2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程x2−4x−1=0，方程应变形为( )
A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=5
3.下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A. y=x+3B. y=ax2+bx+cC. y=t2−2t+2D. y=x2+1x
4.已知线段a=2，b=3，c=6，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为( )
A. 1B. 4C. 6D. 9
5.如图，直线l1//l2//l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC=1：2，DE=2，则EF的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程( )
A. 5000(1+x)+5000(1+x)2=7200B. 5000(1+x2)=7200
C. 5000(1+x)2=7200D. 5000+5000(1+x)2=7200
7.抛物线y=x2−6x+4的顶点坐标是( )
A. (3,5)B. (−3,5)C. (3,−5)D. (−3,−5)
8.已知点(−1,y1)，(−2,y2)，(−4,y3)在二次函数y=−2x2−8x+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y19.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到△COD，旋转角是( )
A. ∠AOBB. ∠BOCC. ∠CODD. ∠AOC
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. ac<0B. b<0C. b2−4ac<0D. a+b+c<0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为_________
12.在平面直角坐标系中，已知点P(−3,5)与点Q(3,m−2)关于原点对称，则m=______．
13.顶点为(−2,−5)且过点(1,−14)的抛物线的解析式为______．
14.如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE=2，则FC= ．
15.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC= ______．
16.如图，在△ABC中，D、F在AB上，E、G在AC上，DE//FG//BC，且S1=S2=S3，若AB= 3，则BF= ______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
用适当的方法解下列方程：
(1)x2−6x−8=0；
(2)(x−2)2=3(x−2)．
18.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求m的值及方程的另一个根．
19.(本小题6分)
如图，将一块含30°角的三角板ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，已知AC=2，连接ED，BD，求∠BAD的度数及ED的长．
20.(本小题7分)
某小区在绿化工程中有一块长为90m、宽为30m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为1500m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度．
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标(1,3)，请解答下列问题：
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
22.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．
(1)求证：△ABD∽△DCB；
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长．
23.(本小题9分)
某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数)，月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
24.(本小题9分)
如图1，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm．

(1)要把它加工成正方形零件，使得正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少；
(2)要把它加工成矩形零件，且矩形是由两个并排放置的正方形组成，如图2，此时，这个矩形零件的两条边长分别是多少；
(3)如果要加工的零件只是一个矩形，如图3，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求矩形的最大面积．
25.(本小题9分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0)，B(3,0)，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
B.旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
C.旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D.旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，即(x−2)2=5，
故选：D．
常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、y=x+3是一次函数，故此选项错误；
B、y=ax2+bx+c(a≠0)，故此选项错误；
C、y=t2−2t+2，一定为二次函数，故此选项正确；
D、y=x2+1x，不是整式，故此选项错误．
故选：C．
直接利用二次函数的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得，ad=bc，
∴2d=3×6，
∴d=9，
故选：D．
计算出最大、最小数的积以及中间两个数的积，再根据最大与最小数的乘积等于中间两个数的乘积进行求解．
本题主要考查的是成比例线段的知识，计算出最大、最小数的积以及中间两个数的积，再根据最大与最小数的乘积等于中间两个数的乘积进行求解．
5.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴DEEF=ABBC=12，
∴EF=2DE=2×2=4．
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
在增长率问题中，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可先用x表示出2月份钢产量，再根据2月份钢产量表示出3月份钢产量，然后令其等于7200即可列出方程．
【解答】
解：设平均每月增长的百分率为x，则2月份钢产量为5000(1+x)，三月份钢产量为5000(1+x)(1+x)，
根据题意，得5000(1+x)2=7200．
故选：C．
【点评】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解增长率的意义是解题关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的性质，正确进行配方运算是解题关键．直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标．
【解答】
解：y=x2−6x+4=(x−3)2−5，
故抛物线y=x2−6x+4的顶点坐标是：(3,−5)．
故选C．
8.【答案】B
【解析】解：∵二次函数解析式为y=−2x2−8x+3=−2(x+2)2+11，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=−2，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点(−1,y1)，(−2,y2)(−4,y3)在二次函数y=−2x2−8x+3的图象上，−2−(−4)>−1−(−2)>−2−(−2)，
∴y3故选：B．
根据函数解析式求出二次函数开口向上对称轴为直线x=−2，则离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
9.【答案】D
【解析】解：由旋转的定义可知，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到△COD，旋转角是∠BOD或∠AOC，
故选：D．
根据旋转的相关定义即可得到答案．
本题考查旋转的相关定义，掌握旋转角是指一组对应边的夹角是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
根据抛物线的开口方向确定a，根据抛物线与y轴的交点确定c，根据对称轴确定b，根据抛物线与x轴的交点确定b2−4ac，根据x=1时，y>0，确定a+b+c的符号．
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴ac>0，A错误；
∵−b2a>0，a>0，
∴b<0，∴B正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0，C错误；
当x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，D错误；
故选：B．
11.【答案】y=2(x+1)2−2
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，
将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2，
即y=2(x+1)2；
由“上加下减”的原则可知，
将抛物线y=2(x+1)2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2−2，
即y=2(x+1)2−2．
故答案为：y=2(x+1)2−2．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得m−2=−5，
∴m=−3．
故答案为：−3
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．
13.【答案】y=−x2−4x−9
【解析】解：设顶点式y=a(x+2)2−5，
将点(1,−14)代入，得a(1+2)2−5=−14，
解得a=−1，
∴y=−(x+2)2−5，即y=−x2−4x−9．
已知抛物线的顶点坐标，设顶点式y=a(x+2)2−5，将点(1,−14)代入求a，再化为一般式即可．
本题考查了待定系数法求抛物线解析式的一般方法，需要根据题目条件，合理地选择解析式．
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF=DE是解答本题的关键．
先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF=DE=2，可得FC的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，AD=AB，
由旋转得：∠ABF=∠D=90°，BF=DE=2，
∴∠ABF+∠ABC=180°，
∴C、B、F三点在一条直线上，
∴CF=BC+BF=6+2=8，
故答案为：8．
15.【答案】4
【解析】解法一：∵点D、E分别为AB、AC的中点，线段BE、CD相交于点O，
∴O点为△ABC的重心，
∴OC=2OD=4；
解法二：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴OD：OC=DE：BC=1：2，
∴OC=2OD=4．
故答案为4．
解法一：由题意，知O点为△ABC的重心，根据重心的性质可得出OC=2OD；
解法二：由题意，知DE为△ABC的中位线，则DE/​/BC，DE=12BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形对应边成比例即可得出OC=2OD．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，重心的定义与性质，难度中等．
16.【答案】 3− 2
【解析】解：∵S1=S2=S3，
∴S△AFG=2S1，S△ABC=3S1，
∵DE/​/FG，
∴△ADE∽△AFG，
∴S1S△AFG=(ADAF)2=12，
∴ADAF= 22，
同理可得S1S△ABC=(ADAB)2=13，
∴ADAB= 33，
∵AB= 3，
∴AD=1，
∴AF= 2，
∴AB−AF= 3− 2，
故答案为： 3− 2．
证明△ADE∽△AFG得到S1S△AFG=(ADAF)2=12，推出ADAF= 22，同理推出ADAB= 33，由此求出AF的值即可得到答案，
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方进行求解是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵x2−6x−8=0，
∴x2−6x=8，
∴x2−6x+(−62)2=8+(−62)2，
∴x2−6x+9=17，
∴(x−3)2=17，
∴x−3=± 17，
解得x1=3+ 17,x2=3− 17；
(2)∵(x−2)2=3(x−2)，
∴(x−2)2−3(x−2)=0，
∴(x−2)(x−2−3)=0，
∴x−2=0或x−2−3=0，
解得x1=2，x2=5．
【解析】(1)先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可；
(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意Δ=(−6)2−4×1×(4m+1)≥0，
解得m≤2．
(2)将x=1代入原方程可知：1−6+4m+1=0，
∴m=1，
将m=1代入方程可得：x2−6x+5=0，
∴(x−1)(x−5)=0，
∴x=1或x=5．
即方程的另一个根为5．
【解析】(1)根据根的判别式即可求出答案．
(2)将x=1代入方程后可求出m的值，然后根据一元二次方程的解法即可求出x的值．
本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
19.【答案】解：∵∠DAC=30°，∠ADC=90°，AC=2，
∴DC=12AC=1，
∴AD= AC2−DC2= 3，
由旋转可知∠EAD=60°，AE=AD，∠EAB=∠DAC=30°，
∴△ADE是等边三角形，∠BAD=∠EAD−∠EAB=30°，
∴ED=AD= 3．
【解析】由旋转的性质可得∠EAD=60°，AE=AD，∠EAB=∠DAC=30°，然后可得△ADE是等边三角形，进而问题可求解．
本题主要考查旋转的性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20.【答案】解：设人行通道的宽度为x米，依题意得，
(90−3x)(30−2x)=1500，
解得x1=5，x2=40，
∵2x2=80>30，
∴x=40应舍去，
∴x=5．
答：人行通道的宽度为5米．
【解析】设人行通道的宽度为x米，根据修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为1500m2，列出一元二次方程，进行求解即可．
本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，B1(−4,−5)；

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，C2(−1,5)．
【解析】(1)根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
(2)根据旋转对称的性质找出对应点即可求解．
本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BDC．
∴△ABD∽△DCB．
(2)∵△ABD∽△DCB，
∴ADBD=BDCB．
∴BD2=AD⋅CB．
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6．
【解析】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力．
(1)由平行线的性质得∠ADB=∠DBC，已知∠BAD=∠BDC=90°，从而可得到△ABD∽△DCB．
(2)根据相似三角形的相似比即可求得BD的长．
23.【答案】解：(1)根据题意得：
y=(30+x−20)(230−10x)=−10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0(2)当y=2520时，得−10x2+130x+2300=2520，
解得x1=2，x2=11(不合题意，舍去)
当x=2时，30+x=32(元)
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
(3)根据题意得：
y=−10x2+130x+2300
=−10(x−6.5)2+2722.5，
∵a=−10<0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0∴当x=6时，30+x=36，y=2720(元)，
当x=7时，30+x=37，y=2720(元)，
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【解析】(1)根据题意知一件玩具的利润为(30+x−20)元，月销售量为(230−10x)，然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
(2)把y=2520时代入y=−10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
(3)把y=−10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
24.【答案】解：(1)如图1，设正方形的边长为x mm，则PN=PQ=ED=x mm，
∴AE=AD−ED=(80−x)mm，
∵PN/​/BC，
∴△APN∽△ABC，
∴PNBC=AEAD，
∴x120=80−x80，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；
(2)设矩形的边长PN=2y(mm)，则PQ=y(mm)，由条件可得△APN∽△ABC，
∴PNBC=AEAD，
∴2y120=80−y80，
解得y=2407，
∴PN=2407×2=4807(mm)，
答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm，4807mm；
(3)设PN=a(mm)，矩形PQMN的面积为S(mm2)，
由条件可得△APN∽△ABC，
∴PNBC=AEAD，
∴a120=80−PQ80，
解得PQ=80−23a．
∴S=PN⋅PQ=a(80−23a)=−23a2+80a=−23(a−60)2+2400，
∵−23<0，
∴当a=60时，S有最大值，即最大值为2400mm2．
【解析】(1)如图①，设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=xmm，AE=AD−ED=(80−x)mm，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到PNBC=AEAD，然后根据比例性质求出x即可；
(2)设PN=2y(mm)，则PQ=y(mm)，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
(3)设PN=amm，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用a表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(3,0)代入函数表达式，得
a+b+3=0,9a+3b+3=0,
解得a=1,b=−4,
这个二次函数的表达式是y=x2−4x+3；
(2)当x=0时，y=3，即点C(0,3)，
设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B(3,0)，点C(0,3)代入得
3k+b=0,b=3,解得k=−1,b=3,
直线BC的表达式为y=−x+3，
过点P作PE/​/y轴，交直线BC于点E．
设点E坐标为(t,−t+3)，
∴点P坐标为(t,t2−4t+3)，
∴PE=−t+3−(t2−4t+3)=−t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+S△CPE=12(−t2+3t)×3=−32(t−32)2+278，
∵−32<0，
∴当t=32时，S△BCP最大，最大值为278；
(3)m的值为 2，− 2，1，2．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)由题意得，M(m,−m+3)，N(m,m2−4m+3)，
MN=|m2−3m|，BM= 2|m−3|，
当MN=BM时，
①m2−3m= 2(m−3)，解得m= 2，
②m2−3m=− 2(m−3)，解得m=− 2，
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，点N与点A重合，
∴m=1；
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
−(m2−4m+3)=−m+3，解得m=2或m=3(舍)，
当△BMN是等腰三角形时，m的值为 2，− 2，1，2．
本题考查了二次函数综合知识，解(1)的关键是利用待定系数法求解析式；解(2)的关键是利用面积的和得出二次函数，又利用了二次函数的性质求最值，解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．