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北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.3 乘法公式-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）
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这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.3 乘法公式-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共20页。
【知识点1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】
【例1】(2023•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
【变式1-1】(2023春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
【变式1-2】(2023春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m+1）（﹣1+m）B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c）
C．2021×2019D．（x﹣3y）（3y﹣x）
【变式1-3】(2023春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b）D．（13a+1）（−13a−1）
【题型2 完全平方公式（求系数的值）】
【例2】(2023春•仪征市期中）若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．12C．±12D．±6
【变式2-1】(2023春•南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
【变式2-2】(2023春•新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ．
【变式2-3】(2023春•邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ ．
【题型3 完全平方公式的几何背景】
【例3】(2023春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
【变式3-1】(2023春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【变式3-2】(2023春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
【变式3-3】(2023春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】(2023•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【变式4-1】(2023春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【变式4-2】(2023春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【变式4-3】(2023春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 ．
【题型5 乘法公式（求代数式的值）】
【例5(2023春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
【变式5-1】(2023•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ ．
【变式5-2】(2023春•驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 ．
【变式5-3】(2023春•聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
【题型6 乘法公式的综合运算】
【例6】(2023秋•东湖区期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【变式6-1】(2023•滦南县二模）【阅读理解】
我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
所以ab=(a+b)24−(a−b)24=(a+b2)2−(a−b2)2．
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499．
【发现运用】根据阅读解答问题
（1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；
（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．
【变式6-2】(2023春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-3】(2023春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知(2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求(2023﹣a）（a﹣2020）的值．
专题1.3 乘法公式-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】
【例1】(2023•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
分析：根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．
【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；
B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】(2023春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
分析：根据完全平方公式判断即可．
【解答】解：A选项，原式＝a2﹣2ab+b2，故该选项计算错误；
B选项，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故该选项计算错误；
C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；
D选项，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算正确；
故选：D．
【变式1-2】(2023春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m+1）（﹣1+m）B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c）
C．2021×2019D．（x﹣3y）（3y﹣x）
分析：平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项．根据公式的结构特点解答即可．
【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x﹣3y）（3y﹣x）＝（x﹣3y）×[﹣（x﹣3y）]＝﹣（x﹣3y）2，
故选：D．
【变式1-3】(2023春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b）D．（13a+1）（−13a−1）
分析：只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
【解答】解：A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B．原式＝﹣（2b+a）（2b﹣a），符合平方差公式，故本选项符合题意；
C．原式＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D．原式＝﹣（13a+1）（13a+1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【题型2 完全平方公式（求系数的值）】
【例2】(2023春•仪征市期中）若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．12C．±12D．±6
分析：根据完全平方公式得到4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，从而得到m的值．
【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+9是一个完全平方式，
∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，
即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，
∴m＝12或m＝﹣12，
故选：C．
【变式2-1】(2023春•南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，
∴m2＝16，
解得：m＝±4．
故选：C．
【变式2-2】(2023春•新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ±4 ．
分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2＝x2+kxy+（2y）2（m、k为常数），
∴m＝±2，
∴（x±2y）2＝x2±4xy+4y2＝x2+kxy+4y2，
∴k＝±4．
故答案为：±4．
【变式2-3】(2023春•邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ 3或﹣1 ．
分析：根据完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2•x•2，求出m即可．
【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，
∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•2，
解得：m＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【题型3 完全平方公式的几何背景】
【例3】(2023春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
分析：设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果．
【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，
则图甲得（a﹣b）2
＝a2﹣2ab+b2
＝3，
由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2）
＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）
＝2ab
＝16，
∴正方形A，B的面积之和为，
a2+b2
＝（a2﹣2ab+b2）+2ab
＝（a﹣b）2+2ab
＝3+16
＝19，
故选：B．
【变式3-1】(2023春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
分析：由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果．
【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2，
中间空白正方形的面积为（a﹣b）2，
∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，
又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
【变式3-2】(2023春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
分析：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝4b²＝16，解得b＝2即可就得最后结果．
【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，
则（a﹣b）²＝（3b﹣b）²＝（2b）²＝4b²＝4²＝16，
解得b＝2或b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴每个小长方形的面积为，
ab＝3b•b＝3×2²＝12，
故选：C．
【变式3-3】(2023春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
分析：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，可解得a﹣b＝1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可计算出结果．
【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，
解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），
图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，
可得（a+b）²
＝a²+2ab+b²
＝a²﹣2ab+b²+4ab
＝（a﹣b）²+4ab
＝1+2×12
＝25，
解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
∴图丙中阴影部分的面积为
（2a+b）²﹣（3a²+2b²）
＝a²+4ab﹣b²
＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab
＝5×1+2×12
＝5+24
＝29，
故选：B．
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】(2023•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
分析：分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据两者面积相等，即可得出结论．
【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：12（2b+2a）（a﹣b），
∴a2﹣b2=12（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【变式4-1】(2023春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x
分析：用代数式分别表示出图1和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），
图2中白色部分的面积为：x2﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，
故选：B．
【变式4-2】(2023春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
分析：利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图（1）中阴影部分的面积；根据矩形的面积公式可得图（2）的面积，据此可得结果．
【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2；
图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，
∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．
故选：C．
【变式4-3】(2023春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
分析：分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．
【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【题型5 乘法公式（求代数式的值）】
【例5(2023春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
分析：（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；
（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．
【变式5-1】(2023•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ 5 ．
分析：由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．
【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，
∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，
∴58﹣18＝8xy，
∴xy＝5．
故答案是：5．
【变式5-2】(2023春•驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 53 ．
分析：运用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可解决此题．
【解答】解：∵a﹣b＝9，ab＝﹣14，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2×（﹣14）＝81．
∴a2+b2＝81+（﹣28）＝53．
故答案为53．
【变式5-3】(2023春•聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
分析：（1）把a﹣b＝6两边平方，展开，即可求出ab的值；
（2）先分解因式，再整体代入求出即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20，
∴（a﹣b）2＝36，
∴a2﹣2ab+b2＝36，
∴﹣2ab＝36﹣20＝16，
∴ab＝﹣8；
（2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8，
∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3
＝﹣ab（a2+2ab+b2）
＝﹣（﹣8）×（20﹣16）
＝32．
【题型6 乘法公式的综合运算】
【例6】(2023秋•东湖区期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
分析：（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案为：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
【变式6-1】(2023•滦南县二模）【阅读理解】
我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
所以ab=(a+b)24−(a−b)24=(a+b2)2−(a−b2)2．
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499．
【发现运用】根据阅读解答问题
（1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；
（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．
分析：（1）根据规律解答即可；
（2）根据规律计算19.2×20.8即可．
【解答】解：（1）102×98=(102+982)2−(102−982)2；
故答案为：（102+982），（102−982）；
（2）19.2×20.8=(19.2+20.82)2−(19.2−20.82)2=202﹣0.82＝400﹣0.64＝399.36．
【变式6-2】(2023春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ 20 ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 10 ．
分析：（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）−12a²−12b²=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]=12×2ab＝ab＝10．
【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab=(a+b)2−(a2+b2)2=48−82=20，
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝15²﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255，
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，
则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）−12（a²+b²）
=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]
=12×2ab
＝ab
＝10
【变式6-3】(2023春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： （a+b）2 ；方法2： a2+b2+2ab ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知(2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求(2023﹣a）（a﹣2020）的值．
分析：（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，两式子直接作差即可求解；
②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝5，先求出xy＝﹣2，再求(2023﹣a）（a﹣2020）＝﹣2即可．
【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S＝b2+ab+ab+a2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得（a+b）2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）①∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13①，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25②，
由①﹣②得，﹣4ab＝﹣12，
解得：ab＝3；
②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，
∴x+y＝1，
∵(2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，
∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣5＝﹣4，
解得：xy＝﹣2，
∴(2023﹣a）（a﹣2020）＝﹣2．
【知识点1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】
【例1】(2023•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
【变式1-1】(2023春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
【变式1-2】(2023春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m+1）（﹣1+m）B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c）
C．2021×2019D．（x﹣3y）（3y﹣x）
【变式1-3】(2023春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b）D．（13a+1）（−13a−1）
【题型2 完全平方公式（求系数的值）】
【例2】(2023春•仪征市期中）若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．12C．±12D．±6
【变式2-1】(2023春•南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
【变式2-2】(2023春•新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ．
【变式2-3】(2023春•邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ ．
【题型3 完全平方公式的几何背景】
【例3】(2023春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
【变式3-1】(2023春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【变式3-2】(2023春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
【变式3-3】(2023春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】(2023•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【变式4-1】(2023春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【变式4-2】(2023春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【变式4-3】(2023春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 ．
【题型5 乘法公式（求代数式的值）】
【例5(2023春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
【变式5-1】(2023•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ ．
【变式5-2】(2023春•驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 ．
【变式5-3】(2023春•聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
【题型6 乘法公式的综合运算】
【例6】(2023秋•东湖区期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【变式6-1】(2023•滦南县二模）【阅读理解】
我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
所以ab=(a+b)24−(a−b)24=(a+b2)2−(a−b2)2．
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499．
【发现运用】根据阅读解答问题
（1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；
（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．
【变式6-2】(2023春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-3】(2023春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知(2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求(2023﹣a）（a﹣2020）的值．
专题1.3 乘法公式-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】
【例1】(2023•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
分析：根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．
【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；
B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】(2023春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
分析：根据完全平方公式判断即可．
【解答】解：A选项，原式＝a2﹣2ab+b2，故该选项计算错误；
B选项，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故该选项计算错误；
C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；
D选项，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算正确；
故选：D．
【变式1-2】(2023春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m+1）（﹣1+m）B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c）
C．2021×2019D．（x﹣3y）（3y﹣x）
分析：平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项．根据公式的结构特点解答即可．
【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x﹣3y）（3y﹣x）＝（x﹣3y）×[﹣（x﹣3y）]＝﹣（x﹣3y）2，
故选：D．
【变式1-3】(2023春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b）D．（13a+1）（−13a−1）
分析：只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
【解答】解：A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B．原式＝﹣（2b+a）（2b﹣a），符合平方差公式，故本选项符合题意；
C．原式＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D．原式＝﹣（13a+1）（13a+1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【题型2 完全平方公式（求系数的值）】
【例2】(2023春•仪征市期中）若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．12C．±12D．±6
分析：根据完全平方公式得到4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，从而得到m的值．
【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+9是一个完全平方式，
∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，
即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，
∴m＝12或m＝﹣12，
故选：C．
【变式2-1】(2023春•南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，
∴m2＝16，
解得：m＝±4．
故选：C．
【变式2-2】(2023春•新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ±4 ．
分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2＝x2+kxy+（2y）2（m、k为常数），
∴m＝±2，
∴（x±2y）2＝x2±4xy+4y2＝x2+kxy+4y2，
∴k＝±4．
故答案为：±4．
【变式2-3】(2023春•邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ 3或﹣1 ．
分析：根据完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2•x•2，求出m即可．
【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，
∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•2，
解得：m＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【题型3 完全平方公式的几何背景】
【例3】(2023春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
分析：设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果．
【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，
则图甲得（a﹣b）2
＝a2﹣2ab+b2
＝3，
由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2）
＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）
＝2ab
＝16，
∴正方形A，B的面积之和为，
a2+b2
＝（a2﹣2ab+b2）+2ab
＝（a﹣b）2+2ab
＝3+16
＝19，
故选：B．
【变式3-1】(2023春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
分析：由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果．
【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2，
中间空白正方形的面积为（a﹣b）2，
∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，
又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
【变式3-2】(2023春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
分析：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝4b²＝16，解得b＝2即可就得最后结果．
【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，
则（a﹣b）²＝（3b﹣b）²＝（2b）²＝4b²＝4²＝16，
解得b＝2或b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴每个小长方形的面积为，
ab＝3b•b＝3×2²＝12，
故选：C．
【变式3-3】(2023春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
分析：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，可解得a﹣b＝1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可计算出结果．
【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，
解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），
图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，
可得（a+b）²
＝a²+2ab+b²
＝a²﹣2ab+b²+4ab
＝（a﹣b）²+4ab
＝1+2×12
＝25，
解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
∴图丙中阴影部分的面积为
（2a+b）²﹣（3a²+2b²）
＝a²+4ab﹣b²
＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab
＝5×1+2×12
＝5+24
＝29，
故选：B．
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】(2023•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
分析：分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据两者面积相等，即可得出结论．
【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：12（2b+2a）（a﹣b），
∴a2﹣b2=12（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【变式4-1】(2023春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x
分析：用代数式分别表示出图1和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），
图2中白色部分的面积为：x2﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，
故选：B．
【变式4-2】(2023春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
分析：利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图（1）中阴影部分的面积；根据矩形的面积公式可得图（2）的面积，据此可得结果．
【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2；
图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，
∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．
故选：C．
【变式4-3】(2023春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
分析：分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．
【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【题型5 乘法公式（求代数式的值）】
【例5(2023春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
分析：（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；
（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．
【变式5-1】(2023•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ 5 ．
分析：由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．
【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，
∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，
∴58﹣18＝8xy，
∴xy＝5．
故答案是：5．
【变式5-2】(2023春•驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 53 ．
分析：运用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可解决此题．
【解答】解：∵a﹣b＝9，ab＝﹣14，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2×（﹣14）＝81．
∴a2+b2＝81+（﹣28）＝53．
故答案为53．
【变式5-3】(2023春•聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
分析：（1）把a﹣b＝6两边平方，展开，即可求出ab的值；
（2）先分解因式，再整体代入求出即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20，
∴（a﹣b）2＝36，
∴a2﹣2ab+b2＝36，
∴﹣2ab＝36﹣20＝16，
∴ab＝﹣8；
（2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8，
∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3
＝﹣ab（a2+2ab+b2）
＝﹣（﹣8）×（20﹣16）
＝32．
【题型6 乘法公式的综合运算】
【例6】(2023秋•东湖区期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
分析：（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案为：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
【变式6-1】(2023•滦南县二模）【阅读理解】
我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
所以ab=(a+b)24−(a−b)24=(a+b2)2−(a−b2)2．
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499．
【发现运用】根据阅读解答问题
（1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；
（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．
分析：（1）根据规律解答即可；
（2）根据规律计算19.2×20.8即可．
【解答】解：（1）102×98=(102+982)2−(102−982)2；
故答案为：（102+982），（102−982）；
（2）19.2×20.8=(19.2+20.82)2−(19.2−20.82)2=202﹣0.82＝400﹣0.64＝399.36．
【变式6-2】(2023春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ 20 ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 10 ．
分析：（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）−12a²−12b²=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]=12×2ab＝ab＝10．
【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab=(a+b)2−(a2+b2)2=48−82=20，
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝15²﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255，
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，
则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）−12（a²+b²）
=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]
=12×2ab
＝ab
＝10
【变式6-3】(2023春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： （a+b）2 ；方法2： a2+b2+2ab ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知(2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求(2023﹣a）（a﹣2020）的值．
分析：（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，两式子直接作差即可求解；
②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝5，先求出xy＝﹣2，再求(2023﹣a）（a﹣2020）＝﹣2即可．
【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S＝b2+ab+ab+a2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得（a+b）2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）①∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13①，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25②，
由①﹣②得，﹣4ab＝﹣12，
解得：ab＝3；
②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，
∴x+y＝1，
∵(2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，
∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣5＝﹣4，
解得：xy＝﹣2，
∴(2023﹣a）（a﹣2020）＝﹣2．
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