广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

这是一份广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二上学期期末数学试题，共11页。试卷主要包含了若，则“”是“方程表示椭圆”的，在平行六面体中，已知，则，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．5B．10C．15D．20
3．已知两条直线，，且，则m的值为（ ）
A．1B．C．或1D．或2
4．信宜市是广东省首个“中国慈孝文化之乡”．为弘扬传统慈孝文化，信宜某小学开展为父母捶背活动，要求同学们在某周的周一至周五任选两天为父母捶背，则该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
6．在平行六面体中，已知，则（ ）
A．B．1C．D．
7．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知两个等差数列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1678B．1666C．1472D．1460
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（ ）
A．边与直线平行
B．边上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分面积的直线与边相交于点
11．若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（ ）
A．过点F的最短的弦长为B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C上的点到点F距离的最小值为2D．双曲线C的渐近线为
12．在空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面的方程为，经过点且方向向量为的直线方程为．
阅读上面材料，解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线l的方程为，直线m的方程为，则（ ）
A．平面与垂直B．平面与l所成角的余弦值为
C．直线m与平面平行D．直线m与l是异面直线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等比数列满足，，则______．
14．长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______．
15．请写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______．
16．已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长交椭圆C于点A，若T为线段的中点，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线与垂直，且经过点．
（1）求的方程（用一般式表示）；
（2）若与圆相交于A，B两点，求．
18．（12分）
记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
19．（12分）
“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
21．（12分）
记数列的前n项和为，已知，．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
22．（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，且．过右焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O作一条垂直于l的直线，交C于P，Q两点，求的取值范围．
2023—2024学年度第一学期高二期末考试
数学参考答案及评分说明
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1214．
15．（答案不唯一，或均可以）16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）解：法一：由直线，可得斜率，
设直线的斜率为
因为，所以，所以，
又因为直线过点，所以直线的方程为，即．
法二：因为直线与直线垂直
所以设直线的方程为（或设为）
直线过点，所以，解得
所以设直线的方程为
（2）解：法一：由圆，可得圆心，半径，
则圆心C到直线的距离为，
所以弦长．
法二：设，
由，化简得
由韦达定理得，，
所以由
法三：由，化简得
解得或
所以由
18．解：（1）设等差数列的公差为d，，首项为，
依题意，有
解得，或，
因为，所以，，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
因为，所以，整理可得：，
解得，或，
又n为正整数，故n的最小值为7．
19．解：（1）设“甲猜对灯谜”为事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，
由题意得，，，且事件A、B相互独立，
则
，
所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；
（2）设“丙猜对灯谜”为事件D，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，
则由题意，
，解得．
20．解：（1）
法一：解：以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
依意得，，，，
所以，，
因为，所以，
由已知，且，平面，平面，所以平面．
法二：底面是正方形，
底面，且平面，
，平面，平面
平面，平面，
，E为中点，
，平面，平面
平面，平面，
由已知，且，平面，平面，所以平面
（2）法一：依题意得，且，，
设平面的一个法向量为，
则，即取，
因为，，设平面的一个法向量为，
则即取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角为．
法二：由（1）知平面，
又，平面，平面
为平面与平面所成角
，E为中点，，，
平面，平面，
直角三角形中，
所以平面与平面的夹角为
21．解：（1）因为，当时，，解得；
当时，，
整理得，
因为，
又，故，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以，
则，
两式相减，得
所以．
22．解：（1）由，得，又的周长为，即，
，，，椭圆C的标准方程为．
（2）解法一：设，，，，
当直线的斜率为0时，，，；
当直线的斜率不为0时，设直线，直线，
联立直线和椭圆C的方程，并消去x整理得，，
由根与系数的关系得，．
所以．
联立直线和椭圆C的方程，并消去y整理得，
由根与系数的关系得，，，
所以．
令，则，
设，
，，，，
综上可得，的取值范围为．
解法二：当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为，
此时，，所以；
当直线l的斜率为0时，则直线l的方程为，
此时，，所以；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，，且，，
由，得，
所以，，，
所以，
此时直线的方程为，设，则，
由，得，所以，
所以，
所以，
令，则，，
设，
因为，所以，
所以，即，
综上所述，．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
D
A
B
B
题号
9
10
11
12
答案
AC
BD
BCD
AD