北师大版七年级数学下册举一反三 专题4.2 三角形的边-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题4.2 三角形的边-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共23页。

【知识点1 三角形的三边关系】
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段
长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【题型1 三角形三边关系的应用】
【例1】(2023春•青浦区期中）如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10B．13C．14D．15
【变式1-1】(2023秋•仓山区期末）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【变式1-2】(2023春•九龙坡区校级月考）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简(a−b−c)2−|a﹣b+c|−(c+a+b)2的结果是 ．
【变式1-3】(2023春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为 ，能构成三角形的截法共有 种．（只考虑三段木棍的长度）
【题型2 三角形三边关系的证明】
【例2】(2023秋•安庆期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．
求证：
（1）BD+CD＜AB+AC；
（2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC．
【变式2-1】(2023秋•西林县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．试比较DA+DB+DC与12（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程．
【变式2-2】(2023秋•朝阳期中）如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．
【变式2-3】(2023秋•九龙坡区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．
【知识点2 三角形的角平分线、中线和高】
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型3 三角形的角平分线、中线和高线辨析】
【例3】(2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】(2023春•郫都区校级期中）下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3-2】(2023春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
【变式3-3】(2023秋•昆明期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线B．BD是△EBC的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高
【题型4 利用三角形的中线解决周长问题】
【例4】(2023春•盐田区校级期中）如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为 ．
【变式4-1】(2023秋•安徽期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，则边AC的长为 ．
【变式4-2】(2023春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长．
（2）求BC边的取值范围．
【变式4-3】(2023春•靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长．
【题型5 利用三角形的中线解决面积问题】
【例5】(2023春•徐州期中）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式5-1】(2023春•东台市月考）如图，△ABC的面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中四边形EDCF的面积等于（ ）
A．50B．55C．60D．65
【变式5-2】(2023春•碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．16
【变式5-3】(2023春•常熟市期中）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（ ）
A．3B．185C．92D．6
【题型6 与高线、角平分线有关的角度计算】
【例6】(2023秋•呼和浩特期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（ ）
A．14°B．24°C．19°D．9°
【变式6-1】(2023春•碑林区校级期中）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（ ）
A．21°B．22°C．25°D．30°
【变式6-2】(2023秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式6-3】(2023秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59°B．60°C．56°D．22°规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35
专题4.2 三角形的边-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 三角形的三边关系】
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段
长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【题型1 三角形三边关系的应用】
【例1】(2023春•青浦区期中）如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10B．13C．14D．15
分析：根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，得到三角形的周长的范围，判断即可．
【解答】解：∵三角形的两边长为2和5，
∴第三边x的长度范围是5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7，
∴这个三角形的周长a范围是2+5+3＜a＜5+2+7，即10＜a＜14，
故选：B．
【变式1-1】(2023秋•仓山区期末）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（ ）
A．10B．15C．20D．25
分析：根据三角形的三边关系可得5﹣2＜x＜5+2，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度，然后根据木棒价格可直接选出答案．
【解答】解：设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣2＜x＜5+2，
解得2＜x＜8，
x＝3，4，5，6，7，共5种选择，
根据木棒的价格可得选3m最省钱，
所以小明的爷爷至少带的钱数应为20元，
故选：C．
【变式1-2】(2023春•九龙坡区校级月考）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简(a−b−c)2−|a﹣b+c|−(c+a+b)2的结果是 ．
分析：可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a＜b+c，a+c＞b，
∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，c+a+b＞0，
∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c
＝﹣3a+b﹣c，
故答案为：﹣3a+b﹣c．
【变式1-3】(2023春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为 ，能构成三角形的截法共有 种．（只考虑三段木棍的长度）
分析：已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．
【解答】解：∵木棍的长度为20厘米，即三角形的周长为20厘米，
∴①当三角形的最长边为9厘米时，有4种截法，分别是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；
②当三角形的最长边为8厘米时，有3种截法，分别是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘米；8厘米，6厘米，6厘米；
③当三角形的最长边为7厘米时，有1种截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；
∴能构成三角形的截法共有4+3+1＝8种．
故答案为：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8．
【题型2 三角形三边关系的证明】
【例2】(2023秋•安庆期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．
求证：
（1）BD+CD＜AB+AC；
（2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC．
分析：（1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题；
（2）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）延长BD交AC于E，
在△ABE中，有AB+AE＞BE，
在△EDC中，有ED+EC＞CD，
∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD，
∵AE+EC＝AC，BE＝BD+DE，
∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD，
∴AB+AC＞BD+CD；
（2）由（1）同理可得：
AB+BC＞AD+CD，
BC+AC＞BD+AD，
AB+AC＞BD+CD，
∴2（AB+BC+AC）＞2（AD+BD+CD），
∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD．
【变式2-1】(2023秋•西林县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．试比较DA+DB+DC与12（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程．
分析：由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，∠ACD＝∠BCD=12∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD=12（∠ABC+∠ACB）=12×110°＝55°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°；
（2）DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC），理由如下：
在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB①，
同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③，
①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，
∴DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC）．
【变式2-2】(2023秋•朝阳期中）如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．
分析：由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论．
【解答】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，
在△PDC中，CD+PD＞PC，
∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC
∴AB+AC＞BP+CP．
【变式2-3】(2023秋•九龙坡区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．
分析：由三角形的三边关系可得BD﹣BC＜AD﹣AC，即可得结论．
【解答】证明：∵△BCD中，BD﹣BC＜CD，
∴BD﹣BC＜AD﹣AC，且AB＝AC，
∴BD﹣BC＜AD﹣AB，
【知识点2 三角形的角平分线、中线和高】
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型3 三角形的角平分线、中线和高线辨析】
【例3】(2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故选：B．
【变式3-1】(2023春•郫都区校级期中）下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
分析：根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线的判定和性质进行分析即可．
【解答】解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；故原命题错误；
②两直线平行，同旁内角互补；故原命题错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题错误；
④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；故原命题正确；
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故原命题错误；
⑥三角形的角平分线是线段．故原命题正确；
其中说法正确的有2个，
故选：A．
【变式3-2】(2023春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
分析：根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
【解答】解：A．三角形的角平分线是线段，故A不符合题意；
B．三角形的中线是线段，故B不符合题意；
C．锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故C符合题意；
D．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故D不符合题意；
故选：C．
【变式3-3】(2023秋•昆明期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线B．BD是△EBC的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高
分析：根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；
B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；
C、∵BD是△EBC的角平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵BE是中线，
∴∠EBD≠∠ABE，
∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；
D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．
故选：C．
【题型4 利用三角形的中线解决周长问题】
【例4】(2023春•盐田区校级期中）如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为 ．
分析：根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长28cm，
∴AC+AD+CD＝28（cm），
∵AC＝10cm，
∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），
∵AB＝13cm，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝41（cm），
故答案为：41cm．
【变式4-1】(2023秋•安徽期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，则边AC的长为 ．
分析：先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再根据AC+CD＝60，AB+BD＝40，即可得出x和y的值．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
∵AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．
故答案为：48cm．
【变式4-2】(2023春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长．
（2）求BC边的取值范围．
分析：（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，
解得AC＝4，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜BC＜10．
【变式4-3】(2023春•靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长．
分析：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．
【解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，
又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，
∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，
即BE＝AE+AC，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴10﹣AE＝AE+6，
∴AE＝2cm．
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程
①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．
解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．
故AE长为1cm或3cm．
【题型5 利用三角形的中线解决面积问题】
【例5】(2023春•徐州期中）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是（ ）
A．9B．10C．11D．12
分析：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解答】解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，
∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE=12S△ABC，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故选：D．
【变式5-1】(2023春•东台市月考）如图，△ABC的面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中四边形EDCF的面积等于（ ）
A．50B．55C．60D．65
分析：连接CE，由△ABC面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，可求出△ABD，△ADC的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出△ABE、△BEC，△AEC的面积，从而得到△ABE与△BEC的高之比为3：4，亦即△AEF与△CEF的高之比，进而得到△CEF的面积，最后求出四边形EDCF的面积．
【解答】解：连接CE，如图．
∵△ABC的面积为280cm2，BD＝3DC，
∴S△ADC＝280×14=70cm2，S△ABD=280×34=210cm2．
又AE＝DE，
∴S△ABE＝S△BDE=12×210=105cm2，
∴S△AEC＝S△DEC=12×70=35．
∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝140，
∴△ABE与△BEC面积比为105：140＝3：4，
∴△ABE与△BEC高之比为3：4，
即△AEF与△CEF的高之比为3：4，
∴S△CEF=47S△AEC=47×35=20，
∴四边形EDCF的面积为S△DEC+S△CEF＝35+20＝55．
故选：B．
【变式5-2】(2023春•碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．16
分析：连接AE，由F为BE中点可得S△ABE＝4，又由E为CD中点可得S△ADE=12S△ADC，S△BDE=12S△BDC，从而S△ABE＝S△ADE+S△BDE=12（S△ADC+S△BDC）=12S△ABC＝4，即可得到答案．
【解答】解：连接AE，如图．
∵F为BE中点，S△ABF＝2，
∴S△ABE＝2S△ABF＝2×2＝4，
又E为CD中点，
∴S△ADE=12S△ADC，S△BDE=12S△BDC，
∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE
=12S△ADC+12S△BDC
=12（S△ADC+S△BDC）
=12S△ABC
＝4，
故S△ABC＝8．
故选：C．
【变式5-3】(2023春•常熟市期中）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（ ）
A．3B．185C．92D．6
分析：由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
【解答】解：∵S△ABC=12BC•hBC=12AC•hAC＝18，
∴S△ABC=12（BD+CD）•hBC=12（AE+CE）•hAC＝18，
∵AE＝CE=12AC，S△AEB=12AE•hAC，S△BCE=12EC•hAC，
∴S△AEB＝S△CEB=12S△ABC=12×18＝9，
即S△AEF+S△ABF＝9①，
同理：∵BD＝2CD，BD+CD＝BC，
∴BD=23BC，S△ABD=12BD•hBC，
∴S△ABD=23S△ABC=23×18＝12，
即S△BDF+S△ABF＝12②，
①﹣②得：S△BDF﹣SAEF＝（S△BDF+S△ABF）﹣（S△AEF+S△ABF）＝12﹣9＝3，
故选：A．
【题型6 与高线、角平分线有关的角度计算】
【例6】(2023秋•呼和浩特期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（ ）
A．14°B．24°C．19°D．9°
分析：在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义可求出∠CAE的度数，由AD是BC边上的高，可求出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD即可求出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝73°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝62°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC＝31°．
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝17°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝31°﹣17°＝14°．
故选：A．
【变式6-1】(2023春•碑林区校级期中）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（ ）
A．21°B．22°C．25°D．30°
分析：依据AD，AE为△ABC的高线，角平分线，即可得到∠BAD和BAE的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠DAF的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
又∵∠CAD＝21°，
∴∠BAC＝65°+21°＝86°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×86°＝43°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝65°﹣43°＝22°，
故选：B．
【变式6-2】(2023秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°，
故选：C．
【变式6-3】(2023秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59°B．60°C．56°D．22°
分析：根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1=12∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35