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最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题35 二次函数中的相似三角形问题 （全国通用）
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这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题35 二次函数中的相似三角形问题 （全国通用），文件包含专题43二次函数中的相似三角形问题原卷版docx、专题43二次函数中的相似三角形问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题35 二次函数中的相似三角形问题
【题型演练】
一、解答题
1．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；
(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．
2．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·山东德州·统考二模）如图，抛物线经过，，三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得，直接写出点D坐标．
4．（2022·山东聊城·统考三模）如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与轴相交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为________（直接填空）；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
5．（2022·辽宁丹东·校考一模）已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
7．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．
8．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
9．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
10．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）已知抛物线与轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在原点的左边，点在原点的右边)，与轴的负半轴交于点，连接，且满足，求抛物线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线，直线交抛物线于两点(点在点的左边)，直线交轴于点，直线交轴于点，设的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．
11．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标；
(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值；
(3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值．
13．（2022·河北唐山·统考二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
(1)直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，联结、．
(1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如果点在抛物线上，平分，求点的坐标：
(3)如果点在抛物线的对称轴上，与相似．求点的坐标．
15．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点，交于点，于点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)如图，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022·山西晋中·统考二模）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，若的中点为点，请你求经过点和点的直线表达式；
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ， 且过点 ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图 1， 点 为直线 上方抛物线上 （不与 重合） 一动点， 过点 作 轴， 交 于 ，过点 作 轴， 交直线 于 ， 求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 2， 将原抛物线沿 轴向左平移 1 个单位得到新抛物线 ， 点 为新抛物线 上一点， 点 为原抛物线对称轴上一点， 当以点 为顶点的四边形为平行四边形时， 求点 的坐标， 并写出求其中一个 点坐标的解答过程．
18．（2022·四川绵阳·统考三模）如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求的值．
19．（2023·山西太原·山西大附中校考一模）已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的解析式 ；
(2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标；
(3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为 ．
20．（2022·江苏镇江·统考一模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、 （点在点左侧），与轴交于点．
(1)连接，则 °；
(2)如图2，若经过、、三点，连接、，若与 的周长之比为，求该抛物线的函数表达式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，抛物线对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题35 二次函数中的相似三角形问题
【题型演练】
一、解答题
1．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；
(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．
2．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·山东德州·统考二模）如图，抛物线经过，，三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得，直接写出点D坐标．
4．（2022·山东聊城·统考三模）如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与轴相交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为________（直接填空）；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
5．（2022·辽宁丹东·校考一模）已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
7．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．
8．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
9．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
10．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）已知抛物线与轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在原点的左边，点在原点的右边)，与轴的负半轴交于点，连接，且满足，求抛物线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线，直线交抛物线于两点(点在点的左边)，直线交轴于点，直线交轴于点，设的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．
11．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标；
(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值；
(3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值．
13．（2022·河北唐山·统考二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
(1)直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，联结、．
(1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如果点在抛物线上，平分，求点的坐标：
(3)如果点在抛物线的对称轴上，与相似．求点的坐标．
15．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点，交于点，于点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)如图，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022·山西晋中·统考二模）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，若的中点为点，请你求经过点和点的直线表达式；
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ， 且过点 ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图 1， 点 为直线 上方抛物线上 （不与 重合） 一动点， 过点 作 轴， 交 于 ，过点 作 轴， 交直线 于 ， 求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 2， 将原抛物线沿 轴向左平移 1 个单位得到新抛物线 ， 点 为新抛物线 上一点， 点 为原抛物线对称轴上一点， 当以点 为顶点的四边形为平行四边形时， 求点 的坐标， 并写出求其中一个 点坐标的解答过程．
18．（2022·四川绵阳·统考三模）如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求的值．
19．（2023·山西太原·山西大附中校考一模）已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的解析式 ；
(2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标；
(3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为 ．
20．（2022·江苏镇江·统考一模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、 （点在点左侧），与轴交于点．
(1)连接，则 °；
(2)如图2，若经过、、三点，连接、，若与 的周长之比为，求该抛物线的函数表达式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，抛物线对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
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