2024江西省名校教研联盟高三下学期2月开学考试数学含解析

这是一份2024江西省名校教研联盟高三下学期2月开学考试数学含解析，共13页。试卷主要包含了已知，且，则，5 B等内容，欢迎下载使用。

注意事项.
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改功，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知椭圆的焦距为2，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的直径是，其表面积约为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数没有极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知一组样本数据的方差为10，且.设，则样本数据的方差为（ ）
A.9.5 B.10.5
8.甲､乙､丙三名同学报名参加数学､物理､化学､生物兴趣小组.-已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（ ）
A.45种 B.81种 C.90种 D.162种
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期是
B.的值域是
C.的图像关于点对称
D.的图像关于直线对称
10.已知点分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，则（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，，边在平面上的射影长分别为3，4，则边在上的射影长可能为（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，若，则___________，___________.
13.记为等差数列的前项和，若，则___________.
14.已知且，函数在的最大值为，则在的最小值为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，为线段上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若平面，且，求二面角的正弦值.
17.（15分）
已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布.
（1）记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；
（2）设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布.若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客.
附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，.
18.（17分）已知抛物线的焦点为各顶点均在上，且.
（1）证明：是的重心；
（2）能否是等边三角形？并说明理由；
（3）若均在第一象限，且直线的斜率为，求面积.
19.（17分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，设.证明：
（i）；
（ii）.
绝密★启用前（新高考卷）
数学参考答案
1.【答案】D
【解析】因为，所以.
2.【答案】A
【解析】，故.
3.【答案】D
【解析】根据题意有半焦距，故，且，故的离心率.
4.【答案】C
【解析】标准乒乓球的半径，故表面积.
5.【答案】B
【解析】，若没有极值点，则方程至多只有一个解，
即，故的取值范围是.
6.【答案】A
【解析】由，可得，由，可得，故，故当时，.
7.【答案】B
【解析】设样本数据的平均数为，则，设样本数据的平均数为，因为，所以，所以.
8.【答案】C
【解析】方法1：根据题意可知有2个兴趣小组各有2个人报名，有2个兴趣小组各有1个人报名，则共有种；若有2个同学所报名的2个兴趣小组完全相同，则剩下的1个同学所报名参加的2个兴趣小组都只有1个人报名，则有种；若三人中只有一人所报名的2个兴趣小组各有2人报名，则另两人每人各报名一个有2人报名的兴趣小组和一个仅有1人报名的兴趣小组，则有种，故一共有种.
方法2：甲乙完全相同的报名参加方式有种，甲､乙只有一个兴趣小组相同的报名参加方式有种，甲､乙完全不同的报名参加方式有种，所以他们不同的报名参加方式共有种.
9.【答案】ABD（选对部分得3分）
【解析】，故的最小正周期是，值域为正确；因为，故不关于点对称，错误；因为是的极大值点，故关于直线对称，正确.
10.【答案】BCD（选对部分得3分）
【解析】当的横坐标为无穷大时，也为无穷大，故A错误；由双曲线的定义可知，故，故B正确；，故C正确；的一条渐近线的斜率为，大于直线的斜率，所以当在轴上方时，不可能共线，故由三角形三边关系可知，故D正确.
11.【答案】AC（选对部分得3分）
【解析】不妨设点在上，因为，且边在平面上的射影长分别为3，4，所以点到的距离分别为4，3.当在同一侧时，在上的射影长为；当在不同侧时，在上的射影长为.
12.【答案】，（第一空3分，第二空2分）
【解析】因为向量，所以，当时，，即，故，所以.
13.【答案】49
【解析】因为，则，又因为，故，所以
.
14.【答案】5
【解析】方法1：因为，所以的图像关于点对称，故若在的最大值为-3，则在的最小值为5.
方法2：由条件得，当时，，且等号成立，即，
，且等号成立，在的最小值为5.
15.（13分）
【解析】（1）因为，由正弦定理可得：
，
因为，
所以，
故.
所以.
（2）由余弦定理可知，
即，
故.
又，
所以.
16.（15分）
【解析】（1）记为的交点，连接交于点，连接，
因为分别为的中点，则为的重心，故.
又因为四边形是正方形，故为的中点，且由于，故，，
所以.
又因为平面，且平面
所以平面.
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
设，则，
所以，
平面与平面的法向量分别为，则
，
不妨取，则，
所以，
所以二面角的正弦值为.
17.（15分）
【解析】（1）设乘客的体重为，则，其中，
因为，即，
故，
所以，
，
，
所以的分布列为：
方法1：所以.
方法2：因为，故.
注：考生把写成，不影响得分.
（2）设为第位乘客的体重，则，其中，
所以.
因为.故有，
得，即，故，
所以若保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客.
18.（17分）
【解析】（1）设线段的中点为，由可知，设的中点为，同理可知，
所以两条中线相交于，故是的重心.
（2）方法1：根据题意有.
设，则，
由可得，，且.
又由抛物线的几何性质可知.
若是等边三角形，则由（1）可知.
由，得，又因为不重合，故可知，
所以.
故，这与矛盾.
综上，不可能是等边三角形.
方法2：根据题意有.
设，由抛物线的几何性质可知，.
若是等边三角形，则由（1）可知.
所以，故，
因此中至少两个相等，中至少有两个点重合，这与互不重合矛盾，故不可能是等边三角形.
（3）方法1：设直线的方程为，其中，且因为在第一象限，
易知，与的方程联立有，其中，可知，
结合（2）中所设点坐标可知.
由（2）可知，
且，代入有：
，故，
整理化简有，
，点到直线的距离，
所以.
由（1）可知，故.
方法2：由条件可设的方程为.把此方程与联立，化简得.
.
根据（2）有，
.
由解得.
，直线的方程为.
.
点到直线的距离，
所以的面积为.
19.（17分）
【解析】（1）方法1：当时，，
所以，且.
设，则，其中，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又因为，故当时，单调递减，当时，
单调递增，当时，单调递减.
故是的极小值点，的极小值为，
是的极大值点，的极大值为.
方法2：当时，，
所以.
设，则在单调递减.由于，，故存在唯一，使得.
当时，单调递增；当时，单调递减.
因为，所以当或时，
单调递减；当时，单调递增.
故是的极小值点，的极小值为，
是的极大值点，的极大值为.
（2）（i）设，
则当时，在单调递增.
令，当时，因为，故单调递增，故当时，.
设，则，当时，单调递减，故当时，.
所以，，故对于任意.
（ii）由（i）可知，当时，，故，当时取等.故当时，，令，则在单调递增.
由（i）可知，故，即.
所以.
因为，故.
所以，
且由可知，.
综上，有.0
1
2
0.708
0.267
0.025