湖南省宁乡市实验中学等多校联考2024届高三下学期一轮复习总结性考试（月考）数学试题

这是一份湖南省宁乡市实验中学等多校联考2024届高三下学期一轮复习总结性考试（月考）数学试题，共13页。试卷主要包含了已知，是圆上的两个不同的点，若，已知为复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆锥的底面面积为，其侧面展开图的圆心角为，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为（ ）
A．B．C．2D．
3．设数列满足，，数列满足，，则（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
4．设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女姓400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中错误的是（ ）
A．男生样本容量为50B．抽样时某女生甲被抽到的概率为
C．抽取的样本的均值为166D．抽取的样本的方差为43
6．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．设是定义在R上的奇函数，其导函数为，且也是奇函数，当，
，若，则（ ）
A．B．C．1D．
8．已知，是圆上的两个不同的点，若
，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则或
10．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则线段AB的中点P到x轴的距离为1
C．若直线AB经过焦点F，则
D．若，则直线AB过焦点F
11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段运动，点Q在线段运动，则（ ）
A．对任意的点P，有
B．存在直线PQ，使
C．PQ的最小值为
D．过点P可以作4条直线与，均成60°角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，若，则m的值为______．
13．将5名大学生安排到3个不同的公司实习，要求每个公司至少有一-名大学生，则不同的
安排方式共有______种．
14．已知数列，，对任意正整数k，，，成等差数列，公差为k，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A的平分线交BC于点D，且．
（1）求A：
（2）若，的周长为15，求AD的长．
16．（15分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．
（1）求证：平面平面AEQF；
（2）求三棱锥体积．
17．（15分）某同学进行定点投篮训练，设该同学每次投中的概率均为，且每次投篮互不影响．
（1）若，该同学共进行三次投篮，规定：第一-次投中得2分，第二次投中得2分，第三次投中得3分．记X为三次总得分，求X的分布列及数学期望；
（2）若该同学共进行了次投篮，其中投中k次的概率为，记，请比较Q与的大小．
18．（17分）已知函数存在两个极值点，且极大值点为．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数最大的零点为，求证：．
19．（17分）已知双曲线的离心率为，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的标准方程：
（2）设，，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线PA和Q4分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．
2024·高三第一轮复习总结性考试
数学试卷答案解析及评分细则
1．【答案】C
【解析】因为，
，
所以，所以，故选C．
2．【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由题意，，，，，
过该圆锥顶点做截面，当截面三角形为等腰直角三角形时面积最大，所以截面面积为，故选C．
3．【答案】D
【解析】由题意可知，，，两边取对数可得，
即，且，故数列是首项是1，公比为2的等比数列，其它皆错．故选D．
4．【答案】A
【解析】（逆向变换）先将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍，
纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，
又，所以，，故选A．
5．【答案】B
【解析】男生样本量＝男生人数÷全体学生数×总样本量，故A正确；
每个女生抽到的概率为．故B错误；
样本均值，故C正确；
样本方差：
，故D正确，故选B．
6．【答案】D
【解析】连接，，由P在以为直径的圆上，故．
又P、Q在椭圆上，故有，．
设，则，，
，．在中，由勾股定理得
，解得，
于是，，故，故选D．
7．【答案】B
【解析】因为是定义域为R的奇函数，
所以，，．
因为当，，所以，从而．
因为是奇函数，即的图像关于v轴对称，
所以的图像关于对称，因此有，
，从而有，
所以，故是周期为4的周期函数，
又因为，所以，
所以，故选B．
8．【答案】A
【解析】由题设知，圆C的圆心坐标，半径为1，
因为，所以．设P为MN的中点，所以．
所以点P的轨迹方程为．
其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
设点M，N，p到直线的距离分别为，d，
所以，，，
所以．
因为点C到直线的距离为，
所以，即，
所以．所以的取值范围为．故选A．
9．【答案】ABD
【解析】设，，因为，
，所以，故A正确；
又，
，
，所以，故B正确；
取，，可得，故C错误；
若，则，所以或，可得或，故D正确；
故选ABD．
10．【答案】BC
【解析】抛物线的准线为，故A错误；
由，根据抛物线定义得，则，
所以点P的纵坐标，即为点P到x轴的距离为1，故B正确；
因为直线l交抛物线于A，B两点，显然l的斜率存在，设l的方程为，与联立消去）整理得，所以，所以．
若直线AB经过焦点F，则，，故C正确；
若，则，当时，则直线AB过焦点F；当时，则直线AB过点，
故D错误，故选BC．
11．【答案】AB
【解析】对于A，因为平面，平面，所以，故A正确；
对于B，当点P，Q分别是，的中点时，，故B正确；
对于C，PQ的最小值即为异面直线，的距离，而异面直线，
的距离等于两平行平面和的距离，
易知两平行平面和的距离等于，故C错误；
对于D，因为，成60°角，先将点P移与点A重合，
则原问题等价于过点作直线l与，成60°角，
易知，在平面有且只有一条直线与，成60°角，
在空间中还可以作两条直线与，成60°角，
故过点P只能作三条直线与，均成60°角，所以D错误，故选AB．
12．【答案】1
【解析】由，得，所以，则．
13．【答案】150
【解析】从人的个数有两类分组方法，
即1，1，3和1，2，2两种分法若分成1人，1人，3人，则共有分组方法；
若分成1人，2人，2人，则共有分组方法；
将分好的三组安排到三个公司中共有种排法，
所以所有的安排方法共有种方法．
14．【答案】2501
【解析】因为，对任意正整数k，，成等差数列，公差为k，
所以．当时，可得
，当，时，，
，所以当时，．
15．
【解析】（1）因为，利用正弦定理可得：
，即．
因为，所以，即，
又，可得．
（2）因为，，所以．
在中，由余弦定理可得：，所以．
又因为AD为角A的平分线，所以，
所以，
即，所以．
16．
【解析】（1）因为平面ABCD，所以，
且为直线PC与平面ABCD所成的角，
所以，．
因为点F分别为PD的中点，
所以．
因为点E为BC的中点，，所以，
又，所以，所以平面PAD，所以．
所以平面AEQF，所以平面平面AEQF．
（2）分别以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，．
设，
则，
设平面AEQF的一个法向量为，
则，所以，取．
由，得，
解得，此时．
因此点Q到平面ADF的距离等于点C到平面ADF的距离的，
而点Q到平面ADF的距离等于，又．
于是．故所求三棱锥体积为．
17．
【解析】（1）设事件分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中．
根据题意可知．
且，
，，
，
．
X的分布列为：
X的数学期望．
（2）依题意，该同学2n投篮共投中X次，则，且
，．
因为，
，
两式相加得：，所以．
当时，；
当，且时，．
18．
【解析】（1）定义域为，且．
当或，即时，恒成立，
此时在单调递减，不存在极值，不合题意．
当时，在有两个不等实根，
由题设及二次方程的根与系数的关系知，较大根即为，
较小根为，此时在单调递减，
在单调递增，在单调递减，此时函数有两个极值点．
故所求实数a的取值范围是．
（2）由（1）可知，当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减，且．又因为，
且．
令，则，所以，
从而在有唯一零点，即为函数的最大的零点为，所以．
由（1）可知，，所以
．
令，，则，
所以在单调递减，当时，，
即．
由（1）可知，在上单调递减，且，，因此．
故．
19．
【解析】（1）设C的半焦距为，不妨设顶点坐标为，C的一条渐近线方程为，即，所以．
又，，解得，，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）如图，设．
直线PA的方程为，
代入双曲线C的方程得．
因为点P在双曲线C上，所以，
于是，化简得，
所以，即，所以．
因为D为AB的中点，所以，
所以直线MD的斜率为．
因为，，所以设直线PQ的方程为，
将点代入得，所以，所以．
同理直线ND的斜率为，所以，
故M，N，D三点共线．X
0
2
3
4
5
7
P