北师大版七年级数学下册举一反三 专题5.2 生活中的轴对称章末测试卷（拔尖卷）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题5.2 生活中的轴对称章末测试卷（拔尖卷）（举一反三）（原卷版+解析），共28页。

考试时间：100分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）(2023秋•石城县期末）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列四个图分别是四届冬奥会部分图标，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）(2023秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
3．（3分）(2023秋•青田县期末）如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）(2023秋•迁安市期末）如图，将长方形纸片沿MP和NP折叠，使线段PB'和PC'重合，则下列结论正确（ ）
①∠BPB′=12∠C′PC
②∠BPM+∠B'PM＝90°
③∠BPM+∠NPC＝90°
④∠NPM＝90°
⑤∠B'PM+∠NPC＝90°
A．①②③B．③④⑤C．②③④D．①⑤
5．（3分）(2023秋•亳州期末）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）(2023秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
7．（3分）(2023秋•苏州期末）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．12cmB．12cm或2cmC．2cmD．4cm或12cm
8．（3分）(2023秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，在直线BC上取一点P，使CP＝CA，连接AP，则∠BAP的度数为（ ）
A．15°B．55°C．15°或55°D．15°或75°
9．（3分）(2023秋•罗庄区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，若AB＝4AC，△BDE的面积为12，则△ABC的面积是（ ）
A．6B．9C．12D．15
10．（3分）(2023秋•澄海区期末）如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82°B．84°C．88°D．92°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）(2023秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 种补法．
12．（3分）(2023秋•澄海区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为 ．
13．（3分）(2023秋•官渡区期末）如图，钝角△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC＝4，过三角形一个顶点的一条直线可将△ABC分成两个三角形，若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有 条．
14．（3分）(2023秋•临海市期末）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，延长CD至点E，使DE=12CD，连接BE，若AC＝2BC，△BDE的面积为1，则△ABC的面积是 ．
15．（3分）(2023秋•宁津县期末）如图，已知∠AOB＝40°，点D是边OA上一点，在射线OB上取一点C，当△OCD是等腰三角形时，∠OCD的度数为 ．
16．（3分）(2023秋•黄冈期末）已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝ ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）(2023秋•黄石港区期末）如图a，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形，直线MN为格点直线（点A、B、C、M、N在小正方形的顶点上）．
（1）仅用直尺在图a中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（2）如图b，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
（3）如图c，仅用直尺作三角形ABC的边AC上的高，简单说明你的理由．
18．（6分）(2023秋•思明区校级期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
19．（8分）(2023秋•密山市校级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
20．（8分）(2023春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
21．（8分）(2023秋•湖里区期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．
例如，如图，△ABC中，点D在AB边上，若AD＝DC＝CB，则称△ABC是“钻石三角形”，直线CD是△ABC的“钻石分割线”．
（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，则Rt△ABC “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；
（2）已知，△ABC是“钻石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直线BD是△ABC的“钻石分割线”，探求∠ABC与∠C之间的关系．
22．（8分）(2023春•新城区校级期末）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）如图1，过点A作AE∥CD交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为D′，求证：∠BDC＝2∠ABD′．
23．（8分）(2023秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝ °．
（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知S1S2=23，则BC的长为 ．
（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．
第5章 生活中的轴对称章末测试卷（拔尖卷）
【北师大版】
考试时间：100分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）(2023秋•石城县期末）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列四个图分别是四届冬奥会部分图标，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）(2023秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，进而确定位置即可．
【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，
∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．
故选：D．
3．（3分）(2023秋•青田县期末）如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
分析：直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有4个．
故选：D．
4．（3分）(2023秋•迁安市期末）如图，将长方形纸片沿MP和NP折叠，使线段PB'和PC'重合，则下列结论正确（ ）
①∠BPB′=12∠C′PC
②∠BPM+∠B'PM＝90°
③∠BPM+∠NPC＝90°
④∠NPM＝90°
⑤∠B'PM+∠NPC＝90°
A．①②③B．③④⑤C．②③④D．①⑤
分析：由折叠可知，∠BPM＝∠B'PM=12∠BPB'，∠CPN＝∠C'PN=12∠CPC'，据此解答即可．
【解答】解：由折叠可知，∠BPM＝∠B'PM=12∠BPB'，∠CPN＝∠C'PN=12∠CPC'，
∴∠BPM+∠NPC=12∠BPB'+12∠CPC'=12×180°=90°，故③正确；
∠NPM＝∠B'PM+∠C'PN=12∠BPB'+12∠CPC'=12×180°=90°，故④正确；
∠B'PM+∠NPC=12∠BPB'+12∠CPC'=12×180°=90°，故⑤正确
故①②错误．
故选：B．
5．（3分）(2023秋•亳州期末）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：根据等腰三角形的定义画出图形即可判断．
【解答】解：A．是“奇妙三角形”，不合题意；
B．是“奇妙三角形”，不合题意；
C．不是“奇妙三角形”，符合题意；
D．是“奇妙三角形”，不合题意；
故选：C．
6．（3分）(2023秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
分析：根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB＝16，
∴AE+GE+GC＝16，
∴AC+GE+GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝16﹣2＝14，
故选：C．
7．（3分）(2023秋•苏州期末）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．12cmB．12cm或2cmC．2cmD．4cm或12cm
分析：设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．分①xcm为腰；②4xcm为腰两种情况讨论即可．
【解答】解：设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．
①当xcm为腰时，
∵x+x＜4x，
∴x，x，4x不能组成三角形；
②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，
∵4x+4x+x＝18，
∴x＝2，
∴该等腰三角形底边长为2cm．
故选：C．
8．（3分）(2023秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，在直线BC上取一点P，使CP＝CA，连接AP，则∠BAP的度数为（ ）
A．15°B．55°C．15°或55°D．15°或75°
分析：根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．
【解答】解：如右图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A=∠ACB2=70°2=35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故选：D．
9．（3分）(2023秋•罗庄区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，若AB＝4AC，△BDE的面积为12，则△ABC的面积是（ ）
A．6B．9C．12D．15
分析：由角平分线的性质可得DG＝DH，由三角形的面积关系可求解．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G，DH⊥AB于H，
∵AD＝DE，△BDE的面积为12，
∴S△ABD＝S△BDE＝12，
∵AD是∠BAC的平分线，DH⊥AB，DG⊥AC，
∴DG＝DH，
∵AB＝4AC，
∴S△ABD＝4S△ACD，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝12+3＝15，
故选：D．
10．（3分）(2023秋•澄海区期末）如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82°B．84°C．88°D．92°
分析：作点P关于OA的对称点A'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，此时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，可知∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，再利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：作点P关于OA的对称点A'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，
∴PM'＝P'M'，PN'＝P''N'，
此时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，
∵∠AOB＝44°，
∴∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，
∴∠P'+P''＝44°，
∵∠P'＝∠MPP'，∠P''＝∠P''PN'，
∴∠M'PN'＝∠P'PP''﹣（∠P'+∠P''）＝136°﹣44°＝92°，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）(2023秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 4 种补法．
分析：根据轴对称的性质画出图形即可．
【解答】解：如图所示：
故共有4种补法．
故答案为：4．
12．（3分）(2023秋•澄海区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为 90° ．
分析：根据折叠的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，
∴∠B＝∠CED，
∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，
∴∠A＝∠DEF，
∴∠CEF＝∠DEF+∠CED＝∠A+∠B＝90°，
故答案为：90°．
13．（3分）(2023秋•官渡区期末）如图，钝角△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC＝4，过三角形一个顶点的一条直线可将△ABC分成两个三角形，若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有 7 条．
分析：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得答案．
【解答】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，
∴满足条件的直线有4条；
分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，
∴满足条件的直线有3条，
综上可知满足条件的直线共有7条，
故选：C．
14．（3分）(2023秋•临海市期末）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，延长CD至点E，使DE=12CD，连接BE，若AC＝2BC，△BDE的面积为1，则△ABC的面积是 6 ．
分析：由角平分线的性质可得DG＝DH，由三角形的面积关系可求解．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，
∵DE=12CD，△BDE的面积为1，
∴S△BCD＝2S△BDE＝2，
∵CD是∠ACB的平分线，DH⊥CB，DG⊥AC，
∴DG＝DH，
∵AC＝2BC，S△ACD=12AC⋅GD，S△BCD=12BC⋅DH，
∴S△ACD＝2S△BCD，
∴S△ACD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6，
故答案为：6．
15．（3分）(2023秋•宁津县期末）如图，已知∠AOB＝40°，点D是边OA上一点，在射线OB上取一点C，当△OCD是等腰三角形时，∠OCD的度数为 40°或70°或100° ．
分析：分三种情况讨论：①当OD＝OC，②当OD＝DC，③当OC＝CD，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，
①当OD＝OC时，
∠OCD＝∠ODC=180°−∠AOB2=70°；
②当OD＝DC时，
∠OCD＝∠COD＝40°；
③当OC＝CD时，
∠ODC＝∠COD＝40°，
∴∠OCD＝180°﹣∠ODC﹣∠COD＝100°．
综上所述，∠OCD的度数为40°或70°或100°．
故答案为：40°或70°或100°．
16．（3分）(2023秋•黄冈期末）已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝ 60° ．
分析：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ=12∠M'PM，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN=12∠NQN'
，
∴∠QPN=12∠M'PM=12(180°−∠MPQ)=12（180°﹣α）
∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP
＝∠AOB+∠AQN'
＝∠AOB+12∠NQN'
＝30°+12×（180°﹣β），
∴12（180°﹣α）＝30°+12×（180°﹣β），
∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），
∴180°﹣α＝240°﹣β，
∴β﹣α＝240°﹣180°，
∴β﹣α＝60°，
故答案为60°．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）(2023秋•黄石港区期末）如图a，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形，直线MN为格点直线（点A、B、C、M、N在小正方形的顶点上）．
（1）仅用直尺在图a中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（2）如图b，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
（3）如图c，仅用直尺作三角形ABC的边AC上的高，简单说明你的理由．
分析：（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）如图，取格点O，计算可知S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝2（平方单位）．本题方法多只要满足条件即可．
（3）如图，选择格点D、E，证明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．选择格点Q，证明△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．推出BQ为线段AC的垂直平分线，设BQ与AC相交于点F，则BF为所要求的△ABC的边AC上的高．
【解答】（1）解：如图a中，△A′B′C′即为所求．
（2）解：如图，取格点O，计算可知S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝2（平方单位）
本题方法多，列举部分方法如下：
（3）解：如图，选择格点D、E，证明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．
选择格点Q，证明△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．
∴BQ为线段AC的垂直平分线，设BQ与AC相交于点F，则BF为所要求的△ABC的边AC上的高．
18．（6分）(2023秋•思明区校级期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
分析：（1）根据轴对称的性质即可作出对称轴m；
（2）延长BA，CD交于点E，连接AC，BD交于点F，连接EF即可画出BC边的垂直平分线n．
【解答】解：（1）如图，对称轴m即为所求；
（2）BC边的垂直平分线n即为所求．
19．（8分）(2023秋•密山市校级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
分析：已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，而没有说明哪部分是15，哪部分是6；所以应该分两种情况进行讨论：第一种AB+AD＝15，第二种AB+AD＝6；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．
【解答】解：如图，
解：设AD＝x，
∵BD是△ABC的中线，
∴CD＝AD=12AC＝x，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝2x，
又∵中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，
①当AD+AB＝15时，有2x+x＝15，得x＝5，即AB＝10，
∴BC+CD＝6，即5+BC＝6，得BC＝1，
∴等腰△ABC的腰为10，底边为1；
②当AD+AB＝6时，有2x+x＝6，得x＝2，即AB＝4，
∴BC+CD＝15，即BC+2＝15，得BC＝13，
又∵4+4＜13，
∴此种情况不能构成三角形．
∴综上所述：等腰△ABC的腰为10，底边为1．
20．（8分）(2023春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
BA=BEBD=BDDA=DE，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
21．（8分）(2023秋•湖里区期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．
例如，如图，△ABC中，点D在AB边上，若AD＝DC＝CB，则称△ABC是“钻石三角形”，直线CD是△ABC的“钻石分割线”．
（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，则Rt△ABC 是 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；
（2）已知，△ABC是“钻石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直线BD是△ABC的“钻石分割线”，探求∠ABC与∠C之间的关系．
分析：（1）如图，取BC的中点D连接AD，根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，求得△ACD和△ABD是等腰三角形，于是得到结论；
（2）根据题意得到△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等，求得CD＝BD，设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．在△ABD当AB＝BD时，如图1，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADB＝2x．求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，于是得到结论，在△ABD当AB＝AD时，如图2，推出△ADB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ABD＝2x＝60°，∠C＝x＝30°，求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，是得到结论．
【解答】解：（1）是，
理由：如图，取BC的中点D连接AD，
∵∠A＝90°，
∴AD＝CD＝BD，
∴△ACD和△ABD是等腰三角形，
∴Rt△ABC“钻石三角形”，
故答案为：是；
（2）∵△ABC是钻石三角形，直线BD是钻石分割线，
∴△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等，
∵BC＞AC＞AB，
∴在△BCD中，BC最大，不可能为腰．
∴CD＝BD，
设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．
在△ABD当AB＝BD时，如图1，
∴∠A＝∠ADB＝2x．
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，
即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°；
在△ABD当AB＝AD时，如图2，
∵AB＝AD，BD＝CD，
∴∠ADB＝2∠C＝2x，∠ABD＝∠ADB＝2x，
∴∠ABC＝3x，
∴∠ABC＝3∠C，
在△ABD中，当AD＝BD时，如图3，
∴∠A＝∠ABD=180°−∠ADB2=90°﹣x，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴AC是最大边，这与BC是最大边矛盾，
∴不合题意，舍去；
综上所述，∠ABC＝3∠C或3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°．
解法二：∵△ABC是钻石三角形，直线BD是钻石分割线，
∴△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等，
∵BC＞AC＞AB，
∴在△BCD中，BC最大，不可能为腰．
∴CD＝BD，
∴△ABD的一条腰为BD．
设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．
①在△ABD的另一条腰为AB时，即AB＝BD，如图1，
∴∠A＝∠ADB＝2x．
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，
即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°，
②在△ABD的另一条腰为AD时，即AD＝BD，如图3，
∴∠A＝∠ABD=180°−∠ADB2=90°﹣x，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴AC是最大边，这与BC是最大边矛盾，
∴不合题意，舍去．
综上所述，∠ABC＝3∠C或3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°．
22．（8分）(2023春•新城区校级期末）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）如图1，过点A作AE∥CD交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为D′，求证：∠BDC＝2∠ABD′．
分析：（1）根据平行线的性质得到∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO，利用AAS定理证明△AOE≌△COD，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，OD＝OE，根据题意证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠BDC＝2∠ABD，再根据翻折的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO，
在△AOE和△COD中，
∠AEO=∠CDO∠EAO=∠DCOOA=OC，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）证明：由（1）知，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠CDO＝∠AEO＝∠ABE+∠BAE，
∴∠CDO＝2∠ABE，
即∠BDC＝2∠ABD，
∵∠ABD＝∠ABD′，
∴∠BDC＝2∠ABD′．
23．（8分）(2023秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝ 71 °．
（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知S1S2=23，则BC的长为 9 ．
（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．
分析：（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠HBC=12∠ABC，∠HCB=12∠ACB，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝58°，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=12∠ABC＝29°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝71°，
故答案为：71；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
∴S1S2=12AB⋅DF12BC⋅DE=12×612BC=23，
∴BC＝9，
故答案为：9；
（3）解：在△ABC中，由∠BAC＝α，可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CG平分∠ACB
∴∠HBC=12∠ABC，∠HCB=12∠ACB，
∴∠HBC+∠HCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣α）
＝90°−12α，
在△BHC中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（90°−12α）
＝90°+12α，
∵∠ACE为△ABC的外角，设∠ABC＝β，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝α+β，
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACE，
∴∠FBE=12∠ABC=12β∠FCE=12∠ACE，
∴∠HFC＝∠FCE﹣∠FBE=12（α+β）−12β=12α．