资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩10页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型 （全国通用）
展开
这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型 （全国通用），文件包含专题20最值问题中的构造圆与隐形圆模型原卷版docx、专题20最值问题中的构造圆与隐形圆模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型
【模型展示】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
【答案】D
【详解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
3．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
4．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，
，，，
，
最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
5．如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】分析知当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，可以判断①②是否正确；当∠OAP=90°时，根据勾股定理求出AP的长度，可以判断③是否正确；作出A点的轨迹圆，知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可．
【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，
∴PA的最小值为，PA的最大值为，
故①②正确；
当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=，
即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形，
故③正确；
作出A点轨迹圆如下：
知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：，
故④错误，
综上所述，正确的序号为：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是解决本题的关键．
6．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2B．+1C．2﹣2D．3
【答案】C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD=MD=1，
∴HM==，CH=CD+DH=5，
∴，
∴A′C=MC-MA′=2-2；
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
【答案】D
【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），
∴OB=3，OA=4，
∴，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC=2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM=MN=，
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK=，PK=，
∴AK=，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ=，
∴QM=KQ+MK=+=，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长．
二、填空题
8．如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．
【答案】2
【分析】由题意易得点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆问题可进行求解．
【详解】解：由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，
连接BD，交圆弧于点H，如图所示：
∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短，
∵四边形ABCD是矩形，，BC=2，
∴，
∴，
∴，即点D到点F的最短距离为2；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运动轨迹．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
【答案】
【详解】解：∵AQ⊥CQ，
∴∠AQC＝90°，
∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB＝2，
∴点Q的运动路径长为π
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
【答案】##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________
【答案】##
【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
CH=，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
BC=CH+BH=+1，
在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，
以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，
∴点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，
最小值为4-（+1）=3-．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．
12．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．
【答案】
【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4,4），
故答案为：（4,4）．
【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．
13．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，
由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，
∴BH=4.8，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
14．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．
【答案】##
【分析】连接，取中点，连接，求得，点在以为圆心，以为半径的圆上，求得当共线且点在的延长线上时，最大，求解即可．
【详解】解：连接，取中点，连接，如下图：
∵，为中点
∴
∴点在以为圆心，以为半径的圆上
∴当共线且点在的延长线上时，最大
延长交于点，如上图：
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴垂直平分，
∴
∴，
∴，
∴
∴的最大值为
故答案为：
【点睛】此题考查了圆与内接正三角形的性质，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，三角形外心的性质，解题的关键是理解题意，利用性质确定出点的运动轨迹．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．
【答案】4
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝8，AG＝GB，
∴AG＝GB＝4，
∵AD＝12，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝4，
∴FG＝，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，
∵GC＝，
∴FC≥GC−FG，
∴FC≥4，
∴CF的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则的最小值为 __________________．
【答案】
【分析】在AP上取点E，连接DE，使∠ADE=∠APD，由△ADE∽△APD，可得，当DE最小时，的值最小，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，利用勾股定理及
三角形三边关系可得答案．
【详解】解：如图，在AP上取点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，
∵△ADE∽△APD，
∴，
∴，
∵AD＝2，
∴DE最小时，的值最小，
作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，
则OE＝OA＝OB＝1，
在Rt△AOD中，，
∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，
∴DE的最小值为﹣1，
∴的最小值＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空压轴题．
三、解答题
17．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．
【答案】
【分析】由题意易得∠PEC=∠PDC=90°，所以P、D、C、E四点共圆，又因为∠EOD=120°，所以当直径最小时，弦DE的值最小．
【详解】解：∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PEC=∠PDC=90°，
∴四边形PDCE对角互补，
∴P、D、C、E四点共圆，如图2．
∴∠EOD=2∠ECD=120°，
要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，则当CP⊥AB时，PC最短，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
18．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
【答案】（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）
【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；
尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点；
拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，
由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，
∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，
同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，
点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；
尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴△ABD的A、B、D三点的对应点分别为△CAE的C、A、E三点，
则AC、AB分别视作两组对应点的连线，
此时，如图所示，作AC和AB的垂直平分线交于点O，
∵△ABC为等边三角形，
∴由等边三角形的性质可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O；
拓展创新（3）由（1）知，在直线l旋转的过程中，总有∠ADB=90°，
∴点D的运动轨迹为以AB为直径的圆，
如图，取AB的中点P，连接CP，交⊙P于点Q，
则当点D在CP的延长线时，CD的长度最大，
当点D与Q点重合时，CD的长度最小，即CQ的长度，
∵AB=AC，AB=2，
∴AP=1，AC=2，
在Rt△APC中，，
由圆的性质，PD=AP=1，
∴PD=PQ=1，
∴，，
∴CD的长的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出结论；
（2）取AE的中点O，连接OD、OF，根据∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四点共圆，当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°，
∴OA＝OD＝OE＝OF，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，
∴BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大是解题的关键．
20．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，连接，当时．
①求点的坐标；
②连接，求与重叠部分的面积；
(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，②
(3)
【分析】（1）如图，连接 交于 过作于 由对折可得：证明是等边三角形，可得再利用三角函数可得答案；
（2）①利用平行线的性质证明从而可得答案；②如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于 再分别求解的坐标，利用函数解析式与三角形的面积公式可得答案；
（3）如图，由对折可得 则在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，连接AC，交于 当重合时，取得最小值，从而可得答案．
(1)
解：如图，连接 交于 过作于
由对折可得：
是等边三角形，
，
(2)
①
而
②如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于
由①得：
设 则
解得： （不符合题意的根舍去）
而
设为 则
解得：
∴为
同理可得：AM为 OB为
解得： 即
所以 即
同理可得：
与重叠部分的面积为：
(3)
如图，由对折可得
∴在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，
连接AC，交于
当重合时，取得最小值，
此时
所以的取值范围为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．
21．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，设 结合题意可得：，结合正三角形的性质求解 再利用弧长公式进行计算即可；
（2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，证明M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，可得当C，N，M三点共线时，CM最大，从而可得答案．
（1）
解：如图，设 结合题意可得：，
为等边三角形，
而三点共线，
解得：
运动的总长度为：
（2）
解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，
为PB的中点，
∴M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，
∴当C，N，M三点共线时，CM最大，
同理可得： 则
∴的最大值为：
【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质，勾股定理的应用，熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键．
22．如图，在正方形ABCD中，点E在直线AD右侧，且AE＝1，以DE为边作正方形DEFG，射线DF与边BC交于点M，连接ME，MG．
(1)如图1，求证：ME＝MG；
(2)若正方形ABCD的边长为4，
①如图2，当G，C，M三点共线时，设EF与BC交于点N，求的值；
②如图3，取AD中点P，连接PF，求PF长度的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据正方形的性质可得，公共边，即可证明，即可得；
（2）①先证明点在上，进而求得求得，根据可得，又，进而即可求得的值；②连接，证明，求出相似比，进而可得点在以为圆心为半径的圆上运动，根据点与圆的位置关系求最值即可．
(1)
四边形是正方形
(2)
①如图2，当G，C，M三点共线时，
四边形是正方形
，，
G，C，M三点共线时，
在线段上
又
又
正方形ABCD的边长为4，
，
四边形是正方形
，
即
解得
由（1）可知
②连接，如图，
四边形是正方形
，，
，
即点在以为圆心为半径的圆上运动，如图，
点在的右侧，则当经过点时，取得最大值
最大值为
为的中点，则
中，
即的最大值为
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，点与圆的位置关系，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转．
(1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长；
(2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：；
(3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接并延长交于，可得，，，再运用勾股定理可得结论；
（2）延长到，使，连接，根据SAS证明得，运用中位线定理证明，再证明，得，故可得结论；
（3）根据点F在AB上时BN的值最小，求出BN的值，运用等腰直角三角形的性质求出NG和AB，运用三角形面积公式求解即可．
(1)
连接并延长交于，
，点是的中点，
，
与都是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
由已知可得，，
，
；
(2)
证明：延长到，使，连接，
，
．
，
，
又，
，
．即；
又，
，
，
，A分别是，的中点，
．
，
，
，
，
；
(3)
∵AE=AD=4，∠EAF=90°，
∴DE=，
∵点F是DE的中点，
∴AF=DE=2，
∴点F在以A为圆心，2为半径的⊙A上移动，如图，
当点F在AB上时，BF最小，
∵是等腰直角三角形，
∴BF最小时，BN也最小，
∴的最小值为：AB-AF=
此时，
∵
∴
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴的最小值为：
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
24．【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；
（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；
（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，即CM最小为，建立平面直角坐标系求出即可．
【详解】（1）如图1所示，将绕点A逆时针旋转60°得；
（2）∵∠BEC＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵，
∴∠ADE＝∠BED＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴A、D、B、C共圆，如图2所示：
∴∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝∠BED＝60°，
∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形；
（3）
如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，
∴A、E、B、F共圆C，
∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，
∴∠APF＝∠ABC＝60°，
∵∠EPF＝60°，EF＝6，
作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，
∴∠EQC＝60°，
∴，
连接QG取中点N，则且，
以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，
即CM最小为，
以点F为原点建立平面直角坐标系，
，，，
∴,
，
∴CM最小为．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．
25．在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．
(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；
(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件，先求出，再由，，求得，，最后在中，求得DE的长．
（2）过D作DG⊥CD交CE延长线于点G，先证≌，再证≌，最后通过，，进行等量代换，得到结论．
（3）过作交延长线于点，以为圆心，长为半径画圆．在以为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线且在之间时，最小．设，通过解直角三角形，运用翻折性质，求得的值．
（1）
解：∵CA＝2CB，BC＝2，
∴CA＝4，
∵，
∴．
∵将线段CA绕点C旋转得到线段CD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵CA=4，BC＝2，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）
证明：过D作DG⊥CD交CE延长线于点G，
∵线段CA绕点C旋转得到线段CD，，
∴CD=CA，是等腰直角三角形．
∵CA＝2CB，
∴CD＝2CB，即CB=BD．
∵CF⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴≌（ASA）．
∴，
∵CB=BD，
∴．
∵DG⊥CD，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
在与中，
∵，
∴≌（SAS）．
∴，
∴．
∵≌，
∴，
∴．
（3）
如图，过作交延长线于点，以为圆心，长为半径画圆，
由题意得，在以为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线且在之间时，最小．
设，
∵，
∴．
∵，，，
∴，．
∵CF⊥AB，，
∴，，
∴．
∵，，，
∴．
∵将沿AC翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
在中，
，
．
∵将沿AC翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质运用，以及翻折的性质，综合运用以上性质，合理作相应辅助线是解题的关键．
特点
隐形圆解决点圆最值
平面内一定的D和○O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，○O的半径为r）
1、点D在○O外时，d＞r，如图：
当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;
2、当点D在○O上时，d=r，如图：
当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）
3、当点D在○O内时，d＜r，如图
当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;
点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题；
构造圆解决点圆最值
一、定点定长
1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角
2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
结论
点的距离的最值问题
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型
【模型展示】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
【答案】D
【详解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
3．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
4．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，
，，，
，
最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
5．如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】分析知当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，可以判断①②是否正确；当∠OAP=90°时，根据勾股定理求出AP的长度，可以判断③是否正确；作出A点的轨迹圆，知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可．
【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，
∴PA的最小值为，PA的最大值为，
故①②正确；
当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=，
即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形，
故③正确；
作出A点轨迹圆如下：
知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：，
故④错误，
综上所述，正确的序号为：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是解决本题的关键．
6．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2B．+1C．2﹣2D．3
【答案】C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD=MD=1，
∴HM==，CH=CD+DH=5，
∴，
∴A′C=MC-MA′=2-2；
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
【答案】D
【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），
∴OB=3，OA=4，
∴，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC=2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM=MN=，
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK=，PK=，
∴AK=，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ=，
∴QM=KQ+MK=+=，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长．
二、填空题
8．如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．
【答案】2
【分析】由题意易得点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆问题可进行求解．
【详解】解：由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，
连接BD，交圆弧于点H，如图所示：
∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短，
∵四边形ABCD是矩形，，BC=2，
∴，
∴，
∴，即点D到点F的最短距离为2；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运动轨迹．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
【答案】
【详解】解：∵AQ⊥CQ，
∴∠AQC＝90°，
∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB＝2，
∴点Q的运动路径长为π
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
【答案】##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________
【答案】##
【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
CH=，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
BC=CH+BH=+1，
在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，
以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，
∴点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，
最小值为4-（+1）=3-．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．
12．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．
【答案】
【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4,4），
故答案为：（4,4）．
【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．
13．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，
由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，
∴BH=4.8，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
14．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．
【答案】##
【分析】连接，取中点，连接，求得，点在以为圆心，以为半径的圆上，求得当共线且点在的延长线上时，最大，求解即可．
【详解】解：连接，取中点，连接，如下图：
∵，为中点
∴
∴点在以为圆心，以为半径的圆上
∴当共线且点在的延长线上时，最大
延长交于点，如上图：
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴垂直平分，
∴
∴，
∴，
∴
∴的最大值为
故答案为：
【点睛】此题考查了圆与内接正三角形的性质，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，三角形外心的性质，解题的关键是理解题意，利用性质确定出点的运动轨迹．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．
【答案】4
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝8，AG＝GB，
∴AG＝GB＝4，
∵AD＝12，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝4，
∴FG＝，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，
∵GC＝，
∴FC≥GC−FG，
∴FC≥4，
∴CF的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则的最小值为 __________________．
【答案】
【分析】在AP上取点E，连接DE，使∠ADE=∠APD，由△ADE∽△APD，可得，当DE最小时，的值最小，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，利用勾股定理及
三角形三边关系可得答案．
【详解】解：如图，在AP上取点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，
∵△ADE∽△APD，
∴，
∴，
∵AD＝2，
∴DE最小时，的值最小，
作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，
则OE＝OA＝OB＝1，
在Rt△AOD中，，
∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，
∴DE的最小值为﹣1，
∴的最小值＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空压轴题．
三、解答题
17．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．
【答案】
【分析】由题意易得∠PEC=∠PDC=90°，所以P、D、C、E四点共圆，又因为∠EOD=120°，所以当直径最小时，弦DE的值最小．
【详解】解：∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PEC=∠PDC=90°，
∴四边形PDCE对角互补，
∴P、D、C、E四点共圆，如图2．
∴∠EOD=2∠ECD=120°，
要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，则当CP⊥AB时，PC最短，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
18．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
【答案】（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）
【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；
尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点；
拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，
由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，
∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，
同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，
点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；
尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴△ABD的A、B、D三点的对应点分别为△CAE的C、A、E三点，
则AC、AB分别视作两组对应点的连线，
此时，如图所示，作AC和AB的垂直平分线交于点O，
∵△ABC为等边三角形，
∴由等边三角形的性质可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O；
拓展创新（3）由（1）知，在直线l旋转的过程中，总有∠ADB=90°，
∴点D的运动轨迹为以AB为直径的圆，
如图，取AB的中点P，连接CP，交⊙P于点Q，
则当点D在CP的延长线时，CD的长度最大，
当点D与Q点重合时，CD的长度最小，即CQ的长度，
∵AB=AC，AB=2，
∴AP=1，AC=2，
在Rt△APC中，，
由圆的性质，PD=AP=1，
∴PD=PQ=1，
∴，，
∴CD的长的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出结论；
（2）取AE的中点O，连接OD、OF，根据∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四点共圆，当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°，
∴OA＝OD＝OE＝OF，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，
∴BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大是解题的关键．
20．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，连接，当时．
①求点的坐标；
②连接，求与重叠部分的面积；
(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，②
(3)
【分析】（1）如图，连接 交于 过作于 由对折可得：证明是等边三角形，可得再利用三角函数可得答案；
（2）①利用平行线的性质证明从而可得答案；②如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于 再分别求解的坐标，利用函数解析式与三角形的面积公式可得答案；
（3）如图，由对折可得 则在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，连接AC，交于 当重合时，取得最小值，从而可得答案．
(1)
解：如图，连接 交于 过作于
由对折可得：
是等边三角形，
，
(2)
①
而
②如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于
由①得：
设 则
解得： （不符合题意的根舍去）
而
设为 则
解得：
∴为
同理可得：AM为 OB为
解得： 即
所以 即
同理可得：
与重叠部分的面积为：
(3)
如图，由对折可得
∴在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，
连接AC，交于
当重合时，取得最小值，
此时
所以的取值范围为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．
21．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，设 结合题意可得：，结合正三角形的性质求解 再利用弧长公式进行计算即可；
（2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，证明M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，可得当C，N，M三点共线时，CM最大，从而可得答案．
（1）
解：如图，设 结合题意可得：，
为等边三角形，
而三点共线，
解得：
运动的总长度为：
（2）
解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，
为PB的中点，
∴M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，
∴当C，N，M三点共线时，CM最大，
同理可得： 则
∴的最大值为：
【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质，勾股定理的应用，熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键．
22．如图，在正方形ABCD中，点E在直线AD右侧，且AE＝1，以DE为边作正方形DEFG，射线DF与边BC交于点M，连接ME，MG．
(1)如图1，求证：ME＝MG；
(2)若正方形ABCD的边长为4，
①如图2，当G，C，M三点共线时，设EF与BC交于点N，求的值；
②如图3，取AD中点P，连接PF，求PF长度的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据正方形的性质可得，公共边，即可证明，即可得；
（2）①先证明点在上，进而求得求得，根据可得，又，进而即可求得的值；②连接，证明，求出相似比，进而可得点在以为圆心为半径的圆上运动，根据点与圆的位置关系求最值即可．
(1)
四边形是正方形
(2)
①如图2，当G，C，M三点共线时，
四边形是正方形
，，
G，C，M三点共线时，
在线段上
又
又
正方形ABCD的边长为4，
，
四边形是正方形
，
即
解得
由（1）可知
②连接，如图，
四边形是正方形
，，
，
即点在以为圆心为半径的圆上运动，如图，
点在的右侧，则当经过点时，取得最大值
最大值为
为的中点，则
中，
即的最大值为
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，点与圆的位置关系，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转．
(1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长；
(2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：；
(3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接并延长交于，可得，，，再运用勾股定理可得结论；
（2）延长到，使，连接，根据SAS证明得，运用中位线定理证明，再证明，得，故可得结论；
（3）根据点F在AB上时BN的值最小，求出BN的值，运用等腰直角三角形的性质求出NG和AB，运用三角形面积公式求解即可．
(1)
连接并延长交于，
，点是的中点，
，
与都是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
由已知可得，，
，
；
(2)
证明：延长到，使，连接，
，
．
，
，
又，
，
．即；
又，
，
，
，A分别是，的中点，
．
，
，
，
，
；
(3)
∵AE=AD=4，∠EAF=90°，
∴DE=，
∵点F是DE的中点，
∴AF=DE=2，
∴点F在以A为圆心，2为半径的⊙A上移动，如图，
当点F在AB上时，BF最小，
∵是等腰直角三角形，
∴BF最小时，BN也最小，
∴的最小值为：AB-AF=
此时，
∵
∴
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴的最小值为：
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
24．【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；
（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；
（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，即CM最小为，建立平面直角坐标系求出即可．
【详解】（1）如图1所示，将绕点A逆时针旋转60°得；
（2）∵∠BEC＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵，
∴∠ADE＝∠BED＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴A、D、B、C共圆，如图2所示：
∴∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝∠BED＝60°，
∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形；
（3）
如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，
∴A、E、B、F共圆C，
∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，
∴∠APF＝∠ABC＝60°，
∵∠EPF＝60°，EF＝6，
作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，
∴∠EQC＝60°，
∴，
连接QG取中点N，则且，
以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，
即CM最小为，
以点F为原点建立平面直角坐标系，
，，，
∴,
，
∴CM最小为．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．
25．在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．
(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；
(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件，先求出，再由，，求得，，最后在中，求得DE的长．
（2）过D作DG⊥CD交CE延长线于点G，先证≌，再证≌，最后通过，，进行等量代换，得到结论．
（3）过作交延长线于点，以为圆心，长为半径画圆．在以为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线且在之间时，最小．设，通过解直角三角形，运用翻折性质，求得的值．
（1）
解：∵CA＝2CB，BC＝2，
∴CA＝4，
∵，
∴．
∵将线段CA绕点C旋转得到线段CD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵CA=4，BC＝2，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）
证明：过D作DG⊥CD交CE延长线于点G，
∵线段CA绕点C旋转得到线段CD，，
∴CD=CA，是等腰直角三角形．
∵CA＝2CB，
∴CD＝2CB，即CB=BD．
∵CF⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴≌（ASA）．
∴，
∵CB=BD，
∴．
∵DG⊥CD，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
在与中，
∵，
∴≌（SAS）．
∴，
∴．
∵≌，
∴，
∴．
（3）
如图，过作交延长线于点，以为圆心，长为半径画圆，
由题意得，在以为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线且在之间时，最小．
设，
∵，
∴．
∵，，，
∴，．
∵CF⊥AB，，
∴，，
∴．
∵，，，
∴．
∵将沿AC翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
在中，
，
．
∵将沿AC翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质运用，以及翻折的性质，综合运用以上性质，合理作相应辅助线是解题的关键．
特点
隐形圆解决点圆最值
平面内一定的D和○O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，○O的半径为r）
1、点D在○O外时，d＞r，如图：
当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;
2、当点D在○O上时，d=r，如图：
当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）
3、当点D在○O内时，d＜r，如图
当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;
点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题；
构造圆解决点圆最值
一、定点定长
1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角
2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
结论
点的距离的最值问题
相关试卷
最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题22 最值问题中的瓜豆原理模型 （全国通用）： 这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题22 最值问题中的瓜豆原理模型 （全国通用），文件包含专题22最值问题中的瓜豆原理模型原卷版docx、专题22最值问题中的瓜豆原理模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题17 最值问题中的将军饮马模型 （全国通用）： 这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题17 最值问题中的将军饮马模型 （全国通用），文件包含专题17最值问题中的将军饮马模型原卷版docx、专题17最值问题中的将军饮马模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型 （全国通用）： 这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型 （全国通用），文件包含专题09相似三角形中的“A”字型相似模型原卷版docx、专题09相似三角形中的“A”字型相似模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
