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最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题34 二次函数中的特殊三角形问题 （全国通用）
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这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题34 二次函数中的特殊三角形问题 （全国通用），文件包含专题42二次函数中的特殊三角形问题原卷版docx、专题42二次函数中的特殊三角形问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题34 二次函数中的特殊三角形问题
【题型演练】
一、单选题
1．（2021·四川成都·一模）如图，二次函数图象的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面四个结论中：
①；
②；
③只有当时，是等腰直角三角形；
④使为等腰三角形的值可以有两个．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，
∵图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故①正确；
②∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴
∴结论②正确．
③如图1，连接AD，BD，作DE⊥x轴于点E，
，
要使△ABD是等腰直角三角形，
则AD＝BD，∠ADB＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴点E是AB的中点，
∴DE＝BE，
即||2，
又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴||＝2，a＞0，
解得a，
∴只有当a时，△ABD是等腰直角三角形，
结论③正确
④要使△ACB为等腰三角形，
则AB＝BC＝4，AB＝AC＝4，或AC＝BC，
Ⅰ、当AB＝BC＝4时，
在Rt△OBC中，
∵OB＝3，BC＝4，
∴OC2＝BC2﹣OB2＝42﹣32＝16﹣9＝7，
即c2＝7，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅱ、当AB＝AC＝4时，
在Rt△OAC中，
∵OA＝1，AC＝4，
∴OC2＝AC2﹣OA2＝42﹣12＝16﹣1＝15，
即c2＝15，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅲ、当AC＝BC时，
∵OC⊥AB，
∴点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
这与AO＝1，BO＝3矛盾，
∴AC＝BC不成立．
∴使△ACB为等腰三角形的a值可以有两个：．
结论④正确．
故答案选：D
【点睛】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x判断符，（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2﹣4ac＞0；②1个交点，b2﹣4ac＝0；③没有交点，b2﹣4ac＜0．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）
A．1＋B．1－
C．－1D．1－或1＋
【答案】A
【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
【详解】令x=0，则y=-3，
所以，点C的坐标为（0，-3），
∵点D的坐标为（0，-1），
∴线段CD中点的纵坐标为，
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为-2，
∴x2-2x-3=-2，
解得x1=，x2=，
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】①由抛物线经过点，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角；④当OP⊥AC时，OP取最小值，根据等面积求得OP即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②错误；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正确；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④正确；
故正确的有：①③④，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，两点距离公式，等面积求高，解决此题的关键是根据三角形的面积得OP的长．
4．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点，
∵是正三角形，，
∴
∴
设过的抛物线解析式为，
将点代入，得
∴
∴抛物线解析式为，
∵四边形是正方形，且关于轴对称，
∴
设，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
设直线的解析式为，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵在上，
∴的横坐标为
代入
得
∴
∴
∴阴影部分面积为
故选D
【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键．
5．（2020·山东德州·二模）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为( )
A．20B．C．22D．
【答案】C
【分析】由于 , , ，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直线 : ，求出，的坐标，得出的长；
利用 的坐标，得直线： ，求出 ,坐标，得出的长；用同样的的方法可求得，…的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得的长．
【详解】解： 等腰直角三角形，为原点； 直线：
， ， 的坐标为（1，1），则 为（0，2）
=2
为（0，2），直线 :
（2，4），=4，则（0，6）
（0，6），直线 :
（3，9）， =6，
由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2
∴△A10B11A11的斜边长为2+10×2=22，
综上，由此可以推出=22．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知 的长．
6．（2022·浙江·杭州东方中学九年级阶段练习）小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的lg．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴，根据平移的性质得到，设，求出x值，得到平移距离，可得的解析式，令求出点P坐标，根据等腰直角三角形的性质得到，求出a值，根据开口方向得到结果．
【详解】解：∵，
∴，对称轴为直线，则，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴移动距离为，
∴，
，，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵开口朝下，
∴，．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意结合图像，求出平移距离．
7．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知点，，射线绕点A逆时针旋转30°，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】先求出直线AB的函数解析式，再求出点，再根据三角函数求，则射线绕点逆时针旋转30°，后，利用解直角三角形求出，利用待定系数法即可求出答案A．
【详解】解：如图所示，直线AB交x轴于点C1，过点A作轴交x轴于点N，射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点C2．
设一次函数解析式为，将，，代入，得：
解得：
∴
∴点
又∵
∴
∴则
∵射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点，则
∴
∴
∴
∴
∵，，代入
∴解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目，能构造直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．
【答案】或
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点代入抛物线的解析式，得出m的值，确定的坐标，再根据点的坐标分情况画图求解，即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】解：∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵是抛物线上的点，
∴，
解得，
∴当时，，
当时，，
①当时，此时点与点重合，
如图1，设点关于直线对称点为，连接，
∵点与点关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，且，
∴，
∴；
②当时，
∴轴，
∴
如图2，设点关于直线的对称点为M，连接，
∵点关于直线的对称点为M，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
综上可得：点关于直线的对称点的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．
9．（2022·浙江·宁波市第七中学九年级阶段练习）已知：如图，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线的“优美三角形”的斜边长为4，求a的值______．
【答案】
【分析】设抛物线的顶点式，根据“优美三角形”的条件得为等腰直角三角形，得，从而得出点的坐标，将点的坐标代入顶点式表达式即可求解．
【详解】解：设抛物线的顶点的坐标为，
抛物线的顶点式为：，
又抛物线的“优美三角形”，
为直角三角形，
根据抛物线的对称性质，可知，
为等腰直角三角形，
设与对称轴交于点，如图，
，
或，
或，
或，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函数的顶点式、图像的对称性质以及图像上点的特征是解答此题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为________．
【答案】2
【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，求出点P（m，-（m-1）2），由抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，建立方程｜x2-x1｜=2（m-1）2，根据根与系数关系可求得m值．
【详解】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，
令y=0得，
∴x1+x2=2m，x1·x2=2m-1，则｜x2-x1｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，
由抛物线=（x-m）2－（m-1）2得顶点坐标为P（m，-（m-1）2），
抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，
∴｜x2-x1｜=2（m-1）2，
即4（m-1）2=4（m-1）4，
解得：m=2或m=0或m=1，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞且m≠1，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
11．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________．
【答案】
【分析】作BD⊥x轴，连接OB，根据正方形性质可知OA=OB，∠A=90°可得∠BOD=60°，再由勾股定理即可得，将点B代入即可求解；
【详解】解：作BD⊥x轴，连接OB，
根据正方形性质可知OA=AB，∠A=90°，
∴∠AOB=45°，
∵∠AOD=15°，
∴∠BOD=60°，
∵
∴，
∴，
将点B代入得，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．
12．（2021·山东滨州·九年级期末）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2021在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2021在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2020B2021A2021都为等边三角形，则△A2020B2021A2021的边长＝_____．
【答案】2021
【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1a，BB2b，CB3c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线yx2中，求a、b、c的值得出规律．
【详解】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C．
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，
∵△A0B1A1是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得BB2b，CB3c，
∴在正△A0B1A1中，B1(a，)，代入yx2中，得•(a)2，解得：a=1或a=0(舍去)，即A0A1=1，
在正△A1B2A2中，B2(b，1)，代入yx2中，得1•(b)2，解得：b=2或b=-1(舍去)，即A1A2=2，
在正△A2B3A3中，B3(c，3)，代入yx2中，得3•(c)2，解得：c=3或c=-2(舍去)，即A2A3=3，
∴可以推出AnAn+1=n+1,
由此可得△A2020B2021A2021的边长=2021．
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
13．（2022·山东·日照市高新区中学一模）二次函数的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A4，…在轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B4，…在二次函数位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A10B11A11的斜边长为__________．
【答案】22
【分析】过点B1，B2，B3，B4，…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E…，分别写出直线的解析式，将它们与联立，求得点B1，B2，B3的坐标，从而可得，，，得到规律这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2，据此解题．
【详解】解：如图，过点B1，B2，B3，B4，…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E…
△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，
所在的直线为，
由得
直线为，
同理，由解得
直线为，
由解得
…
由，，…可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2，
△A10B11A11的斜边长2+10=22，
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合题，涉及等腰直角三角形、解二元一次方程组等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
14．（2022·广东·广州市第八十九中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标；
(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)点，点
(3)存在，，，
【分析】（1）根据，求出的长，进而得到，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标；
（3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
把，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵直线经过点，
设直线的解析式为：
把，代入代入得：
解得：，
∴直线的解析式为：
∵过点作轴的垂线交抛物线于点，
设点横坐标为，点在线段上(点，除外)，
∴点，
∴点横坐标为，点在抛物线上，
∴点，
据图知：点在点上方，
∴，
∵，开口向下，有最大值，当时，的最大值为．
∴，，
∴点，点；
（3）①当时，点的纵坐标为，
即，解得：，，
∴，；
②当，点的纵坐标为，
即，解得，（舍去）
∴点，
综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A、C，交y轴于点B，.
(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；
(2)如图，连接，点M是对称轴上一点且在第四象限，若是以为底角的等腰三角形，求点M的坐标；
【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴方程为；
(2)M坐标为或
【分析】（1）根据抛物线的解析式得出，，再由已知条件确定，利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式，即可确定对称轴；
（2）设，根据坐标系中两点间的距离公式得出，然后分两种情况：①若，②若，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
而，
∴对称轴方程为；
（2）解：设，而，
∴，
∵是以为底角的等腰三角形,
∴分两种情况：
①若，则，如图：
∴，
解得或，
∵M是对称轴上一点且在第四象限，
∴，
②若，则，如图：
∴，
解得，
∴，
综上所述，M坐标为或．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括利用待定系数法确定函数解析式，确定特殊图形的坐标及等腰三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为．
(1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ；
(2)求出二次函数的解析式；
(3)如图1，在平面直角坐标系中找一点D，使得是以为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)；
(3)或．
【分析】（1）通过解方程可得A、B点的坐标；
（2）先确定抛物线的顶点坐标为，然后把顶点坐标代入求出a即可；
（3）先确定，设，利用两点间的距离公式得到，，，再根据等腰直角三角形得到，，然后解方程组得到D点坐标．
【详解】（1）解：当时，
解得，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
把代入得，解得，
∴，
即；
（3）解：当时，，则，
设，
∴，，，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
解得，或，，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质；理解坐标与图象的性质，记住两点间的距离公式．
17．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求这个二次函数的关系解析式；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）以为边在两侧作正方形、正方形，则点为符合题意要求的点．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得出，同理证明得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴
∴二次函数的关系解析式为；
（2）解：如图2所示，以为边在两侧作正方形、正方形，则点为符合题意要求的点．过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得；
同理可证，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．
点坐标为：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点.
(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)连接，在线段上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)，；
(2)，，
【分析】（1）分别将、代入函数解析式，求解即可；
（2）求出直线的解析式，分三种情况讨论、、，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
当时，，，
当时，，
整理得：，
变形得：，
解得，
故答案为：，
（2），
设解析式为，把坐标代入得，
，
解得，
解析式为，
为等腰三角形，点在线段上，设，，
以为底边，作中垂线与交点为，，，
，
以为腰，
当时，
，
或舍去，
，
，
当时，点与点重合，，
为等腰三角形符合条件的点的坐标为：，，；
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了二次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】(1)；
(2)的值为，，1，2
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式是；
（2）解：设，，
则，，
当时，①，解得，（舍去），
②，解得，（舍去），
当时，，此时N在x轴上，
，解得或（舍
当时，，
，解得或（舍，
当是等腰三角形时，的值为，，1，2．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为与点，与轴交于点.
(1)求此二次函数关系式和点的坐标；
(2)在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；点的坐标：；
(2)存在，点的坐标为或或或，理由见解析．
【分析】（1）将点的坐标代入解析式，即可求解二次函数关系式；结合解析式和点是图像与轴的交点，即可求解点的坐标；
（2）由点在轴上，故设点坐标为，再由两点间的距离公式表示出、和的平方，最后分类讨论哪两边为腰，即可求解．
【详解】（1）二次函数的图象与轴的一个交点为，
，解得，
此二次函数关系式为：，
当时，解得，
点的坐标为.
（2）存在，设点的坐标为，则
由题意得：，，，
①当时，则，解得，
或；
②当时，则，解得（舍），
③当时，则，解得
综上所述：点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数解析式、二次函数等腰三角形存在性问题、两点间的距离公式、方程思想、分类讨论思想等知识点，属于二次函数的综合应用，具有一定难度．解题的关键是掌握并运用方程思想和两点间的距离公式．注意：两点间的距离公式：若平面直角坐标系中有、两点，则线段．
21．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过点、，与轴的另一个交点为，点在线段上，过点作轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为边在其左侧作等腰直角三角形，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，或
【分析】（1）把、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）分三种情况讨论，一是，，可以设点在抛物线上，；二是，，设，三是，，作于点，设，分别求出或的值并进行检验，得出点的坐标．
【详解】（1）解：把、代入，
得，解得，
抛物线的解析式为：．
（2）解：能．
如图2，，，
设点在抛物线上，，
对于直线，当时，则，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
；
如图3，，，
设，
则，，
当点在抛物线上时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
；
如图4，，，作于点，
则，
设，
则，，
若点在抛物线上，则，
解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
22．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；
(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)24
(2)
(3)存在，或．
【分析】（1）求出c点坐标，利用三角形的面积公式求出面积即可；
（2）作于点D，证明，利用相似三角形的性质列方程求解即可；
（3）分两种情况求解：当点M在第一象限的抛物线上时和当点M在第二象限的抛物线上时．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得，
∴；
∴c点坐标为，
∴．
（2）解：如图2，作于点D．
∵，，
∴，
∴，
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）解：如图3-1，当点M在第一象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为F，过点C作直线的垂线，垂足为E．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
如图3-2，当点M在第二象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为H，过点C作直线的垂线，垂足为G．
同理可得：．
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点
(1)二次函数的表达式为 ；
(2)点在直线上，当为等腰三角形时，求点的坐标；
【答案】(1)
(2)点为 或 或 或
【分析】（1）把两点坐标代入中，得到含方程组，解方程组即可．
（2）分为底和腰的情况，画出相应的示意图讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
，，
∴，
故二次函数表达式为：．
（2）解：当时，，即二次函数图象与轴交点纵坐标为，
∴点的坐标是，
设直线的表达式为：（），
将，代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
使得为等腰三角形，存在如图所示的情况：
（Ⅰ）以为底：作线段的中垂线，与直线交于一点，
又线段长度为个单位，
点的横坐标为，
把代入直线的解析式得，
（Ⅱ）以为腰：①以点为圆心，为半径画圆，与直线交于一点，与轴
交于两点，由作图知：（直径所对圆周角是直角），
在与中，
（两角对应相等，两三角形相似），
又，，
，
，
，
过点作轴，垂足为点，由平行线分线段成比例定理得：
，，
，即点的横坐标为，
将代入得：
点坐标为：
②以点为圆心，为半径画圆，与直线交于点和点，
过点作轴，垂足为，由作图可得：
，
点坐标为或
综上所得点坐标为： 或 或 或
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，融合了尺规作图、相似三角形、圆的知识，第2问题关键在于分两大类情况（为底和腰）作图分析讨论，容易遗漏答案．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知点A的坐标为，直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接，顶点为D的抛物线过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)设点M是线段上的一动点，过点M作，交于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点A运动，运动时间为t（秒）．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值．
【答案】(1)，D的坐标为（，）
(2)t的值为或
【分析】(1)根据直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，确定两点的坐标，代入解析式求解即可．
(2)设M点的坐标为，确定直线的解析式，分，两种情况求解即可．
【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，
∴B点的坐标为，C点的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴
∴抛物线解析式为，
∵D是抛物线的顶点，
∴D的坐标为．
（2）设M点的坐标为如图所示，
当时，
∵，
∴，，点N的纵坐标为，点Q的坐标为
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴N点坐标为，
∴，
又∵为直角边的是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴，
∴；
当时，设N点坐标为，同理可得Q点坐标为，M坐标为，
∴，
，同理得，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴；
综上所述，当为直角边的是等腰直角三角形时，t的值为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质，一次函数的解析式及其性质．
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题34 二次函数中的特殊三角形问题
【题型演练】
一、单选题
1．（2021·四川成都·一模）如图，二次函数图象的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面四个结论中：
①；
②；
③只有当时，是等腰直角三角形；
④使为等腰三角形的值可以有两个．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，
∵图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故①正确；
②∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴
∴结论②正确．
③如图1，连接AD，BD，作DE⊥x轴于点E，
，
要使△ABD是等腰直角三角形，
则AD＝BD，∠ADB＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴点E是AB的中点，
∴DE＝BE，
即||2，
又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴||＝2，a＞0，
解得a，
∴只有当a时，△ABD是等腰直角三角形，
结论③正确
④要使△ACB为等腰三角形，
则AB＝BC＝4，AB＝AC＝4，或AC＝BC，
Ⅰ、当AB＝BC＝4时，
在Rt△OBC中，
∵OB＝3，BC＝4，
∴OC2＝BC2﹣OB2＝42﹣32＝16﹣9＝7，
即c2＝7，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅱ、当AB＝AC＝4时，
在Rt△OAC中，
∵OA＝1，AC＝4，
∴OC2＝AC2﹣OA2＝42﹣12＝16﹣1＝15，
即c2＝15，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅲ、当AC＝BC时，
∵OC⊥AB，
∴点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
这与AO＝1，BO＝3矛盾，
∴AC＝BC不成立．
∴使△ACB为等腰三角形的a值可以有两个：．
结论④正确．
故答案选：D
【点睛】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x判断符，（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2﹣4ac＞0；②1个交点，b2﹣4ac＝0；③没有交点，b2﹣4ac＜0．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）
A．1＋B．1－
C．－1D．1－或1＋
【答案】A
【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
【详解】令x=0，则y=-3，
所以，点C的坐标为（0，-3），
∵点D的坐标为（0，-1），
∴线段CD中点的纵坐标为，
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为-2，
∴x2-2x-3=-2，
解得x1=，x2=，
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】①由抛物线经过点，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角；④当OP⊥AC时，OP取最小值，根据等面积求得OP即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②错误；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正确；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④正确；
故正确的有：①③④，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，两点距离公式，等面积求高，解决此题的关键是根据三角形的面积得OP的长．
4．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点，
∵是正三角形，，
∴
∴
设过的抛物线解析式为，
将点代入，得
∴
∴抛物线解析式为，
∵四边形是正方形，且关于轴对称，
∴
设，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
设直线的解析式为，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵在上，
∴的横坐标为
代入
得
∴
∴
∴阴影部分面积为
故选D
【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键．
5．（2020·山东德州·二模）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为( )
A．20B．C．22D．
【答案】C
【分析】由于 , , ，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直线 : ，求出，的坐标，得出的长；
利用 的坐标，得直线： ，求出 ,坐标，得出的长；用同样的的方法可求得，…的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得的长．
【详解】解： 等腰直角三角形，为原点； 直线：
， ， 的坐标为（1，1），则 为（0，2）
=2
为（0，2），直线 :
（2，4），=4，则（0，6）
（0，6），直线 :
（3，9）， =6，
由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2
∴△A10B11A11的斜边长为2+10×2=22，
综上，由此可以推出=22．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知 的长．
6．（2022·浙江·杭州东方中学九年级阶段练习）小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的lg．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴，根据平移的性质得到，设，求出x值，得到平移距离，可得的解析式，令求出点P坐标，根据等腰直角三角形的性质得到，求出a值，根据开口方向得到结果．
【详解】解：∵，
∴，对称轴为直线，则，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴移动距离为，
∴，
，，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵开口朝下，
∴，．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意结合图像，求出平移距离．
7．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知点，，射线绕点A逆时针旋转30°，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】先求出直线AB的函数解析式，再求出点，再根据三角函数求，则射线绕点逆时针旋转30°，后，利用解直角三角形求出，利用待定系数法即可求出答案A．
【详解】解：如图所示，直线AB交x轴于点C1，过点A作轴交x轴于点N，射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点C2．
设一次函数解析式为，将，，代入，得：
解得：
∴
∴点
又∵
∴
∴则
∵射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点，则
∴
∴
∴
∴
∵，，代入
∴解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目，能构造直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．
【答案】或
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点代入抛物线的解析式，得出m的值，确定的坐标，再根据点的坐标分情况画图求解，即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】解：∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵是抛物线上的点，
∴，
解得，
∴当时，，
当时，，
①当时，此时点与点重合，
如图1，设点关于直线对称点为，连接，
∵点与点关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，且，
∴，
∴；
②当时，
∴轴，
∴
如图2，设点关于直线的对称点为M，连接，
∵点关于直线的对称点为M，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
综上可得：点关于直线的对称点的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．
9．（2022·浙江·宁波市第七中学九年级阶段练习）已知：如图，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线的“优美三角形”的斜边长为4，求a的值______．
【答案】
【分析】设抛物线的顶点式，根据“优美三角形”的条件得为等腰直角三角形，得，从而得出点的坐标，将点的坐标代入顶点式表达式即可求解．
【详解】解：设抛物线的顶点的坐标为，
抛物线的顶点式为：，
又抛物线的“优美三角形”，
为直角三角形，
根据抛物线的对称性质，可知，
为等腰直角三角形，
设与对称轴交于点，如图，
，
或，
或，
或，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函数的顶点式、图像的对称性质以及图像上点的特征是解答此题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为________．
【答案】2
【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，求出点P（m，-（m-1）2），由抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，建立方程｜x2-x1｜=2（m-1）2，根据根与系数关系可求得m值．
【详解】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，
令y=0得，
∴x1+x2=2m，x1·x2=2m-1，则｜x2-x1｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，
由抛物线=（x-m）2－（m-1）2得顶点坐标为P（m，-（m-1）2），
抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，
∴｜x2-x1｜=2（m-1）2，
即4（m-1）2=4（m-1）4，
解得：m=2或m=0或m=1，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞且m≠1，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
11．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________．
【答案】
【分析】作BD⊥x轴，连接OB，根据正方形性质可知OA=OB，∠A=90°可得∠BOD=60°，再由勾股定理即可得，将点B代入即可求解；
【详解】解：作BD⊥x轴，连接OB，
根据正方形性质可知OA=AB，∠A=90°，
∴∠AOB=45°，
∵∠AOD=15°，
∴∠BOD=60°，
∵
∴，
∴，
将点B代入得，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．
12．（2021·山东滨州·九年级期末）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2021在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2021在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2020B2021A2021都为等边三角形，则△A2020B2021A2021的边长＝_____．
【答案】2021
【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1a，BB2b，CB3c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线yx2中，求a、b、c的值得出规律．
【详解】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C．
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，
∵△A0B1A1是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得BB2b，CB3c，
∴在正△A0B1A1中，B1(a，)，代入yx2中，得•(a)2，解得：a=1或a=0(舍去)，即A0A1=1，
在正△A1B2A2中，B2(b，1)，代入yx2中，得1•(b)2，解得：b=2或b=-1(舍去)，即A1A2=2，
在正△A2B3A3中，B3(c，3)，代入yx2中，得3•(c)2，解得：c=3或c=-2(舍去)，即A2A3=3，
∴可以推出AnAn+1=n+1,
由此可得△A2020B2021A2021的边长=2021．
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
13．（2022·山东·日照市高新区中学一模）二次函数的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A4，…在轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B4，…在二次函数位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A10B11A11的斜边长为__________．
【答案】22
【分析】过点B1，B2，B3，B4，…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E…，分别写出直线的解析式，将它们与联立，求得点B1，B2，B3的坐标，从而可得，，，得到规律这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2，据此解题．
【详解】解：如图，过点B1，B2，B3，B4，…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E…
△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，
所在的直线为，
由得
直线为，
同理，由解得
直线为，
由解得
…
由，，…可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2，
△A10B11A11的斜边长2+10=22，
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合题，涉及等腰直角三角形、解二元一次方程组等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
14．（2022·广东·广州市第八十九中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标；
(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)点，点
(3)存在，，，
【分析】（1）根据，求出的长，进而得到，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标；
（3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
把，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵直线经过点，
设直线的解析式为：
把，代入代入得：
解得：，
∴直线的解析式为：
∵过点作轴的垂线交抛物线于点，
设点横坐标为，点在线段上(点，除外)，
∴点，
∴点横坐标为，点在抛物线上，
∴点，
据图知：点在点上方，
∴，
∵，开口向下，有最大值，当时，的最大值为．
∴，，
∴点，点；
（3）①当时，点的纵坐标为，
即，解得：，，
∴，；
②当，点的纵坐标为，
即，解得，（舍去）
∴点，
综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A、C，交y轴于点B，.
(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；
(2)如图，连接，点M是对称轴上一点且在第四象限，若是以为底角的等腰三角形，求点M的坐标；
【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴方程为；
(2)M坐标为或
【分析】（1）根据抛物线的解析式得出，，再由已知条件确定，利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式，即可确定对称轴；
（2）设，根据坐标系中两点间的距离公式得出，然后分两种情况：①若，②若，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
而，
∴对称轴方程为；
（2）解：设，而，
∴，
∵是以为底角的等腰三角形,
∴分两种情况：
①若，则，如图：
∴，
解得或，
∵M是对称轴上一点且在第四象限，
∴，
②若，则，如图：
∴，
解得，
∴，
综上所述，M坐标为或．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括利用待定系数法确定函数解析式，确定特殊图形的坐标及等腰三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为．
(1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ；
(2)求出二次函数的解析式；
(3)如图1，在平面直角坐标系中找一点D，使得是以为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)；
(3)或．
【分析】（1）通过解方程可得A、B点的坐标；
（2）先确定抛物线的顶点坐标为，然后把顶点坐标代入求出a即可；
（3）先确定，设，利用两点间的距离公式得到，，，再根据等腰直角三角形得到，，然后解方程组得到D点坐标．
【详解】（1）解：当时，
解得，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
把代入得，解得，
∴，
即；
（3）解：当时，，则，
设，
∴，，，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
解得，或，，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质；理解坐标与图象的性质，记住两点间的距离公式．
17．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求这个二次函数的关系解析式；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）以为边在两侧作正方形、正方形，则点为符合题意要求的点．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得出，同理证明得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴
∴二次函数的关系解析式为；
（2）解：如图2所示，以为边在两侧作正方形、正方形，则点为符合题意要求的点．过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得；
同理可证，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．
点坐标为：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点.
(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)连接，在线段上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)，；
(2)，，
【分析】（1）分别将、代入函数解析式，求解即可；
（2）求出直线的解析式，分三种情况讨论、、，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
当时，，，
当时，，
整理得：，
变形得：，
解得，
故答案为：，
（2），
设解析式为，把坐标代入得，
，
解得，
解析式为，
为等腰三角形，点在线段上，设，，
以为底边，作中垂线与交点为，，，
，
以为腰，
当时，
，
或舍去，
，
，
当时，点与点重合，，
为等腰三角形符合条件的点的坐标为：，，；
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了二次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】(1)；
(2)的值为，，1，2
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式是；
（2）解：设，，
则，，
当时，①，解得，（舍去），
②，解得，（舍去），
当时，，此时N在x轴上，
，解得或（舍
当时，，
，解得或（舍，
当是等腰三角形时，的值为，，1，2．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为与点，与轴交于点.
(1)求此二次函数关系式和点的坐标；
(2)在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；点的坐标：；
(2)存在，点的坐标为或或或，理由见解析．
【分析】（1）将点的坐标代入解析式，即可求解二次函数关系式；结合解析式和点是图像与轴的交点，即可求解点的坐标；
（2）由点在轴上，故设点坐标为，再由两点间的距离公式表示出、和的平方，最后分类讨论哪两边为腰，即可求解．
【详解】（1）二次函数的图象与轴的一个交点为，
，解得，
此二次函数关系式为：，
当时，解得，
点的坐标为.
（2）存在，设点的坐标为，则
由题意得：，，，
①当时，则，解得，
或；
②当时，则，解得（舍），
③当时，则，解得
综上所述：点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数解析式、二次函数等腰三角形存在性问题、两点间的距离公式、方程思想、分类讨论思想等知识点，属于二次函数的综合应用，具有一定难度．解题的关键是掌握并运用方程思想和两点间的距离公式．注意：两点间的距离公式：若平面直角坐标系中有、两点，则线段．
21．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过点、，与轴的另一个交点为，点在线段上，过点作轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为边在其左侧作等腰直角三角形，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，或
【分析】（1）把、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）分三种情况讨论，一是，，可以设点在抛物线上，；二是，，设，三是，，作于点，设，分别求出或的值并进行检验，得出点的坐标．
【详解】（1）解：把、代入，
得，解得，
抛物线的解析式为：．
（2）解：能．
如图2，，，
设点在抛物线上，，
对于直线，当时，则，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
；
如图3，，，
设，
则，，
当点在抛物线上时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
；
如图4，，，作于点，
则，
设，
则，，
若点在抛物线上，则，
解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
22．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；
(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)24
(2)
(3)存在，或．
【分析】（1）求出c点坐标，利用三角形的面积公式求出面积即可；
（2）作于点D，证明，利用相似三角形的性质列方程求解即可；
（3）分两种情况求解：当点M在第一象限的抛物线上时和当点M在第二象限的抛物线上时．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得，
∴；
∴c点坐标为，
∴．
（2）解：如图2，作于点D．
∵，，
∴，
∴，
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）解：如图3-1，当点M在第一象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为F，过点C作直线的垂线，垂足为E．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
如图3-2，当点M在第二象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为H，过点C作直线的垂线，垂足为G．
同理可得：．
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点
(1)二次函数的表达式为 ；
(2)点在直线上，当为等腰三角形时，求点的坐标；
【答案】(1)
(2)点为 或 或 或
【分析】（1）把两点坐标代入中，得到含方程组，解方程组即可．
（2）分为底和腰的情况，画出相应的示意图讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
，，
∴，
故二次函数表达式为：．
（2）解：当时，，即二次函数图象与轴交点纵坐标为，
∴点的坐标是，
设直线的表达式为：（），
将，代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
使得为等腰三角形，存在如图所示的情况：
（Ⅰ）以为底：作线段的中垂线，与直线交于一点，
又线段长度为个单位，
点的横坐标为，
把代入直线的解析式得，
（Ⅱ）以为腰：①以点为圆心，为半径画圆，与直线交于一点，与轴
交于两点，由作图知：（直径所对圆周角是直角），
在与中，
（两角对应相等，两三角形相似），
又，，
，
，
，
过点作轴，垂足为点，由平行线分线段成比例定理得：
，，
，即点的横坐标为，
将代入得：
点坐标为：
②以点为圆心，为半径画圆，与直线交于点和点，
过点作轴，垂足为，由作图可得：
，
点坐标为或
综上所得点坐标为： 或 或 或
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，融合了尺规作图、相似三角形、圆的知识，第2问题关键在于分两大类情况（为底和腰）作图分析讨论，容易遗漏答案．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知点A的坐标为，直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接，顶点为D的抛物线过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)设点M是线段上的一动点，过点M作，交于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点A运动，运动时间为t（秒）．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值．
【答案】(1)，D的坐标为（，）
(2)t的值为或
【分析】(1)根据直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，确定两点的坐标，代入解析式求解即可．
(2)设M点的坐标为，确定直线的解析式，分，两种情况求解即可．
【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，
∴B点的坐标为，C点的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴
∴抛物线解析式为，
∵D是抛物线的顶点，
∴D的坐标为．
（2）设M点的坐标为如图所示，
当时，
∵，
∴，，点N的纵坐标为，点Q的坐标为
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴N点坐标为，
∴，
又∵为直角边的是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴，
∴；
当时，设N点坐标为，同理可得Q点坐标为，M坐标为，
∴，
，同理得，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴；
综上所述，当为直角边的是等腰直角三角形时，t的值为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质，一次函数的解析式及其性质．
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