北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.2 整式的乘法-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.2 整式的乘法-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共22页。

【知识点1 整式的乘法】
【题型1 整式乘法中的求值问题】
【例1】(2023•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37B．13C．20D．36
【变式1-1】(2023春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）
A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55
【变式1-2】(2023秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．
【变式1-3】(2023春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】
【例2】(2023春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．
（1）分别求m，n的值．
（2）求m2020n2021的值．
【变式2-1】(2023春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．
【变式2-2】(2023春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【变式2-3】(2023春•太湖县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【题型3 整式乘法的计算】
【例3】(2023秋•河北区期末）计算：
（1）−12x2y⋅(13x3y2−34x2y+16)
（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）
【变式3-1】(2023春•九龙坡区校级期中）计算：
（1）2x2y（x−12y+1）；
（2）（x﹣2y）（y﹣x）．
【变式3-2】(2023春•海陵区校级月考）计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
【变式3-3】(2023春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．
（1）求a的值．
（2）请计算出这道题的正确结果．
【题型4 整式乘法的应用】
【例4】(2023春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．
【变式4-1】(2023春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．
（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；
（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？
【变式4-2】(2023春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
【变式4-3】(2023春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．
【知识点2 整式的除法】
【题型5 整式除法的应用】
【例5】(2023春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）
A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4
【变式5-1】(2023•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）
A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5
C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1
【变式5-2】(2023秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．
【变式5-3】(2023春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A＝ ．
【题型6 整式乘法中的规律探究】
【例6】(2023秋•邹城市期末）观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
（1）分解因式：x5﹣1＝ ；
（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．
【变式6-1】(2023春•包河区期末）探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）
（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
【变式6-2】(2023春•合肥期中）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
【变式6-3】(2023秋•石狮市校级月考）探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4）
B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
专题1.2 整式的乘法-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 整式的乘法】
【题型1 整式乘法中的求值问题】
【例1】(2023•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37B．13C．20D．36
分析：利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，
∴p+q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p+q＝13，
36＝1×36，则p+q＝37，
36＝2×18，则p+q＝20，
36＝3×12，则p+q＝15，
36＝6×6，则p+q＝12，
∴p+q不可能为36，即m不可能为36．
故选：D．
【变式1-1】(2023春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）
A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55
分析：先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．
【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，
又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，
∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．
∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．
∴a＝2，b＝﹣3．
∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．
故选：A．
【变式1-2】(2023秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．
分析：根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．
【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）
＝1﹣2y﹣2x+4xy
＝1﹣2（x+y）+4xy，
当x+y＝2，xy＝﹣1时
原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）
＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【变式1-3】(2023春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．
分析：（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【解答】解：（1）甲错把b看成了6，
（2x+a）（x+6）
＝2x2+12x+ax+6a
＝2x2+（12+a）x+6a
＝2x2+8x﹣24，
∴12+a＝8，
解得：a＝﹣4；
乙错把a看成了﹣a，
（2x﹣a）（x+b）
＝2x2+2bx﹣ax﹣ab
＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab
＝2x2+14x+20，
∴2b﹣a＝14，
把a＝﹣4代入，得b＝5；
（2）当a＝﹣4，b＝5时，
（2x+a）（x+b）
＝（2x﹣4）（x+5）
＝2x2+10x﹣4x﹣20
＝2x2+6x﹣20．
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】
【例2】(2023春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．
（1）分别求m，n的值．
（2）求m2020n2021的值．
分析：（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．
（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．
【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，
＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，
由题意 2m+1＝0，n﹣2＝0，
∴m=−12，n＝2．
（2）原式＝m2020•n2020•n，
＝（m•n）2020•n，
由（1）得m=−12，n＝2，
原式＝（−12×2）2020×2，
＝2．
【变式2-1】(2023春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．
分析：利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．
【解答】解：由题意：
（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）
＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n
＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．
∵乘积中不含x2和x3的项，
∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．
∴m＝3，n＝17．
∴m+n＝20．
【变式2-2】(2023春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
分析：（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．
【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）
＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，
根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0n−3m=0，
解得：m=−4n=−12．
即m＝﹣4，n＝﹣12；
（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）
＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
＝m3+n3，
当m＝﹣4，n＝﹣12时，
原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．
【变式2-3】(2023春•太湖县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
分析：（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；
（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．
【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x
＝2mx﹣3m+2m2﹣3x
＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得，m=32，
答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，
∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6
＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6
＝15xy﹣6x﹣9
＝3x（5y﹣2）﹣9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴5y﹣2＝0，即y=25；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0
∴a＝2b．
【题型3 整式乘法的计算】
【例3】(2023秋•河北区期末）计算：
（1）−12x2y⋅(13x3y2−34x2y+16)
（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）
分析：（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；
（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．
【解答】解：（1）−12x2y⋅(13x3y2−34x2y+16)
=−12x2y⋅13x3y2+12x2y⋅34x2y−12x2y⋅16
＝﹣4x5y3+9x4y2﹣2x2y；
（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）
＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）
＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20
＝5x+19．
【变式3-1】(2023春•九龙坡区校级期中）计算：
（1）2x2y（x−12y+1）；
（2）（x﹣2y）（y﹣x）．
分析：（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；
（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy
＝3xy﹣x2﹣2y2．
【变式3-2】(2023春•海陵区校级月考）计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
分析：（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y
＝﹣4x3+10x2y；
（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy
＝﹣3x2+xy﹣6y2．
【变式3-3】(2023春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．
（1）求a的值．
（2）请计算出这道题的正确结果．
分析：（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；
（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；
∴1+4a＝13，
解得：a＝3；
（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．
【题型4 整式乘法的应用】
【例4】(2023春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．
分析：（1）根据题意列出代数式即可；
（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．
【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；
B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；
（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）
＝﹣12a2+32a+150a﹣400
＝﹣12a2+182a﹣400，
当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400
＝﹣84．
【变式4-1】(2023春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．
（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；
（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？
分析：（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；
（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．
【解答】解：（1）草坪的面积为：
（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2
＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2
＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；
（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．
【变式4-2】(2023春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
分析：（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；
（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．
【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：
3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）
＝3y2+4xy﹣2y2
＝y2+4xy（平方米）．
∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．
（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，
两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，
∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），
∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．
【变式4-3】(2023春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．
分析：（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；
（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；
②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．
【解答】解：（1）由题意：
S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，
S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，
∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，
∴S1＜S2，
故答案为：＜，
（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，
∵正方形的周长与甲的周长相等，
∴正方形的边长为4m+164=m+4，
②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，
∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）
＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15
＝1，
∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．
【知识点2 整式的除法】
【题型5 整式除法的应用】
【例5】(2023春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）
A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4
分析：利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．
【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）
＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）
＝3y3﹣2xy2+4．
故选：B．
【变式5-1】(2023•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）
A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5
C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1
分析：先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．
【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，
∴补0后变为2x2+0x﹣3，
长除法计算为：
故选：D．
【变式5-2】(2023秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．
分析：直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，
∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a
＝3a﹣2b+1，
故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．
故答案为：10a﹣4b+2．
【变式5-3】(2023春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A＝ ．
分析：根据题意列出关系式，计算即可得到结果．
【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，
∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．
故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．
【题型6 整式乘法中的规律探究】
【例6】(2023秋•邹城市期末）观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
（1）分解因式：x5﹣1＝ ；
（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．
分析：（1）观察各式，得到因式结果即可；
（2）利用得出的规律计算即可；
（3）利用得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1；
（3）原式＝351﹣1．
故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn﹣1
【变式6-1】(2023春•包河区期末）探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）
（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
分析：（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；
（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．
【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；
故答案为：m2﹣1；m3﹣1；
（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）
＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1
＝m4﹣1；
（3）（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…m2+m+1）＝mn+1﹣1；
故答案为：mn+1﹣1；
（4）根据（3）得出的规律可得：
1+3+32+33+…+3100
=3101−13−1，
=3101−12．
【变式6-2】(2023春•合肥期中）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
分析：（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；
（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
＝x3+y3﹣（x3﹣y3）
＝2y3．
【变式6-3】(2023秋•石狮市校级月考）探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4）
B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．
分析：（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；
（3）判断各选项是否符合公式的特点；
（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）
＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1
＝x3﹣1；
（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）
＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3
＝8x3﹣y3；
故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；
（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；
B．最后一项应该是4n2，不符合题意；
C．符合题意；
D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．
故选：C．
（4）A＝109﹣1
＝（103）3﹣1
＝（103﹣1）（106+103+12）
＝999×1001001
＝3×3×3×37×1001001，
∴A能被37整除．单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．