最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题02 全等三角形中的半角模型 （全国通用）

这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题02 全等三角形中的半角模型 （全国通用），文件包含专题02全等三角形中的半角模型原卷版docx、专题02全等三角形中的半角模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题02 全等三角形中的半角模型
【模型展示】
【模型证明】
【模型拓展】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题
3．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．
4．如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______．
5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____．
三、解答题
6．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
7．已知，如图所示，正方形中，，分别在边，上，且，，分别交于，，连，求证：
① ②.
8．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接EM，AE，且使得．
（1）求证：；（2）求证：.
9．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
10．如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．
(1)求边AB的长；
(2)求∠BAC的度数；
(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．
11．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD．
（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？
12．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
(1)求证：
(2)求证：四边形BFGH是正方形；
(3)求证：ED平分∠CEI
13．学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得．
，从而使问题得证．
(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．
(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF．
(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系．
特点
过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为∠A2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点E、F，则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.
解决方法
以点A为中心，把△ADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABF'；
结论
1、△AMN全等于△AMN'，MN=MN';
2、△AEF全等于△AEF'，EF=EF'→BE+EF=EF;
3、；
4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半；
5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）。
应用环境
1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°、60°、75°或它们的补角、90°；
2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；
3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；
4：此等腰三角形的相关弦.
证明
90°中夹45°(正方形中的半角模型)
条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD
证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，
∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
且AE=AE，AF=AF’，
∴△FAE≌△F’AE(SAS)，
∴EF=EF’，
又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，
∴F’、B、E三点共线，
∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；
证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，
∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，
且AM=AM，AN=AN’，
∴△MAN’≌△MAN(SAS)，
∴MN=MN’，
又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，
∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，
∴在Rt△MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，
即MN²=BM²+BN’²。
结论③：图1、2中EA平分∠BEF，FA平分∠DFE。
证明过程见证明①中时△FAE≌△F’AE即可。
结论④：图1、2中。
证明：如图5中，过A点作AH⊥EF于H点，由结论③可知：∠AEH=∠AEB，
且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH(AAS)，
∴AH=AB=AD，进而可以证明△AHF≌△ADF(AAS)，
∴.