沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题12 期中模拟（一）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题12 期中模拟（一）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·安徽合肥·八年级期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
2．(本题4分)(2023·福建莆田·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A．B．C．2D．10
3．(本题4分)(2023·江苏淮安·二模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
4．(本题4分)(2023·辽宁·沈阳市第四十三中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5B．C．D．10
5．(本题4分)(2023·广西北海·八年级期末）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（ ）
A．B．4C．D．14
6．(本题4分)(2023·广东·佛山市三水区三水中学附属初中三模）使式子的值为零的x的值为（ ）
A．3或1B．﹣3或﹣1C．1D．3
7．(本题4分)(2023·重庆·西南大学附中八年级期末）已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（）
A．，， B． C．D．
8．(本题4分)(2023·四川巴中·九年级阶段练习）若式子有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．坐标原点B．第一象限C．第二象限D．第三象限
9．(本题4分)(2023·陕西宝鸡·八年级期末）有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．(本题4分)(2023·福建莆田·九年级期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级开学考试）化简：______．
12．(本题5分)(2023·山东潍坊·二模）已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 __．
13．(本题5分)(2023·上海·上外附中八年级期末）在实数范围内分解因式：___________
14．(本题5分)(2023·甘肃·景泰县第四中学九年级期中）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1、x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2的值是______．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·河南平顶山·九年级期末）解下列一元二次方程：
(1)（用公式法）
(2)（用因式分解法）
16．(本题8分)(2023·山西运城·八年级期末）计算：
(1)
(2)
17．(本题8分)(2023·广东佛山·八年级阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，．
18．(本题8分)(2023·贵州·峰林学校九年级期中）关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．
19．(本题10分)(2023·福建三明·八年级期中）观察下列各式及其验证过程：
①，验证：
②，验证：
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，并证明；
（3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用（为自然数，且）表示的等式．
20．(本题10分)(2023·重庆一中八年级期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．
(1)请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
21．(本题12分)(2023·山东·乳山市教学研究中心七年级期末）【信息阅读】
定义一种三角形：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这样的三角形叫做“缘分三角形”．
【问题解决】
(1)一个三角形的三边长分别为1，，2，该三角形是“缘分三角形”吗？ ；（填“是”或“不是”）
(2)在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=a，AC=b，AB=c，且．Rt△ABC是“缘分三角形”吗？写出你的理由；
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a．若Rt△ABC是“缘分三角形”，求．
22．(本题14分)(2023·重庆八中九年级开学考试）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
23．(本题12分)(2023·吉林长春·八年级期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．
(1)请结合图①，写出完整的证明过程；
(2)如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=4时，则BD=______．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．
专题12 2023-2024学年八年级下册期中模拟（一）
（基础）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·安徽合肥·八年级期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
答案:B
解析：
分析：
根据分母不为0，被开方数大于等于0进行计算即可．
【详解】
解：由题意得：
x+3≥0且x-2≠0，
∴x≥-3且x≠2，
故选：B．
【点睛】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握此函数关系式中分母不为0，被开方数大于等于0是解题的关键．
2．(本题4分)(2023·福建莆田·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A．B．C．2D．10
答案:D
解析：
分析：
直接把代入，即可求出答案．
【详解】
解：∵一元二次方程的一个根是，
∴把代入，则
，
∴；
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．(本题4分)(2023·江苏淮安·二模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
答案:C
解析：
分析：
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出结论.
【详解】
解：∵a=1，b=1，c=-6，
∴ ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故选：C.
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．(本题4分)(2023·辽宁·沈阳市第四十三中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5B．C．D．10
答案:B
解析：
分析：
利用线段垂直平分线的性质求得AD=BD=10 cm，及∠ADC=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
∴AD=BD=10 cm，∠DBA=∠BAD=15°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=AD=5（cm），
CD=（cm）．
故选：B
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是：熟记含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质．
5．(本题4分)(2023·广西北海·八年级期末）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（ ）
A．B．4C．D．14
答案:B
解析：
分析：
先把化简，然后根据同类二次根式的定义列式求解即可．
【详解】
解：，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a-10=2，
∴a=4，
故选B．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
6．(本题4分)(2023·广东·佛山市三水区三水中学附属初中三模）使式子的值为零的x的值为（ ）
A．3或1B．﹣3或﹣1C．1D．3
答案:C
解析：
分析：
分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件必须同时具备．
【详解】
由题意可得，
由，则，
或，
由，则，
综上，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的值为0的条件，分母不为0这个条件是解题的关键．
7．(本题4分)(2023·重庆·西南大学附中八年级期末）已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（）
A．，，B．
C．D．
答案:D
解析：
分析：
依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论．
【详解】
解：A.由，，可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
B.由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
C.由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
D.由可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，能判定△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理是解题的关键．
8．(本题4分)(2023·四川巴中·九年级阶段练习）若式子有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．坐标原点B．第一象限C．第二象限D．第三象限
答案:D
解析：
分析：
根据二次根式和分式有意义的条件可得，，由此可分别求得a、b的取值范围，进而可得答案．
【详解】
解：由题意可得：，，
∵，
∴a、b同号，
又∵，
∴，
∴a＜0，b＜0，
∴点P（a，b）在第三象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件以及点所在象限，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解决本题的关键．
9．(本题4分)(2023·陕西宝鸡·八年级期末）有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】
解：∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，
∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，
∴A错误，B错误，C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
10．(本题4分)(2023·福建莆田·九年级期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
解析：
分析：
分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．
【详解】
解：∵三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
∴四月份接种人数为500（1+x），五月份为500（1+x）2人，
∴方程为：500+500（1+x）+500（1+x）2=1820，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出两个月的接种人数．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级开学考试）化简：______．
答案:
解析：
分析：
先进行化简，然后作差求解即可．
【详解】
解：原式
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算．
12．(本题5分)(2023·山东潍坊·二模）已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 __．
答案:且
解析：
分析：
根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程根的判别式得到△，解答可得结果.
【详解】
根据题意得且△，
解得且．
故答案为且．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是把根的情况转化为关于△的不等式或方程，注意应用根的判别式的前提条件是一元二次方程.
13．(本题5分)(2023·上海·上外附中八年级期末）在实数范围内分解因式：___________
答案:
解析：
分析：
把看作关于xy的一元二次方程，解出xy的值，即可得解.
【详解】
解：关于xy的方程中，a=3，b=-2，c=-6，
△=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-6)=76，
∴方程的两根为，
∴原式可分解为：
故答案为：
【点睛】
此题考查因式分解和求根公式法解一元二次方程，掌握相应的运算公式是解答此题的关键.
14．(本题5分)(2023·甘肃·景泰县第四中学九年级期中）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1、x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2的值是______．
答案:-2或-5
解析：
分析：
先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算，计算时需要分类讨论．
【详解】
解：∵，
∴，
解得或
∵、是一元二次方程的两个根，
∴或，
当时，
∵，
∴；
当时，
∵，
∴；
故答案为：-2或-5．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程和新定义下的运算，正确读懂题意是解题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·河南平顶山·九年级期末）解下列一元二次方程：
(1)（用公式法）
(2)（用因式分解法）
答案:(1)，；
(2)，
解析：
分析：
（1）先判断方程根的情况，然后再用求根公式计算即可；
（2）先移项，然后提取公因式化简即可．
(1)
解：因为，，，
所以，
则，
所以，．
(2)
解：移项整理得：，
∴，
则或，
所以，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟知因式分解、求根公式是解题的关键．
16．(本题8分)(2023·山西运城·八年级期末）计算：
(1)
(2)
答案:(1)2
(2)
解析：
分析：
（1）先根据平方差公式和二次根式的乘除法计算，再算加减即可；
（2）先根据立方根的定义和完全平方公式计算，再算加减即可．
(1)
原式=；
(2)
原式=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
17．(本题8分)(2023·广东佛山·八年级阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，．
答案:(1)见解析
(2)见解析
解析：
分析：
（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形；
（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2，的三角形
(1)
三边长分别为，如图所示，
(2)
三边长分别为3，2，如图所示，
【点睛】
本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键．
18．(本题8分)(2023·贵州·峰林学校九年级期中）关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．
答案:（1）m≥（2）m＝1，x1＝﹣3，x2＝0．
解析：
分析：
（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）≥0，求出不等式的解集即可；
（2）取m＝1，代入方程，再求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5≥0，
解得：m≥，
即m的取值范围是m≥；
（2）∵由（1）知：当m≥时，方程有两个不相等的实数根，
∴取m＝1，
则方程为x2+3x＝0，
x(x+3)=0，
∴x=0或x+3=0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握利用根的判别式列不等式求参数的取值范围是解题的关键．
19．(本题10分)(2023·福建三明·八年级期中）观察下列各式及其验证过程：
①，验证：
②，验证：
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，并证明；
（3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用（为自然数，且）表示的等式．
答案:（1），验证见解析；（2），证明见解析；（3）验证见解析；等式为．
解析：
分析：
(1)结合题意进行猜想并根据算术平方根的概念进行计算即可；
（2）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果并根据算术平方根的概念进行计算即可；
（3）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果并根据算术平方根的概念进行计算并总结规律．
【详解】
（1）猜想，得
验证：
（2）猜想，得
验证：
（3）验证：
等式为
故
【点睛】
本题考查的是二次根式的性质和数字的变化类知识，掌握算术平方根的概念、从给出的式子中正确找出规律是解题的关键．
20．(本题10分)(2023·重庆一中八年级期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．
(1)请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
答案:(1)理由见解析；
(2)沙尘暴影响该城镇持续的时间为．
解析：
分析：
（1）过点C作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域，即可证明；
（2）在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，当，时，沙尘暴正好影响城镇C，根据勾股定理可得，利用直角三角形全等的判定及性质可得，EF=14km，由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间．
(1)
解：如图所示：过点C作，
∵AC=30km，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即30×40=50×CD，
∴，
∵以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域，，
∴城镇C会受到沙尘暴影响；
(2)
解：如图所示：在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，
当，时，沙尘暴正好影响城镇C，
∴，
在与中，
，
∴，
∴DE=DF，
∴EF=2ED=14km，
∵沙尘暴中心的移动速度为，
∴，
∴沙尘暴影响该城镇持续的时间为．
【点睛】
题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的判定和性质等，理解题意，利用勾股定理定理解决实际问题是解题关键．
21．(本题12分)(2023·山东·乳山市教学研究中心七年级期末）【信息阅读】
定义一种三角形：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这样的三角形叫做“缘分三角形”．
【问题解决】
(1)一个三角形的三边长分别为1，，2，该三角形是“缘分三角形”吗？ ；（填“是”或“不是”）
(2)在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=a，AC=b，AB=c，且．Rt△ABC是“缘分三角形”吗？写出你的理由；
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a．若Rt△ABC是“缘分三角形”，求．
答案:(1)是；
(2)是，见解析；
(3)
解析：
分析：
（1）通过计算，2×22=8，根据题中所给的缘分三角形的定义判断即可；
（2）先由勾股定理求出b2，从而求得a2，b2，c2的关系，再根据缘分三角形的定义判断；
（3）根据勾股定理、缘分三角形的定义计算即可．
(1)
解：∵，2×22=8，
∴，
∴三角形是“缘分三角形”，
故答案为：是；
(2)
）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=a，AC=b，AB=c，且a2=50，c2=100．
由勾股定理得b2=a2+c2=50+100=150．
所以，
所以Rt△ABC是“缘分三角形”．
(3)
解：在Rt△ABC中，．
∵，
∴．
∵Rt△ABC是“缘分三角形”，
∴．
∴．
即．
∴．
∴
【点睛】
本题考查了新定义：缘分三角形的定义，勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解缘分三角形的定义是解题的关键．
22．(本题14分)(2023·重庆八中九年级开学考试）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
答案:(1)每盒售价最高为15元；
(2)1．
解析：
(1)
设每盒“冰墩墩”售价的为x元，
，
解得，
故每盒售价最高为15元．
(2)
根据题意可得方程：
，
，
，（舍去）
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意正确列出一元一次不等式和一元二次方程．
23．(本题12分)(2023·吉林长春·八年级期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．
(1)请结合图①，写出完整的证明过程；
(2)如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=4时，则BD=______．
答案:(1)见解析
(2)
解析：
分析：
（1）先证△BEC是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可求AH=BH=HC=2，由AAS可证△APH≌△PDE，可得DE=PH=4，AH=PE=2，由勾股定理可求解．
(1)
证明：∵△ABE≌△DEC，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴S△BEC=，
∵S△BEC=S梯形ABCD-2S△ABE，
∴=，
∴c2=a2+b2．
(2)
解：如图②，过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=2，
∴AH=BH=CH=2，
∵∠APH+∠PAH=90°=∠APH+∠DPE，
∴∠PAH=∠DPE，
在△APH和△PDE中，
，
∴△APH≌△PDE（AAS），
∴DE=PH=4，AH=PE=2，
∴BE=BH+HP+PE=8，
∴BD=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．