直接用定义或公式求．
(2)已知随机变量X的期望、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的期望、方差和标准差，可直接用期望及方差的性质求．
(3)若能分析出所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的期望、方差公式来求．
对点训练
[2023·陕西省榆林市高三模拟]推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为 eq \f(2,3) ，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为 eq \f(1,4) .甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．
（1）若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；
（2）以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．
考点四 概率与统计的综合应用——准确审题，数据分析
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略，在高考中才能游刃有余．
角度1概率与统计图表的交汇问题
例 4 [2023·江西省赣州市兴国县高三测试]随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮．某校为了了解高二年级全部1 000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布N（μ，169），其中μ近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）
（3）现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”．该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分．若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为 eq \f(4,5) ， eq \f(5,7) ， eq \f(1,2) ，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的．记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）.
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ归纳总结
破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤
角度2概率与统计案例的交汇问题
例 5[2023·河南开封]大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A，B两块试验田上进行实验(两地块的土质等情况一致).6月25日在A试验田播种该品种大豆，7月10日在B试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份(每份1千粒)，并测量出每份的质量(单位：克)，按照[100，150)，[150，200)，[200，250]进行分组，得到如下表格：
把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满．
(1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？
(2)从A，B两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；
(3)用样本估计总体，从A试验田随机抽取100份(每份千粒)大豆，记籽粒饱满的份数为X，求X的数学期望和方差．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
归纳总结
解决概率、统计与其他知识的综合
角度3概率、统计与数列的交汇
例 6 第24届冬奥会于2022年在中国北京和张家口举行，届时，北京将成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．在某次滑雪表演比赛中，抽取部分参赛队员的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计，并按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](已知分数在[90，100]内的人数为3)的分组作出如图所示的频率分布直方图．据此解答如下问题：
(1)求样本容量n及频率分布直方图中a的值．
(2)滑雪场馆内的一销售网点为了吸引游客，增加营业收入，开展“参加游戏赢奖券”促销活动，购物满200元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共7格的方格图，依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第7格，游戏开始时“跳子”在第1格，参与者需从一个口袋(装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球)中任取两个球，若两个球颜色不同，则“跳子”前进1格(即从第1格到第2格)，若两个球颜色相同，则“跳子”前进2格(即从第1格到第3格)，当“跳子”前进到第6格或者第7格时，游戏结束．“跳子”落在第6格可以得到30元奖券，“跳子”落在第7格可以得到90元奖券．记“跳子”前进到第n格(1≤n≤7)的概率为Pn.
①证明：{Pn－Pn－1}(2≤n≤6)是等比数列．
②求某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额的期望．
归纳总结
破解此题的关键是将概率的参数表达式与数列的递推式相结合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独特．
对点训练
[2023·四川省泸县第二中学]中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了50名学生进行调查，调查样本中有20名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分)．
(1)完成上面的2×2列联表，判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？
(2)若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
[高考5个大题]解题研诀窍(四)概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
[思维流程——找突破口]
[技法指导——迁移搭桥]
概率与统计问题辨析、辨型的基本策略
(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等．
(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等．
(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等．
(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率．
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望、方差．
(6)会套用求、K2的公式，再作进一步求值与分析．
[典例] 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
[快审题]
[稳解题]
(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝p2·(1－p)18，
所以f′(p)＝[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]
＝p(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1，
当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1，
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知Y～B(180，0.1)，
X＝20×2＋25Y，
即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元，由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．
题后悟道
解决概率与统计问题的关键点
(1)会利用两个基本计数原理、排列与组合，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；能准确判断随机变量X的所有可能取值，然后求出随机变量X取每个值时的概率，即可得随机变量X的分布列；还需活用定义，即会活用随机变量的数学期望的定义进行计算．
(2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，根据统计量K2的计算公式确定K2的值，K2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．
第2讲 概率、随机变量及其分布列
考点一
[例1] 解析：（1）从6张卡片中任取2张的取法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种，所以所求概率P＝ eq \f(6,15) ＝ eq \f(2,5) .故选C.
（2）因为区域{（x，y）|1≤x2＋y2≤4}表示以圆心O（0，0），外圆半径R＝2，内圆半径r＝1的圆环，
则直线OA的倾斜角不大于 eq \f(π,4) 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON＝ eq \f(π,4) ，结合对称性可得所求概率P＝ eq \f(3π×\f(1,4),3π) ＝ eq \f(1,4) .故选C.
答案：（1）C （2）C
对点训练
1．解析：解法一 （将4个1和2个0视为完全不同的元素）4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为OA，OB，将4个1和2个0随机排成一行有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，再将OA，OB插空有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种排法，所以2个0不相邻的概率P＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(2,3) .
解法二 （含有相同元素的排列） 将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) 种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种排法．所以2个0不相邻的概率P＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(2,3) .
答案：C
2．解析：
在区间（0，1）中随机取一个数，记为x，在区间（1，2）中随机取一个数，记为y，两数之和大于 eq \f(7,4) ，即x＋y> eq \f(7,4) ，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0\f(7,4))) .在如图所示的平面直角坐标系中，点（x，y）构成的区域是边长为1的正方形区域（不含边界），事件A“两数之和大于 eq \f(7,4) ”即x＋y> eq \f(7,4) 中，点（x，y）构成的区域为图中阴影部分（不含边界），由几何概型的概率计算公式得P（A）＝ eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1) ＝ eq \f(23,32) ，故选B.
答案：B
考点二
[例2] 解析：（1）X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X＝2）＝0.5×0.4＋（1－0.5）×（1－0.4）＝0.5.
（2）X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1－0.4）＋（1－0.5）×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
对点训练
解析：对于A选项，顾客抽奖一次中奖的概率为 eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(1＋3,10) ＝ eq \f(2,5) ，故A选项正确．
对于B选项，有如下两种方法：
方法一 顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \f(2,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5))) eq \s\up12(2) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(98,125) .
方法二 顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5))) eq \s\up12(3) ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(3) ＝1－ eq \f(27,125) ＝ eq \f(98,125) .
故B选项正确．对于CD选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是 eq \f(2,2＋2) ＝ eq \f(1,2) ，故C选项错误，D选项正确．故选C.
答案：C
考点三
[例3] 解析：（1）设事件A表示：辩论队员甲收到正队长的通知信息．
则P（A）＝ eq \f(3,8) ，P（ eq \(A,\s\up6(－)) ）＝ eq \f(5,8) ；
设事件B表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息．
则P（B）＝ eq \f(3,8) ，P（ eq \(B,\s\up6(－)) ）＝ eq \f(5,8) ；
设事件C表示：辩论队员甲收到正队长或副队长的通知信息．
则P（C）＝1－P（ eq \(A,\s\up6(－)) ）P（ eq \(B,\s\up6(－)) ）＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(39,64) .
所以辩论队员甲收到正队长或副队长的通知信息的概率为 eq \f(39,64) .
（2）由题意可得，随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6，
则P（X＝3）＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) ＝ eq \f(1,56) ，P（X＝4）＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) ＝ eq \f(15,56) ，P（X＝5）＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) ＝ eq \f(15,28) ，P（X＝6）＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ) ＝ eq \f(5,28) ，
所以随机变量X的分布列为
故数学期望E（X）＝3× eq \f(1,56) ＋4× eq \f(15,56) ＋5× eq \f(15,28) ＋6× eq \f(5,28) ＝ eq \f(39,8) .
对点训练
解析：（1）由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有：
P（X＝0）＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ) ×（1－ eq \f(1,4) ）×（1－ eq \f(2,3) ）＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ) ×（1－ eq \f(2,3) ）2＝ eq \f(13,72) ，
P（X＝1）＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ) ×[（1－ eq \f(1,4) ）× eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,4) ×（1－ eq \f(2,3) ）]＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,Ceq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4))) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) × eq \f(2,3) ×（1－ eq \f(2,3) ）＝ eq \f(37,72) ，
P（X＝2）＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ) × eq \f(1,4) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ) ×（ eq \f(2,3) ）2＝ eq \f(11,36) ，
所以X的分布列为：
故X的期望E（X）＝0× eq \f(13,72) ＋1× eq \f(37,72) ＋2× eq \f(11,36) ＝ eq \f(9,8) .
（2）若甲选择从B组中任选2道题，设Y表示甲答对题目的个数，则Y～B（2，0.6），
所以Y的期望E（X）＝2×0.6＝1.2，
因为1.2>1.125＝ eq \f(9,8) ，所以甲应选择B组．
考点四
[例4] 解析：（1）由频率分布直方图估计平均数为：
0．005×10×45＋0.010×10×55＋0.020×10×65＋0.030×10×75＋0.025×10×85＋0.01×10×95＝74（分）.
（2）由题意可得测试成绩X近似服从正态分布N（74，132），
所以P（6187）＝ eq \f(1,2) [1－P（61所以1 000×0.158 7＝158.7≈159（人）
故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为159人．
（3）随机变量ξ的所有可能取值为：0，1，2，4，5，6，
P（ξ＝0）＝（1－ eq \f(4,5) ）×（1－ eq \f(5,7) ）×（1－ eq \f(1,2) ）＝ eq \f(1,35) ，
P（ξ＝1）＝ eq \f(4,5) × eq \f(2,7) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(5,7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(13,70) ，
P（ξ＝2）＝ eq \f(4,5) × eq \f(5,7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(2,7) ，
P（ξ＝4）＝ eq \f(1,5) × eq \f(2,7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,35) ，
P（ξ＝5）＝ eq \f(4,5) × eq \f(2,7) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(5,7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(13,70) ，
P（ξ＝6）＝ eq \f(4,5) × eq \f(5,7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(2,7) ，
所以ξ的分布列如下：
数学期望E（ξ）＝0× eq \f(1,35) ＋1× eq \f(13,70) ＋2× eq \f(2,7) ＋4× eq \f(1,35) ＋5× eq \f(13,70) ＋6× eq \f(2,7) ＝ eq \f(123,35) .
[例5] 解析：（1）2×2列联表为
K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ＝ eq \f(40×（11×16－4×9）2,20×20×15×25) ≈5.227>5.024，
所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关．
（2）A，B两块试验田中各抽取一份大豆，
抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别为 eq \f(11,20) ， eq \f(1,5) ，
两份大豆籽粒都不饱满的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(11,20))) ×（1－ eq \f(1,5) ）＝ eq \f(9,25) ，
故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为1－ eq \f(9,25) ＝ eq \f(16,25) .
（3）从A试验田的样本中随机抽取1份大豆，抽到饱满的概率为 eq \f(11,20) ，则X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100，\f(11,20))) ，故E（X）＝100× eq \f(11,20) ＝55，
D（X）＝100× eq \f(11,20) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(11,20))) ＝ eq \f(99,4) .
[例6] 解析：（1）由题意知，分数在[90，100]内的人数为3人，其对应的频率为10×0.015＝0.15.所以样本容量n＝ eq \f(3,0.15) ＝20.a＝ eq \f(1－（0.03＋0.035＋0.015）×10,10) ＝0.02.
（2）①证明：从口袋中摸到的两个球是同色球的概率为P＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ) ＝ eq \f(1,3) ；摸到的两个球是异色球的概率为1－P＝ eq \f(2,3) .“跳子”开始在第1格为必然事件，即P1＝1，“跳子”移到第2格，其概率为 eq \f(2,3) ，即P2＝ eq \f(2,3) .
“跳子”前进到第n（3≤n≤6）格的情况有如下两种：
“跳子”先到第n－2格，概率为 eq \f(1,3) Pn－2；
“跳子”先到第n－1格，概率为 eq \f(2,3) Pn－1.
所以3≤n≤6时，Pn＝ eq \f(2,3) Pn－1＋ eq \f(1,3) Pn－2，
所以Pn－Pn－1＝－ eq \f(1,3) （Pn－1－Pn－2）.
因为P2－P1＝－ eq \f(1,3) ≠0.
所以 eq \f(Pn－Pn－1,Pn－1－Pn－2) ＝－ eq \f(1,3) （3≤n≤6）.
所以当2≤n≤6时，数列{Pn－Pn－1}是等比数列，首项为P2－P1＝－ eq \f(1,3) ，公比为－ eq \f(1,3) .
②设某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额为X元，则X的所有可能取值为30，90，
由①可知Pn－Pn－1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(n－2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(n－1) （2≤n≤6），
所以Pn＝（Pn－Pn－1）＋（Pn－1－Pn－2）＋…＋（P2－P1）＋P1
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(n－1) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(n－2) ＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) ＋1
＝ eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(n),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))) ＝ eq \f(3,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(n))) （2≤n≤6），
所以P6＝ eq \f(3,4) × eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(6))) ＝ eq \f(182,243) ，
易知P7＝ eq \f(1,3) P5＝ eq \f(1,3) × eq \f(3,4) × eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(5))) ＝ eq \f(61,243) .
故X的分布列为
则X的期望为E（X）＝ eq \f(182,243) ×30＋ eq \f(61,243) ×90＝ eq \f(3 650,81) .
对点训练
解析：（1）2×2列联表如下：
所以K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
＝ eq \f(50（15×14－15×6）2,21×29×30×20) ＝ eq \f(1 200,609) ≈1.970<3.841，
所以没有95%的把握认为对“嫦娥五号”关注程度与性别有关．
（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为P＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) ，
由题意可知随机变量X满足二项分布，即X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,10))) ，
所以有P（X＝k）＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10))) k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,10))) 3－k.
所以随机变量X的分布列为
故E（X）＝np＝3× eq \f(3,10) ＝ eq \f(9,10) .
直接法
正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．
间接法
当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．
[100，150)
[150，200)
[200，250]
A试验田/份
3
6
11
B试验田/份
6
10
4
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
关注
没关注
合计
男
女
合计
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
求什么
想什么
求f(p)的最大值点，想到f(p)的表达式．
求E(X)的值，想到X的可能取值及所对应的概率、均值的性质．
给什么
用什么
给出检验费及赔偿费可计算E(X)．
差什么
找什么
计算E(X)，应找出X与不合格产品件数的关系，利用均值性质求解．
X
3
4
5
6
P
eq \f(1,56)
eq \f(15,56)
eq \f(15,28)
eq \f(5,28)
X
0
1
2
P
eq \f(13,72)
eq \f(37,72)
eq \f(11,36)
ξ
0
1
2
4
5
6
P
eq \f(1,35)
eq \f(13,70)
eq \f(2,7)
eq \f(1,35)
eq \f(13,70)
eq \f(2,7)
6月25日播种
7月10日播种
合计
饱满
11
4
15
不饱满
9
16
25
合计
20
20
40
X
30
90
P
eq \f(182,243)
eq \f(61,243)
关注
没关注
合计
男
15
15
30
女
6
14
20
合计
21
29
50
X
0
1
2
3
P
eq \f(343,1 000)
eq \f(441,1 000)
eq \f(189,1 000)
eq \f(27,1 000)