最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题25 直角三角形中由动点引起的分类讨论问题 （全国通用）

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1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题25 直角三角形中由动点引起的分类讨论问题
【模型展示】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，M，A，N是直线l上的三点，，P是直线l外一点，且，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形--等边三角形--直角三角形--等腰三角形
B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等边三角形
C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形
D．等腰三角形--直角三角形--等边三角形 --直角三角形
【答案】D
【分析】根据，按照在线段和线段上进行分类讨论即可．
【详解】解：∵，
∴，
①当在线段上，只能形成等腰三角形，当时，为等腰三角形；
②当在线段上时，逐渐减小，
当时，为直角三角形，此时；
当时，为等边三角形，此时；
当时，∵，∴，∴为直角三角形，此时；
∴ 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形--直角三角形--等边三角形 --直角三角形；
故选D．
【点睛】本题考查特殊三角形的判定．熟练掌握等腰三角形、直角三角形和等边三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题
2．如图，中，，，cm，为的中点，若动点以1 cm/s的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为_____________．
【答案】2或3.5或4.5或6
【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE＝90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED＝90°时，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,
∴，AB＝2BC＝4（cm），
①∠BDE＝90°时，
∵，
∴，
∴
∴AE＝（cm），
点E在AB上时，t＝2÷1＝2（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2−2＝6（cm），
∴t＝6÷1＝6（秒）；
②∠BED＝90°时，BE＝＝0.5（cm），
点E在AB上时，t＝（4−0.5）÷1＝3.5（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4＋0.5＝4.5（cm），
t＝4.5÷1＝4.5（秒），
∵
综上所述，t的值为2或3.5或4.5或6，
故答案为：2或3.5或4.5或6．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．
3．如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．
【答案】或5
【分析】分两种情况进行分类讨论：①当时，求CE的长；②当时，求CE的长．
【详解】解：①如图1，当时，，
，
，
，是的中点，
．
②如图2，当时，由折叠性质知，
，
三点共线．
，
在中，，
设，
，
在中，，
．
综上所述，CE的长为：5或．
【点睛】此题考查翻折变换，勾股定理，熟练运用勾股定理以及学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
4．已知：如图，正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）．且，连接，，．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①是等腰直角三角形；
②面积的最小值是；
③至少存在一个，使得的周长是；
④四边形的面积是1．
其中正确结论的序号有_______________．
【答案】①②④
【分析】证明，可得，可得到①；再由当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得到②正确；设，则，根据勾股定理可得，从而得到，得③错误；再根据，可得，可得④正确；即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故①正确；
当时，最小，此时，
∴面积的最小值是，故②正确；
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴的周长是，
∵，
∴，
∴
∴不存在一个，使得的周长是，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．
【答案】2或4##4或2
【分析】当△为直角三角形时，需要分类讨论，点，，分别为直角顶点时，画出图形求解即可．
【详解】解：在中，，，，点是的中点，
，，，
由折叠可知，，
∴
①由点运动可知点不可能是直角顶点；
②如图，当点为直角顶点，即，
，
，，
，，
；
③如图，当点是直角顶点时，即，连接，
在△中，
∴△，
，
故答案为：或4．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝________cm时，△BAP为直角三角形．
【答案】2或8
【分析】由于直角顶点不能确定，故应分∠APB=90°与∠BAP=90°两种情况进行分类讨论．
【详解】解：①当∠APB＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴，
∴，
∴；
②当∠BAP＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴AB＝AP2＝2，
∴．
故本题答案为：2或8．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
7．如图，长方形中，，． 为边 上的一个动点，将 沿 折叠，使点落在处．
题：当时，的长为___________．
题：当为直角三角形时的长为____________．
【答案】 或者1
【分析】A题：设，则，根据矩形折叠性质易得 三点共线，由勾股定理求出的长度，在中利用勾股定理可解得x的值，即可得到的长度；
B题：找出直角三角形，再根据勾股定理分情况求解即可．
【详解】解：题：设，则，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ 三点共线，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
题：当，；
当 ，如图所示
恰好落在上， ，则，
故答案为：；或1．
【点睛】此题考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和勾股定理．
8．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是_____．
【答案】2
【分析】由△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，可得出：△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠ABE，推出点A，D，B，E四点共圆，得到∠DBE=90°，根据直角三角形的性质得到，当DE最小时，BF的值最小，DE最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4
∴
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE=90°，
∴∠DBE=90°，
∵F是DE的中点，
，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，
∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=4，
∴，
，
∵△ABC∽△ADE，
，
，
∴，
∴BF=2，
∴BF的最小值是2．
故答案为:2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，四点共圆，直角三角形的性质，确定出当DE最小时，BF的值最小是解题的关键．
9．如图，等边的边长是，点是线段上一动点，连接，点是的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是直角三角形时，则线段的长度为______ ．
【答案】或
【分析】是直角三角形分三种情况讨论：①当时，当点在上时，根据等边三角形的性质得，根据旋转的性质得，根据等腰三角形三线合一，得．②延长到使，连接、，过作交延长线于，根据相全等三角形的判定得≌，即，设，则，由旋转性质得出，再由相似三角形的判定得出∽，再由相似的性质得出，即；③当时，，不成立．
【详解】解：当时，
当点在上时，
是等边三角形且边长为，
，，
，
旋转得到线段，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
即时，，
；
，如图，
延长到使，
连接、，
过作交延长线于，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
是中点，
，
由旋转性质可知，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
不成立，
综上，或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等边三角形中动点的旋转问题．通过旋转构造另外的等边三角形以及全等手拉手模型，本题考查的知识较为综合，难度较大，通过分类讨论确定动点的位置，熟记旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接CE，过点C作于点H，首先证明，可推导，，再证明，在中，由勾股定理计算，然后借助三角形面积求出，根据“垂线段最短”可知，当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，即可获得答案．
【详解】解：连接CE，过点C作于点H，如下图，
∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，
此时．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建全等三角形是解题关键．
三、解答题
11．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值；
(3)当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)3cm
(2)3或
(3)5或6或
【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；
（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
（1）
解：∵在中，，，，
∴．
（2）
解：
当时，点与点重合，
∴，
即；
当时，如下图所示：
∴．
∵，
∴，
解得：．
综上：当为直角三角形时，或；
（3）
解：当时，如下图所示：
∵，
∴，
即．
当时，如下图所示：
∴；
当时，如下图所示：
则，，
在中，，
即，
解得： ．
综上：当为轴对称图形时，或或．
【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
12．如图，在矩形中，设，，且．
(1)若为方程的两根，且，求的值．
(2)在（1）的条件下，为上一点（异于两点），在什么位置时，为直角三角形？
(3)为上一动点（异于两点），当满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个？请直接写出满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)在或位置时，为直角三角形
(3)
【分析】（1）根据矩形性质求出斜边与两直角边的关系，根据两直角边又是一元二次方程的解，由此即可求解；
（2）在矩形中，为直角三角形，则可找出，根据对应边的比相等，即可求解；
（3）求唯一值，可以根据一元二次方程的判别式来判断，主要是找出矩形的两直角边与点的数量关系，由此即可求解．
（1）
解：∵且是矩形的对角线，在中，，，
∴，即，
∵为方程的两根，根据韦达定理得，
∴，，
∴，解一元二次不等式得，
，．
当时，原方程得，则不符合题意，故舍去；
当时，原方程得，则，
∴，，符合题意，
故答案是：．
（2）
解：根据（1）得，，，如图所示，
设，则，
若为直角三角形，在矩形中，，
∴，即，解分式方程得，，，
∴在或位置时，为直角三角形．
（3）
解：根据题意
设，则，
若为直角三角形，在矩形中，，
∴，即，，
∵点有且只有一个，
∴，即，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的矩形的性质，相似三角形的运用，理解和掌握矩形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．
13．如图，是边长是的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点到达点时，与的位置关系如何？请说明理由.
(2)在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由.
(3)则当为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)与垂直，见解析
(2)能，4
(3)秒或秒
【分析】（1）根据题意求出的长度，则可知点为的中点，根据等边三角形的性质即可得出答案；
（2）若是等边三角形，则，列出相应方程求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：当时；当时．
（1）
当点到达点时，与垂直，
理由如下：
∵，
∴当点到达点时，可得，
∴点为的中点，
∴；
（2）
假设在点与点的运动过程中，能成为等边三角形，
∴，
∴，解得，
∴当时，是等边三角形；
（3）
根据题意得，，
∴，
当时，
∵，
∵，
∴，即，解得秒；
当时，同理可得，解得秒，
∴当秒或秒，是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了含的直角三角形，等边三角形的性质，几何动点问题，读懂题意，根据题意列出相应的方程是解本题的关键．
14．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF．
(1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果）
(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；
(3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数．
【答案】(1) 证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论；
（2）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论；
（3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，再分这情况讨论，结合等腰三角形的性质可求解．
（1）
解：， 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴，
∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，
∴（SAS）
∴∠BAE=∠BCF=，
∴∠ACF=，
∴∠AFC+∠FAC=；
（2）
（1）的结论仍然成立， 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=，
∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，
∴（SAS）
∴∠BAE=∠BCF=，
∴∠ACF=，
∴∠AFC+∠FAC=；
（3）
如图，当点E在点A下方时，
∵△ACF是等腰直角三角形，
∴AC=CF，
∵△ABE≌△CBF，
∴CF=AE，
∴AC=AE=AB，
∴∠ABE=，
∴∠EBC=，
如图，当点E在点A上方时，
同理可得：
∴
∴∠EBC=．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
15．如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作，交AB于点E．
（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED＝_____．
（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝_____．
【答案】 60° 3或4.8
【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得，利用菱形的性质即可得出答案；
（2）利用分类讨论结合①当时．②当时，③当 时，分别分析得出符合题意的答案．
【详解】解：（1）∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ADFE为菱形，
∴ ，
∴．
故答案为：；
（2）①当时．
∵，
∴，
∴，
∴这种情况不存在；
②当时，如图2，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴ ，
即 ，
解得：，
③当时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴，
在中，
，
∴ ，
即 ，
解得：．
综上所述，当△FED是直角三角形时，CD的值为3或4.8．
故答案为：3或4.8．
【点睛】本题考查三角形和平行四边形综合应用．熟练掌握直角三角形的判定和含 的直角三角形的性质，以及平行四边形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键．
16．如图，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S．
(1)当t=___________时，△PQR的边 QR经过点B
(2)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）当点B在上时，根据是等腰直角三角形求出的长度，进而求出 的长度，从而得出结果．
（2）由点P和点Q的运动情况可知， 和矩形的重合部分分为3类情况；按照三种情况的特点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可．
（1）
解： 为等腰直角三角形
∴
∵四边形为矩形
∴当 经过点B时，为等腰直角三角形
∵点B的坐标为(8，3)，点D的坐标为(12，0)
∴ ，

此时，运动时间
（2）
解：①当时，
如图，设交于点G，过点P作于点H
则 ，
∴
②当时，
如图，设交于点G，交于点S、T，
则 ，
∴
．
③当时，
如图，设与交于点T，则，
．
∴
综上所述，S关于t的函数关系式为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、函数与图像、矩形的性质；其中根据图像的变化情况对重合部分的面积进行分类讨论是解决此题的关键．
17．如图，在中，，，P是BC边上一动点，，过A点作射线，交射线PN于点D．
(1)求AC的长；
(2)求证：；
(3)连接CD，若为直角三角形，求BP的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)满足条件的PB的长为4或
【分析】（1）如图1中，作于H，根据含的直角三角形的性质求出BH、AH，再利用勾股定理求出AC即可；
（2）证明即可证明；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
（1）
如图1中，作于H，
在中，
∵，，
∴，，
∴
在中，，
（2）
如图2中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
①如图3中，当时，作于H，连接CD，
∴四边形AHCD是矩形，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形AHCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得；
如图4中，当时，作于H，于G，连接CD，
则有
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
解得或（舍去），
∴满足条件的PB的长为4或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．矩形的边在x轴上，点C、D在第一象限，且，点A的坐标为，如图（1）．
(1)直接写出点C的坐标为（ ， ）；
(2)过点A的直线与矩形的一条边交于点E，如果直线把矩形分成两部分图形的面积比为，求直线的解析式；
(3)P是线段上动点，，连接，以为直角边在的逆时针方向作等腰直角三角形，且，，如图（2）．
①求出点Q的坐标（用含m的式子表示）；②连接，当线段的长度最短时，求m的值；
【答案】(1)；
(2)或；
(3)，．
【分析】（1）求出和的值即可求出点C的坐标．
（2）分类讨论，当点E在上和当点E在上时，两种情况，求出点E坐标，利用即可求出点E的坐标，再由A、E两点确定直线表达式．
（3）添加辅助线，构造“三垂直”全等，表示,即可表示点Q的坐标；再用配方法确定当最小时，．
（1）
解：由题意知：
，，
；
（2）
解：①当点E在上时，如图：
设：，
则，
由题 意得：
，
即，
∴，
，
，
设直线l的表达式为：
则：，
，
，
②当点E在上时，如图：
设：，
则，
由题 意得：
，
即，
∴，
，
，
设直线l的表达式为：，
则：
，
综上可知直线l的表达式为：或；
（3）
解：
①如图作PN⊥AB，交AB于点N，作QM⊥PN，垂足为点M，
，，
，
在与中，
，
,
，
,
，
②，
∴当最小时，．
【点睛】本题主要考查了利用几何图形求点的坐标，确定一次函数表达式，三角形全等转化线段，二次函数求最值，转化思想和添加合适的辅助线是解题的关键．
19．问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？
(1)问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：；
(2)问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________；
(3)问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【答案】(1)画图见解析；证明见解析
(2)120°；120°
(3)
【分析】（1）问题的转化：根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论；
（2）问题的解决：运用类比的思想，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知：当在同一直线上时，的值为最小，当满足时，满足三点共线；
（3）问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
（1）
解：如图1，
由旋转可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）
满足时，PA+PB+PC的值为最小，理由如下：
如图2，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知：
当在同一直线上时，的值最小．
由旋转可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
故答案为：，；
（3）
如图3，
在中，
∵，，
∴，，
把绕点B逆时针旋转60°得到，连接，
由旋转可得，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当在同一直线上时，的值最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，直线与x轴交于点B，点M，N分别是直线，在第一象限内的动点，且，连接MN．
(1)直接写出m的值，点B的坐标，及的度数；
(2)求的值；
(3)当是直角三角形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)m=3,B2,0,，
(2)6
(3)或
【分析】(1)将A点坐标代入，即可求得m的值；在中，令，即可求得点B的坐标；分别求出与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，再根据解直角三角形，即可求得及的度数；
(2)根据，，，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质，即可求得；
(3) 过点M作轴于点E，过点N作轴于点C，交的延长线于点F，分两种情况分别计算，即可分别求得．
（1）
解：把代入，得m=3；
在中，令，即，
解得，
故点B的坐标为(2,0)；
在中，令，即，
解得，
如图：故点C的坐标为，，
，
，；
在中，令x=0，得，
如图：故点D的坐标为，，
，
，；
（2）
解：，，
，
，
，
，
又，
，
，即，
；
（3）
解：如图：当时，过点M作轴于点E，过点N作轴于点C，交的延长线于点F，
，
四边形是矩形，，
，
，
设点，则，
，，
，
，
，
，，
，，
，
把点N的坐标代入，
得，
解得，
点M的坐标为；
如图：当时，过点M作轴于点E，过点N作轴于点C，交的延长线于点F，
，
四边形是矩形，，
，
，
设点，则，
，，
，
，
，
，，
，，
，
把点M的坐标代入，
得，
解得，
点M的坐标为；
综上，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，特殊角的三角形函数值，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线及采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B和点C在x轴上，点A在y轴上，，，且a，b满足．
(1)证明为等边三角形；
(2)现有一动点P从点A沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接，在的下方作等边三角形过点Q作轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒，的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）
(3)在（2）问的条件下，已知，当为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线与x轴的交点E的坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，或，
【分析】（1）根据非负数的性质，求出a，b可得AB=AC=BC，即可求证；
（2）过点P作PG⊥AC于G，证明，可得CD=CG，DQ=PG，从而得到AP=2DQ，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点P在线段OA上，当点P在AO的延长线上，即可求解．
（1）
证明∶∵，
∴a-2=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∴AB=4，OB=OC=2，
∴OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵BC=OB+OC=4，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）
解：根据题意得：AP=t，
如图，过点P作PG⊥AC于G，
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵AO⊥BC，
∴，
∴AP=2PG，
∵△CPQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，
∴∠PCG=∠DCQ，
在△CGP和△CDQ中，
∵，
∴，
∴CD=CG，DQ=PG，
∴AP=2DQ，
∵QD的长度为d，
∴；
（3）
解：根据题意得：AP=t，
∵为等腰直角三角形，且∠POC=90°，
∴OP=OC=2，
当点P在线段OA上，即时，则，即，点P（0，2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线PQ的解析式为 ，
∴，
解得：，
∴直线PQ的解析式为 ，
当y=0时， ，
∴点；
当点P在AO的延长线上，即时，则，即，点P（0，-2），过点P作PF⊥AC交AC延长线于点F，
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵AO⊥BC，
∴，
∴AP=2PF，
∵△CPQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，
∴∠PCF=∠DCQ，
在△CEP和△CDQ中，
∵，
∴，
∴CD=CF，DQ=PF，
∴AP=2DQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线PQ的解析式为 ，
∴，
解得：，
∴直线PQ的解析式为 ，
当y=0时， ，
∴点；
综上所述，，或，．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，解本题的关键是判断出点Q的坐标．
22．如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)如图2，M，N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设．
①求证四边形AFGD为菱形；
②是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)①见解析；②或2
【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）①由计算出的长度，再证明四边形是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形的菱形即可证明；
②若 是直角三角形，则有两种情况，一是当时，二是当时，分别利用相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可计算得出．
（1）
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：．，设，则．
在中，，
∴，
在中，则有：，
∴，
∴．
（2）
①证明：∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
②∵，
∴若是直角三角形，则有两种情况，
当时，
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴
∴，即，
∴；
当时，则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵s，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，即
解得：，
综上所述：或2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．如图，矩形顶点的坐标为，定点的坐标为．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动．、两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒，和矩形重叠部分的面积为．
(1)当______时，的边经过点；
(2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）的边经过B时，构成等腰直角三角形，则有，由此列方程求出t的值．
（2）在图形运动的过程中，有三种情况，当时，当时，当时，进行分类讨论求出答案．
（1）
的边经过B时，构成等腰直角三角形，
，即3=4 ，
，
即当秒时，的边 经过点B．
（2）
①当时，如图所示：
设交于点，过点作于点
则，．
∴．
②当时，如图所示：
设交于点，交、于点、，
则，．
∴．
③当时，如图所示：
设与交于点，则，
，．
∴．
综上所述，关于的函数关系式为：
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，涉及矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及动点问题，解决本题的关键是分类讨论思想的应用．
24．如图，在平面直角坐标系中，的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，点A坐标（﹣9，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线AC的解析式；
(3)若点N在射线DE上，是否存在点N使BCN是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)连接AD，当AD平分∠CAB时，请直接写出直线AD的解析式．
【答案】(1)C（0，12），B（16，0）
(2)y＝x+12
(3)存在点N使△BCN是等腰直角三角形，D点坐标为（4，9）或（2，）
(4)y＝x+
【分析】（1）令x=0，求出C（0，12），令y=0，求出B（16，0）；
（2）用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）当∠CBN=90°，BC=BN时，过点B作MF⊥x轴，过点C作CM⊥MF交于点M，过点N作NF⊥MF交于点F，可证明BMCNFB（AAS），从而求出N（4，-16），再求D（4，9）；由于∠ACB=90°，此时N点不存在；当∠BNC=90°，NC=NB时，过N点作GQ⊥y轴交于Q点，过B作BG⊥x轴交QG于点G，同理可证CQNNGB（AAS），求出N（2，-2），再求D（2，）；
（4）设直线AD与y轴交点为K，过K点作KH⊥AC交于H点，在RtKCH中，，求出OK=，则K（0，），再由待定系数法求直线AD的解析式即可．
（1）
令x＝0，则y＝12，
∴C（0，12），
令y＝0，则x＝16，
∴B（16，0）；
（2）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+12；
（3）
存在点N使BCN是等腰直角三角形，理由如下：
当∠CBN＝90°，BC＝BN时，如图1，
过点B作MF⊥x轴，过点C作CM⊥MF交于点M，过点N作NF⊥MF交于点F，
∵∠CBM+∠FBN＝90°，∠CBM+∠BCM＝90°，
∴∠FBN＝∠BCM，
∵BC＝BN，
∴BMCNFB（AAS），
∴BM＝NF，CM＝BF，
∵B（16，0），C（0，12），
∴CM＝16，BM＝12，
∴NF＝12，BF＝16，
∴N（4，﹣16），
∵DE⊥OB，点N在射线DE上，
∴D点横坐标为4，
∴D（4，9）；
当∠BCN＝90°时，
∵∠ACB＝90°，
∴此时N点不存在；
当∠BNC=90°，NC=NB时，如图2
过N点作GQ⊥y轴交于Q点，过B作BG⊥x轴交QG于点G，
同理可证CQNNGB（AAS），
∴BG＝QN，CQ＝NG，
∵BG＝QO，
∴QN＝OQ，
∴QN+CO+QN＝16，
∴QN＝2，
∴N（2，﹣2），
∴D点横坐标为2，
∴D（2，）；
综上所述：D点坐标为（4，9）或（2，）；
（4）
设直线AD与y轴交点为K，过K点作KH⊥AC交于H点，如图3，
∵AD平分∠CAB，
∴HK＝KO，
∵点A坐标（﹣9，0），
∴OA＝9，
∵HK＝KO，
AK=AK，
∴RtAOK RtAHK（HL），
∴AH＝OA，
∴AH＝9，
∵CO＝12，
∴AC＝15，
∴HC＝6，
在RtKCH中，，
∴，
解得OK＝，
∴K（0，），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质定理是解题的关键．
25．已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰，探究并解决下列问题：
(1)如图，若点在线段上，，，则线段______；______；
(2)如图，若点在的延长线上，猜想、、的数量关系______，并证明；
(3)如图，若动点满足，则的值为______．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）由勾股定理先求得的长，然后根据的长，可求得的长；过点作，垂足为，从而可求得、的长，然后在中依据勾股定理可求得的长；
过点作，垂足为，则，，可证明，可得出结论；
（3）根据点所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得的长用含有的式子表示，然后在和中由勾股定理求得和的长度即可．
（1）
如图所示：
是等腰直直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
和均为等腰直角三角形，
，，，
在和中，
，
，
∴，，
为直角三角形，
∴，
∴,
故答案为：，；
（2）
．
证明：如图：过点作，垂足为．
为等腰直角三角形，，
．
∵,
,
∴
在中，由勾股定理可知：，
故答案为：．
（3）
如图：过点作，垂足为．
当点位于点处时，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴；
当点位于点处时．
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
综上所述，的比值为或；
故答案为：或．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；解本题的关键是作图辅助线，熟练应用勾股定理和构造全等三角形．
特点
解直角三角形的动点问题，一般分三步走
第一步寻找分类标准，
第二步列方程，
第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
结论
直角三角形的性质并能灵活应用