统考版2024高考数学二轮专题复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形理，共16页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式，公式的变形与应用，变形等内容，欢迎下载使用。
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝________________；
(2)cs (α±β)＝________________；
(3)tan (α±β)＝________________．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝________；
(2)cs 2α＝________＝________＝________；
(3)tan 2α＝________．
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝________________；
tan α－tan β＝________________．
(2)升幂公式
1＋cs α＝________；1－cs α＝________；
(3)降幂公式
sin2α＝________；cs2α＝________．
例 1(1)[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，cs αsin β＝ eq \f(1,6)，则cs (2α＋2β)＝( )
A． eq \f(7,9) B． eq \f(1,9)
C．－ eq \f(1,9) D．－ eq \f(7,9)
(2)[2023·新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cs α＝ eq \f(1＋\r(5),4)，则sin eq \f(α,2)＝( )
A． eq \f(3－\r(5),8) B． eq \f(－1＋\r(5),8)
C． eq \f(3－\r(5),4) D． eq \f(－1＋\r(5),4)
(3)[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知θ∈( eq \f(π,2)，π)， eq \f(16,3)cs 2 eq \f(θ,2)＝1＋cs 2θ，则tan θ＝( )
A． eq \f(\r(5),2) B．－ eq \f(\r(5),2)
C． eq \f(2\r(5),5) D．－ eq \f(2\r(5),5)
归纳总结
化简三角函数式的规律
提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况；
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
对点训练
1.[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A． B．
C． D．
2．[2023·河南省开封市杞县三模]已知sin (α＋ eq \f(π,6))－cs α＝ eq \f(4,5)，则cs (α＋ eq \f(π,3))＝( )
A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5)
C．－ eq \f(3,5) D．－ eq \f(4,5)
3．[2023·江西省智学联盟体高三联考]已知α∈(－ eq \f(π,2)，0)，tan 2α＝ eq \f(sin α,cs α－2)，则tan α＝________．
考点二 利用正、余弦定理解三角形——选用定理，边角互化
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，________＝________＝________＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝________________；
变形：b2＋c2－a2＝2bc cs A，cs A＝________________．
3．三角形面积公式
S△ABC＝ab sin C＝__________＝__________．
角度1利用正、余弦定理进行计算
例 2 [2023·全国甲卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 eq \f(b2＋c2－a2,cs A)＝2.
(1)求bc；
(2)若 eq \f(a cs B－b cs A,a cs B＋b cs A)－ eq \f(b,c)＝1，求△ABC面积．
归纳总结
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
角度2与三角形有关的最值问题
例 3[2023·江西省赣州市高三测试]在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝2A，a＝2，则△ABC的周长的取值范围是( )
A．(4＋2 eq \r(2)，6＋2 eq \r(3)) B．[4＋2 eq \r(2)，6＋2 eq \r(3))
C．(4＋2 eq \r(2)，6＋2 eq \r(3)] D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2\r(2)，6＋2\r(3)))
归纳总结
与三角形有关的最值或取值范围问题一般有两类：第一类是求角的最值或取值范围，这时一般应用三角函数值的范围解决；第二类是求边或周长、面积的最值或取值范围，这时一般利用基本不等式或函数的单调性解决．
角度3三角形的实际应用
例 4[2021·全国甲卷]
2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)( )
A．346 B．373
C．446 D．473
归纳总结
解三角形应用题的4个要点
提醒 (1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角、方向(位)角是关键．
(2)在解应用题时，还要根据题意正确画出示意图．
对点训练
1．[2023·全国乙卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cs B－b cs A＝c，且C＝ eq \f(π,5)，则B＝( )
A． eq \f(π,10) B． eq \f(π,5)
C． eq \f(3π,10) D． eq \f(2π,5)
2．[2023·四川省绵阳市高三考试]2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神鸟形象、蜀锦与宝相花纹(芙蓉花)元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得BC＝36 m，∠ABC＝45°，∠ACB＝105°，在C处测得阁顶P的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度AP为(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)( )
A．72.0 m B．51.0 m
C．50.8 m D．62.3 m
3．[2023·广东省深圳市检测]如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距＋海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着直线追击．
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里；
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船．
4．[2023·江西省智学联盟体高三联考]已知△ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b sin eq \f(B＋C,2)＝a sin B.
(1)求∠A；
(2)若BC边上一点D，满足BD＝2CD且AD＝ eq \r(3)，求△ABC面积的最大值．
考点三 与解三角形有关的交汇问题 [交汇创新]——转问题，选定理，得结论
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．
例 5 如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.
(1)求△ABC的面积；
(2)已知平面直角坐标系xOy中，点D(10，0)，若函数f(x)＝M sin (ωx＋φ)(M>0，ω>0，|φ|0，
所以b＝4cs A，
所以a＋b＋c＝8cs 2A＋4cs A，
由于 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0