（新高考）高考数学一轮复习《直线方程》基础巩固练习（2份打包，原卷版+教师版）

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一、知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
(3)范围：直线l的倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)直线l的倾斜角为α≠eq \f(π,2)，则l的斜率k＝tan_α．
(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)．
3．直线方程的五种形式
常用结论
1．直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．
(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈[0，eq \f(π,2))时，α越大，斜率k就越大，同样α∈(eq \f(π,2)，π)时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠eq \f(π,2)时就不是了．
2．识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0.
(2)y轴：x＝0.
(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．
(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．
(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.
二、教材衍化
1．经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．
答案：x－y－5＝0
2．经过点A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为________．
答案：2x＋3y＋2＝0
3．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
解析：由题意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.
答案：1
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))
(1)对倾斜角的取值范围不清楚；
(2)忽略截距为0的情况．
1．直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选D．由直线的方程得直线的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tan α＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝eq \f(5π,6).
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，则eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
(1)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的eq \f(1,3)，则该直线的方程为________．
(2)若直线经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．
【解析】 (1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×eq \f(1,3)＝－eq \f(4,3).又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为y－3＝－eq \f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－eq \f(2,5)，此时，直线方程为y＝－eq \f(2,5)x，即2x＋5y＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时，
设所求直线方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－eq \f(1,2)，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线的方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
【答案】 (1)4x＋3y－13＝0 (2)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0
eq \a\vs4\al()
巧设直线方程的方法
(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；
(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；
(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；
(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．
[注意] (1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；
(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；
(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.
[基础题组练]
1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．eq \r(3)x－y＋1＝0 B．eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0
C．eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0 D．eq \r(3)x＋y＋eq \r(3)＝0
解析：选D．由于倾斜角为120°，故斜率k＝－eq \r(3).又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－eq \r(3)(x＋1)，即eq \r(3)x＋y＋eq \r(3)＝0.
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).易知－eq \f(a,b)＜0且－eq \f(c,b)＞0，故ab＞0，bc＜0.
3．(多选)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
解析：选AC．当直线过原点时，可得斜率为eq \f(2－0,1－0)＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，代入点(1，2)，可得eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝1，解得a＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选AC．
4．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，所以BC边上中线所在直线方程为eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
5．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
6．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以BC的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq \f(1,2)，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4，
由已知，得(3k＋4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)＋3))＝±6，解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3).
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1.
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
两直线的位置关系
一、知识梳理
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
2.两条直线的交点
3．三种距离
常用结论
1．会用两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
二、教材衍化
1．两直线4x＋3y＝10与2x－y＝10的交点坐标为________．
答案：(4，－2)
2．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于________
答案：eq \r(2)－1
3．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是________．
解析：由直线l1与l2平行，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a(a＋1)＝2×3，,a×1≠2，))解得a＝－3.
答案：－3
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)求平行线间距离忽视x，y的系数相同；
(2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况．
1．两条平行直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋11＝0之间的距离为( )
A．eq \f(23,5) B．eq \f(23,10) C．7 D．eq \f(7,2)
解析：选D．直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为eq \f(|11＋24|,\r(36＋64))＝eq \f(7,2).
2．已知直线l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0若l1⊥l2，则a＝________．
解析：因为l1⊥l2，则2a＋a＝0，所以a＝0.
答案：0
考点一 两直线的位置关系(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
核心素养 数学运算，逻辑推理
(一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
【解】 (1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
由l1∥l2可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－(a＋1)，))解得a＝－1.
综上可知，a＝－1.
法二：由l1∥l2知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a(a－1)－1×2＝0，,a(a2－1)－1×6≠0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a(a2－1)≠6))⇒a＝－1.
(2)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
当a≠1时，l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，由l1⊥l2，得(－eq \f(a,2))·eq \f(1,1－a)＝－1⇒a＝eq \f(2,3).
eq \a\vs4\al()
(1)两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒] 判断两条直线位置关系应注意：
〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．
〈2〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略
在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．
1．“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1与l2平行，则a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，则a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件．故选A．
2．求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；
(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．
解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，
所以直线方程为x－2y＋7＝0.
(2)AB中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋3,2)，\f(2＋1,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，
直线AB斜率kAB＝eq \f(2－1,1－3)＝－eq \f(1,2)，故线段AB垂直平分线斜率k＝2，
所以其方程为y－eq \f(3,2)＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
考点二 两直线的交点与距离问题(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
核心素养：数学运算
角度一 两直线的交点与直线过定点
(1)对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标为( )
A．(9，－4) B．(－9，－4) C．(9，4) D．(－9，4)
(2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
【解析】 (1)(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，
故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0))得定点的坐标为(9，－4)．故选A．
(2)由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－eq \f(4,3)，
所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.
【答案】 (1)A (2)4x＋3y－6＝0
角度二 三种距离问题
(1)已知点P(－1，－1)，A(1，0)，B(0，1)，则△ABP的面积为________．
(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是eq \r(5)，则m＋n＝________．
【解析】 (1)因为A(1，0)，B(0，1)，所以|AB|＝eq \r(2)，直线AB的方程为x＋y－1＝0，
则点P(－1，－1)到直线AB的距离d＝eq \f(3,\r(2))，所以△ABP的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3,2).
(2)因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，
所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是eq \r(5)，所以eq \f(|m＋3|,\r(1＋4))＝eq \r(5)，
得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2.
【答案】 (1)eq \f(3,2) (2)－2
eq \a\vs4\al()
两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行直线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．
[基础题组练]
1．已知直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，则系数a＝( )
A．－3 B．－6 C．－eq \f(3,2) D．eq \f(2,3)
解析：选B．由直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行知，－eq \f(a,2)＝3，a＝－6.
2．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为( )
A．7 B．9 C．11 D．－7
解析：选A．由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.
直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，
所以－5－2＋n＝0，n＝7.
3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)
解析：选C．设P(x，5－3x)，则d＝eq \f(|x－(5－3x)－1|,\r(12＋(－1)2))＝eq \r(2)，化简得|4x－6|＝2，
即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．
4．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．
解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq \f(4,5)，
故所求直线方程为x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
答案：3x＋19y＝0
5．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．
解析：设AB的中点坐标为M(1，3)，kAB＝eq \f(4－2,3－(－1))＝eq \f(1,2)，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．即2x＋y－5＝0.令y＝0，则x＝eq \f(5,2)，
即P点的坐标为(eq \f(5,2)，0)，|AB|＝eq \r((－1－3)2＋(2－4)2)＝2eq \r(5).
点P到AB的距离为|PM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2).所以S△PAB＝eq \f(1,2)|AB|·|PM|＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(3\r(5),2)＝eq \f(15,2).
答案：eq \f(15,2)
6．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在．
所以eq \f(a,b)＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b.②
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2.
7．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，
所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))得C(4，3)．
设B(x0，y0)，则AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))得B(－1，－3)，
所以kBC＝eq \f(6,5)，所以直线BC的方程为y－3＝eq \f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.
基础巩固练习
1．(求倾斜角)直线eq \r(3)x﹣y＋a＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
答案：B
2．(点斜式方程)经过点P0(2，﹣3)，倾斜角为45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y﹣1＝0
C．x﹣y＋5＝0 D．x﹣y﹣5＝0
解析：选D 由点斜式得直线方程为y﹣(﹣3)＝tan 45°(x﹣2)＝x﹣2，即x﹣y﹣5＝0.
3．(斜截式方程)倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是( )
A．x﹣y＋1＝0 B．x﹣y﹣1＝0
C．x＋y﹣1＝0 D．x＋y＋1＝0
答案：D
4．“a1或﹣a