2023-2024学年安徽省芜湖市弋江区八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市弋江区八年级（上）期末数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式a+3a−3的值为0，则a的值等于( )
A. ±3B. 3C. −3D. 无法确定
2.以下列各组长度(cm)为边，能构成三角形的是( )
A. 1，2，5B. 2，3，5C. 2，2，5D. 2，5，5
3.芜湖水稻种植历史悠久，素有“江南鱼米之乡”的美誉，也曾是“四大米市”之一，所产芜湖大米籽粒细长，晶莹剔透，蒸煮后清香扑鼻，柔韧可口.已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为( )
A. 2.1×10−5B. 2.1×10−4C. 0.21×10−4D. 21×10−6
4.图中的两个三角形全等，则∠α等于( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
5.下列计算正确的是( )
A. a⋅a=2aB. (x3)2=x5C. −(x4)3=−x12D. (−2x3)4=8x12
6.数学中有许多精美的曲线，以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”.其中一定不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
7.通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是( )
A. a(b−x)=ab−axB. b(a−x)=ab−bx
C. (a−x)(b−x)=ab−ax−bxD. (a−x)(b−x)=ab−ax−bx+x2
8.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
9.2020年7月6日，芜湖开通首列至北京的高铁列车，2023年芜湖至北京的G44次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，G44次列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前G44次列车的平均速度为多少？设提速前G44次列车的平均速度为x km/h，则下面所列方程中正确的是( )
A. sx=s+50x+vB. sx=s−50x+vC. s+50x=sx+vD. s+50x=sx−v
10.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知点P(−2,1)与点Q关于x轴对称，则点Q坐标为______．
12.已知x+y=10，xy=1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
13.课本上的这幅插图直观验证了多边形的一条性质，它是：______．
14.已知−2≤m≤5，若关于x的分式方程xx−2+m−22−x=−1有正整数解，则m的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程：xx−3−1x+3=1．
16.(本小题8分)
如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上．
(1)画△ABC关于直线HG的轴对称图形△DEF(不写画法)；
(2)作△ABC中BC边上的中线AP(请用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹)．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠CAD，BD、CE交于点O.在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明．
18.(本小题8分)
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式．
(2)利用上面的规律计算：25−5×24+10×23−10×22+5×2−1．
19.(本小题10分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在边AC的延长线上，DE与BC相交于点P.若BD=CE，求证：PD=PE．
20.(本小题10分)
下面是小华同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
x2−9x2+6x+9−2x+12x+6……第一步
=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)……第二步
=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)……第三步
=2(x−3)−(2x+1)2(x+3)……第四步
=2x−6−2x+12(x+3)……第五步
=−52x+6……第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
21.(本小题12分)
小球悬挂处O点到地面l的距离是4米，小球从静止状态P处开始摆动，摆动到最高点A时，测得A到OP的距离为3米，距离地面2.3米．
(1)求小球摆动到垂直于OA位置时A′到OP的距离；
(2)求A′到地面的距离，写出必要的推理过程．
22.(本小题12分)
如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a−1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了1500kg．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长．
23.(本小题14分)
如图，∠1=∠2，AC=AD，∠ABC=∠AED，且B、E、D三点共线，AF⊥BC交CB的延长线于点F．
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)若∠1=30°，求∠BAF的度数；
(3)请判断BD−BCBF是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可知：a+3=0且a−3≠0．
所以a=−3．
故选：C．
根据分式的值为零的条件即可求出a的值．
本题考查分式的值为零的条件，解题的关键正确理解分式为零的条件，本题属于基础题型．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵1+2=3<5，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵2+3=5，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵2+2=4≠5，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵2+5=7>5，∴能构成三角形，符合题意．
故选：D．
根据三角形的三边关系解答即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：0.000021=2.1×10−5，
故选：A．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：
∵两三角形全等，
∴a、c两边的夹角相等，
∴α=180°−60°−65°=55°，
故选：B．
由全等三角形的对应角相等可求得答案．
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a⋅a=a2，故A不符合题意；
B、(x3)2=x6，故B不符合题意；
C、−(x4)3=−x12，故C符合题意；
D、(−2x3)4=16x12，故D不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7.【答案】D
【解析】解：图1中，阴影部分=长(a−x)宽(a−2b)长方形面积，
∴阴影部分的面积=(a−x)(b−x)，
图2中，阴影部分=大长方形面积−长a宽x长方形面积−长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积，
∴阴影部分的面积=ab−ax−bx+x2，
∴(a−x)(b−x)=ab−ax−bx+x2．
故选：D．
要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．
本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵2023年芜湖至北京的G44次列车平均提速vkm/h，且设提速前G44次列车的平均速度为x km/h，
∴提速后G44次列车的平均速度为(x+v)km/h．
根据题意得：sx=s+50x+v．
故选：A．
根据提速前后速度间的关系，可得出提速后G44次列车的平均速度为(x+v)km/h，利用时间=路程÷速度，结合相同的时间提速后比提速前多行驶50km，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，
∴CE+CF=CG，
∵BD平分∠ABC，
∴点G在AB上，
∴CG≥CH，
∴CE+EF的最小值为CH的长，
∵12AB⋅CH=18，
∴12×6⋅CH=18，
∴CH=6，
∴CE+EF的最小值为：6，
故选B．
作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CG≥CH，进一步得出结果．
本题考查了轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
11.【答案】(−2,−1)
【解析】解：点P(−2,1)与点Q关于x轴对称，则点Q坐标为(−2,−1)．
故答案为：(−2,−1)．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】10
【解析】【分析】
此题考查了代数式求值，因式分解−提公因式法．注意整体思想在解题中的应用．
将所求代数式适当变形后整体代入x+y=10，xy=1即可求解．
【解答】
解：∵x+y=10，xy=1，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=1×10
=10．
故答案为：10．
13.【答案】多边形的外角和是360°
【解析】解：这个图形直观验证了多边形的外角和为360°，
故答案为：多边形的外角和为360°．
根据多边形的外角和是360°进行判断即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是正确解答的关键．
14.【答案】2
【解析】解：关于x的分式方程xx−2+m−22−x=−1两边都乘以x−2得，
x−m+2=2−x，
解得x=m2，
而分式方程的增根为x=2，
当x=2时，m=4，
又因为−2≤m≤5，若关于x的分式方程xx−2+m−22−x=−1有正整数解，
所以m=2，
故答案为：2．
根据分式方程的解法，分式方程的增根进行解答即可．
本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．
15.【答案】解：xx−3−1x+3=1，
方程两边同乘(x+3)(x−3)得x2+3x−x+3=x2−9，
化简得2x=−12，
解得x=−6，
经检验x=−6是原方程的解，
所以原分式方程的解是x=−6．
【解析】先确定最简公分母(x+3)(x−3)，把分式方程化为整式方程，然后求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图所示，△DEF即为所求；
(2)如图所示，中线AP即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质画出图形即可；
(2)根据题意画出图形即可得到结论．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
17.【答案】解：△ADB≌△AEC，理由如下：
∵∠BAE=∠CAD
∴∠BAE+∠EAD=∠CAD+∠EAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)．
【解析】由∠BAE=∠CAD，得到∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，由SAS即可证明△ADB≌△AEC．
本题考查全等三角形的判定，关键是由∠BAE=∠CAD，得到∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ADB≌△AEC．
18.【答案】解：(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
(2)原式=25+5×24×(−1)+10×23×(−1)2+10×22×(−1)3+5×2×(−1)4+(−1)5
=(2−1)5
=1
【解析】(1)由(a+b)=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a+b)n−1的相邻两个系数的和，由此可得(a+b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此(a+b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1．
(2)将25−5×24+10×23−10×22+5×2−1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．
本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
19.【答案】解：过点D作DF/​/AC交BC于点F，
∵AB=AC，DF/​/AC，
∴∠B=∠ACB=∠DFB，
∴CE=DB=DF，∠DFP=∠ECP，
在△PDF和△PEC中，
∠DFP=∠ECP∠DPF=∠EPCDF=CE，
∴△PDF≌△PEC(AAS)，
∴PD=PE．
【解析】由“AAS”可证△PDF≌△PEC，可得PD=PE．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20.【答案】三 分式的基本性 分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为零的数，分式的值不变 五
【解析】解：任务一：①化简步骤中，第四步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为零的数，分式的值不变，
故答案为：四，分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为零的数，分式的值不变；
②第六步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：六；去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
原式=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)
=x−3x+3−2x+12(x+3)
=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)
=2x−6−(2x+1)2(x+3)
=2x−6−2x−12(x+3)
=−72x+6；
任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方成混淆等．
任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；
②根据去括号法则进行分析判断；
任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算；
任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答．
本题考查分式的加减运算，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键．
21.【答案】解：(1)过A′作A′D⊥OP于点D，
∵∠A′OA=∠OCA=90°，
∴∠A′OD=∠OAC，
在△DOA和△AOC中，
∠A′OA=∠OCA∠A′OD=∠OACOA′=OA，
∴△OA′D≌△AOC(AAS)，
∴A′D=OC=4−2.3=1.7(米)，
即小球摆动到垂直于OA位置时A′到OP的距离为1.7米；
(2)由(1)知：OD=AC=3米，
4−3=1 (米)．
答：A′到地面的距离为1米．
【解析】(1)过A′作A′D⊥OP于点D，证明△OAD≌△AOC，进而得出A′D=OC=4−2.31.7(米)；
(2)由OD=AC=3米，再用O点到地面l的距离是4米减去OD的长即可．
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)根据题意得：“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为1500a2−1kg/m2，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为1500(a−1)2kg/m2，
∵a>1，
∴a2−1>0，(a−1)2>0，
∴(a2−1)−(a−1)2=a2−1−(a2−2a+1)=2a−2=2(a−1)>0，
∴(a2−1)>(a−1)2，
∴1500a2−1<1500(a−1)2，
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
(2)∵高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，
∴1500(a−1)2=1.05×1500a2−1，
两边同乘(a−1)2(a+1)得：1500(a+1)=1500×1.05(a−1)，
解得：a=41，
经检验a=41是原方程的解，
∴a−1=41−1=40，
∴“丰收2号”小麦试验田的边长为40m．
【解析】(1)“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为1500a2−1kg/m2，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为1500(a−1)2kg/m2，由a>1，可得(a2−1)>(a−1)2，即可得1500a2−1<1500(a−1)2，故“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
(2)根据高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，得 1500(a−1)2=1.05×1500a2−1，解方程并检验可得答案．
本题考查分式方程的应用和列代数式，解题的关键是读懂题意，用含a的代数式表示两块田的单位面积产量．
23.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
∠BAC=∠EAD∠ABC=∠AEDAC=AD，
∴△ABC≌△AED(AAS)；
(2)解：由(1)知：AB=AE，
又∵∠1=30°，
∴∠AEB=180°−∠12=75°，
∴∠ABC=∠AED=180°−∠AEB=105°，
∵AF⊥BC，
∴∠BAF=∠ABC−∠F=105°−90°=15°；
(3)解：BD−BCBF=2．
理由如下：
过点A作AG⊥BD于点G，则BG=EG，∠AGB=∠F=90°，

∵∠ABC=∠AED，∠ABE=∠AEB，
∴∠ABF=∠ABE，
在△ABF和△ABG中，
∠ABF=∠ABG∠AGB=∠FAB=AB．
∴△ABF≌△ABG(AAS)，
∴BF=BG，
∴BD−BCBF=BD−EDBF=BEBF=2BGBF=2．
【解析】(1)根据AAS可证明△ABC≌△AED；
(2)由等腰三角形的性质求出∠AEB=75°，由直角三角形的性质可得出答案；
(3)过点A作AG⊥BD于点G，则BG=EG，∠AGB=∠F=90°，证明△ABF≌△ABG(AAS)，得出BF=BG，则可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．