湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题4.20 相交线与平行线（专项练习5）

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专题4.20 相交线与平行线（专项练习5）一、填空题1．(2023·云南红河哈尼族彝族自治州·七年级期末）已知与互为余角，且，则 ___________．2．(2023·静宁县阿阳实验学校七年级期末）小明到工厂进行社会实践活动，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：ABCD，∠A=40°，∠C=30°，小明马上运用已学的知识得出了∠E=____．3．(2023·湖北荆州市·七年级期末）如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠1＝62°，则∠2的度数等于_____．4．(2023·福州三牧中学七年级月考）已知一个角是30°，那么这个角的补角的度数是_____．5．(2023·上海市北海中学七年级月考）若∠α与∠β是对顶角，且∠α+∠β=120°，则∠β=_______°．6．(2023·四川广安市·七年级期末）如图，直线相交于点O，，且，则______．7．(2023·四川成都市·西川中学南区七年级期中）已知角，（，）的一边互相平行，另一边互相垂直，且比的4倍少15度，则__________．8．(2023·浙江杭州市·七年级期末）如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则______．9．(2023·浙江杭州市·八年级期末）如图直线，若的面积为20，则的面积为_______．10．(2023·浙江七年级期末）如图，长方形的顶点，分别在直线，上，且，，则的度数为_________．11．(2023·山西晋城市·七年级期末）直线a、b、c、d以如图所示的方式相交，且和互为余角，是的余角的补角，，则__________．12．(2023·浙江七年级期末）如图，，则间的数量关系是_________．13．(2023·浙江七年级期末）如图，，，有以下描述：①线段是点A、B之间的距离；②垂线段的长是点到直线的距离；③图中的余角只有两个；④若，则；则判断正确的是___________（填写序号）．14．(2023·陕西宝鸡市·八年级期末）把一个直角三角板（，）如图放置，已知∥，平分，则＝_____________15．(2023·河南驻马店市·七年级期末）如图AB//CD，CE平分∠ACD交AB于E，∠A=128°，则∠AEC=______________． 16．(2023·全国九年级专题练习）如图，若，与，分别相交于点E，F，的平分线和的平分线交于点P，则的度数是______．17．(2023·浙江七年级期末）如图，已知：，，平分，，则的度数是______．18．(2023·广东茂名市·八年级期末）如图，点P、Q分别在一组平行直线、上，在两直线间取一点E使得，点F、G分别在、的角平分线上，且点F、G均在平行直线、之间，则__________．19．(2023·浙江杭州市·七年级期末）如图所示，，点，，在直线上，点，在直线上，满足平分，，平分，若，那么___________．20．(2023·陕西咸阳市·八年级期末）如图，，直线分别交AB、DE于点F、G．若，则___________．二、解答题21．(2023·山西太原市·七年级期末）如图，∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝105°，求∠4的度数．22．(2023·浙江杭州市·七年级期末）如图，，，，点，，在同一条直线上．（1）请说明与平行．（2）若，求的度数．23．(2023·浙江七年级期末）如图，平分．若，求的度数．根据提示将解题过程补充完整．解：（平角的意义），（已知），（___________________）（________）（两直线平行，同旁内角互补），平分，（_________），（___________________）24．(2023·四川内江市·七年级期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知，则∠AEC=∠BAE＋∠DCE成立吗?请说明理由；（2）如图2，已知，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=60°，∠ABC=40°，求∠BED 的度数；（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD=α°，∠ABC=β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．25．(2023·福建泉州市·七年级期末）如图，已知平分平分．（1）试说明：；（2）求的度数．26．(2023·安徽合肥市·七年级期末）如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）在射线的上方，作；（2）在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；（3）连接，观察并猜想：与的数量关系是______，填（“＞”、“＜”或“＝”）参考答案1．【分析】根据余角的定义求解即可．【详解】∵与互为余角，∴，故答案为：．【点拨】本题考查余角的定义，注意角度计算中的进率是解题关键．2．70°【分析】先过点E作EF∥AB，又由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠FEA与∠FEC的度数，即可求解．【详解】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠FEA=∠A=40°，∠FEC=∠C=30°，∴∠AEC=∠FEC+∠FEA=30°+40°=70°．故答案为：70°．【点拨】本题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等与辅助线的添加方法是解此题的关键．3．28°【分析】根据平行线的性质和∠ACB＝90°，可以计算出∠2的度数．【详解】解：如图，∵直尺的两边平行，∠1＝62°，∴∠1＝∠3＝62°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣62°＝28°，故答案为：28°．【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．150°【分析】根据补角的定义可直接进行求解．【详解】解：这个角的补角的度数为：180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．【点拨】本题主要考查补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键．5．60【分析】根据对顶角相等解答即可．【详解】解：∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，∵∠α+∠β=120°，∴∠α=∠β=60°．故答案为：60．【点拨】本题主要考查了对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．6．53°【分析】根据∠2=180°－∠COE－∠1，可得出答案．【详解】解：由题意得∠2=180°－∠COE－∠1=180°－90°－37°=53°．故答案为：53°．【点拨】本题考查平角、直角的定义和几何图形中角的计算，能识别∠AOB是平角且它等于∠1、∠2和∠COE三个角之和是解题关键．7．69°或125°【分析】分两种情况讨论，依据角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的4倍少15度，即可得到关于α，β的方程组，进而得出α的值．【详解】解：如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，过C作CF∥AB，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF=，∠DCF=，∴=∠BCD=，则，解得α=69°；如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，过C作CF∥AB，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF=，∠DCF=，∴=∠BCD=，则，解得α=125°；综上所述，α的度数为69°或125°．故答案为：69°或125°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，利用平行线的性质进行计算．8．85【分析】先根据对顶角相等可得∠2=∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠1的度数．【详解】解：如图，根据对顶角相等可得，∠3=∠2，∵AB∥CD，∴∠3+∠4+∠1=180°，∵∠1=3∠2-20°=3∠3-20°，∠4=60°，∴3∠3-20°+60°+∠3=180°，∴4∠3=140°，∴∠3=35°，∴∠1=3×35°-20°=85°，故答案为：85．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．9．20【分析】根据平行线之间的距离处处相等可得两个三角形的高相等，从而解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴△ABC和△DBC的高相等，∵△ABC和△DBC的底为BC，的面积为20，∴的面积为20，故答案为：20．【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握平行线之间的距离处处相等是解题的关键．10．50°【分析】作BF∥a，根据长方形的性质得到∠ABC=∠BCD=90°，根据平行线的性质计算．【详解】解：作BF∥a，∴∠3=∠1=50°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠4=40°，∵BF∥a，a∥b，∴BF∥b，∴∠5=∠4=40°，∴∠2=180°-∠5-90°=50°，故答案为：50°．【点拨】本题考查的是矩形的性质、平行线的性质，掌握矩形的四个内角都是90°是解题的关键．11．【分析】求出∠1和∠2，得出∠1+∠3=180°，推出AD∥BC，推出∠2+∠4=180°，求出即可．【详解】解：∵∠3是∠2的余角的补角，且∠3=132°，∴∠2=42°，∵∠1和∠2互余，∴∠1=48°，∴∠1+∠3=180°，∴a∥b，∴∠2+∠5=180°，∴∠5=138°，∴∠4=∠5=138°，故答案为：138°．【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，互余互补的应用，主要考查学生的计算和推理能力．12．∠2+∠4=∠1+∠3【分析】分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，由平行线的性质可知，∠1=∠AP1C，∠CP1P2=∠P1P2D，∠DP2B=∠4，所以∠1+∠P1P2D+∠DP2B=∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4=∠1+∠3．【详解】解：分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，∵m∥n，∴P1C∥P2D∥m∥n，∴∠1=∠AP1C，∠CP1P2=∠P1P2D，∠DP2B=∠4，∴∠1+∠P1P2D+∠DP2B=∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4=∠1+∠3．故答案为：∠2+∠4=∠1+∠3．【点拨】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等．13．②③④【分析】由线段与线段的长度的区别可判断①，利用点到直线的距离是垂线段的长度可判断②，利用余角定义，找出图中与余角的角可判断③，利用余角关系可推出，再利用补角定义求出可判断④即可．【详解】解：线段的长度才是之间的距离，①错误；垂线段的长是点C到直线的距离，②正确；∵，，∴，，的余角只有和，③正确；∵，，∴，，∴ ，∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-，故，④正确．故答案为：②③④．【点拨】本题考查线段与线段的长，点到直线的距离，余角关系，补角关系，掌握线段与线段的长，点到直线的距离，余角关系，补角关系是解题关键．14．30°【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BAE=60°，再根据平行线的性质得到∠AEF的度数，进而得到∠AEG的度数．【详解】解：∵AB∥CD，AF平分∠BAE，∴∠BAF=∠EAF=∠AFE，又∵∠GFE=30°，∴∠BAF=∠EAF=30°，即∠BAE=60°，∴∠AEF=180°-60°=120°，又∵∠GEF=90°，∴∠AEG=120°-90°=30°，故答案为：30°．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．15．26o【分析】首先根据ABCD，得到∠ACD=52°，再由CE平分∠ACD，得到∠ACE＝∠DCE＝26°，最后由两直线平行内错角相等，得到∠AEC＝26°．【详解】解：∵ABCD，∴∠AEC＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣128°＝52°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝=26°，∴∠AEC＝∠DCE＝26°；故答案为：26°．【点拨】本题考查了平行线的基本性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记并灵活运用平行线基本性质是解本题的关键．16．90°【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°．【详解】解：∵AB∥CD∴∠BEF+∠DFE=180°又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°∴∠P=90°，故答案为：90°．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握这些定理是解题的关键．17．40°【分析】先根据AB∥DE，∠B=70°，CM平分∠DCB可求出∠BCM及∠BCE的度数，再根据CM⊥CN可求出∠BCN的度数，再由∠NCE=∠BCE-∠BCN即可解答．【详解】解：∵AB∥DE，∠B=80°，∴∠DCB=180°-∠B=180°-80°=100°，∠BCE=∠B=80°，∵CM平分∠DCB，∴∠BCM=∠DCB=×100°=50°，∵CM⊥CN，垂足为C，∴∠BCN=90°-∠BCM=90°-50°=40°，∴∠NCE=∠BCE-∠BCN=80°-40°=40°．故答案为：40°．【点拨】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，属于基础题，注意细心掌握．18．35°【分析】过点F作，过点G作，利用平行线的性质和角平分线的定义即可求解.【详解】过点F作，过点G作，∵平分，平分，设，，∵∴，∴，∵，∴，∴，，，∴故．【点拨】本题考查平行线的性质，根据题意作出平行线是解题的关键．19．146°【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠AEC的度数，本题得以解决．【详解】解：∵l1∥l2，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD=136°，∴∠ABC=44°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=22°，∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=68°，∵CE平分∠DCB，∴∠ECB=34°，∵l1∥l2，∴∠AEC+∠ECB=180°，∴∠AEC=146°，故答案为：146°．【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．70°．【分析】如图，作CH∥AB，证明CH∥DE，AB∥DE，利用平行线的性质即可解决问题．【详解】解：如图，作CH∥AB， ∵AB∥CH，∴∠B+∠BCH=180°，∵∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，∴∠D+∠DCH=180°，∴CH∥DE，∴AB∥DE，∴∠1=∠3=110°，∴∠2=180°-∠3=70°故答案为70°．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．21．105°【分析】由同位角相等，两直线平行判定a∥b，然后根据两直线平行，同位角相等，对顶角相等的性质求解【详解】∵∠1＝70°，∠2＝70°，∴∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠3＝∠5．又∠3＝105°，∴∠5＝105°，∴∠4＝∠5＝105°．【点拨】本题考查平行线的判定和性质以及对顶角相等，理解相关性质正确推理是解题关键．22．（1）见解析；（2）45°【分析】（1）先根据AD⊥BE，BC⊥BE得出AD∥BC，故可得出∠ADE=∠C，再由∠A=∠C得出∠ADE=∠A，故可得出结论；（2）由AB∥CD表示出∠C的度数，再由直角三角形的性质可得出结论．【详解】解：（1）∵AD⊥BE，BC⊥BE，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠C．∵∠A=∠C，∴∠ADE=∠A，∴AB∥CD；（2）∵AB∥CD，∠ABC=3∠E，∴∠C=180°-3∠E ，∴∠E=90°-（180°-3∠E），∴∠E=45°．【点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意得出AD∥BC是解答此题的关键．23．见解析【分析】根据同角的补角相等可得出∠AEM=∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC=62°可求出∠AEF=118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．【详解】解：∵∠CDM+∠CDN=180°（平角的意义），∠AEM+∠CDN=180°（已知），∴∠AEM=∠CDM，∴AB∥CD，（同位角相等，两直线平行）∴∠AEF+∠EFC=180°，（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EFC=62°，∴∠AEF=118°，∵EC平分∠AEF，∴∠AEC=59°，（角平分线的定义）∵AB∥CD，∴∠C=∠AEC=59°．（两直线平行，内错角相等）．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线，牢记各平行线的判定与性质定理是解题的关键．24．（1）成立，理由见解析；（2）；（3）．【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．【详解】解：（1）如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE．（2）如图2，过点E作EH∥AB，∵AB//CD，∠FAD=60°，∴∠FAD=∠ADC=60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC=60°，∴∠EDC=∠ADC=30°，∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，∴∠ABE=∠ABC=20°，由（1）的结论，得．（3）如图3，过点作．∵平分，平分，，∴，∵，∴，【点拨】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．25．（1）见解析；（2）360°【分析】（1）由PE与PF分别为角平分线，得到两对角相等，根据∠1与∠2的度数求出∠BEF与∠EFD的度数之和为180°，利用同旁内角互补两直线平行即可得证；（2）过点作，得，再根据平行线的性质可得结论．【详解】解：（1）证明：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，∴∠1=∠BEP=∠BEF，∠2=∠PFD=∠EFD，∴∠BEF=70°，∠EFD=110°，即∠BEF+∠EFD=180°，∴AB∥CD； （2）过点作【点拨】此题考查了平行线的性质性质和判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）＝【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可解答（2）根据作一条线段等于已知线段的尺规作图即可解答（3）结合图形易证，即可得到答案【详解】（1）如图所示：作法：①以点B为圆心任意长为半径画圆弧，交AB，BC于点G，H②再以点E为圆心以①中的半径画圆弧，交EM于点P③再以点P为圆心GH长为半径画圆弧，与②所画的圆弧交于点N，连接EN即可（2）如图所示：作法：①用圆规取BC的长度，以点E为圆心BC长为半径画弧，交EM于点F，则EF=BC②用圆规取AB的长度，以点E为圆心AB长为半径画弧，交EN的延长线于点D，则DE=AB（3）根据EF=BC，DE=AB，可证，则DF=AC【点拨】本题考查了尺规作图，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，以及作一条线段等于已知线段的尺规作图方法．