2023-2024学年山东省聊城市东阿实验中学八年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市东阿实验中学八年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果分式|x|−1x+1的值为0，那么x的值为( )
A. −1B. 1C. −1或1D. 1或0
3.下列各式中，正确的是( )
A. 2ab4a2c=b2cB. a+bab=1+bb
C. x−3x2−9=1x+3D. −x+y2=−x+y2
4.下列命题中，逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 全等三角形的面积相等
C. 两直线平行，内错角相等D. 如果a=b，那么a2=b2
5.在平面直角坐标系中，若点(−2,m)和点(n,−3)关于y轴对称，则(m+n)2023=( )
A. 32023B. 1C. 0D. −1
6.若将分式xyx+y中的x，y的值变为原来的100倍，则此分式的值( )
A. 不变B. 是原来的100倍C. 是原来的200倍D. 是原来的1100
7.在“三好学生”评比中，总评成绩由期末考试各科平均分、思想品德评分、体育测评分数三部分组成，并按4：3：3的比例计算.若小明的期末考试各科平均分是90分，思想品德评分是92分，体育测评分数是85分，则小明的总评成绩是( )
A. 89.1分B. 89分C. 88分D. 87分
8.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20.其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于( )
A. 1：1：2B. 1：2：3C. 2：3：4D. 1：2：4
9.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A. AB=DC
B. ∠A=∠D
C. ∠B=∠C
D. AE=BF
10.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为( )
A. 115°B. 120°C. 130°D. 140°
11.A，B两地航程为48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程( )
A. 964+x+964−x=9B. 96x+4+96x−4=9
C. 48x+4+48x−4=9D. 484+x+484−x=9
12.如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有个．( )
①BF=AC；②AE=12BF；③∠A=67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S四边形ADGE=S四边形GHCE．
A. 5个B. 2个C. 4个D. 3个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE=63°，则∠CAF的度数是______．
14.已知xx+y=35，则xy=______．
15.已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为2，则数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为______，方差为______．
16.若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为______．
17.如图，在锐角△ABC中，AC=10，S△ABC=25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
(1)计算：3−m2m−4÷(m+2−5m−2)；
(2)先化简，再求值：(a2−2a+1a2−a+a2−4a2+2a)÷2a，选择一个你最喜欢的数代入计算．
19.(本小题10分)
解分式方程：
(1)3x+2=23−x；
(2)x2−8x2−4=1+12−x．
20.(本小题8分)
如图，C为线段AB上一点，AD/​/EB，AC=BE，AD=BC.CF平分∠DCE．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)判断CF与DE的位置关系？并说明理由．
21.(本小题9分)
我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
(1)根据图示计算出a、b、c的值；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差S初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
(1)求证：AE=AF；
(2)求证：CD=2BE+DE．
23.(本小题10分)
某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
24.(本小题12分)
已知，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点G，且AD=AB，连接BD．
(1)如图①，求证：△ABD是等边三角形；
(2)如图①，若点E、F分别为AB，AC上的点，且∠EDF=60°，求证：BE=AF；
(3)利用(1)(2)中的结论，思考并解答：如图②，H为AB上一点，连结DH，当∠HDF=30°时，线段BH，HF，AF之间有何数量关系，给出证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】
解：根据题意，得
|x|−1=0且x+1≠0，
解得，x=1．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：A、2ab4a2c=b2ac，故错误；
B、a+bab=1a+1b，故错误；
C、x−3x2−9=1x+3，故正确；
D、−x+y2=−x−y2，故错误；
故选：C．
根据分式的基本性质解答即可．
本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；
D、逆命题为如果a2=b2，那么a=b，错误，为假命题，不符合题意．
故选：C．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
5.【答案】D
【解析】解：∵点A(−2,m)和点B(n,−3)关于y轴对称，
∴n=2，m=−3，
∴(m+n)2023=(−3+2)2023=−1
故选：D．
直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6.【答案】B
【解析】解：将分式xyx+y中的x，y的值变为原来的100倍，则此分式的值100倍，
故选：B．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：小明的总评成绩为：
(90×4+92×3+85×3)÷(4+3+3)=89.1(分)．
故选：A．
直接根据加权平均数的计算公式计算即可．
本题考查了求加权平均数，解答本题的关键熟练掌握加权平均数的计算公式．
8.【答案】C
【解析】解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥AC，垂足为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD=OE=OF，
∵AB=10，BC=15，AC=20，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
=AB：BC：AC
=10：15：20
=2：3：4，
故选：C．
过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥AC，垂足为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F，利用角平分线的性质可得OD=OE=OF，从而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：AC，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是AB=CD．
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=CDBE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选A．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等.根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB′=50°，进而解答即可．
【解答】
解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90°，
∵∠2=40°，
∴∠CFB′=50°，
∴∠1+∠EFB′−∠CFB′=180°，
即∠1+∠1−50°=180°，
解得：∠1=115°．
故选A．
11.【答案】C
【解析】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为：
48x+4+48x−4=9，
故选：C．
直接根据题意得出顺水速以及逆水速，进而表示出所用时间即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∠BDF=∠CDA∠A=∠DFBBD=CD，
∴△BDF≌△CDA(AAS)，
∴BF=AC，故①正确．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故③正确，
∴BA=BC，
∵BE⊥AC，
∴AE=EC=12AC=12BF，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF，故④正确．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，
∴GH=GM∴S△DGB>S△GHB，
∵S△ABE=S△BCE，
∴S四边形ADGE∴①②③④正确，
故选C．
只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③④正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
13.【答案】27°
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠BCE=63°，
∴∠ACD=63°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°−∠ACD=27°，
故答案为：27°．
根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠DCE，求出∠BCE=∠ACD=63°，根据直角三角形的性质得出∠CAF=90°−∠ACD，代入求出答案即可．
本题考查全等三角形的性质和直角三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键．
14.【答案】32
【解析】解；由xx+y=35，得
x+yx=53．
由合比性质，得
yx=23．
xy=32，
故答案为：32．
根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单
15.【答案】11 18
【解析】解：∵数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为2，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为3×3+2=11，方差为32×2=18．
故答案为：11，18．
根据一组数据x1，x2，x3，...，xn的平均数是x−，方差是s2.则另一组数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，...，axn+b的平均数是ax−+b，方差是a2s2解答即可．
本题考查平均数与方差的计算，掌握平均数和方差与数据间的关系是解题的关键．
16.【答案】1或12
【解析】解：去分母得：
x−3a=2a(x−3)，
整理得：(1−2a)x=−3a，
当1−2a=0时，方程无解，故a=12；
当1−2a≠0时，x=−3a1−2a=3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为：1或12．
故答案为：1或12．
直接解分式方程，再利用当1−2a=0时，当1−2a≠0时，分别得出答案．
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
17.【答案】5
【解析】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=10，S△ABC=25，
∴12×10⋅BE=25，
解得BE=5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N=BE=5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：5．
根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N=BE，从而得解．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点M的位置是解题的关键．
18.【答案】解：(1)3−m2m−4÷(m+2−5m−2)
=3−m2(m−2)÷m2−4−5m−2
=3−m2(m−2)⋅m−2(m+3)(m−3)
=−(m−3)2(m−2)⋅m−2(m+3)(m−3)
=−12(m+3)；
(2)原式=(a−1a+a−2a)⋅a2
=2a−3a⋅a2
=2a−32，
由分式有意义的条件可知：x可取4，
∴原式=2×4−32=52(答案不唯一)．
【解析】(1)先算括号里面的，再算除法即可；
(2)根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)3x+2=23−x，
去分母得：3(3−x)=2(x+2)，
去括号得：9−3x=2x+4，
移向，合并同类项得：−5x=−5，
化系数为1得：x=1．
检验：当x=1时，x+2≠0，3−x≠0，
∴x=1是原方程的解；
(2)x2−8x2−4=1+12−x，
去分母得：x2−8=x2−4−(x+2)，
去括号得：x2−8=x2−4−x−2，
移向，合并同类项得：x=2，
检验：x=2时，x2−4=0，2−x=0，
∴原方程无解．
【解析】(1)方程两边同时乘(x+2)(3−x)去分母化为整式方程，解之检验即可；
(2)方程两边同时乘(x+2)(x−2)去分母化为整式方程，解之检验即可．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)证明：∵AD/​/BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中，
AD=BC∠A=∠BAC=BE，
∴△ACD≌△BEC(SAS)；
(2)结论：CF⊥DE．
理由：∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【解析】(1)根据SAS即可证明；
(2)利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)初中5名选手的平均分a=75+80+85+85+1005=85(分)，
由条形图中的数据可知初中部分数出现次数最多的是85分，故众数b=85，
高中5名选手的成绩由低到高依次是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；
(2)由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
，
∵S初中2∴初中代表队选手成绩比较稳定．
【解析】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，⋯，xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
(1)根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答；
(2)根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；
(3)根据方差公式先算出初中部代表队的方差，然后与高中部代表队的方差比较即可得出答案．
22.【答案】证明：(1)如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠EBA=∠ACF，
∴在△AEB与△AFC中，∠EAB=∠FACAB=AC∠EBA=∠ACF，
∴△AEB≌△AFC(ASA)，
∴AE=AF；
(2)如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．
∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵点D是AB的中点，
∴BD=AD．
∴在△BED与△AGD中，∠BED=∠AGD∠BDE=∠ADGBD=AD，
∴△BED≌△AGD(AAS)，
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE=45°
∴∠FAG=45°
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
∴CF=BE=AG=GF，
∵CD=DG+GF+FC，
∴CD=DE+BE+BE，
∴CD=2BE+DE．
【解析】(1)通过证△AEB≌△AFC(SAS)，得到AE=AF；
(2)如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD(AAS)，得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF.因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23.【答案】解：(1)设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
(1x+13x)×15+10x=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
(2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷(130+130×3)=22.5(天)，
则该工程施工费用是：22.5×(6500+3500)=225000(元)．
答：该工程的费用为225000元．
【解析】(1)设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
(2)先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
24.【答案】证明：(1)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=12×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
(2)∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°=∠BAD=∠CAD，BD=AD=AB，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF．
(3)BH=HF+AF
理由如下：如图②，连接BD，在BA上取一点E，连接DE，使∠EDH=30°．
由(1)(2)可得，△BDE≌△ADF
∴BE=AF，DE=DF
在△EDH和△FDH中，
DE=DF∠EDH=∠FDHDH=DH
∴△EDH≌△FDH(SAS)
∴EH=HF，
∴BH=HF+AF．
【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠DAC=12×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
(2)由“ASA”可证△BDE≌△ADF，可得BE=AF；
(3)连接BD，在BA上取一点E，连接DE，使∠EDH=30°，由(1)(2)可得BE=AF，DE=DF，由“SAS”可证△EDH≌△FDH，可得EH=HF，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．平均分(分)
中位数(分)
众数(分)
方差(分 ​2)
初中部
a
85
b
S初中2
高中部
85
c
100
160