陕西省咸阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

这是一份陕西省咸阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题，共8页。试卷主要包含了已知三条直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．设数列为等比数列，若，，则数列的前6项和为（ ）
A．18B．16C．9D．7
3．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．双曲线：的右顶点到直线的距离为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10B．3C．D．
7．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图是某木拱廊桥的剖面图，，，，是拱骨，，，，是相等的步，相邻的拱步之比分别为，，，，若，，是公差为的等差数列，且直线的斜率为0.565，则（ ）
A．0.22B．0.32C．0.42D．0.52
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）
A．B．是等比数列
C．D．是递减数列
10．已知三条直线：直线：，：，：不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
11．在空间直角坐标系中，若，，，四点可以构成一个平行四边形，则点的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
12．新定义：如图，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交于，两点（在，之间），我们把点称为关于直线的“近点”，把的值称为关于直线的“秘钥数”．根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，1为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“近点”，且关于直线的“秘钥数”是6，则直线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在等差数列中，若，则______．
14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则______．
15．当直线：被圆：截得的弦长最短时，实数______．
16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知三角形三顶点，，，求：
（Ⅰ）边上的高所在的直线方程；
（Ⅱ）边的中线所在的直线方程．
18．（本小题满分12分）
已知圆锥曲线的方程是．
（Ⅰ）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（Ⅱ）若表示焦点在轴上且焦距为8的双曲线，求的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在平行六面体中，，．设，，．
（Ⅰ）用基底表示向量，，；
（Ⅱ）证明：平面．
20．（本小题满分12分）
已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8．
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，数列的前项和为，求．
21．（本小题满分12分）
如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值．
2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．D 7．D 8．B
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．BCD 10．ABC 11．ACD 12．BD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．5214．415．16．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（I），，
边所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的斜率为2．
边上的高所在的直线方程为，
即．
（II）由已知求得边的中点为，
则边的中线过点和．
边的中线所在直线方程为，
即．
18．解：（I）由曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得，
解得，
的取值范围为．
（II）由曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，，
，即，
再由焦距为8，可得，解得，
的值．
19．解：（I），，，
，
．
（II）证明：设，
又，
则．，
，
即，
同理可得，
又，
平面．
20．解：（I）设等差数列的公差为，则，，
由题意得
解得或
或．
（II）由（I）得或，
当时，，，分别为，4，2不成等比数列，不符合题意；
当时，，，分别为，2，成等比数列，符合题意，
故，
当时，，当时，，
当时，
，
又当时，满足上式，
综上，
．
21．解：（I）证明：将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，
故且，
故四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
（II）易知，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
设，则，设，
则，解得，，故，
，，．
当时，此时与重合，直线和平面垂直，不符合题意；
当时，设平面的法向量为，
则令，则，，
平面的一个法向量为．
设直线和平面所成角为，
则，
解得或（舍去），
综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时．
22．解：（I）由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，
再由到焦点的距离比到轴的距离大1，可得准线到轴的距离为1，
即，可得，
抛物线的方程为：．
（II）由（I）可得焦点，
由题意直线，的斜率均存在，且不为0，
设直线的方程为，，，
联立整理得，
可得，，
由抛物线的性质可得，
同理可得，
，
当且仅当，即时，取等号，
四边形面积的最小值为32．