北师大版七年级数学下册举一反三 专题2.7 相交线与平行线章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题2.7 相交线与平行线章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析），共66页。

【考点1 相交线中运用方程思想求角】
【例1】(2023春•武昌区期中）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．
（1）若∠BOD=12∠COD，求∠BON的度数；
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
【变式1-1】(2023春•饶平县校级期末）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；
（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．
【变式1-2】(2023春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．
（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
【变式1-3】(2023秋•南岗区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；
（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．
【考点2 相交线中运用分类讨论思想求角】
【例2】(2023秋•永嘉县校级期末）直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；
（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．
①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；
②若OF平分∠AOE，∠AOF=53∠DOF，求∠BOD的度数．
【变式2-1】(2023秋•南岗区校级月考）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
【变式2-2】(2023秋•门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．
（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，
①依题意补全图1；
②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；
（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）
【变式2-3】(2023秋•金湖县期末）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．
也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
【变式拓展】小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
【考点3 平行线的判定与性质综合证明题】
【例3】(2023春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．
【变式3-1】(2023秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．
求证：（1）BF∥EC；
（2）∠A＝∠D．
【变式3-2】(2023秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
【变式3-3】(2023秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由．
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．
【考点4 平移中几何综合问题】
【例4】(2023春•和平区校级月考）已知：AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°．
（1）则∠EDC＝ （度）；
（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）．
（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，
则∠BED＝ （度）（用含n的式子表示）．
【变式4-1】(2023春•曲周县期末）【探究】如图1，已知直线MN∥PQ，点A在MN上，点C在PQ上，点E在MN，PQ两平行线之间，则∠AEC＝∠ +∠ ；
【应用】如图2，已知直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝70°，∠β＝30°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）将线段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求∠AEC的度数．
【变式4-2】(2023春•奉化区校级期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ ．
【变式4-3】(2023春•天元区期末）已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，试说明OB∥AC；
（2）如图②，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于 （在横线上填上答案即可）；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（4）在（3）的条件下，在平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA的度数等于 （在横线上填上答案即可）．
【考点5 平行线中的辅助线构造】
【例5】(2023秋•西乡县期末）（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【变式5-1】(2023秋•济阳区期末）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【变式5-2】(2023秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【变式5-3】(2023秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【考点6 与平行线有关的实际问题】
【例6】(2023秋•罗湖区期末）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 ，∠2＝∠4，依据是 ．
②反射光线BC与EF平行，依据是 ．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝ ；∠3＝ ．
【变式6-1】(2023秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．
（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．
（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．
（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
【变式6-2】(2023秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．
【变式6-3】(2023春•广宁县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ ；
（2）如图2，
①若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒（0＜t＜90），则∠MAM'＝ ，∠PBP'＝ ；（用含t的式子表示）
②在①的条件下，若AM′∥BP'，则t＝ 秒．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【考点7 平行线中的旋转问题】
【例7】(2023秋•三水区期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，设∠ACE＝x．
（1）填空：∠BCE＝ ，∠ACD＝ ；（用含x的代数式表示）
（2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE的度数；
（3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当∠BCE等于多少度时CD∥AB？
【变式7-1】(2023秋•太仓市期末）如图所示，已知直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．
（1）在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．
①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝ °；
②若∠CPA＝70°，求此时t的值；
（2）在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】(2023春•醴陵市期末）钱塘江汛期来临前，防汛指挥部准备在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是1度/秒．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN．
（1）当A灯转动t秒时（0＜t＜60），用t的代数式表示灯A射线转动的角度大小；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
【变式7-3】(2023春•莱山区期末）我区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）∠BAN＝ 度．
（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要 秒；
（3）若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示．
①∠PBD＝ 度，∠MAC＝ 度（用含有t的代数式表示）；
②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC∥BD？
（4）在BD到达BQ之前，是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD？若存在，直接写出转动时间，若不存在，请说明理由．
【考点8 与平行线有关的综合题】
【例8】(2023秋•丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF=12∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．
【变式8-1】(2023秋•仁寿县期末）如图①．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，过点B作BD⊥AM于点D，设∠BCN＝α．
（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；
（2）如图②，若点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，使得BE平分∠ABD、BF平分∠DBC，求∠EBF的度数；
（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF平分∠BCH，且∠BFC＝3∠BCN，求∠EBC的度数．
【变式8-2】(2023秋•香坊区校级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在点F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在点F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，求∠B的度数．
【变式8-3】(2023秋•南岗区校级期末）已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．
专题2.7 相交线与平行线章末重难点突破
【北师大版】
【考点1 相交线中运用方程思想求角】
【例1】(2023春•武昌区期中）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．
（1）若∠BOD=12∠COD，求∠BON的度数；
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
分析：（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD=12∠COD可得∠BOD的度数，然后根据邻补角互补可得答案；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数．
【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD=12∠COD=12×70°=35°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
【变式1-1】(2023春•饶平县校级期末）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；
（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．
分析：（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，列方程即可得到结论；
（2）根据补角的定义即可得到结论；
（3）如图，当OP在CD的上方时，当OP在CD的下方时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，
∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，
∴90°﹣4x＝x﹣10°，
∴x＝20°，
∴∠AOE＝80°；
（2）∠AOC在图中的所有补角是∠AOD，∠BOC，∠BOE；
（3）∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°，
∴∠AOD＝100°，
∴∠AOC＝80°，
如图，当OP在CD的上方时，
设∠AOP＝x，
∴∠DOP＝100°﹣x，
∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，
∴80°+x＝80°+100°﹣x，
∴x＝50°，
∴∠AOP＝∠DOP＝50°，
∵∠BOD＝∠AOC＝80°，
∴∠BOP＝80°+50°＝130°；
当OP在CD的下方时，
设∠DOP＝x，
∴∠BOP＝80°﹣x，
∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，
∴100°+x＝80°﹣x，
∴x＝50°，
∴∠BOP＝30°，
综上所述，∠BOP的度数为130°或30°．
【变式1-2】(2023春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．
（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
分析：（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（3）根据（1）（2）解答即可．
【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12∠AOF=70°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；
（2）∵∠AOE＝x°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12∠AOF=(90−12x)°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC=180°−90°−(90°−12x)°=12x°；
∴∠AOE＝2∠BOD；
（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．
【变式1-3】(2023秋•南岗区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；
（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．
分析：（1）由垂直的定义及角度的和差计算可得；
（2）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；
（3）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．
【解答】解：（1）如图，∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，
∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．
（2）如图，∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠FOD＝90°，
∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，
∵∠BOD＝∠FOD，
∴∠FOB＝2∠FOD，
∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
（3）如图，
∵∠FOG：∠AOE＝2：3，
∴设∠FOG＝2α，则∠AOE＝3α，
∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，
∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOD＝α，
∴∠FOD＝∠BOD＝α，
∵A，O，B三点在一条直线上，
∴3α+α+2α+α＝180°，
解得α＝22.5°，
∴∠COG＝112.5°．
【考点2 相交线中运用分类讨论思想求角】
【例2】(2023秋•永嘉县校级期末）直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；
（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．
①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；
②若OF平分∠AOE，∠AOF=53∠DOF，求∠BOD的度数．
分析：（1）根据∠BOC＝130°，OE平分∠BOD即可求∠AOE的度数；
（2）①根据OF⊥OE，OE平分∠BOD，即可判断OF是∠AOD的平分线；
②根据OF平分∠AOE，∠AOF=53∠DOF，即可求∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，
∴∠AOD＝∠BOC＝150°，
∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝25°
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．
答：∠AOE的度数为155°
（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°
∴∠BOE+∠AOF＝90°
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE
∴∠DOE+∠AOF＝90°
∠DOE+∠DOF＝90°
∴∠AOF＝∠DOF
∴OF是∠AOD的平分线；
②∵∠AOF=53∠DOF，
设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝5x
∴∠DOE＝2x
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝4x
5x+3x+4x＝180°
∴x＝15°．
∴∠BOD＝4x＝60°．
答：∠BOD的度数为60°．
【变式2-1】(2023秋•南岗区校级月考）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
分析：（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；
（2）分两种情况：当OG在EF下方时；当OG在EF上方时，计算即可；
（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，再结合角平分线的性质可用α表达出∠COH∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
（2）当OG在EF下方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE=12∠AOD=50°，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE=12∠AOD=50°，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
（3）设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，
∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，
∴∠BOC＝275°﹣15α，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，
∴∠AOE＝10α﹣105°，
∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．
【变式2-2】(2023秋•门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．
（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，
①依题意补全图1；
②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；
（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）
分析：（1）①依据OD平分∠BOC，射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O，进行画图即可．
②依据角平分线的定义以及垂线的的定义，即可得出∠AOE的度数；
（2）分两种情况讨论：点C在直线AB上方，点C在直线AB下方，分别依据角平分线的定义以及垂线的的定义，进行计算即可．
【解答】解：（1）①如图所示：
②∵∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，
∴∠BOD=12∠BOC＝15°，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE＝180°﹣90°﹣15°＝75°；
（2）分两种情况：
①当点C在直线AB上方时，如图1，
同理可得，∠BOD=12α，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣90°−12α=90°−12α；
②当点C在直线AB下方时，如图2，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=12α，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝90°−12α，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE＝180°﹣（90°−12α）＝90°+12α．
综上所述，∠AOE的度数为90°−12α或90°+12α．
【变式2-3】(2023秋•金湖县期末）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．
也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ m2 °；
【变式拓展】小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
分析：（1）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；
（2）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；
（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，
【解答】解：（1）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−12∠AOC
=12（a°+90°）−12a°=12×90°=45°；
（2）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−12∠AOC
=12（a°+m°）−12a°=m°2，
故答案为：m2°；
（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，
设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−12∠AOC
=12（a°+m°）−12a°=m°2；
②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，
∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD=12∠AOC+12∠AOB=12∠BOC＝180°−m°2；
③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，
由②得，∠BOC＝m°，
∠DOE=12∠AOC+12∠AOB=12∠BOC=m°2；
综上所述，∠DOE=m°2或180°−m°2．、
【考点3 平行线的判定与性质综合证明题】
【例3】(2023春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．
分析：（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC和∠ACD的平分线交于E，
∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°．
【变式3-1】(2023秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．
求证：（1）BF∥EC；
（2）∠A＝∠D．
分析：（1）由∠1＝∠2直接可得结论；
（2）根据BF∥EC，∠B＝∠C，可得∠B＝∠BFD，从而AB∥CD，即得∠A＝∠D．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2（已知），
∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵BF∥EC（已证），
∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠C（已知），
∴∠B＝∠BFD（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
【变式3-2】(2023秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
分析：（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；
（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【变式3-3】(2023秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由．
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．
分析：（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∥BC；
（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥EF；
（3）①由AB∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；
②由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．
【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠BCF＝∠ADC，
∴AD∥BC．
（2）AB∥EF，理由如下：
∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，
∴∠BAF=12∠BAD＝∠F，
∴AB∥EF．
（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：
∵AB∥EF，
∴∠ABE＝∠E．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．
②∠E+∠F＝90°，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°．
∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，
∴2∠E+2∠F＝180°，
∴∠E+∠F＝90°．
【考点4 平移中几何综合问题】
【例4】(2023春•和平区校级月考）已知：AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°．
（1）则∠EDC＝ 35 （度）；
（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）．
（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，则∠BED＝ 12n°﹣35°或215°−12n° （度）（用含n的式子表示）．
分析：（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；
（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（3）∠BED的度数改变．分三种情况讨论，分别过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，然后根据平行线的性质即可得到∠BED的度数．
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠EDC=12∠ADC=12×70°＝35°
故答案为：35；
（2）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=12n°+35°；
（3）分三种情况：
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDG=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABE=12n°，∠CDG＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=12n°﹣35°．
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°−12n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°−12n°+35°＝215°−12n°．
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABG=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABG=12n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=12n°﹣35°．
综上所述，∠BED的度数为12n°﹣35°或215°−12n°．
故答案为：12n°﹣35°或215°−12n°．
【变式4-1】(2023春•曲周县期末）【探究】如图1，已知直线MN∥PQ，点A在MN上，点C在PQ上，点E在MN，PQ两平行线之间，则∠AEC＝∠ NAE +∠ QCE ；
【应用】如图2，已知直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝70°，∠β＝30°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）将线段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求∠AEC的度数．
分析：【探究】如图1中，作ET∥MN．利用平行线的性质求解即可．
【应用】（1）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出∠ECD以及∠AEF的度数即可得出答案；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出∠BAE以及∠AEF的度数即可得出答案．
【解答】解：【探究】如图1中，作ET∥MN．
∵MN∥PQ，ET∥MN，
∴MN∥ET∥PQ，
∴∠NAE＝∠AET，∠ECQ＝∠CET，
∴∠AEC＝∠AET+∠CET＝∠EAN+∠QCE．
故答案为：NAE，QCE．
【应用】解：（1）过点E作EF∥l1，
∵l1∥l2，
∴EF∥l2，
∵l1∥l2，
∴∠BCD＝∠α，
∵∠α＝70°，
∴∠BCD＝70°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD=12×70°＝35°，
∵EF∥l2，
∴∠FEC＝∠ECD＝35°，
同理可求∠AEF＝15°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝50°；
（2）过点E作EF∥l1，
∵l1∥l2，
∴EF∥l2，
∵l1∥l2，
∴∠BCD＝∠α，
∵∠α＝70°，
∴∠BCD＝70°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD=12×70°＝35°，
∵EF∥l2，
∴∠FEC＝∠ECD＝35°，
∵l1∥l2，
∴∠BAD+∠β＝180°，
∵∠β＝30°，
∴∠BAD＝150°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=12×150°＝75°，
∵EF∥l1，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝105°，
∴∠AEC＝105°+35°＝140°．
【变式4-2】(2023春•奉化区校级期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ 140°3或140° ．
分析：（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AB∥DE；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ=12∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q−12∠Q＝110°，
∴∠Q=140°3．
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ=12∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q+12∠Q＝110°，
∴∠Q＝140°，
综上所述，∠Q=140°3或140°，
故答案为：140°3或140°．
【变式4-3】(2023春•天元区期末）已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，试说明OB∥AC；
（2）如图②，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于 40° （在横线上填上答案即可）；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（4）在（3）的条件下，在平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA的度数等于 60° （在横线上填上答案即可）．
分析：（1）由同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOCP=12（∠BOF+∠FOA）=12∠BOA，即可求出∠EOC的度数；
（3）由BC与AO平行，得到一对内错角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证；
（4）由（2）（3）的结论可得∠OCA度数．
【解答】（1）证明：∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，
又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）解：∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，
∴∠BOA＝80°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF=12∠BOF，
∵∠FOC＝∠AOC=12∠FOA，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC=12∠BOF+12∠FOA=12∠BOA＝40°；
故答案为：40°；
（3）解：结论：∠OCB：∠OFB 的值不发生变化．
理由为：∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2；
（4）解：由（1）知：OB∥AC，
∴∠OCA＝∠BOC，
由（2）知设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∴∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝80°，
∴α＝β＝20°，
∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．
故答案为：60°．
【考点5 平行线中的辅助线构造】
【例5】(2023秋•西乡县期末）（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
分析：（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，进而可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，结合PN∥CD可求解；
（3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴CD∥PQ．
∴∠CFP+∠FPQ＝180°
∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，
又∵PQ∥AB，
∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG=12∠AEP，∠HGF＝∠CFG=12∠CFP，
同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF=12（∠P+∠AEP）=12（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE=12（α+∠AEP）=12α+12∠AEP﹣∠HGE=12α．
【变式5-1】(2023秋•济阳区期末）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 ∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 130° ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
分析：（1）①过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；②过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可求解；
②设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则可求∠P，∠Q，即可求解．
【解答】解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝100°，则∠EQF＝130°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，
故答案为130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠Q＝α+β，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°．
【变式5-2】(2023秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ∠CDP+∠PAB﹣APD＝180° ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
分析：（1）过点P作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数；
（2）过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，又∠FPA＝∠DPF﹣APD，即可得出∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；
（3）PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN+12∠PAB＝∠APD得出∠PAN+12∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA=12∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=12∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN=12∠PDC，即∠AND＝180°−12（∠PAB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，代入计算即可求出∠AND的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，
∵∠A＝50°，
∴∠APE＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；
（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，
∵∠FPA＝∠DPF﹣APD，
∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°，
∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；
（3）如图3，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAN+12∠PAB＝∠APD，
∴∠PAN+12∠PAB＝90°，
∵∠POA+∠PAN＝90°，
∴∠POA=12∠PAB，
∵∠POA＝∠NOD，
∴∠NOD=12∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=12∠PDC，
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
＝180°−12（∠PAB+∠PDC），
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
∴∠AND＝180°−12（∠PAB+∠PDC）
＝180°−12（180°+∠APD）
＝180°−12（180°+90°）
＝45°．
【变式5-3】(2023秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
分析：（1）过点C作CM∥AB，可得∠ABC＝∠BCM，再由平行线的性质得∠CDE＝∠DCM，则可求得∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH=12∠ABC，∠EFG=12∠CFD，可得∠FGQ=12（∠ABC﹣∠CFD），结合（2）即可求解．
【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH=12∠ABC，∠EFG=12∠CFD，
∴∠FGQ=12∠ABC−12∠CFD=12（∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ=12×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
【考点6 与平行线有关的实际问题】
【例6】(2023秋•罗湖区期末）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 两直线平行，同位角相等 ，∠2＝∠4，依据是 等量代换 ．
②反射光线BC与EF平行，依据是 同位角相等，两直线平行 ．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝ 84° ；∠3＝ 90° ．
分析：（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1＝42°，
∴∠4＝∠1＝42°，
∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝84°，
∴∠5＝∠7=180°−∠22=48°，
∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°．
故答案为：84°，90°．
【变式6-1】(2023秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．
（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．
（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．
（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
分析：（1）根据角的关系解答即可；
（2）求出∠5+∠6＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（3）根据平行线的性质和平均的定义得到∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵∠AFE＝∠BFE＝90°，
∵θ1＝θ2．
∴∠1＝∠2；
（2）解：直线m∥直线n，
理由：如图2，∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，
∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，
∴∠5+∠6＝180°，
∴直线m∥直线n；
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即：∠5＝∠6，
∴m∥n．
【变式6-2】(2023秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．
分析：（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣50°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝140°．
【解答】解：（1）EF∥GH，
理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∵α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF//GH；
（2）β＝2α﹣180°．
理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
∵∠3＝∠4，∠4＝∠MGB∴∠3＝∠MGB，
∴∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；
（3）90°+m或140°．
理由如下：①当n＝3时，如下图所示：
∵∠BEG＝∠1＝x，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣x，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2x，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣x），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+x．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣＝50°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣50°＝90°，
则γ＝140°．
综上所述：γ的度数为：90°+x或140°．
【变式6-3】(2023春•广宁县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 60° ；
（2）如图2，
①若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒（0＜t＜90），则∠MAM'＝ （2t）° ，∠PBP'＝ （30+t）° ；（用含t的式子表示）
②在①的条件下，若AM′∥BP'，则t＝ 30 秒．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
分析：（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）①根据路程＝速度×时间即可求出；②若AM′∥BP'，则∠M′AB＝∠P′BA，又QP∥MN，所以∠PBA＝∠MAB，所以∠M′AM＝∠PBP′，进而求解；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×13=60°，
故答案为：60°；
（2）①设灯A转动t秒（0＜t＜90），
则∠MAM'＝（2t）°，∠PBP'＝（30+t）°，
故答案为：（2t）°，（30+t）°；
②若AM′∥BP'，
则∠M′AB＝∠P′BA，
又∵QP∥MN，
∴∠PBA＝∠MAB，
∴∠PBA﹣∠M′AB＝∠MAB﹣∠P′BA，
∴∠M′AM＝∠PBP′，
∴2t＝30+t，
∴t＝30；
（3）不发生变化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD．
【考点7 平行线中的旋转问题】
【例7】(2023秋•三水区期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，设∠ACE＝x．
（1）填空：∠BCE＝ 90°﹣x ，∠ACD＝ 90°﹣x ；（用含x的代数式表示）
（2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE的度数；
（3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当∠BCE等于多少度时CD∥AB？
分析：（1）根据题意直接得出即可；
（2）先得出∠BCD＝180°﹣x，再根据∠BCD＝5∠ACE解得x的值即可；
（3）分情况讨论求值即可．
【解答】解：（1）由题知，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣x，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣x，
故答案为：90°﹣x，90°﹣x；
（2）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD＝90°+（90°﹣x）＝180°﹣x，
∵∠BCD＝5∠ACE，
∴180°﹣x＝5x，
解得x＝30°，
即∠ACE＝30°；
（3）若CD∥AB分以下两种情况：
①如图①，此时∠BCD+∠B＝180°，
∵∠B＝60°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°+∠BCE，
∴（90°+∠BCE）+60°＝180°，
∴∠BCE＝30°；
②如备用图所示，
此时∠BCD＝∠B＝60°，
∵∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BCE＝90°+60°＝150°，
综上，当∠BCE等于30或150度时CD∥AB．
【变式7-1】(2023秋•太仓市期末）如图所示，已知直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．
（1）在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．
①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝ 40 °；
②若∠CPA＝70°，求此时t的值；
（2）在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①当t＝20（秒）时，∠ECP＝60°，∠BAP＝40°，可得∠CAP＝20°，即得∠CPA＝∠ECP﹣∠CAP＝40°；
②根据∠BAM＝2t°，∠ECN＝3t°，且AB∥CD，∠BAC＝60°，可得（60°﹣2t°）+（180°﹣3t°）+70°＝180°，即可解得t＝26；
（2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）①如图：
当t＝20（秒）时，∠ECP＝20×3°＝60°，∠BAP＝20×2°＝40°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠CAP＝∠BAC﹣∠BAP＝20°，
∴∠CPA＝∠ECP﹣∠CAP＝40°，
故答案为：40°；
②如图：
根据题意知：∠BAM＝2t°，∠ECN＝3t°，
∵AB∥CD，∠BAC＝60°，
∴∠CAP＝60°﹣2t°，∠ACP＝180°﹣3t°，
∵∠CPA＝70°，
∴（60°﹣2t°）+（180°﹣3t°）+70°＝180°，
解得t＝26，
∴t的值是26；
（2）存在AM∥CN，
分两种情况：
（Ⅰ）如图：
∵AM∥CN，
∴∠ECN＝∠CAM，
∴3t°＝60°﹣2t°，
解得t＝12，
（Ⅱ）如图：
∵AM∥CN，
∴∠ACN＝∠CAM，
∴180°﹣3t°＝2t°﹣60°，
解得t＝48，
综上所述，t的值为12或48．
【变式7-2】(2023春•醴陵市期末）钱塘江汛期来临前，防汛指挥部准备在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是1度/秒．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN．
（1）当A灯转动t秒时（0＜t＜60），用t的代数式表示灯A射线转动的角度大小；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
分析：（1）根据灯A转动的速度是3度/秒，A灯转动t秒，于是得到结论；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，②当60＜t＜120时，③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30，根据平行线的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）解：∵灯A转动的速度是3度/秒，A灯转动t秒，
∴灯A射线转动的角度大小为3t （0＜t＜60）；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°；
∴3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意），
综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【变式7-3】(2023春•莱山区期末）我区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）∠BAN＝ 60 度．
（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要 90 秒；
（3）若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示．
①∠PBD＝ t+30 度，∠MAC＝ 2t 度（用含有t的代数式表示）；
②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC∥BD？
（4）在BD到达BQ之前，是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD？若存在，直接写出转动时间，若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）求出灯A射线转动180°所需时间即可；
（3）①用速度乘以每条光线转动的时间即可得答案；
②设A灯转动t秒，当AC到达AN之前，即0＜t＜90时，两灯的光束互相平行，根据2t＝1•（30+t），即可解得 t＝30；
（4）当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×13=60°，
故答案为：60；
（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN，旋转了180°，
∴所需时间为180÷2＝90（秒），
故答案为：90；
（3）①∵灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒，
∴∠PBD＝（t+30）°，∠MAC＝2t°，
故答案为：t+30，2t；
②设A灯转动t秒，当AC到达AN之前，即0＜t＜90时，两灯的光束互相平行，理由如下：
如图：
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30（秒）；
（4）BD到达BQ之前，即90＜t＜150时，还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD，如图：
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110（秒）．
【考点8 与平行线有关的综合题】
【例8】(2023秋•丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF=12∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．
分析：（1）过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，即可求得∠MPQ＝α+β，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件根据三角形内角和定理可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE=12∠PMA，可得∠NQE+2∠QNE＝180°，结合三角形的内角和定理可得∠QNE＝∠NEQ，再根据平行线的性质可得∠PNE＝∠QNE，进而可得结论．
【解答】解：（1）过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，
∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE
＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE
＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，
∵∠NEF=12∠AMP，
∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE=12∠AMP，
即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，
∴∠NQE+2∠QNE＝180°，
∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
【变式8-1】(2023秋•仁寿县期末）如图①．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，过点B作BD⊥AM于点D，设∠BCN＝α．
（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；
（2）如图②，若点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，使得BE平分∠ABD、BF平分∠DBC，求∠EBF的度数；
（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF平分∠BCH，且∠BFC＝3∠BCN，求∠EBC的度数．
分析：（1）延长DB，交NC于点H，利用平行线的性质可求得∠BHC的度数，利用平角的定义可求结论；
（2）延长DB，交NC于点H，利用（1）中的方法求出∠DBA，利用角平分线的定义和角的和差的表示方法即可求得结论；
（3）利用角平分线的定义和平行线的性质用α分别表示∠方程，∠DFC和∠DBF，在△DBF中利用三角形的内角和定理列出关于α的方程，解方程可得α的值，则结论可求．
【解答】解：（1）延长DB，交NC于点H，如图，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴DH⊥NC．
∴∠BHC＝90°．
∵∠BCN＝α＝30°，
∴∠HBC＝90°﹣∠BCN＝60°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝30°；
（2）延长DB，交NC于点H，如图，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴DH⊥NC．
∴∠BHC＝90°．
∵∠BCN＝α，
∴∠HBC＝90°﹣α．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝α．
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE＝∠ABE=12α．
∵∠HBC＝90°﹣α，
∴∠DBC＝180°﹣∠HBC＝90°+α．
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF=12∠DBC＝45°+12α．
∴∠EBF＝∠DBF﹣∠DBE＝45°+12α−12α＝45°；
（3）∵∠BCN＝α，
∴∠HCB＝180°﹣∠BCN＝180°﹣α．
∵CF平分∠BCH，
∴∠BCF＝∠HCF=12∠HCB＝90°−12α．
∵AM∥CN，
∴∠DFC＝∠HCF＝90°−12α．
∵∠BFC＝3∠BCN，
∴∠BFC＝3α．
∴∠DFB＝∠DFC﹣∠BFC＝90°−72α．
由（2）知：∠DBF＝45°+12α．
∵BD⊥AM，
∴∠D＝90°．
∴∠DBF+∠DFB＝90°．
∴45°+12α+90°−72α＝90°．
解得：α＝15°．
∴∠FBC＝∠DBF＝45°+α＝52.5°．
∴∠EBC＝∠FBC+∠EBF＝52.5°+45°＝97.5°．
【变式8-2】(2023秋•香坊区校级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在点F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在点F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，求∠B的度数．
分析：（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．
【解答】证明：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG．
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB．
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠EFG．
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG．
∴BD∥EF．
（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，
∵BD∥EF，
∴GH∥EF．
∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，
∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，
则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．
∴∠PDM＝180°﹣α．
∵DN平分∠PDM
∴∠PDN=∠MDN=90°−α2．
∴∠EDN=∠PDN−∠PDE=90°−α2−(180°−4α)=72α−90°．
∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°−α2−α＝90°−32α．
∵DG⊥ON，
∴∠DNG＝90°．
∴∠DNG=90°−(90°−32α)=32α．
∵DE∥BF，
∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．
∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，
∴180°−4α−32α=72α−90°，
解得：α＝30°．
∴∠B＝180°﹣4α＝60°．
【变式8-3】(2023秋•南岗区校级期末）已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．
分析：（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；
（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；
（3）设∠AFE＝x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE＝60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CHG．
∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠CHG．
∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，
∴3∠CHG+60°＝180°．
∴∠CHG＝40°．
∴∠1＝40°．
（2）解：∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系为：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CME．
∵∠CME＝∠E+∠MHE，
∴∠AFE＝∠E+∠MHE．
（3）证明：设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．
∵AB∥CD，
∴∠BFT＝∠ETF．
∵∠EFT＝∠ETF，
∴∠EFT＝∠BFT=12∠EFB＝90°−12x．
∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH=12x．
∵∠Q﹣∠HFT＝15°，
∴∠Q＝15°+12x．
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°．
∴∠CEF＝180°﹣x．
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH=12∠CEH＝105°−12x．
∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，
∴15°+12x+105°−12x+∠QPE＝180°．
∴∠QPE＝60°．
∵∠H＝60°，
∴∠QPE＝∠H．
∴PQ∥FH．