浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高一上学期期末教学质量调测数学试题

这是一份浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高一上学期期末教学质量调测数学试题，共10页。试卷主要包含了下面给出的关系式中，不正确的是，已知复数，，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题.
2.答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号.
3.试卷分为选择题和非选择题两部分，共6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A.B.2C.D.1
2.已知向量，，且，则（ ）
A.B.2C.D.
3.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A.B.C.D.
4.大善塔，位于绍兴市区城市广场东南隅，是绍兴城地标性建筑，其塔顶部可以近似地看成一个正六棱锥.假设该六棱锥的侧面和底面的夹角为，则该六棱锥的高和底面边长之比为（ ）
A.B.C.D.
5.某校组织高一1班，2班开展数学竞赛.1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，.记两个班总成绩的方差为，则（ ）
A.B.C.D.
6.有一座6层大楼，3人从大楼第一层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这3人离开电梯的层数之和为10的概率是（ ）
A.B.C.D.
7.已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（ ）
A.B.C.D.
8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下面给出的关系式中，不正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则在复平面内对应的点在一条直线上
11.下列命题正确的是（ ）
A.对于事件，，若，则
B.若三个事件，，两两互斥，则
C.若，，则事件，相互独立与互斥不会同时发生
D.若事件，满足，，，则
12.如图棱长为2的正方体中，是的中点，点是正方体表面上一动点，点为内（不含边界）的一点，若平面，则下列说法正确的是（ ）
A.平面与线段的交点为线段的中点
B.到平面的距离为
C.三棱锥体积存在最大值
D.直线与直线所成角的余弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，则________.
14.已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的________.（填：内心，外心，垂心，重心）
15.在中，角，，分别对应边，，，，，已知函数，若存在最大值，则正数的取值范围是________.
16.已知三棱锥，面，，交于，交于，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，则________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知平面向量，的夹角为，且，，.
（1）当，求；
（2）当时，求的值.
18.（12分）
《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：
（1）求该项指标的第30百分位数；
（2）若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标小于的汽车认为符合节能要求，已知，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，，，，，，，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值.
20.（12分）
在中，内角，，对应的边分别为，，，若.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
21.（12分）
某班学生分，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立.
（1）求组在参加两场比赛后得分为3分的概率；
（2）一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.
22.（12分）
如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置.
（1）如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围；
（2）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：.
2023学年第一学期期末教学质量调测
高一实验班数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）
1-4：ADDC 5-8:BBDD
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
9.BCD 10.AD 11.BCD 12.ABD
三、填空题（本大题共4小题，单空每空5分,共20分．）
13. 14.外心 15. 16.
四、解答题（共6小题，70分.）
17.（10分）
(1)

（2）
18.（12分）
（2）当时，
当时，
，
19.（12分）
（1）过作面
,取的中点
，在平面中，以为原点
直线AB,AC分别为轴，
与E点重合，P在底面投影在E上
法二.(1)以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A且垂直于面ABCD的直线向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则,设，
则由得，因为x>0,解得，∴.
设，,,，
由得，解得，
故，若E为BC中点，则,则，
易知面ABCD的一个法向量为，∵，∴EP⊥面ABCD
(2)，
过，
由三垂线定理，即所求角，
二面角的余弦值
法二： (2)∵直线PB与平面ABC所成角为45°，点P到面ABC的距离为c，
故有，∵c>0解得，故,
则，
设面PAB的一个法向量为，则有即
取，
设面PBC的一个法向量为，则有即
取,
设二面角A-PB-C的平面角为，为锐角，故.
故二面角A-PB-C的余弦值为.
20.（12分）
解法1：
即证.
解法2：要证，只要证，
即证
只要证
（2）
设
21.（12分）
（1）
（2）四支球队总积分一样，可以每次都是平局，
也可以每个队伍是一胜一负一平。
如:
A胜B负，A负C胜，AD平
BC平，B胜D负，C负D胜
不难发现，A的三种情况确定后，比赛结果是确定的，所以只要去看可能出现的情况，
A胜B负，A负C胜，AD平，
A负B胜，A胜C负，AD平
A胜B负，A负D胜，AC平 ,
A负B胜，A胜D负，AC平
A胜C负，A负D胜, AB平 ,
A负C胜，A胜D负，AB平
共6+1=7种
22.（12分）
(1)如图建立空间直角坐标系
因为,
设
所以,,,
,,
所以,
,,.
设平面PBC的法向量，
由得
取，
解得.
设平面PEC的法向量，
由得
取
设平面与平面所成锐二面角为，则
所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是
(2)是四面体的表面积，，令与面所成角为,
,因为是公垂线。上的点和上的点的最短距离是
（取不到等号，）