上海市实验学校2023-2024学年高三下学期2月测验数学试卷

这是一份上海市实验学校2023-2024学年高三下学期2月测验数学试卷，共9页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A={x|2x−1x+1≤0}，全集U=R，则A= .
2．双曲线y​22−x​28=1的渐近线方程为 .
3．设随机变量服从正态分布N4,2，若Pξ>a+3=Pξ0，且b−1B．ab>−b​2C．1a>−1bD．a​2>b​2
14．空间向量a=0,1,−1在b=1,2,3上的投影为（ ）
A．−114bB．−1414bC．−114D．−1414
15．全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用. 例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”. 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案. 已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为
A．25%B．35%C．45%D．55%
16．函数fx={x,x∈P−x,x∈M ，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定fP={y∣y=fx,x∈P}，fM={y∣y=fx,x∈M}，给出下列四个判断：
①若P∩M=⌀，则fP∩fM=⌀；②若P∩M≠⌀，则fP∩fM≠⌀；③若P∪M=R，则fP∪fM=R；④若P∪M≠R，则fP∪fM≠R.
其中正确判断有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题（本大题满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为3，底面半径为2.
（1）求该圆锥侧面展开图的圆心角；
（2）设OA、OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB=90​∘，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的大小.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数fx=cs2x−2sin​2x−1.
（1）当x∈[0,π]时，求fx的增区间；
（2）在△ABC中，角A所对边a=13，角B所对边b=5，若fA=−1，求△ABC的面积.
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）. 调研人员采集了50天的数据，制作了关于xi,yii=1,2,3,⋯,50的散点图，并用直线x=1500与y=100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6,20,16,8.
（1）完成下面的2×2列联表，并判断至多有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
（2）经计算得回归方程为y=0.12x−73.36，且这50天的汽车日流量x的标准差sx=252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy=36.
①求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量x满足∑50i=1xi2=1.2×108，试推算这50天的PM2.5日均浓度y的平均数y.（精确到0.1）
参考公式：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
回归方程y=a+bx，其中b=∑ni=1xi−xyi−y∑ni=1xi−x2.
相关系数r=∑ni=1xi−xyi−y∑ni=1xi−x2∑ni=1yi−y2. 若r≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性.
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e=32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，证明：1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值；
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点Mm,0，求m的取值范围.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数y=fx的定义域为开区间I，若存在x0∈I，使得y=fx在x=x0处的切线l与y=fx的图像只有唯一的公共点，则称y=fx为“L函数”，切线l为一条“L切线”.
（1）判断y=x−1是否是函数y=lnx的一条“L切线”，并说明理由；
（2）设gx=e2x−6x，求证：y=gx存在无穷多条“L切线”；
（3）设fx=x3+ax2+10−1，an>−n2−12；
同时，按原数列要求，an+1=an+n≤n2，an≤−n2. 故an∈(−n2−12,−n2|.
注意到该数列显然为整数数列，故当n为奇数时，不存在整数能位于该区间(−n2−12,−n2]中
因此矛盾.
②若an+1=an−n，则an+an+1=2an−n>−1，an>n−12，与an≤n−12矛盾；
综上，原假设不成立，故当n为奇数n≥3时，an+an+1≤−1
而已经找到的数列0，−1，1，−2，2，−3，3，−4 …中等号全部成立，故S2024的最大值为−1012.
二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．D
14．A
15．A
16．B
【详解】对①：取P={1}，M={−1}，满足P∩M=⌀,
但fP={1}，fM={1}，fP∩fM={1}，故①错误；
对②：若P∩M≠⌀，由函数定义可得P∩M={0},
所以0∈[fP∩fM]≠⌀，故②正确；
对③：取P={x∣x≥0}，M={x∣x0}，fP∪fM≠R，故③错误；
对④：假设P∪M≠R，且fP∪fM=R,
则存在x∉P∪M，则x∉P，x∉fP，所以x∈fM，所以−x∈M,
且−x∈[fP∪fM]=R，
若−x∈fP，则−x∈P，所以−x∈P∩M={0}，所以x=0∈P，矛盾，假设不成立；
若−x∈fM，则x∈M，矛盾，假设不成立；
所以若P∪M≠R，则fP∪fM≠R，故④正确. 故选：B.
三、解答题（本大题满分78分）
17．（1） 41313π
【详解】由圆锥性质可知OP⊥平面AOB，易知高ℎ=OP=3，底面半径r=OB=2，可得母线长l=3​2+2​2=13，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角大小α=2πrl=4π13=41313π
（2） arccs1111
【解析】取OA的中点为N，连接PN，MN，如下图所示：因为M为线段AB的中点，所以MN//OB，因此∠PMN（或其补角）就是直线PM与直线OB所成的角，
又∠AOB=90​∘，即OA⊥OB，OP⊥OB,
且OP，OA⊂平面POA，OP∩OA=O，即OB⊥平面POA,
所以MN⊥平面POA,
即MN⊥PN；
在Rt△PNM中，易知PN=10，MN=1，PM=11，
cs∠PMN=MNPM=111=1111，因此∠PMN=arccs1111.
即直线PM与直线OB所成的角的大小为arccs1111
18．（1） [π2,π]
【详解】fx=cs2x−2sin​2x−1=2cs2x−2.
令t=2x，则t∈[0,2π].
因为y=cst在t∈[π,2π]单调递增，所以fx=2cs2x−2在x∈[π2,π]上单调递增.
即fx的单调递增区间为[π2,π].
（2） 534或53
【解析】由fA=−1，可得：cs2A=12.
因为A∈0,π，所以2A∈0,2π，所以2A=π3时，A=π6；2A=5π3时，A=5π6.但此时a=13，b=5，所以A5π6，不符合三角形内角和定理，舍去.
所以在△ABC中，A=π6，a=13，b=5，由余弦定理得：
a2=b2+c2−2bccsA，即13=25+c​2−2×5×c×32，解得c=3或c=43.
当c=3时，S△ABC=12bcsinA=12×5×3×12=534；
当c=43时，S△ABC=12bcsinA=12×5×43×12=53.
所以△ABC的面积为534或53.
19．（1） 表格见解析，至多有99%的把握；
【详解】2×2列联表如下：
∴χ2=50×16×20−8×6224×26×22×28≈9.62∈6.635,10.828
∴至多有99%的把握（但还不能有99.9%的把握）认为PM2.5平均浓度不小于100μg/m3与汽车日流量不小于1500辆有关.
（2） ① 0.84，有价值；
【解析】b=∑50i=1xi−xyi−y∑50i=1xi−x2=0.12，
而∑50i=1xi−x250=252，∑50i=1yi−y250=36，
∴r=∑50i=1xi−xyi−y∑50i=1xi−x2⋅∑50i=1yi−y2=b⋅∑50i=1xi−x2∑50i=1yi−y2=0.12×25236=0.84.
∵r=0.84>0.75,∴y与x有较强的相关性，∴该回归方程有价值.
② 110.1μg/m3
【解析】sx=252=∑50i=1xi−x250=∑50i=1xi250−x2=1.2×10850−x2，解得x≈1528.56
而样本中心点x,y位于回归直线y=0.12x−73.36上，
因此可推算y≈0.12×1528.56−73.36=110.1μg/m3
20．（1） x​24+y​2=1；
【详解】由于c​2=a​2−b​2，将x=−c代入椭圆方程x​2a​2+y​2b​2=1，得y=±b​2a.
由题意知2b​2a=1，即a=2b​2.
又ba=12，a​2=b​2+c​2，所以a=2，b=1.
所以椭圆C的方程为x​24+y​2=1.
（2） 1kk1+1kk2=−8，证明见解析；
【解析】设Px0,y0y0≠0，则直线l的方程为y−y0=kx−x0.
联立得{x24+y2=1y−y0=kx−x0，
整理得1+4k2x2+8ky0−k2x0x+4y02−2kx0y0+k2x02−1=0
由题意得△=0，即4−x0​2k​2+2x0y0k+1−y0​2=0.
又x024+y02=1，所以16y02k2+8x0y0k+x02=0，故k=−x04y0.
又知1k1+1k2=x0+3y0+x0−3y0=2x0y0，
所以1kk1+1kk2=1k1k1+1k2=−4y0x0⋅2x0y0=−8，
因此1kk1+1kk2为定值，这个定值为−8.
（3） −32