云南省昆明市第一中学2024届高三第七次高考仿真模拟数学试题

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数学试卷
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线在第一象限分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边为，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ）
A．点关于点O的对称点不一定为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则的值不一定为0
D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为
6．的展开式中，项的系数为（ ）
A．10B．C．60D．
7．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012B．2024C．4048D．8096
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为上的单调函数，则
B．若时，在上有最小值，无最大值
C．若为奇函数，则
D．当时，在处的切线方程为
10．设z，，均为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则的最大值为2D．若复数，则
11．一个球与正方体的各个面相切，过球心作截面，则截面的可能图形是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．在上有唯一零点D．在上有最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则______．
14．已知抛物线与直线在第一、四象限分别交于A，B两点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则______．
15．某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为______．
16．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数t的取值范围．
18．（12分）
在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，．
（1）若的面积等于，求的周长；
（2）若，求．
19．（12分）
某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
（1）求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
（2）若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
20．（12分）
如图，四棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
一动圆圆E与圆外切，同时与圆内切．
（1）求动圆圆心E的轨迹方程；
（2）设A为E的右顶点，若直线与x轴交于点M，与E相交于点B，C（点B在点M，C之间），若N为线段上的点，且满足，证明：．
22．（12分）
已知函数和．
（1）讨论与的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
昆明一中2024届高三第7次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
一、选择题
1．解析：因为，，所以，选A．
2．解析：根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为：“，”，选C．
3．解析：三人中恰有两人合格的概率，选B．
4．解析：连接，由△为等腰三角形且为的中点，得垂直于，由知，由双曲线的定义知，在直角三角形中，，所以离心率，选C．
5．解析：对于A，，设关于点的对称点为，则，因为，不共线，所以，A错误；
对于B，因为，所以，当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
对于C，当与中至少一个是时，结论成立；当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误；
对于D，，
所以线段中点的广义坐标为，D正确
选D．
6．解析：因为为个之积，其中有两个取，两个取，一个取即可，所以的系数为，选C．
7．解析：取中点为，连接，，因为是圆的一条动弦，且，所以，又，，即，因此取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，又点为直线上的任意一点，所以原点到直线的距离即是的最小值，即，即，选D．
8．解析：由得，由得，设点的坐标为，点的坐标为，又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，则点，关于直线对称，即，得，选B．
二、多选题
9．解析：若为上的单调函数，则，，则，A错；当时，，令，得，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，无最大值，B对；由于，则为奇函数时，，C对；当时，，，则，切点为，切线方程为，D对，选BCD．
10．解析：对于A，若，，，但，，A错误；
对于B，设（，）
当，均不为0时，为虚数，
而为实数，所以不成立，B错误；
对于C，复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而的几何意义为复数对应的点与两点间的距离，所以当点运动到时，最大，取最大值，最大值为2，C正确；
对于D，设（，），（，），
由，则，所以
所以，D正确；
选CD．
11．解析：当截面平行于正方体的一个侧面时可得A；当截面过不平行于侧面可得B；但无论如何都不能截得C和D，选AB．
12．解析：，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，；在上取极小值为，，，在上有两个零点，，所以A C错B D对，选BD．
三、填空题
13．解析：由题意，，则，联立得，，则．
14．解析：因为直线过点，所以，，三点共线，
联立直线与抛物线方程， ，得，解得：，，
所以，，因为，所以，又因为，所以．
15．解析：公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，底面是为边长的正方形，，其中一个正四棱锥的高为，则．
16．解析：设事件，事件，，，，
由题意可得，， QUOTE ??|?1=0.2 ，
QUOTE ??1=??甲?乙?丙∪?甲?乙?丙∪?甲?乙?丙=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36
0.36
，由全概率公式得， QUOTE ??=??1??|?1+??2??|?2+??3??|?3=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458 所以飞机被击落的概率为．
四、解答题
17．解：（1）因为（）， 所以（），
两式相减得（）， 又因为，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以． ………5分
（2）由（1），所以，令，
则，所以，当时，，
故（，）为减函数，而，又因为恒成立，
所以，所以实数的取值范围为． ………10分
18．解：（1）由余弦定理得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组，解得，所以的周长为． ………6分
（2） 因为，由正弦定理得：，
联立方程组，解得，，
所以，
又因为，所以，所以, 故, ………12分
19．解：（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，.
则，；
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，.
，，
，.
所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为. ………6分
（2）由（1）知，，；
而，.
因为，