北师大版七年级数学下册举一反三 专题2.4 阅读理解填理由题专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析）

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1．(2023秋•渝中区校级期末）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（ ），
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ ），
∴CD∥EF（ ），
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
2．(2023秋•漳州期末）如图，已知AB⊥AC，DE⊥AC，∠B＝∠D．试说明：AD∥BC．
在下列解答中，填上适当的理由或数学式．
解：∵AB⊥AC，DE⊥AC（已知），
∴AB∥DE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴ ＝∠DEC（ ）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝ （等量代换），
∴AD∥BC（ ）．
3．(2023秋•如东县期末）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC∥ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（ ）．
∵BC∥ED，
∴∠AED＝ （ ）
∴12∠AED=12∠ABC．
∴∠1＝∠2（ ）．
∴BD∥EF（ ）．
4．(2023秋•锦州期末）请将下列题目中横线上的证明过程和依据补充完整：
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠BCF，BE⊥AF于点E．求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（ ）
∵∠ABE＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠BCF，
即∠CBE＝∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF（ ）
∴ ＝∠BCF．
∴BE∥CF（ ）
∴ ＝∠F．
∵BE⊥AF，
∴ ＝90°（ ）．
∴∠F＝90°．
5．(2023秋•海口期末）如图，AB∥CD，∠1＝∠A．
（1）试说明：AC∥ED；
（2）若∠2＝∠3，FC与BD的位置关系如何？为什么？
请在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．
解：
（1）∵AB∥CD，（已知）
∴∠1＝∠BED，（ ）
又∵∠1＝∠A，（已知）
∴∠BED＝∠ ，（等量代换）
∴ ∥ ．（ ）
（2）FC与BD的位置关系是： ．理由如下：
∵AC∥ED，（已知）
∴∠2＝∠ ．（ ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ ＝∠ ．（等量代换）
∴ ∥ ．（ ）
6．(2023秋•朝阳区校级期末）阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整．
已知：如图，在△ABC中，FG∥CD，∠1＝∠3．
求证：∠B+∠BDC＝180°．
解：因为FG∥CD（已知），
所以∠1＝ ．
又因为∠1＝∠3（已知），
所以∠2＝ （等量代换）．
所以BC∥ （ ），
所以∠B+∠BDE＝180°（ ）．
7．(2023秋•邓州市期末）请完成下面的推理过程：
如图，已知∠D＝108°，∠BAD＝72°，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知）
∴∠D+∠BAD＝180°
∴AB∥CD（ ）
∴∠1＝ （ ）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF∥ （ ）
∴∠2＝ （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
8．(2023秋•丹棱县期末）阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ）
∴EF∥AD （ ）
∴ +∠2＝180° （ ）
又∵∠2+∠3＝180°（已知）
∴∠1＝ （ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠GDC＝∠B （ ）
9．(2023秋•丹江口市期末）如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥ （ ），
∴∠4＝ ＝90°（ ），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝ ，
∴AB∥ ．（ ）
10．(2023秋•青神县期末）如图，AB与EF交于点B，CD与EF交于点D，根据图形，请补全下面这道题的解答过程．
（1）∵∠1＝∠2（已知）
∴ ∥CD（ ）
∴∠ABD+∠CDB＝ （ ）
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知）
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性质）
∴AB∥CD（ ）
（3）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
又∵∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ACD＝ ．（ ）
11．(2023秋•本溪期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说
明理由．
解： ．
证明：∵∠1+∠2＝180°（ ）
∠1＝∠DFH（ ）
∴（ ）
∴EH∥AB（ ）
∴∠3＝∠ADE（ ）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（ ）
∴DE∥BC
∴∠AED＝∠C（ ）
12．(2023秋•南岗区校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．
求证：BE⊥DB．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ ）
∴BC∥DF（ ）
于是∠DBC＝∠BDF（ ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC=12∠ABC，∠BDF＝ （ ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF=12（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝
∴BE⊥DB（ ）
13．(2023秋•宽城区期末）如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥ ． （ ）
∴∠2＝∠DAC． （ ）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF． （ ）
∴∠ADC＝∠ ． （ ）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°． （ ）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
14．(2023秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ ）．
∵∠B＝ （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ （垂直的定义）．
∴∠2＝ ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ （ ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ ．
15．(2023秋•平昌县期末）如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A，求证：∠AEH＝∠F．
证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥ （ ）．
∴∠1＝∠C（ ）．
∠2＝ （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝ ，
∴∠A＝ ．
∴AB∥DF（ ）．
∴∠AEH＝∠F（ ）．
16．(2023春•乌苏市期末）完成下面的证明．
如图，AB和CD相交于点O，EF∥AB，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD
又∠COA＝∠BOD （ ）
∴∠C＝ （ ）
∴AC∥BD （ ）
∴∠A＝ （ ）
∵EF∥AB
∴∠F＝ （ ）
∴∠A＝∠F （ ）
17．(2023春•乌海期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ （ ）
∴∠EDC＝∠5（ ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ （ ）
∴DC∥AB（ ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ ）．
18．(2023秋•龙凤区期末）如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN ，
∴∠GMN=12∠BMN ，
同理∠GNM=12∠DNM．
∵AB∥CD ，
∴∠BMN+∠DNM＝ ，
∴∠GMN+∠GNM＝ ，
∵∠GMN+∠GNM+∠G＝ ，
∴∠G＝ ，
∴MG与NG的位置关系是 ．
19．(2023秋•东坡区期末）已知：如图，在△ABC中，CD交AB边于点D，直线DE平分∠BDC且与直线BE相交于点E，∠BDC＝2∠A，∠E＝∠3．
求证：CD∥EB．
证明：理由如下：
∵DE平分∠BDC，（已知）
∴ ＝∠2．
∵∠BDC＝2∠A，（已知）
∴∠2＝∠A，（等量代换）
∴ ∥ ，（ ）
∴ ＝∠3，（ ）
又∵∠3＝∠E（已知）
∴ ＝ （等量代换）
∴CD∥ （ ）
20．(2023春•微山县期末）请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：
已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝ （ ）．
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式性质）．
即∠BAF＝ ．
∴∠4＝∠BAF．（等量代换）．
∴AB∥CD（ ）．
21．(2023春•汉阴县期末）完成下面的证明：
如图，已知∠1+∠2＝180，∠A＝∠C．求证：AD∥BC．
证明：∵∠1+∠2＝180（已知），
∠2+∠CDB＝180°（邻补角的定义），
∴∠CDB＝ （等角的补角相等）．
∴DC∥ （ ）．
∴∠C＝ （ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A＝ （ ）．
∴AD∥BC（ ）．
22．(2023春•昭通期末）完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，CD和BE相交于点O，DE平分∠CDF，DE和BE相交于点E，∠E＝∠2．
求证：∠B＝2∠2．
证明：∵∠E＝∠2（已知），
∴BE∥DF（ ），
∴∠CDF＝∠ （两直线平行，同位角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠ （ ），
∴∠B＝∠CDF（等量代换）．
∵DE平分∠CDF（已知），
∴∠CDF＝2∠ （角平分线的定义）．
∴∠B＝2∠2（ ）．
23．(2023春•岚山区期末）如图，点E、F分别是直线AB、CD上的点，分别连接AD、EC，交点为G，连接BF，与AD交于点H，若已知∠DHF＝∠AGE，∠B＝∠C试证明：∠A＝∠D．
请根据题意将下面的解答过程补充完整：
解：∵∠DHF＝∠AHB（ ），
∠DHF＝∠AGE（已知），
∴∠AHB＝∠AGE（ ），
∴BH∥ （ ），
∴∠B＝ （两直线平行，同位角相等）．
∵∠B＝∠C（已知），
∴ ＝∠C．
∴AB∥ （ ）．
∴∠A＝∠D（ ）．
24．(2023春•招远市期末）请将下列题目的证明过程补充完整，将答案填写在横线处：
如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．
证明：连接EF．
因为FG⊥AC，HE⊥AC，
所以∠FGC＝∠HEC＝90°．
所以FG∥ （ ）．
∴∠3＝ （ ）．
又∵∠1＝∠2，
∴ ＝ ，
即 ＝∠EFC．
∴DE∥BC（ ）．
25．(2023春•船营区期末）完成下面的证明：
已知：如图，E是∠CDF平分线上一点，BE∥DF交CD于点N，AB∥CD．
求证：∠ABE＝2∠E．
证明：∵BE∥DF
∴∠CNE＝∠ （ ），
∠E＝∠ （ ）．
∵DE平分∠CDF．
∴∠CDF＝2∠EDF．
∴∠CNE＝2∠E．
又∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠ ，
∴∠ABE＝2∠E．
26．(2023秋•翠屏区期末）如图，已知∠A＝120°，∠FEC＝120°，∠1＝∠2，试说明∠FDG＝∠EFD．请补全证明过程，即在下列括号内填上结论或理由．
解：∵∠A＝120°，∠FEC＝120°（已知），
∴∠A＝∠FEC （ ）．
∴AB∥EF （ ）．
又∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD （ ）．
∴EF∥ （ ）．
∴∠FDG＝∠EFD （ ）．
27．(2023春•建华区期末）填空：已知：如图，AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝40°．求∠ACE的度数．
解：过点C作CF∥BD（ ），
∵AE∥BD（已知），
∴AE∥CF （ ），
∴∠1+∠ACF＝180° （ ），
∵∠1＝120°（已知），
∠ACF＝60° （ ），
∵AE∥BD（已作），
∴∠3＝∠2 （ ），
∵∠2＝40°（已知），
∴∠3＝40° （ ），
∴∠ACE＝∠ACF﹣∠3＝20°．
28．(2023春•汉川市期末）如图，点E、F在直线AB上，且AB∥CD，DE∥MF，DA、FN分别是∠CDE、∠MFB的平分线，求证：DA∥FN．
证明：∵DA、FN分别是∠CDE、∠MFB的平分线．
∴∠3=12∠CDE，∠2=12 （角平分线定义）．
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1，∠CDE＝ （ ）．
∵DE∥MF，
∴∠DEB＝ （ ）．
∴∠CDE＝∠MFB．
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝ （ ）．
∴DA∥FN（ ）．
29．(2023春•和平区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠4＝∠5．请说明BF∥DE的理由．（请在括号中填上推理依据）
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CF∥BD（ ）
∴∠3+∠CAB＝180°（ ）
∵∠3＝∠C（已知）
∴∠C+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD（ ）
∴∠4＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）
∵∠4＝∠5（已知）
∴∠5＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB（ ）
30．(2023春•漳州期末）请在下列括号内填上相应步骤的理由．
已知：如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，∠1＝∠2，试说明：EF⊥AC．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1＝∠D（ ）．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠2＝∠D（等量代换），
所以EF∥AD（ ），
所以∠CEF＝∠CAD（ ）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD＝90°（垂直的定义），
所以∠CEF＝90°（ ），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
专题2.4 阅读理解填理由题专项训练（30道）
【北师大版】
1．(2023秋•渝中区校级期末）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（ 垂直定义 ），
∴ AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴CD∥EF（ 平行于同一直线的两直线平行 ），
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
分析：根据垂直定义得出∠ABD＝∠CDF＝90°，根据平行线的判定定理得出 AB∥CD，AB∥EF，求出CD∥EF，再根据平行线的性质定理得出即可．
【解答】证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等），
故答案为：垂直定义，AB，CD，内错角相等，两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．
2．(2023秋•漳州期末）如图，已知AB⊥AC，DE⊥AC，∠B＝∠D．试说明：AD∥BC．
在下列解答中，填上适当的理由或数学式．
解：∵AB⊥AC，DE⊥AC（已知），
∴AB∥DE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴ ∠B ＝∠DEC（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝ ∠DEC （等量代换），
∴AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
分析：根据平行线的判定定理得出AB∥DE，根据平行线的性质定理得出∠B＝∠DEC，求出∠D＝∠DEC，再根据平行线的判定定理得出即可．
【解答】解：∵AB⊥AC，DE⊥AC（已知），
∴AB∥DE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DEC（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）、
故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等，∠DEC，内错角相等，两直线平行．
3．(2023秋•如东县期末）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC∥ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（ 角平分线的定义 ）．
∵BC∥ED，
∴∠AED＝ ∠ABC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴12∠AED=12∠ABC．
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
∴BD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
分析：根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED＝∠ABC，求出∠1＝∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义），
∵BC∥ED，
∴∠AED＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∴12∠AED=12∠ABC，
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：角平分线的定义，∠ABC，两直线平行，同位角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行．
4．(2023秋•锦州期末）请将下列题目中横线上的证明过程和依据补充完整：
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠BCF，BE⊥AF于点E．求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABE＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠BCF，
即∠CBE＝∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF（ 角平分线的定义 ）
∴ ∠CBE ＝∠BCF．
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴ ∠BEF ＝∠F．
∵BE⊥AF，
∴ ∠BEF ＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴∠F＝90°．
分析：根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可．
【解答】证明：∵AG∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠ABE＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠BCF，
即∠CBE＝∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF（ 角平分线的定义），
∴∠CBE＝∠BCF．
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF＝∠F．
∵BE⊥AF，
∴∠BEF＝90°（ 垂直的定义）．
∴∠F＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠CBE；内错角相等，两直线平行；∠BEF；∠BEF；垂直的定义．
5．(2023秋•海口期末）如图，AB∥CD，∠1＝∠A．
（1）试说明：AC∥ED；
（2）若∠2＝∠3，FC与BD的位置关系如何？为什么？
请在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．
解：
（1）∵AB∥CD，（已知）
∴∠1＝∠BED，（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1＝∠A，（已知）
∴∠BED＝∠ A ，（等量代换）
∴ AC ∥ DE ．（ 同位角相等，两直线平行 ）
（2）FC与BD的位置关系是： FC∥BD ．理由如下：
∵AC∥ED，（已知）
∴∠2＝∠ CGD ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ CGD ＝∠ 3 ．（等量代换）
∴ FC ∥ BD ．（ 内错角相等，两直线平行 ）
分析：（1）根据平行线的性质与判定填空即可；
（2）根据平行线的性质与判定填空即可．
【解答】解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠BED（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠A（已知），
∴∠BED＝∠A（等量代换），
∴AC∥DE（ 同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；A；AC；DE；同位角相等，两直线平行；
（2）FC与BD的位置关系是：FC∥BD．理由如下：
∵AC∥ED（已知），
∴∠2＝∠CGD（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠CGD＝∠3（等量代换），
∴FC∥BD（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：FC∥BD；CGD；两直线平行，内错角相等；CGD；3；FC；BD；内错角相等，两直线平行．
6．(2023秋•朝阳区校级期末）阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整．
已知：如图，在△ABC中，FG∥CD，∠1＝∠3．
求证：∠B+∠BDC＝180°．
解：因为FG∥CD（已知），
所以∠1＝ ∠2 ．
又因为∠1＝∠3（已知），
所以∠2＝ ∠3 （等量代换）．
所以BC∥ DE （ 内错角相等，两直线平行 ），
所以∠B+∠BDE＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
分析：根据平行线的性质、判定填空即可．
【解答】解：因为FG∥CD（已知），
所以∠1＝∠2．
又因为∠1＝∠3（已知），
所以∠2＝∠3（等量代换）．
所以BC∥DE（ 内错角相等，两直线平行），
所以∠B+∠BDE＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠2；∠3；DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
7．(2023秋•邓州市期末）请完成下面的推理过程：
如图，已知∠D＝108°，∠BAD＝72°，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知）
∴∠D+∠BAD＝180°
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF∥ AC （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）
分析：根据平行线的判定与性质填空即可．
【解答】证明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知），
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等），
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知），
∴EF∥AC（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（ 等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；AC；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
8．(2023秋•丹棱县期末）阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 垂直的定义 ）
∴EF∥AD （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴ ∠1 +∠2＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵∠2+∠3＝180°（已知）
∴∠1＝ ∠3 （ 同角的补角相等 ）
∴ AB ∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠GDC＝∠B （ 两直线平行，同位角相等 ）
分析：根据平行线的性质、判定及垂直、互补等相关概念、定理填空即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 垂直的定义），
∴EF∥AD （ 同位角相等，两直线平行），
∴∠1+∠2＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等），
∴AB∥DG（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （ 两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；∠3；同角的补角相等；AB；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
9．(2023秋•丹江口市期末）如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠4＝ ∠CGF ＝90°（ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝ ∠3 ，
∴AB∥ CD ．（ 内错角相等，两直线平行 ）
分析：根据平行线性质及判定填空即可．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥DE（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠CGF＝90°（ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝∠3，
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；∠CGF；两直线平行，同位角相等；∠3；CD；内错角相等，两直线平行．
10．(2023秋•青神县期末）如图，AB与EF交于点B，CD与EF交于点D，根据图形，请补全下面这道题的解答过程．
（1）∵∠1＝∠2（已知）
∴ AB ∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠ABD+∠CDB＝ 180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知）
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性质）
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
（3）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义）
∴ AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行）
又∵∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ACD＝ 125° ．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
分析：（1）根据平行线性质定理与判定定理即可得答案；
（2）由同旁内角互补，两直线平行可得答案；
（3）根据平行线性质定理与判定定理即可得答案．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠ABD+∠CDB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：AB，内错角相等，两直线平行，180°，两直线平行，同旁内角互补；
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知），
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性质），
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；
（3）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
又∵∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ACD＝125°．（ 两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：AB，CD，125°，两直线平行，同旁内角互补．
11．(2023秋•本溪期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说
明理由．
解： ∠AED＝∠C ．
证明：∵∠1+∠2＝180°（ 已知 ）
∠1＝∠DFH（ 对顶角相等 ）
∴（ ∠2+∠DFH＝180° ）
∴EH∥AB（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠3＝∠ADE（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（ 等量代换 ）
∴DE∥BC
∴∠AED＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）
分析：由对顶角相等可得∠1＝∠DFH，从而可得∠2+∠DFH＝180°，则可判定EH∥AB，由平行线的性质得∠3＝∠ADE，可求得∠B＝∠ADE，可判定DE∥BC，从而得证∠AED＝∠C．
【解答】解：∠AED＝∠C，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1＝∠DFH（对顶角相等）
∴∠2+∠DFH＝180°，
∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
故答案为：∠AED＝∠C；已知；对顶角相等；∠2+∠DFH＝180°；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等．
12．(2023秋•南岗区校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．
求证：BE⊥DB．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ 已知 ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ 等量代换 ）
∴BC∥DF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
于是∠DBC＝∠BDF（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC=12∠ABC，∠BDF＝ 12∠CDF （ 角平分线定义 ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF=12（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝ 90°
∴BE⊥DB（ 垂直的定义 ）
分析：根据平行线的性质和判定完成证明过程即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC+∠CDF＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDF＝180°（等量代换），
∴BC∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
于是∠DBC＝∠BDF（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，
∴∠EBC=12∠ABC，∠BDF=12∠CDF（角平分线定义），
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF=12（∠ABC+∠CDF），
即∠EBD＝90°，
∴BE⊥DB（垂直的定义）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同旁内角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； 12∠CDF，角平分线定义；90°；垂直的定义．
13．(2023秋•宽城区期末）如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥ AC ． （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝∠DAC． （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF． （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠ADC＝∠ EFC ． （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°． （ 垂直定义 ）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
分析：直接根据平行线的判定与性质及垂直定义解答即可．
【解答】解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥AC． （同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠DAC． （两直线平行，内错角相等）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF． （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADC＝∠EFC． （两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°． （垂直定义）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
故答案为：AC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；EFC；两直线平行，同位角相等；垂直定义．
14．(2023秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ 已知 ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B＝ 50° （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ 90° （垂直的定义）．
∴∠2＝ 40° ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ 40° （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ 80° （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ ∠ADC +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ 100° ．
分析：根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；∠ADC；100°．
15．(2023秋•平昌县期末）如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A，求证：∠AEH＝∠F．
证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥ AC （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠1＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∠2＝ ∠DGC （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝ ∠A ，
∴∠A＝ ∠DGC ．
∴AB∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AEH＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
分析：根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC．
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DGC；∠1；∠A，∠DGC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
16．(2023春•乌苏市期末）完成下面的证明．
如图，AB和CD相交于点O，EF∥AB，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD
又∠COA＝∠BOD （ 对顶角相等 ）
∴∠C＝ ∠D （ 等量代换 ）
∴AC∥BD （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A＝ ∠ABD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵EF∥AB
∴∠F＝ ∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠A＝∠F （ 等量代换 ）
分析：由对顶角相等和已知条件可以推知内错角相等：∠C＝∠D．则由内错角相等，两直线平行得到AC∥BD；根据该平行线的性质和已知平行线的性质推知∠A＝∠ABD，∠F＝∠ABD．由等量代换证得结论．
【解答】证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD
又∠COA＝∠BOD （对顶角相等）
∴∠C＝∠D（等量代换）
∴AC∥BD （内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠ABD（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB
∴∠F＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）
∴∠A＝∠F （等量代换）
故答案是：对顶角相等；∠D；等量代换； 内错角相等，两直线平行；∠ABD； 两直线平行，内错角相等；∠ABD； 两直线平行，同位角相等； 等量代换．
17．(2023春•乌海期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ ∠A （ 等量代换 ）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ 等量代换 ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
分析：可先证明BC∥AF，可得到∠A+∠ABC＝180°，结合条件可得∠2+∠3+∠5＝180°，可得到∠1+∠3+∠5＝180°，可证明BE∥CF．
【解答】解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝∠A （等量代换）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
18．(2023秋•龙凤区期末）如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN 已知 ，
∴∠GMN=12∠BMN 角平分线的定义 ，
同理∠GNM=12∠DNM．
∵AB∥CD 已知 ，
∴∠BMN+∠DNM＝ 180° ，
∴∠GMN+∠GNM＝ 90° ，
∵∠GMN+∠GNM+∠G＝ 180° ，
∴∠G＝ 90° ，
∴MG与NG的位置关系是 垂直 ．
分析：由角平分线的定义和平行线的性质可求得∠GMN+∠GNM＝90°，可证得MG⊥NG，据此填空即可．
【解答】解：
∵MG平分∠BMN 已知，
∴∠GMN=12∠BMN 角平分线的定义，
同理∠GNM=12∠DNM．
∵AB∥CD 已知，
∴∠BMN+∠DNM＝180°，
∴∠GMN+∠GNM＝90°，
∵∠GMN+∠GNM+∠G＝180°，
∴∠G＝90°，
∴MG与NG的位置关系是 垂直．
故答案为：已知；角平分线的定义；已知；180°；90°；180°；90°；垂直．
19．(2023秋•东坡区期末）已知：如图，在△ABC中，CD交AB边于点D，直线DE平分∠BDC且与直线BE相交于点E，∠BDC＝2∠A，∠E＝∠3．
求证：CD∥EB．
证明：理由如下：
∵DE平分∠BDC，（已知）
∴ ∠1 ＝∠2．
∵∠BDC＝2∠A，（已知）
∴∠2＝∠A，（等量代换）
∴ AC ∥ DE ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴ ∠1 ＝∠3，（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠3＝∠E（已知）
∴ ∠1 ＝ ∠E （等量代换）
∴CD∥ EB （ 内错角相等，两直线平行 ）
分析：由平分线的定义可得∠1＝∠2，从而可得到∠2＝∠A，由平行线的判定条件可得AC∥DE，则得∠1＝∠3，从而有∠1＝∠E，即可证得CD∥EB．
【解答】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠1＝∠2，
∵∠BDC＝2∠A（已知），
∴∠2＝∠A（等量代换），
∴AC∥DE，（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3，（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠E（已知），
∴∠1＝∠E（等量代换），
∴CD∥EB（内错角相等，两直线平行）
故答案为：∠1；AC；DE；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠1；∠E；EB；内错角相等，两直线平行．
20．(2023春•微山县期末）请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：
已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝ ∠CAD （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝ ∠CAD （ 等量代换 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式性质）．
即∠BAF＝ ∠CAD ．
∴∠4＝∠BAF．（等量代换）．
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
分析：由条件可证得∠3＝∠CAD＝∠2+∠CAF＝∠1+∠CAF＝∠BAF＝∠4，可证明AB∥CD，据此填空即可．
【解答】解：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝∠CAD（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠CAD，
∴∠4＝∠BAF（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠CAD；两直线平行，内错角相等；∠CAD；等量代换；∠CAD；同位角相等，两直线平行．
21．(2023春•汉阴县期末）完成下面的证明：
如图，已知∠1+∠2＝180，∠A＝∠C．求证：AD∥BC．
证明：∵∠1+∠2＝180（已知），
∠2+∠CDB＝180°（邻补角的定义），
∴∠CDB＝ ∠1 （等角的补角相等）．
∴DC∥ AE （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠C＝ ∠CBE （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A＝ ∠CBE （ 等量代换 ）．
∴AD∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
分析：根据等角的补角相等得出∠CDB＝∠1，即可判定DC∥AE，根据平行线的性质得出∠C＝∠CBE，等量代换得到∠A＝∠CBE，即可判定AD∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180（已知），
∠2+∠CDB＝180°（邻补角的定义），
∴∠CDB＝∠1（等角的补角相等），
∴DC∥AE（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A＝∠CBE（等量代换），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠1；AE；同位角相等，两直线平行；∠CBE；两直线平行，内错角相等；∠CBE；等量代换；同位角相等，两直线平行．
22．(2023春•昭通期末）完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，CD和BE相交于点O，DE平分∠CDF，DE和BE相交于点E，∠E＝∠2．
求证：∠B＝2∠2．
证明：∵∠E＝∠2（已知），
∴BE∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠CDF＝∠ 1 （两直线平行，同位角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠ 1 （ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠B＝∠CDF（等量代换）．
∵DE平分∠CDF（已知），
∴∠CDF＝2∠ 2 （角平分线的定义）．
∴∠B＝2∠2（ 等量代换 ）．
分析：由∠E＝∠2可判定BE∥DF，即得出∠CDF＝∠1，再根据AB∥CD得出∠B＝∠1，等量代换得到∠B＝∠CDF，再根据角平分线的定义等量代换即可得解．
【解答】证明：∵∠E＝∠2（已知），
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠CDF＝∠1（两直线平行，同位角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），
∴∠B＝∠CDF（等量代换）．
∵DE平分∠CDF（已知），
∴∠CDF＝2∠2（角平分线的定义）．
∴∠B＝2∠2（等量代换）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；2；等量代换．
23．(2023春•岚山区期末）如图，点E、F分别是直线AB、CD上的点，分别连接AD、EC，交点为G，连接BF，与AD交于点H，若已知∠DHF＝∠AGE，∠B＝∠C试证明：∠A＝∠D．
请根据题意将下面的解答过程补充完整：
解：∵∠DHF＝∠AHB（ 对顶角相等 ），
∠DHF＝∠AGE（已知），
∴∠AHB＝∠AGE（ 等量代换 ），
∴BH∥ EC （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠B＝ ∠AEG （两直线平行，同位角相等）．
∵∠B＝∠C（已知），
∴ ∠AEG ＝∠C．
∴AB∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠A＝∠D（ 两直线平行，内错角相等 ）．
分析：根据平行线的判定与性质进行填空即可．
【解答】解：∵∠DHF＝∠AHB（ 对顶角相等），
∠DHF＝∠AGE（已知），
∴∠AHB＝∠AGE（ 等量代换），
∴BH∥EC（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠AEG（两直线平行，同位角相等）．
∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEG＝∠C．
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠D（ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；EC；同位角相等，两直线平行；∠AEG；∠AEG；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
24．(2023春•招远市期末）请将下列题目的证明过程补充完整，将答案填写在横线处：
如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．
证明：连接EF．
因为FG⊥AC，HE⊥AC，
所以∠FGC＝∠HEC＝90°．
所以FG∥ HE （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠3＝ ∠4 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
又∵∠1＝∠2，
∴ ∠1+∠3 ＝ ∠2+∠4 ，
即 ∠DEF ＝∠EFC．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
分析：根据平行线的判定定理与性质定理即可完成证明．
【解答】证明：连接EF．
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝∠HEC＝90°，
∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，
即∠DEF＝∠EFC．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：HE；同位角相等，两直线平行；∠4；两直线平行，内错角相等；∠1+∠3；∠2+∠4；∠DEF；内错角相等，两直线平行．
25．(2023春•船营区期末）完成下面的证明：
已知：如图，E是∠CDF平分线上一点，BE∥DF交CD于点N，AB∥CD．
求证：∠ABE＝2∠E．
证明：∵BE∥DF
∴∠CNE＝∠ CDF （ 两直线平行，同位角相等 ），
∠E＝∠ EDF （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵DE平分∠CDF．
∴∠CDF＝2∠EDF．
∴∠CNE＝2∠E．
又∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠ CNE ，
∴∠ABE＝2∠E．
分析：根据平行线的性质得到∠CNE＝∠CDF，∠E＝∠EDF，根据角平分线定义得到∠CDF＝2∠EDF．根据平行线到性质得到∠ABE＝∠CNE，于是得到结论．
【解答】证明：∵BE∥DF
∴∠CNE＝∠CDF（两直线平行，同位角相等 ），
∠E＝∠EDF（两直线平行，内错角相等 ）．
∵DE平分∠CDF．
∴∠CDF＝2∠EDF．
∴∠CNE＝2∠E．
又∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CNE，
∴∠ABE＝2∠E．
故答案为：CDF，两直线平行，同位角相等；EDF，两直线平行，内错角相等；CNE．
26．(2023秋•翠屏区期末）如图，已知∠A＝120°，∠FEC＝120°，∠1＝∠2，试说明∠FDG＝∠EFD．请补全证明过程，即在下列括号内填上结论或理由．
解：∵∠A＝120°，∠FEC＝120°（已知），
∴∠A＝∠FEC （ 等量代换 ）．
∴AB∥EF （ 同位角相等，两直线平行 ）．
又∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴EF∥ CD （ 平行于同一条直线的两直线互相平行 ）．
∴∠FDG＝∠EFD （ 两直线平行，内错角相等 ）．
分析：利用平行线的判定，由已知得AB∥EF、AB∥CD，可推出EF∥CD，利用平行线的性质得结论
【解答】解：∵∠A＝120°，∠FEC＝120°（已知），
∴∠A＝∠FEC（等量代换）．
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
又∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线互相平行）．
∴∠FDG＝∠EFD（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：等量代换；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；CD，平行于同一条直线的两直线互相平行；两直线平行，内错角相等．
27．(2023春•建华区期末）填空：已知：如图，AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝40°．求∠ACE的度数．
解：过点C作CF∥BD（ 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ），
∵AE∥BD（已知），
∴AE∥CF （ 平行于同一条直线的两条直线平行 ），
∴∠1+∠ACF＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠1＝120°（已知），
∠ACF＝60° （ 等式性质 ），
∵AE∥BD（已作），
∴∠3＝∠2 （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠2＝40°（已知），
∴∠3＝40° （ 等量代换 ），
∴∠ACE＝∠ACF﹣∠3＝20°．
分析：根据证明，填上推理的根据即可．
【解答】解：过点C作CF∥BD（过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行），
∵AE∥BD（已知），
∴AE∥CF （平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1+∠ACF＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1＝120°（已知），
∠ACF＝60° （等式性质），
∵AE∥BD（已作），
∴∠3＝∠2 （两直线平行，同位角相等），
∵∠2＝40°（已知），
∴∠3＝40° （等量代换），
∴∠ACE＝∠ACF﹣∠3＝20°．
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等式性质；两直线平行，同位角相等；等量代换．
28．(2023春•汉川市期末）如图，点E、F在直线AB上，且AB∥CD，DE∥MF，DA、FN分别是∠CDE、∠MFB的平分线，求证：DA∥FN．
证明：∵DA、FN分别是∠CDE、∠MFB的平分线．
∴∠3=12∠CDE，∠2=12 ∠MFB （角平分线定义）．
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1，∠CDE＝ ∠DEB （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵DE∥MF，
∴∠DEB＝ ∠MFB （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∴∠CDE＝∠MFB．
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝ ∠2 （ 等量代换 ）．
∴DA∥FN（ 同位角相等，两直线平行 ）．
分析：根据平行线的判定与性质即可完成证明．
【解答】证明：∵DA、FN分别是∠CDE、∠MFB的平分线．
∴∠3=12∠CDE，∠2=12∠MFB（角平分线定义）．
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1，∠CDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等）．
∵DE∥MF，
∴∠DEB＝∠MFB（两直线平行，同位角相等）．
∴∠CDE＝∠MFB．
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴DA∥FN（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠MFB；∠DEB，两直线平行，内错角相等；∠MFB，两直线平行，同位角相等；∠2，等量代换；同位角相等，两直线平行．
29．(2023春•和平区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠4＝∠5．请说明BF∥DE的理由．（请在括号中填上推理依据）
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CF∥BD（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠3+∠CAB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵∠3＝∠C（已知）
∴∠C+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠4＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）
∵∠4＝∠5（已知）
∴∠5＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB（ 同位角相等，两直线平行 ）
分析：运用平行线的性质定理和判定定理可得结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CF∥BD（内错角相等，两直线平行），
∴∠3+∠CAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3＝∠C（已知），
∴∠C+∠CAB＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠4＝∠EGA（两直线平行，同位角相等），
∵∠4＝∠5（已知），
∴∠5＝∠EGA（等量代换），
∴ED∥FB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
30．(2023春•漳州期末）请在下列括号内填上相应步骤的理由．
已知：如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，∠1＝∠2，试说明：EF⊥AC．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1＝∠D（ 两直线平行，内错角相等 ）．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠2＝∠D（等量代换），
所以EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ），
所以∠CEF＝∠CAD（ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD＝90°（垂直的定义），
所以∠CEF＝90°（ 等量代换 ），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
分析：应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【解答】解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠2＝∠D（等量代换），
所以EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠CEF＝∠CAD（两直线平行，同位角相等）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD＝90°（垂直的定义），
所以∠CEF＝90°（等量代换），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换．