2022-2023学年湖南省湘潭市湘潭县七年级（下）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省湘潭市湘潭县七年级（下）期末数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用加减法解方程组2x−3y=4①3x+2y=3②，下列解法正确的是( )
A. ①×2+②×3消去yB. ①×3−②×2消去y
C. ①×3+②×2消去xD. ①×2+②×3消去x
2.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=−x6B. x2+x2=x4C. (x2)3=x5D. (xy3)2=x2y6
3.为了普及科学抗疫知识，卫生部门设计了一些宣传图片，下列图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.已知xa=2，xb=3，则x3a+2b=．( )
A. 17B. 72C. 24D. 36
5.下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. x2−3xB. x2+4x+4C. m2−n2D. a2+4b2
6.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若∠ACB=20°，则∠ACD的度数是( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
7.如图，AB/​/CD，∠DEC=100°，∠D=22°，则∠A的大小是( )
A. 38°
B. 48°
C. 58°
D. 68°
8.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为( )
A. 120mm2B. 135mm2C. 108mm2D. 96mm2
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是( )
A. (x+1)(x−2)=x2−x−2B. x2−4+2x=(x+2)(x−2)+2x
C. 2a(b+c)=2ab+2acD. x2−y2=(x+y)(x−y)
10.下列说法错误的是( )
A. 相等的角是对顶角B. 平移、旋转不改变图形的形状和大小
C. 同旁内角互补D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
11.实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长对上周本班7个小组合作学习的得分情况进行了统计，得到以下评分结果(单位：分)：90，96，89，90，91，84，90，下列说法正确的是( )
A. 众数是90B. 中位数是90C. 平均数是90D. 方差是74
12.如图，四边形ABCD中，下列说法正确的是( )
A. 若∠1=∠3，则AB/​/CD
B. 若∠2=∠4，则AB/​/CD
C. 若∠1+∠2+∠A=180°，则AD//BC
D. 若∠A=∠C，则AD//BC
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知二元一次方程组2x−y=22x+y=6，那么4x2−y2= ______．
14.关于x的二次三项式x2+kxy+49y2是一个完全平方式，则k的值是______．
15.将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为______．
16.如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AC=10，则点B到直线AC的距离为______．
四、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解二元一次方程组：3x−2y=75x+2y=1．
18.(本小题6分)
计算：
(1)(−2ab2)3；
(2)(5x−2)(3x+4)．
19.(本小题6分)
因式分解：
(1)x3−4x；
(2)a2−10ab+25b2．
20.(本小题6分)
如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：
(1)将格点△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(2)将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
21.(本小题6分)
先化简后求值：(x+2)2−x(x+4)+(x+2)(x−2)，其中x=−13．
22.(本小题6分)
如图，线a/​/b点B在直b上，且AB⊥BC，∠1=5°，求∠2的度数．
23.(本小题6分)
某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩(百分制)分别为：八(1)班86，85，77，92，85；八(2)班79，85，92，85，89.通过数据分析，列表如下：
(1)直接写出表中a，b，c的值：a=______，b=______，c=______；
(2)求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
24.(本小题8分)
为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
(1)求x，y的值；
(2)第二次小卖部购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
25.(本小题8分)
材料1：由多项式乘法，(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式子从右到左使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1，将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原得：原式=(x+y+1)2．
上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+8x+7因式分解；
(2)根据材料2将(x−y)2−12(x−y)+36因式分解；
(3)结合材料1和材料2，将(m2−4m)(m2−4m+2)−8因式分解．
26.(本小题10分)
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动．
操作发现：
(1)如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
(2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用：
(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则∠CFG等于______(用含α的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、①×2+②×3，能消去y，故A选项正确，符合题意；
B、①×3−②×2，不能消去y，故B选项不正确，不符合题意；
C、①×3+②×2，不能消去x，故C选项不正确，不符合题意；
D、①×2+②×3，不能消去x，故D选项不正确，不符合题意．
故选：A．
根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答．
本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法，用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
2.【答案】D
【解析】解：x2⋅x3=x5，故A不符合题意；
x2+x2=2x2，故B不符合题意；
(x2)3=x6，故C不符合题意；
(xy3)2=x2y6，运算正确，故D符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，积的乘方运算逐一分析即可．
本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：选项A、C、D均不能找到这样一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，整体代入法.利用幂的乘方底数不变指数相乘得出同底数幂的乘法是解题关键．
根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】
解：x3a=(xa)3=8，x2b=(xb)2=9，
x3a+2b=x3a×x2b=8×9=72，
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：A、x2−3x=x(x−3)，应用提公因式法分解因式，所以本选项不符合题意；
B、x2+4x+4=(x+2)2是用完全平方公式进行因式分解，所以本选项不符合题意；
C、m2−n2=(m+n)(m−n)能用平方差公式进行因式分解，所以本选项符合题意；
D、a2+4b2，不能进行因式分解，所以本选项不符合题意．
故选：C．
根据平方差公式的形式：a2−b2=(a−b)(a+b)逐项判断即得答案．
本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟知平方差公式的形式是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠BCD=90°，
∵∠ACB=20°，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=90°−20°=70°．
故选：D．
由已知得旋转角∠BCD=90°，再根据∠ACB=20°，即可求∠ACD的度数．
本题考查了旋转的性质，根据题意找出与已知和问题相关的旋转角是解题的关键，题目较简单．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠DEC=100°，∠D=22°，
∴∠C=180°−∠DEC−∠D=58°，
∵AB/​/CD，
∴∠A=∠C=58°，
故选：C．
先利用三角形内角和定理求出∠C的度数，再利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
得3x=5y2y−x=3，
解得：x=15y=9．
9×15=135(mm2).
故选：B．
设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个宽−一个长=3，于是得方程组，解出即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
9.【答案】ABC
【解析】解：(x+1)(x−2)=x2−x−2是乘法运算，它不是因式分解，则A符合题意；
x2−4+2x=(x+2)(x−2)+2x中右边不是积的形式，则B符合题意；
2a(b+c)=2ab+2ac是乘法运算，它不是因式分解，则C符合题意；
x2−y2=(x+y)(x−y)符合因式分解的定义，它是因式分解，则D不符合题意；
故选：ABC．
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
10.【答案】ACD
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，所以此选项错误，符合题意；
B、平移不改变图形的形状和大小，所以此选项正确，不符题意；
C、只有两直线平行的时候，同旁内角互补，所以此选项错误，符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以此选项错误，符合题意．
故选：ACD．
根据图形的有关性质和变化进行判断即可得到答案．
本题主要考查了对顶角的定义，同位角的定义，平行的判定和平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断．
11.【答案】ABC
【解析】解：A、90出现次数最多，所以众数是90，该选项符合题意；
B、将这组数据按从小到大的顺序排列，中间的数为90，所以中位数是90，该选项符合题意；
C、x−=90+96+89+90+91+84+907=90，平均数是90，该选项符合题意；
D、s2=17[(90−90)2+(96−90)2+(89−90)2+(90−90)2+(91−90)2+(84−90)2+(90−90)2]=747，方差为747，该选项不符合题意．
故选：ABC．
根据众数、中位数、平均数和方差的定义逐项判断即可．
本题主要考查众数、中位数、平均数和方差的定义，牢记众数、中位数、平均数和方差的定义是解题的关键．
12.【答案】BC
【解析】解：∵∠1=∠3，
∴AD/​/BC，故A不符合题意；
∵∠2=∠4，
∴AB/​/CD，故B符合题意；
∵∠1+∠2+∠A=180°，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD/​/BC，故C符合题意；
∵∠A=∠C，而∠A，∠C不是同位角，也不是内错角，
∴不能推出AD//BC，故D不符合题意；
故选：BC．
根据平行线的判定逐个判断即可．
本题考查了平行线的判定，能正确根据平行线的判定进行推理是解此题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：∵2x−y=22x+y=6，
∴4x2−y2=(2x+y)(2x−y)=2×6=12，
故答案为：12．
由4x2−y2=(2x+y)(2x−y)，再整体代入即可．
本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，二元一次方程组的含义，熟练的利用平方差公式分解因式是解本题的关键．
14.【答案】±14
【解析】解：∵二次三项式x2+kxy+49y2是是一个完全平方式，
∴x2+kxy+49y2=(x±7y)2，
∴m=14或m=−14，
故答案为：±14．
根据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2解题即可．
本题考查完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15.【答案】105°
【解析】解：由题意可知：∠A=60°，∠B=45°，∠CDB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠1=∠A+∠ACE=60°+45°=105°，
故答案为：105°．
由题意可知：∠A=60°，∠B=45°，∠CDB=90°，然后求出∠BCD=45°，∠ACE=45°，最后利用三角形的外角性质即可求出答案．
本题考查三角形的外角性质，解题的关键是正确求出∠ACE的度数，本题属于基础题型．
16.【答案】4.8
【解析】解：作BD⊥AC于点D，
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，AB=6，BC=8，AC=10，
∴S△ABC=12AB×BC=12AC×BD，
∴BD=AB×BCAC=6×810=4.8，
故答案为：4.8．
在直角三角形中，利用面积计算点B到直线AC的距离即可．
本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
17.【答案】解：3x−2y=7①5x+2y=1②，
①+②可得：8x=8，解得：x=1，
将x=1代入①可得：3×1−2y=7，
解得：y=−2．
所以该二元一次方程组的解为：x=1y=−2．
【解析】直接运用加减消元法解答即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)(−2ab2)3=−8a3b6；
(2)(5x−2)(3x+4)
=15x2+20x−6x−8
=15x2+14x−8．
【解析】(1)根据积的乘方进行计算即可得；
(2)根据多项式乘多项式法则进行计算即可得．
本题考查了积的乘方，多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的乘法法则．
19.【答案】解：(1)x3−4x=x(x2−4)=x(x+2)(x−2)；
(2)a2−10ab+25b2=(a−5b)2．
【解析】(1)先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解；
(2)根据完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式和公式法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所画的三角形；
(2)如图，△A2B2C2即为所画的三角形；

【解析】(1)分别确定A，B，C平移后的对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
(2)分别确定A，B，C绕C顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，C2，再顺次连接即可．
本题考查的是平移的作图，旋转的作图，掌握平移与旋转的性质并利用性质进行作图是解本题的关键．
21.【答案】解：(x+2)2−x(x+4)+(x+2)(x−2)
=x2+4x+4−x2−4x+x2−4
=x2，
当x=−13时，
原式=(−13)2=19．
【解析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，可得化简的结果，再把x=−13代入化简后的代数式进行计算即可．
本题考查的是整式的乘法，化简求值，熟记完全平方公式，平方差公式并进行简便运算是解本题的关键．
22.【答案】解：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=5°，
∴∠3=85°，
∵a/​/b，
∴2=∠85°．
【解析】本题考查了垂直定义，平行线的性质，注意：两直线平行，同位角相等．
根据垂直定义求∠3，根据平行线的性质得∠2=∠3即可得出答案．
23.【答案】86 85 85
【解析】解：(1)八(2)班的平均分a=(79+85+92+85+89)÷5=86，
将八(1)班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数b=85，
85出现了2次，次数最多，所以众数c=85．
故答案为86，85，85；
(2)∵八(2)班的方差e=[(79−86)2+(85−86)2+(92−86)2+(85−86)2+(89−86)2]÷5=19.2．
∴由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八(2)班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定，
∴八(2)班前5名同学的成绩较好；
(1)根据平均数、中位数、众数的概念解答即可；
(2)先根据方差计算公式，分别求出八(2)班的方差，再结合平均数、中位数、众数与方差的意义求解即可．
本题考查方差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
24.【答案】(1)由题意得：x−y=2500x+400y=8200，
解得：x=10y=8，
答：x=10，y=8；
(2)由题意得：两类书刊进价共为(1000×10+500×8)=14000(元)，
设甲书刊打了m折，
则两类书刊售价为：1000×20×0.1m+500×13=2000m+6500(元)，
由题意得：2000m+6500−14000=8500，
解得：m=8，
答：甲书刊打了8折．
【解析】(1)由题意：甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设甲书刊打了m折，由题意：全部售完后总利润为8500元，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25.【答案】解：(1)x2+8x+7
=x2+(1+7)x+1×7
=(x+7)(x+1)；
(2)令x−y=A，
则(x−y)2−12(x−y)+36
=A2−12A+36
=(A−6)2
=(x−y−6)2；
(3)(m2−4m)(m2−4m+2)−8
=(m2−4m)2+2(m2−4m)−8
=(m2−4m+4)(m2−4m−2)
=(m−2)2(m2−4m−2)．
【解析】(1)利用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，直接进行因式分解即可；
(2)令x−y=A，原式可化为A2−12A+36，再分解因式即可；
(3)把m2−4m看作是整体，再分解因式即可．
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
26.【答案】(1)如图(1)，∵AB/​/CD，
∴∠1=∠EGD，
又∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠EGD，
又∵∠FGE=60°，
∴∠EGD=13(180°−60°)=40°，
∴∠1=40°；
(2)如图(2)，∵AB/​/CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°，
又∵∠FEG+∠EGF=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3)(60°−α)．
【解析】解：
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图(3)，∵AB/​/CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°，
又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，
∴∠GFC=180°−90°−30°−α=60°−α．
故答案为：(60°−α)．
【分析】
(1)依据AB/​/CD，可得∠1=∠EGD，再根据∠2=2∠1，∠FGE=60°，即可得出∠EGD=13(180°−60°)=40°，进而得到∠1=40°；
(2)根据AB/​/CD，可得∠AEG+∠CGE=180°，再根据∠FEG+∠EGF=90°，即可得到∠AEF+∠FGC=90°；
(3)依据AB/​/CD，可得∠AEF+∠CFE=180°，再根据∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，即可得到∠GFC=180°−90°−30°−α=60°−α．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．班级
平均分
中位数
众数
方差
八(1)
85
b
c
22.8
八(2)
a
85
85
d
甲
乙
进价/(元/本)
x
y
售价/(元/本)
20
13