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2023-2024学年山东省乐陵市八年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省乐陵市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在中国园林建筑中，花窗图案丰富多样，如图所示花窗图案中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列给出的条件中，具有的两个图形一定是全等的．( )
A. 形状相同B. 周长相等C. 面积相等D. 能够完全重合
3.在日常生活中，有很多东西都会用到几何图形的特殊性质，在下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
4.在解答“若等腰三角形的一个内角为70°，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是( )
A. 函数思想B. 整体思想C. 公理化思想D. 分类讨论思想
5.如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB=6，则AC+BC的值不可能是( )
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
6.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，CAB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
7.小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形.如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的( )
A. 中线B. 中位线C. 高线D. 角平分线
8.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为( )
A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°
9.如图，正n边形纸片被撕掉一块，若a⊥b，则n的值是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10.作线段AB的垂直平分线有多种方法，“善思小组”用两把相同的直尺按如图方式摆放，此时，零刻度线重合于点E，连接EA，EB，取AB的中点F，作直线EF，则EF就是线段AB的垂直平分线，“善思小组”这样做的依据是( )
A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
11.如图，在CD上找一点P，使得它到OA、OB的距离相等，则应找到( )
A. 线段CD的中点B. CD与∠AOB平分线的交点
C. OC垂直平分线与CD的交点D. OD垂直平分线与CD的交点
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为( )
A. ∠3=∠2+∠1
B. ∠3=∠2+2∠1
C. ∠3+∠2+∠1=180°
D. ∠1+∠3=2∠2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.平面直角坐标系中，点P(−3,1)关于x轴对称的点的坐标是 ．
14.如图所示，图中的∠1= ______°.
15.小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，当他走回到点A时共走______米.
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D.若∠A=30°，则S△BCDS△ABD=______．
17.《周礼⋅考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘=112宣(其中，1矩=90°)．
问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= ______度.
18.如图，在四边形ABCD中，AD=AB，DC=BC，∠DAB=60°，∠DCB=120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE=BF，若G在AB上，且∠ECG=60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
用两种不同的方法把一个大三角形分成四个小三角形，使它们的面积相等，并简单说明你的方法．
20.(本小题10分)
如图，课本上利用实验剪拼的方法，把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，再利用平行线的性质可以说明三角形内角和定理．
具体说理过程如下：
延长BC，过点C作CM//BA．
∴∠A= ______(两直线平行，内错角相等)，
∠B=∠2(______)，
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角定义)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(______).
(1)请你补充完善上述说理过程；
(2)请你参考实验1的解题思路，自行画图标注好顶点字母，写出实验2说明三角形内角和定理的过程．
21.(本小题10分)
如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，连接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2．
(1)请添加一个条件______，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
(2)在(1)的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
22.(本小题12分)
小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°.老师指出他的计算结果不对.小刚重新检查，发现多数了一条边．
(1)你知道这个多边形是几边形吗？你是怎么知道的？
(2)这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
23.(本小题12分)
如图，有一条河流(假设河流两岸平行，即a//b)，由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：
①在河岸b上确定点A(如图)，利用红外线光束，在河岸a上确定点B，使得AB与河岸垂直；
②从A点沿河岸向东直走5m，记为点C(如图)，继续向东直走5m，到达点D；
③从D点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准B，当点C刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点E；
④测得DE的长为8m．
(1)根据上述方法，河流的宽度为______m；
(2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出B，D，E的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性．
24.(本小题12分)
【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3.角平分线”部分内容．
【联想证明】在学完角平分线的性质定理后，
①(请填空)爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：______；
②接着成成同学又对所写的命题进行了证明.请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明．
已知：如图，点P是∠AOB内部一点，______．
求证：______．
证明：
25.(本小题14分)
综合与实践
数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：
如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D是BC边上一点，连接AD，以AD为直角边作△ADE，其中∠DAE=90°，AD=AE．
【知识初探】
兴趣小组提出的问题是：“线段BE和CD有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案______．
【类比再探】
睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2，若点D是BC延长线上一点，AE交BD于点F，其它条件不变，线段BE和CD有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．
【特例探究】
启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3，若DB平分∠ADE，其它条件不变，他们发现BE=CF.请你写出证明过程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】D
【解析】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
根据全等图形的概念作出判断即可．
本题主要考查了全等图形，属于基础题，掌握好“能够完全重合”的含义是理解全等图形概念的关键．
3.【答案】C
【解析】解：三角形具有稳定性，
故选：C．
根据三角形的稳定性判断即可．
本题考查了三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
4.【答案】D
【解析】解：70°的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70°或40°，
所以涉及的数学思想是分类思想，
故选：D．
70°的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70°或40°.所以涉及的数学思想是分类的思想．
本题考查等腰三角形的性质，掌握分类的数学思想是本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AC+BC>AB，
∵AB=6，
∴AC+BC>6，
∴AC+BC的值不可能是5，
故选：D．
根据三角形两边之和大于第三边解答即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：A.根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：根据翻折的性质知，∠1=∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°，
∴折痕是三角形的高线，
故选：C．
根据翻折的性质可得∠1=∠2=90°，即知折痕是三角形的高线．
本题考查三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
过E作EM//BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【解答】
解：过E作EM//BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM//BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30°．
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：如图，a，b的延长线交于点C，
∵a⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−90°=90°，
∴正多边形的一个外角为180°−90°2=45°，
∴n=360°45∘=8．
故选：B．
a，b的延长线交于点C，根据a⊥b得到∠ACB=90°，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：善思小组”这样做的依据是线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可．
【解答】
解：∵点P到OA、OB的距离相等，
∴点P在∠AOB平分线上，
∴点P是CD与∠AOB平分线的交点，
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠3=∠2+∠DAC=∠2+∠BAD，
∵∠1+∠BAD=∠2，
∴∠1+∠3=∠1+∠2+∠BAD=2∠2．
故选：D．
根据外角的性质和角平分线的定义即可求解．
本题考查了外角的性质，角平分线的定义，掌握外角的性质，角平分线的定义是解题的关键．
13.【答案】(−3,−1)
【解析】【分析】
本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y).关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得结论．
【解答】
解：∵关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P(−3,1)关于x轴对称的点的坐标是(−3,−1)．
故答案为：(−3,−1)．
14.【答案】50
【解析】解：如图，
∵∠ACD=∠1+∠B，
而∠ACD=95°，∠B=45°，
∴95°=∠1+45°，
∴∠1=95°−45°=50°．
故答案为：50．
根据三角形的外角性质得到∠ACD=∠1+∠B，然后把∠ACD=95°，∠B=45°代入计算即可得到∠1的度数．
本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与之不相邻的两内角的和．掌握三角形的外角性质是解题的关键．
15.【答案】100
【解析】解：360°÷36°=10，
所以，他走回到点A时共走了：10×10=100米．
故答案为：100．
根据多边形的外角和等于360°求出所走过的边数，然后根据多边形的周长列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，读懂题目信息，求出所走过的边数是解题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴DA=DB，
在Rt△BCD中，BD=2CD，
∴AD=2CD，
∴S△BCDS△ABD=12．
故答案为12．
利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD=∠CBD=30°，所以DA=DB，利用BD=2CD得到AD=2CD，然后根据三角形面积公式可得到S△BCDS△ABD的值．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
17.【答案】22.5
【解析】解：∵1宣=12矩，1欘=112宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，
∴∠A=90°，∠B=112×12×90°=67.5°，
∴∠C=180°−90°−∠B=180°−90°−67.5°=22.5°，
故答案为：22.5．
根据题意可知：∠A=90°，∠B=67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数．
本题考查勾股定理的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
18.【答案】DE+BG=EG
【解析】解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG=EG.理由如下：
连接AC，如图所示，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA=12∠DCB=12×120°=60°，
又∵∠ECG=60°，
∴∠DCE=∠ACG，∠ACE=∠BCG，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB=360°，∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠D+∠ABC=360°−60°−120°=180°，
又∵∠CBF+∠ABC=180°，
∴∠D=∠CBF，
在△CDE和△CBF中，
DC=BC∠D=∠CBFDE=BF，
∴△CDE≌△CBF(SAS)，
∴CE=CF，∠DCE=∠BCF，
∴∠BCG+∠BCF=∠ACE+∠DCE=60°，即∠FCG=60°，
∴∠ECG=∠FCG，
在△CEG和△CFG中，
CE=CF∠ECG=∠FCGCG=CG，
∴△CEG≌△CFG(SAS)，
∴EG=FG，
又∵DE=BF，FG=BF+BG，
∴DE+BG=EG．
连接AC，结合AC=AB、DC=BC即可证出△ABC≌△ADC，由此即可得出∠BCA=∠DCA=60°，再根据∠ECG=60°即可得出∠DCE=∠ACG，∠ACE=∠BCG，通过角的计算得出∠D=∠CBF，证出△CDE≌△CBF(SAS)，由此即可得出CE=CF，∠DCE=∠BCF，进而得知∠DCE=∠BCF，根据角的计算即可得出∠ECG=∠FCG，结合DE=DF即可证出△CEG≌△CFG，即得出EG=FG，由相等的边与边之间的关系即可证出DE+BG=EG．
本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是解题的关键．
19.【答案】取BC的中点D，再取BD，CD的中点E，F，则AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形 取BC的中点P，AB的中点M，AC的中点N，连接AP，PM，PN，则AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
【解析】解：方法一：取BC的中点D，再取BD，CD的中点E，F，则AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形，如图：
理由如下：
∵点B为BC的中点，点E，F分别为BD，CD的中点，
∴BE=ED=DF=FC，
∴△ABE，△AED，△ADF和△AFC等底同高，
∴S△ABE=S△AED=S△ADF=S△AFC，
∴AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
方法二：取BC的中点P，AB的中点M，AC的中点N，连接AP，PM，PN，则AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形，如图：
理由如下：
∵点P为BC的中点，
∴△ABP和△ACP等底同高，
∴S△ABP=S△ACP，
∵点M为AB的中点，
∴△APM和△BPM等底同高，
∴S△APM=S△BPM=12S△ABP，
同理：S△APN=S△CPN=12S△ACP，
∴S△APM=S△BPM=S△APN=S△CPN，
∴AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
方法一：取BC的中点D，再取BD，CD的中点E，F，则AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形；方法二：取BC的中点P，AB的中点M，AC的中点N，连接AP，PM，PN，则AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
此题主要考查了三角形的面积，理解同底(等底)同高(等高)的两个三角形的面积相等是解答此题的关键．
20.【答案】∠1 两直线平行，同位角相等 等量代换
【解析】(1)解：延长BC，过点C作CM//BA，如图1，
∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角定义)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°；
故答案为：∠1；两直线平行，同位角相等；等量代换．
(2)证明：如图2所示，过点A作直线DE//BC，
∴∠3=∠EAC，∠2=∠DAB，
∵∠1+∠DAB+∠EAC=180°(平角定义)，
∴∠1+∠2+∠3=180．
(1)延长BC，过点C作CM//BA，根据平行线的性质得出∠A=∠1，∠B=∠2，根据∠1+∠2+∠ACB=180°即可证明结论；
(2)过点A作直线DE//BC，根据平行线的性质得出∠3=∠EAC，∠2=∠DAB，再根据∠1+∠DAB+∠EAC=180°即可证明结论．
本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
21.【答案】CE=DF
【解析】解：(1)添加CE=DF，△ADF≌△BCE，
理由：在△ADF和△BCE中，
AD=BC∠1=∠2CE=DF，
∴△ADF≌△BCE(SAS)；
(2)AE=BE．
理由：∵△ADF≌△BCE，
∴∠F=∠CEB，AF=BE，
∵∠AEF=∠CEB，
∴∠AEF=∠F，
∴AE=AF，
∴AE=BE．
(1)由SAS可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得出∠F=∠CEB，AF=BE，证出∠AEF=∠F，得出AE=AF，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．
22.【答案】解：(1)这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n−2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n−1=6．
所以这个多边形是六边形；
(2)由多边形内角和公式得(6−2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【解析】(1)根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°，进而可以算出这个多边形的边数；
(2)根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°，求得六边形的内角和，据此即可得到这个多边形的内角和与外角的关系．
本题考查多边形内角和公式和多边形的外角和的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系．
23.【答案】解：(1)8；
(2)画出图形如下：
根据题意可得：∠BAC=90°=∠CDE，AC=CD=5m，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△DEC(ASA)，
∴AB=DE=8m．
【解析】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是读懂题意，掌握全等三角形的判定与性质．
(1)根据题意可得AB=CD=8m，故河宽为8m；
(2)根据已知作出图形，证明△ABC≌△DEC(ASA)，即得AB=DE=8m．
解：(1)根据题意可得AB=DE=8m，
∴河流的宽度为8m，
故答案为：8；
(2)见答案。
24.【答案】在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 连接OP，过点P作PD⊥OA交于D点，过点P作PE⊥OB交于E点，PD=PE OP是∠AOB的平分线
【解析】【教材呈现】证明：∵PE⊥OB，PD⊥OA，
∴∠OEP=∠ODP=90°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠EOP=∠DOP，
∵OP=OP，
∴△OEP≌△ODP(AAS)，
∴PD=PE；
【联想证明】①解：在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故答案为：在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
②已知：如图，点P是∠AOB内部一点，连接OP，过点P作PD⊥OA交于D点，过点P作PE⊥OB交于E点，PD=PE，
求证：OP是∠AOB的平分线；
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵PD=PE，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(HL)，
∴∠DOP=∠EOP，
∴OP是∠AOB的平分线；
故答案为：连接OP，过点P作PD⊥OA交于D点，过点P作PE⊥OB交于E点，PD=PE；OP是∠AOB的平分线．
【教材呈现】证明△OEP≌△ODP(AAS)，可得PD=PE；
【联想证明】①在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
②证明△PDO≌△PEO(HL)，能得到∠DOP=∠EOP，即可证明OP是∠AOB的平分线．
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．
25.【答案】BE=CD，BE⊥CD
【解析】解：【知识初探】BE=CD，BE⊥CD.理由如下：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
在△ADE中，∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAD+∠CAD=90°=∠BAD+∠BAE，
∴∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
AD=AE∠CAD=∠BAEAC=AB，
∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE=45°，
∴∠EBD=∠ABE+∠ABC=90°，
∴BE⊥BC，即BE⊥CD．
故答案为：CD=BE．
【类比再探】BE=CD，BE⊥CD.理由如下：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−45°=135°，
在△ADE中，∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠CAE+∠CAD=90°=∠CAE+∠BAE，
∴∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
AD=AE∠CAD=∠BAEAC=AB，
∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE=135°，
∴∠EBD=∠ABE−∠ABC=90°，
∴BE⊥BC，即BE⊥CD．
【特例探究】由∠DAE=90°，AD=AE，知∠ADE=45°，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADB=∠BDE=22.5°，
∠CAD=∠ACB−∠CDA=45°−22.5°=22.5°，
∠CAF=∠DAF−∠CAD=90°−22.5°=67.5°，
∴∠CAD=∠CDA，即AC=CD，
又∵∠DAF=90°，∠CDA=22.5°，
∴∠AFC=180°−∠DAF−∠CDA=180°−90°−22.5°=67.5°，
∴∠CAF=∠AFC，即AC=CF，
∴AC=CD=CF，
由【类比再探】，知BE=CD，
∴BE=CF．
【知识初探】利用等腰直角三角形的性质和等角加同角相等易证△CAD≌△BAE(SAS)，进而得到答案；
【类比再探】同【知识初探】方法即可得到结论；
【特例探究】由角平分线的性质得∠ADB=22.5°，再利用三角形外角性质得∠CAD=22.5°=∠ADC，于是AC=CD，再求得∠CAF=67.5°=∠AFC=180°−∠DAF−∠CDA，得到AC=CF，进而AC=CD=CF，再结合前面得到的结论即可求解．
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质，正确找出全等三角形是解题关键．方法1 ______．
方法2 ______．
3.角平分线
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合.由此即有：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE．
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD=PE．
请写出完整的证明过程．
1.在中国园林建筑中，花窗图案丰富多样，如图所示花窗图案中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列给出的条件中，具有的两个图形一定是全等的．( )
A. 形状相同B. 周长相等C. 面积相等D. 能够完全重合
3.在日常生活中，有很多东西都会用到几何图形的特殊性质，在下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
4.在解答“若等腰三角形的一个内角为70°，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是( )
A. 函数思想B. 整体思想C. 公理化思想D. 分类讨论思想
5.如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB=6，则AC+BC的值不可能是( )
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
6.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，CAB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
7.小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形.如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的( )
A. 中线B. 中位线C. 高线D. 角平分线
8.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为( )
A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°
9.如图，正n边形纸片被撕掉一块，若a⊥b，则n的值是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10.作线段AB的垂直平分线有多种方法，“善思小组”用两把相同的直尺按如图方式摆放，此时，零刻度线重合于点E，连接EA，EB，取AB的中点F，作直线EF，则EF就是线段AB的垂直平分线，“善思小组”这样做的依据是( )
A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
11.如图，在CD上找一点P，使得它到OA、OB的距离相等，则应找到( )
A. 线段CD的中点B. CD与∠AOB平分线的交点
C. OC垂直平分线与CD的交点D. OD垂直平分线与CD的交点
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为( )
A. ∠3=∠2+∠1
B. ∠3=∠2+2∠1
C. ∠3+∠2+∠1=180°
D. ∠1+∠3=2∠2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.平面直角坐标系中，点P(−3,1)关于x轴对称的点的坐标是 ．
14.如图所示，图中的∠1= ______°.
15.小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，当他走回到点A时共走______米.
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D.若∠A=30°，则S△BCDS△ABD=______．
17.《周礼⋅考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘=112宣(其中，1矩=90°)．
问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= ______度.
18.如图，在四边形ABCD中，AD=AB，DC=BC，∠DAB=60°，∠DCB=120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE=BF，若G在AB上，且∠ECG=60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
用两种不同的方法把一个大三角形分成四个小三角形，使它们的面积相等，并简单说明你的方法．
20.(本小题10分)
如图，课本上利用实验剪拼的方法，把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，再利用平行线的性质可以说明三角形内角和定理．
具体说理过程如下：
延长BC，过点C作CM//BA．
∴∠A= ______(两直线平行，内错角相等)，
∠B=∠2(______)，
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角定义)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(______).
(1)请你补充完善上述说理过程；
(2)请你参考实验1的解题思路，自行画图标注好顶点字母，写出实验2说明三角形内角和定理的过程．
21.(本小题10分)
如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，连接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2．
(1)请添加一个条件______，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
(2)在(1)的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
22.(本小题12分)
小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°.老师指出他的计算结果不对.小刚重新检查，发现多数了一条边．
(1)你知道这个多边形是几边形吗？你是怎么知道的？
(2)这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
23.(本小题12分)
如图，有一条河流(假设河流两岸平行，即a//b)，由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：
①在河岸b上确定点A(如图)，利用红外线光束，在河岸a上确定点B，使得AB与河岸垂直；
②从A点沿河岸向东直走5m，记为点C(如图)，继续向东直走5m，到达点D；
③从D点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准B，当点C刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点E；
④测得DE的长为8m．
(1)根据上述方法，河流的宽度为______m；
(2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出B，D，E的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性．
24.(本小题12分)
【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3.角平分线”部分内容．
【联想证明】在学完角平分线的性质定理后，
①(请填空)爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：______；
②接着成成同学又对所写的命题进行了证明.请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明．
已知：如图，点P是∠AOB内部一点，______．
求证：______．
证明：
25.(本小题14分)
综合与实践
数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：
如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D是BC边上一点，连接AD，以AD为直角边作△ADE，其中∠DAE=90°，AD=AE．
【知识初探】
兴趣小组提出的问题是：“线段BE和CD有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案______．
【类比再探】
睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2，若点D是BC延长线上一点，AE交BD于点F，其它条件不变，线段BE和CD有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．
【特例探究】
启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3，若DB平分∠ADE，其它条件不变，他们发现BE=CF.请你写出证明过程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】D
【解析】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
根据全等图形的概念作出判断即可．
本题主要考查了全等图形，属于基础题，掌握好“能够完全重合”的含义是理解全等图形概念的关键．
3.【答案】C
【解析】解：三角形具有稳定性，
故选：C．
根据三角形的稳定性判断即可．
本题考查了三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
4.【答案】D
【解析】解：70°的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70°或40°，
所以涉及的数学思想是分类思想，
故选：D．
70°的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70°或40°.所以涉及的数学思想是分类的思想．
本题考查等腰三角形的性质，掌握分类的数学思想是本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AC+BC>AB，
∵AB=6，
∴AC+BC>6，
∴AC+BC的值不可能是5，
故选：D．
根据三角形两边之和大于第三边解答即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：A.根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：根据翻折的性质知，∠1=∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°，
∴折痕是三角形的高线，
故选：C．
根据翻折的性质可得∠1=∠2=90°，即知折痕是三角形的高线．
本题考查三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
过E作EM//BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【解答】
解：过E作EM//BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM//BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30°．
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：如图，a，b的延长线交于点C，
∵a⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−90°=90°，
∴正多边形的一个外角为180°−90°2=45°，
∴n=360°45∘=8．
故选：B．
a，b的延长线交于点C，根据a⊥b得到∠ACB=90°，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：善思小组”这样做的依据是线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可．
【解答】
解：∵点P到OA、OB的距离相等，
∴点P在∠AOB平分线上，
∴点P是CD与∠AOB平分线的交点，
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠3=∠2+∠DAC=∠2+∠BAD，
∵∠1+∠BAD=∠2，
∴∠1+∠3=∠1+∠2+∠BAD=2∠2．
故选：D．
根据外角的性质和角平分线的定义即可求解．
本题考查了外角的性质，角平分线的定义，掌握外角的性质，角平分线的定义是解题的关键．
13.【答案】(−3,−1)
【解析】【分析】
本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y).关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得结论．
【解答】
解：∵关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P(−3,1)关于x轴对称的点的坐标是(−3,−1)．
故答案为：(−3,−1)．
14.【答案】50
【解析】解：如图，
∵∠ACD=∠1+∠B，
而∠ACD=95°，∠B=45°，
∴95°=∠1+45°，
∴∠1=95°−45°=50°．
故答案为：50．
根据三角形的外角性质得到∠ACD=∠1+∠B，然后把∠ACD=95°，∠B=45°代入计算即可得到∠1的度数．
本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与之不相邻的两内角的和．掌握三角形的外角性质是解题的关键．
15.【答案】100
【解析】解：360°÷36°=10，
所以，他走回到点A时共走了：10×10=100米．
故答案为：100．
根据多边形的外角和等于360°求出所走过的边数，然后根据多边形的周长列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，读懂题目信息，求出所走过的边数是解题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴DA=DB，
在Rt△BCD中，BD=2CD，
∴AD=2CD，
∴S△BCDS△ABD=12．
故答案为12．
利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD=∠CBD=30°，所以DA=DB，利用BD=2CD得到AD=2CD，然后根据三角形面积公式可得到S△BCDS△ABD的值．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
17.【答案】22.5
【解析】解：∵1宣=12矩，1欘=112宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，
∴∠A=90°，∠B=112×12×90°=67.5°，
∴∠C=180°−90°−∠B=180°−90°−67.5°=22.5°，
故答案为：22.5．
根据题意可知：∠A=90°，∠B=67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数．
本题考查勾股定理的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
18.【答案】DE+BG=EG
【解析】解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG=EG.理由如下：
连接AC，如图所示，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA=12∠DCB=12×120°=60°，
又∵∠ECG=60°，
∴∠DCE=∠ACG，∠ACE=∠BCG，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB=360°，∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠D+∠ABC=360°−60°−120°=180°，
又∵∠CBF+∠ABC=180°，
∴∠D=∠CBF，
在△CDE和△CBF中，
DC=BC∠D=∠CBFDE=BF，
∴△CDE≌△CBF(SAS)，
∴CE=CF，∠DCE=∠BCF，
∴∠BCG+∠BCF=∠ACE+∠DCE=60°，即∠FCG=60°，
∴∠ECG=∠FCG，
在△CEG和△CFG中，
CE=CF∠ECG=∠FCGCG=CG，
∴△CEG≌△CFG(SAS)，
∴EG=FG，
又∵DE=BF，FG=BF+BG，
∴DE+BG=EG．
连接AC，结合AC=AB、DC=BC即可证出△ABC≌△ADC，由此即可得出∠BCA=∠DCA=60°，再根据∠ECG=60°即可得出∠DCE=∠ACG，∠ACE=∠BCG，通过角的计算得出∠D=∠CBF，证出△CDE≌△CBF(SAS)，由此即可得出CE=CF，∠DCE=∠BCF，进而得知∠DCE=∠BCF，根据角的计算即可得出∠ECG=∠FCG，结合DE=DF即可证出△CEG≌△CFG，即得出EG=FG，由相等的边与边之间的关系即可证出DE+BG=EG．
本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是解题的关键．
19.【答案】取BC的中点D，再取BD，CD的中点E，F，则AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形 取BC的中点P，AB的中点M，AC的中点N，连接AP，PM，PN，则AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
【解析】解：方法一：取BC的中点D，再取BD，CD的中点E，F，则AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形，如图：
理由如下：
∵点B为BC的中点，点E，F分别为BD，CD的中点，
∴BE=ED=DF=FC，
∴△ABE，△AED，△ADF和△AFC等底同高，
∴S△ABE=S△AED=S△ADF=S△AFC，
∴AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
方法二：取BC的中点P，AB的中点M，AC的中点N，连接AP，PM，PN，则AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形，如图：
理由如下：
∵点P为BC的中点，
∴△ABP和△ACP等底同高，
∴S△ABP=S△ACP，
∵点M为AB的中点，
∴△APM和△BPM等底同高，
∴S△APM=S△BPM=12S△ABP，
同理：S△APN=S△CPN=12S△ACP，
∴S△APM=S△BPM=S△APN=S△CPN，
∴AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
方法一：取BC的中点D，再取BD，CD的中点E，F，则AE，AD，AF将△ABC分成四个面积相等的小三角形；方法二：取BC的中点P，AB的中点M，AC的中点N，连接AP，PM，PN，则AP，PM，PN将△ABC分成四个面积相等的小三角形．
此题主要考查了三角形的面积，理解同底(等底)同高(等高)的两个三角形的面积相等是解答此题的关键．
20.【答案】∠1 两直线平行，同位角相等 等量代换
【解析】(1)解：延长BC，过点C作CM//BA，如图1，
∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角定义)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°；
故答案为：∠1；两直线平行，同位角相等；等量代换．
(2)证明：如图2所示，过点A作直线DE//BC，
∴∠3=∠EAC，∠2=∠DAB，
∵∠1+∠DAB+∠EAC=180°(平角定义)，
∴∠1+∠2+∠3=180．
(1)延长BC，过点C作CM//BA，根据平行线的性质得出∠A=∠1，∠B=∠2，根据∠1+∠2+∠ACB=180°即可证明结论；
(2)过点A作直线DE//BC，根据平行线的性质得出∠3=∠EAC，∠2=∠DAB，再根据∠1+∠DAB+∠EAC=180°即可证明结论．
本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
21.【答案】CE=DF
【解析】解：(1)添加CE=DF，△ADF≌△BCE，
理由：在△ADF和△BCE中，
AD=BC∠1=∠2CE=DF，
∴△ADF≌△BCE(SAS)；
(2)AE=BE．
理由：∵△ADF≌△BCE，
∴∠F=∠CEB，AF=BE，
∵∠AEF=∠CEB，
∴∠AEF=∠F，
∴AE=AF，
∴AE=BE．
(1)由SAS可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得出∠F=∠CEB，AF=BE，证出∠AEF=∠F，得出AE=AF，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．
22.【答案】解：(1)这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n−2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n−1=6．
所以这个多边形是六边形；
(2)由多边形内角和公式得(6−2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【解析】(1)根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°，进而可以算出这个多边形的边数；
(2)根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°，求得六边形的内角和，据此即可得到这个多边形的内角和与外角的关系．
本题考查多边形内角和公式和多边形的外角和的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系．
23.【答案】解：(1)8；
(2)画出图形如下：
根据题意可得：∠BAC=90°=∠CDE，AC=CD=5m，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△DEC(ASA)，
∴AB=DE=8m．
【解析】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是读懂题意，掌握全等三角形的判定与性质．
(1)根据题意可得AB=CD=8m，故河宽为8m；
(2)根据已知作出图形，证明△ABC≌△DEC(ASA)，即得AB=DE=8m．
解：(1)根据题意可得AB=DE=8m，
∴河流的宽度为8m，
故答案为：8；
(2)见答案。
24.【答案】在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 连接OP，过点P作PD⊥OA交于D点，过点P作PE⊥OB交于E点，PD=PE OP是∠AOB的平分线
【解析】【教材呈现】证明：∵PE⊥OB，PD⊥OA，
∴∠OEP=∠ODP=90°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠EOP=∠DOP，
∵OP=OP，
∴△OEP≌△ODP(AAS)，
∴PD=PE；
【联想证明】①解：在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故答案为：在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
②已知：如图，点P是∠AOB内部一点，连接OP，过点P作PD⊥OA交于D点，过点P作PE⊥OB交于E点，PD=PE，
求证：OP是∠AOB的平分线；
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵PD=PE，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(HL)，
∴∠DOP=∠EOP，
∴OP是∠AOB的平分线；
故答案为：连接OP，过点P作PD⊥OA交于D点，过点P作PE⊥OB交于E点，PD=PE；OP是∠AOB的平分线．
【教材呈现】证明△OEP≌△ODP(AAS)，可得PD=PE；
【联想证明】①在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
②证明△PDO≌△PEO(HL)，能得到∠DOP=∠EOP，即可证明OP是∠AOB的平分线．
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．
25.【答案】BE=CD，BE⊥CD
【解析】解：【知识初探】BE=CD，BE⊥CD.理由如下：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
在△ADE中，∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAD+∠CAD=90°=∠BAD+∠BAE，
∴∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
AD=AE∠CAD=∠BAEAC=AB，
∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE=45°，
∴∠EBD=∠ABE+∠ABC=90°，
∴BE⊥BC，即BE⊥CD．
故答案为：CD=BE．
【类比再探】BE=CD，BE⊥CD.理由如下：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−45°=135°，
在△ADE中，∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠CAE+∠CAD=90°=∠CAE+∠BAE，
∴∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
AD=AE∠CAD=∠BAEAC=AB，
∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE=135°，
∴∠EBD=∠ABE−∠ABC=90°，
∴BE⊥BC，即BE⊥CD．
【特例探究】由∠DAE=90°，AD=AE，知∠ADE=45°，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADB=∠BDE=22.5°，
∠CAD=∠ACB−∠CDA=45°−22.5°=22.5°，
∠CAF=∠DAF−∠CAD=90°−22.5°=67.5°，
∴∠CAD=∠CDA，即AC=CD，
又∵∠DAF=90°，∠CDA=22.5°，
∴∠AFC=180°−∠DAF−∠CDA=180°−90°−22.5°=67.5°，
∴∠CAF=∠AFC，即AC=CF，
∴AC=CD=CF，
由【类比再探】，知BE=CD，
∴BE=CF．
【知识初探】利用等腰直角三角形的性质和等角加同角相等易证△CAD≌△BAE(SAS)，进而得到答案；
【类比再探】同【知识初探】方法即可得到结论；
【特例探究】由角平分线的性质得∠ADB=22.5°，再利用三角形外角性质得∠CAD=22.5°=∠ADC，于是AC=CD，再求得∠CAF=67.5°=∠AFC=180°−∠DAF−∠CDA，得到AC=CF，进而AC=CD=CF，再结合前面得到的结论即可求解．
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质，正确找出全等三角形是解题关键．方法1 ______．
方法2 ______．
3.角平分线
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合.由此即有：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE．
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD=PE．
请写出完整的证明过程．
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