苏科版八年级上册1.2 全等三角形课后复习题

这是一份苏科版八年级上册1.2 全等三角形课后复习题，共44页。试卷主要包含了解题策略等内容，欢迎下载使用。
姓名：_________班级：_________学号：_________
★★★方法指引：
1、全等三角形中的动点运动问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。
2、解题策略：
①明晰点的运动方向和速度；
②根据已知和求证的目标，寻找线段或角之间的数量关系，进而解决问题；
③有时要用到分类讨论的思想。
典型题训练
1．（2023春•横山区期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为_______．
2．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为_______．
3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为_______cm/s．
4．（2023春•吴江区期末）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点E在AB边上，BE＝3cm，点F在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，到达点C后马上折返，向点B运动，点G在线段CD上以vcm/s的速度由C点向D点运动．点F，G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t＝_______秒．
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP全等时，v＝（_______）
A．3B．4C．2或4D．2或3
6．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（_______）
A．2B．2.8C．3D．6
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（_______）
A．2B．4C．6D．2或6
8．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）．
9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）
（2）当BF＝AE时，求t的值；
（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．
11．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．
问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．
13．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
（1）PC＝_______cm．（用t的代数式表示）
（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E为AB的中点，若点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．
（1）若点Q运动的速度是5cm/s，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPE与△CQP全等时，求出点Q的运动速度．
17．如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．
（1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？
（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．
18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：
①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；
②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为_______cm/s时，能够使
△AEP与△BPQ全等．
19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．
​
（1）求BO的长；
（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．
（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：
①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；
②求∠EDF的度数．
（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．
（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；
（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．
22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，G点的移动距离为y．
（1）请用含t的代数式表示以下线段：ED＝ ，当0＜t≤2时，BF＝ ，当2＜t≤4时，BF＝ ；
（2）请猜想AD与BC的位置关系，并说明理由；
（3）在移动过程中，请你探究当t取何值时，△DEG与△BFG全等？并求出此时G点的移动距离y．
23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
（1）如图（1），当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
24．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等．请说明理由．
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？相遇点在何处？
25．如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；
（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
26．如图，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动，同时，点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）设点Q的运动速度为xcm/s（x≠2），是否存在实数x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，请画出示意图，将全等的三角形用符号表示出来，并直接写出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
27．如图①，线段BC＝6，过点B、C分别作垂线，在其同侧取AB＝4，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线CD运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为t（s）．
（1）当t＝1，CP＝_______，用含a的代数式表示CQ的长为_______；
（2）当a＝2，t＝1时，
①求证：△ABP≌△PCQ；
②求证：AP⊥PQ；
（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC＝∠DCB”，其它条件不变．若△ABP与△PCQ全等，直接写出对应的a的值．
28．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点 C．
（1）当AC＝BC时，
①如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．求证：△ACD≌△CBE；
②如图2，过点A作AD⊥直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：DE＝AD+EF．
（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
29．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，CE与AD的数量关系为_______；
（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
30．如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE＝BE．
（1）求线段AO的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．1或32．
【分析】由题意知当△ACP与△BPQ全等，分△ACP≌△BPQ和△APC≌△BPQ两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【解答】解：由题意知，AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝xt，
△ACP与△BPQ全等，∠A＝∠B，
∴分两种情况求解：
①当△ACP≌△BPQ时，AP＝BQ，即t＝xt，解得x＝1；
②当△APC≌△BPQ时，AP＝BP，即t＝8﹣t，解得t＝2，AC＝BQ，即6＝xt，解得x=32；
综上所述，x的值是1或32，
故答案为：1或32．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．
2．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝60，
∴7t＝60﹣3t，
解得：t＝6，
∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝60，
∴3t＝60﹣3t，
解得：t＝10，
∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，
综上所述，AG＝18或AG＝70．
故答案为：18或70．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
3．
【分析】设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，则当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分别解方程求出x即可．
【解答】解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，
即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；
当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，
即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，
综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．
故答案为：1或1.2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
4．
【分析】依题意可知需要分两种情况进行讨论：（1）当点F由点B向点C运动时，①当BE＝CG＝3cm，BF＝CF时，求出BF＝4cm，则可得到t的值；②当BE＝CF＝3cm时，BF＝CG时，由于BF＝9cm＞CD，因此这种情况不存在；（2）当点F折返时，又有以下两种情况：①BE＝CF＝3cm时，BF＝CG时，不存在这种情况，②当BE＝CG＝3cm，BF＝CF时，求出AB+CF＝16cm，则可得到t的值．
【解答】解：∵点F在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，到达点C后马上折返，
∴有以下两种情况：
（1）当点F由点B向点C运动时，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝8cm，AD＝12cm，∠B＝∠C＝90°，
∴BC＝AD＝12cm，CD＝AB＝8cm，
∵以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，BE＝3cm，
∴有以下两种情况：
①当BE＝CG＝3cm，BF＝CF时，此时△BEF和△CGF全等，
∵BF＝CF，BC＝12cm，
∴BF＝CF＝6cm，
∴点F运动的时间t＝2（秒）；
②当BE＝CF＝3cm时，BF＝CG时，此时△BEF和△CFG全等，
∵BC＝12cm，CF＝3cm，
∴BF＝BC﹣CF＝9cm，
又∵CD＝8cm，CG＝BF＝9cm，
∴CG＞CD，即点G在CD的延长线上，故不存在此种情况；
（2）当点F折返时，又有以下两种情况：
①BE＝CF＝3cm时，BF＝CG时，此时△BEF和△CFG全等，
由（1）②可知：这种情况不存在；
②当BE＝CG＝3cm，BF＝CF时，此时△BEF和△CGF全等，
由（1）①可知：CF＝6m，
∴点F运动的路程为：BC+CF＝12+6＝18（cm）
点F运动的时间t＝18÷6（秒）．
综上所述：若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t为2秒或6秒．
故答案为：2或6．
【点评】此题主要考查了长方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握全等三角形判定所需的条件，分类讨论是解答此题的难点，也是易错点之一．
5．
【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，
∴BD=12×24＝12cm，
设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，
PC＝（16﹣2t）c
①当BD＝PC时，
16﹣2t＝12，
解得：t＝2，
则BP＝CQ＝2t＝4，
故点Q的运动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）；
②当BP＝PC时，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8cm，
∴t＝8÷2＝4（秒），
故点Q的运动速度为12÷4＝3（厘米/秒）；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
6．
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．
【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣2t＝3t﹣8，
解得t＝2.8；
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
由题意得，2t﹣6＝6，
解得t＝6．
综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图﹣基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
7．
【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．
如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，
∵CE＝t，BD＝6﹣2t，
∴6﹣2t＝t，
∴t＝2．
如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，
∵CE＝t，BD＝2t﹣6，
∴t＝2t﹣6，
∴t＝6．
综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．
8．
【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．
【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；
如图：
当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，
∴PC＝CQ．
由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；
∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．
②当P在线段BC上，点Q到达终点时，
如图：
当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，
∴PC＝CQ．
由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，
∴t﹣7＝7，解得t＝14．
综上所述，t的值为2.5或14．
【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．
9．
【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t，
当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t；
（2）由题意得，16﹣4t＝2t，
解得t=83；
（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，
则AE＝CF，即8﹣4t＝2t，
解得t=43，
当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，
则AE＝CF，即4t﹣8＝2t，
解得t＝4，
则t=43或4时，△ADE≌△CDF．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意求出函数关系式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
10．
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
AP=ACPQ=AB，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，当P运动到AP＝BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
11．
【分析】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．
【解答】解：（1）结论：△BPD与△CQP全等．
理由：经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，
∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BPD和△CQP中，
BD=PC∠ABC=∠ACBBP=CQ，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；
①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；
②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x=154；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为154cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
12．
【分析】推出CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时，求出即可得出答案．
【解答】解：∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：
①P在AC上，Q在BC上，
，
CP＝12﹣2t，CQ＝16﹣6t，
∴12﹣2t＝16﹣6t，
∴t＝1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP＝12﹣2t＝6t﹣16，
∴t＝3.5；
③P到BC上，Q在AC时，此时不存在；
理由是：16÷6×2＜12，Q到AC上时，P点也在AC上；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CP＝CQ＝AC＝12．CP＝12﹣2t，
∴2t﹣12＝12，
∴t＝12符合题意；
答：点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
13．
【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；
（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，
AC=EC∠ACB=∠ECDBC=DC，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE；
（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，
当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，
∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，
∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；
（3）解：根据题意得DQ＝tcm，
则EQ＝（8﹣t）cm，
由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝8cm，
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=EC∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤4时，2t＝8﹣t，
解得：t=83；
当4＜t≤8时，16﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝8；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为83或8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP≌△ECQ．
14．
【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC﹣BP即可得到CP的长；
（2）此题主要分两种情况①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ；当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：（1）依题意，得
PC＝（10﹣2t）（cm）．
故答案为：10﹣2t；
（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝6cm，
∴PC＝6（cm），
∴BP＝10﹣6＝4（cm），
2t＝4，
解得：t＝2，
CQ＝BP＝4（cm），
v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC=12BC＝5（cm），
2t＝5，
解得：t＝2.5，
CQ＝BP＝6（cm），
v×2.5＝6，
解得：v＝2.4．
综上所述：当v＝2.4或2时△ABP与△PQC全等．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．
15．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，
∵AB＝6cm，点D为AB的中点，
∴BD＝3cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，
∴PC＝4﹣1＝3cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP；
②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，
∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，
∴vQ=CQt=32=1.5cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 1.5x＝x+2×6，
解得x＝24，
∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．
∵24×1.5＝36，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
16．
【分析】（1）由于BP＝CQ＝5cm，则PC＝10cm，而BE=12AB＝10cm，则根据“SAS”可判断△BPE≌△CQP；
（2）设点P运动的时间为ts，点Q运动的速度是xcm/s，则BP＝5tcm，CQ＝txcm，由于∠B＝∠C，则当BP＝CP，BE＝CQ时，△BPE≌△CPQ，即5t＝15﹣5t，10＝tx；当BP＝CQ，BE＝CP，则△BPE≌△CQP，即5t＝tx，10＝15﹣5t，然后分别解方程求出x，从而得到点Q的运动速度．
【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等．
理由如下：
BP＝CQ＝5×1＝5（cm），
∴PC＝BC﹣BP＝15﹣5＝10（cm），
∵E为AB的中点，
∴BE=12AB＝10cm，
在△BPE和△CQP中，
BE=CP∠B=∠CBP=CQ，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）设点P运动的时间为ts，点Q运动的速度是xcm/s，则BP＝5tcm，CQ＝txcm，
∵∠B＝∠C，
∴当BP＝CP，BE＝CQ，则根据“SAS”可判断△BPE≌△CPQ，
即5t＝15﹣5t，10＝tx，
解得t=32，x=203；
当BP＝CQ，BE＝CP，则根据“SAS”可判断△BPE≌△CQP，
即5t＝tx，10＝15﹣5t，
解得t＝1，x＝5（舍去）；
综上所述，点Q的运动速度为203cm/s．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
17．
【分析】（1）当点F运动到离点A为4cm（即AF＝AD＝4cm）时，即可证明△ADE≌△AFE；
（2）证明△ECB≌△EFB，可得BF＝BC．再由AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，即可得AB的长．
【解答】解：（1）当点F运动到离点A为4cm（即AF＝AD＝4cm）时，△ADE≌△AFE，理由如下：
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE＝∠FAE，∠FBE＝∠CBE，
在△AFE与△ADE中，
AF=AD∠FAE=∠DAEAE=AE，
∴△AFE≌△ADE（SAS）；
（2）BF＝BC，理由如下：
∵△AFE≌△ADE，
∴∠D＝∠AFE，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ECB与△EFB中，
∠EBF=∠EBC∠EFB=∠CBE=BE，
∴△ECB≌△EFB（AAS），
∴BF＝BC；
∵AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，
∴AB＝AF+BF＝3+4＝7（cm）．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，角平分线的定义，平行线的性质，解决本题的关键是判定两个三角形全等．
18．
【分析】（1）①当t＝1时，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；
②当t≤4时，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣SAEP﹣SPBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S＝2t；
（2）如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，从而可求得t＝2，点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒．
【解答】解：（1）①当t＝1时，AP＝1，BQ＝1，
∴AP＝BQ．
∵E是AD的中点，
∴AE=12AD＝3．
∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，
∴AE＝PB．
在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB∠A=∠BAP=BQ，
∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．
∴∠APE＝∠BQP，
∵∠BQP+∠BPQ＝90°，
∴∠APE+∠BPQ＝90°，
∴∠EPQ＝90°，
∴PE⊥PQ；
②如图1所示连接QE．
图1
Ⅰ、当t≤4时，AP＝BQ＝t，
S梯形AEQB=12（AE+BQ）•AB=12×4×（3+t）＝2t+6．
S△AEP=12AE•PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB•BQ=12×（4﹣t）t＝2t-12t2．
∴S＝2t+6-32t﹣（2t-12t2）．
整理得：S=12t2-32t+6，
如图2所示：
Ⅱ、当4＜t≤6时，点P与点B重合，
S=12QB•AB=12×4×t＝2t．
∴S与t的函数关系式为S=12t2-32t+6(0＜t≤4)2t(4＜t≤6)；
（2）如图3所示：
∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，
∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．
∴t＝AP=12AB=12×4＝2．
∴点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP．
故答案为：1.5．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
19．
【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；
（2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，
∴∠ACD＝∠AOE，
∴∠BOD＝∠ACD．
又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），
∴BO＝AC＝6．
（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，
∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，
∴t＝4t﹣6，解得t＝2．
综上，t＝1.2或2．
【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．
20．
【分析】（1）①根据SAS证明：△BEF≌△ADE；
②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，证明△DEF是等腰直角三角形可得结论；
（2）分两种情况：①如图2，当△DAE≌△EBF时，②如图3，当△ADE≌△BFE时，分别根据AD＝BE，AE＝BF，列方程组可得结论．
【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：
当t＝2时，AE＝BF＝2，
∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，
∵AD＝5，
∴BE＝AD，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△BEF≌△ADE；
②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，
∵∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BEF+∠AED＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，
∵DE＝EF
∴∠EDF＝∠EFD，
∵∠EDF+∠EFD＝90°，
∴∠EDF＝45°；
（说明：用其他方法的，请参照此评分标准给分）
（2）存在，
①如图2，当△DAE≌△EBF时，
∴AD＝BE，AE＝BF，
则5=7-tt=xt
∴x＝1，t＝2；
②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE＝BE，AD＝BF，
则t=7-t5=xt，
∴x=107，t=72．
（说明：每正确写出一对x、t的值，给1分．）
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
21．
【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；
（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，
∴∠PDB＝90°，
∴∠BDC+∠PDA＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠PDA＝∠CBD，
又∵AE⊥AC，
∴∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠C＝90°，
又∵BC＝6cm，AD＝6cm，
∴AD＝BC，
在△PAD和△DCB中，
∠PAD=∠CAD=CB∠PDA=∠CBD，
∴△PDA≌△DBC（ASA）；
（2）解：如图②，∵PD⊥AB，
∴∠AFD＝∠AFP＝90°，
∴∠PAF+∠APF＝90°，
又∵AE⊥AC，
∴∠PAF+∠CAB＝90°，
∴∠APF＝∠CAB，
在△APD和△CAB中，
∠APD=∠CAB∠PAD=∠CAD=CB，
∴△APD≌△CAB（AAS），
∴AP＝AC，
∵AC＝8cm，
∴AP＝8cm，
∴t＝8．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．
22．
【分析】（1）由运动速度×运动时间＝运动路程可得出答案；
（2）由SSS证得△ABD≌△CDB，得出∠ADB＝∠CBD，即可得出结论；
（3）设G点的移动距离为y，当△DEG与△BFG全等时，由∠EDG＝∠FBG，得出DE＝BF、DG＝BG或DE＝BG、DG＝BF，
①当点F由点C到点B，即0＜t≤2时，则：10-5t=2ty=14-y，或y=2t10-5t=14-y，解方程组即可得出结果；
②当点F由点B到点C，即2＜t≤4时，则5t-10=2ty=14-y，或5t-10=14-yy=2t，解方程组即可得出结果．
【解答】（1）解：∵点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，
∴DE＝2t，
∵点F从点C出发，以每秒5个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，
∴当0＜t≤2时，BF＝10﹣5t，
当2＜t≤4时，BF＝5t﹣10．
故答案为：2t；10﹣5t；5t﹣10．
（2）AD∥BC，
证明：在△ABD和△CDB中，
AD=BCAB=CDBD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（3）解：设G点的移动距离为y，
当△DEG与△BFG全等时，
∵∠EDG＝∠FBG，
∴DE＝BF、DG＝BG或DE＝BG、DG＝BF，
①∵BC＝10，105=2，
∴当点F由点C到点B，即0＜t≤2时，
则：10-5t=2ty=14-y，
解得：t=107y=7，
或y=2t10-5t=14-y，
解得：t=-43y=-83（不合题意舍去）；
②当点F由点B到点C，即2＜t≤4时，
则5t-10=2ty=14-y，
解得t=103y=7，
或5t-10=14-yy=2t，
解得：t=247y=487．
综上所述：△DEG与△BFG全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是107秒、103秒、247秒，G点的移动距离y分别是7、7、487．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、分类讨论、解方程组等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．
【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；
（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．
【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，
移动的时间为：332÷3=112秒，
②当点P在BA上时，如图①﹣2
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，
移动的时间为：572÷3=192秒，
故答案为：112或192；
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
①当点P在AC上，如图②﹣1所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，
②当点P在AB上，如图②﹣2所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，
点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．
【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．
24．
【分析】（1）①由“SAS”可证△BPE≌△CQP；
②由全等三角形的性质可得BP＝PC，列出方程可求t的值，即可求解；
（2）设经过x秒时，点P与点Q第一次相遇，由点P与点Q的路程差＝30，列出方程可求解．
【解答】解：（1）①△BPE≌△CQP，理由如下：
经过1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ，PC＝6cm，
∴BE＝PC，
在△BPE和△CQP中，
BP=CQ∠B=∠C=90°BE=PC，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
②设经过t秒后，△PBE≌△PCQ，
当点Q与点P速度不相同时，BP＝PC，此时△PBE≌△PCQ，
∴4t＝10﹣4t，
解得t=54，
又CQ＝BE＝6cm，
∴vQ=654=245（cm/s）；
（2）设经过x秒时，点P与点Q第一次相遇，
由题意可得：4.8x﹣4x＝30，
解得：x=752，
∴点P运动的路程=752×4＝150（cm），
∴经过752秒点P与点Q第一次相遇，相遇点在点A处．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
25．
【分析】（1）作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG＝BH，由S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，可得12•t•BG：12•（6﹣2t）•BH＝2：1，解方程即可解决问题．
（2）存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图2中，
①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．
∵BA平分∠MAN，
∴BG＝BH，
∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，
∴12•t•BG：12•（6﹣2t）•BH＝2：1，
∴t=125s．
②当点E运动到AC延长线上，同法可得t＝4时，也满足条件，
∴当t=125s或4s时，满足S△ADB：S△BEC＝2：1．
（2）存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2s，
∴t＝2s时，△ADB≌△CEB．
当D在MA延长线上时，2t﹣6＝t，t＝6s，
综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．
【分析】（1）根据Q和P的运动速度结合时间可得AP＝1cm，DQ＝2cm，进而可得BP＝3，BQ＝1，然后利用SAS判定△CAP≌△PBQ，根据全等三角形的性质可得∠APC＝∠BQA，然后再根据直角三角形的性质可推出∠APC+∠QPB＝90°，进而可得CP⊥PQ；
（2）此题要分3种情况分别讨论，①若点P在AB上，点Q在BN上，②若点P在BM上，点Q在BN上．
【解答】（1）VQ＝2VP＝2m/s，
∵t＝1s，
∴AP＝1cm，DQ＝2cm，
∴BP＝AB﹣AP＝3cm，BQ＝BD﹣DQ＝1cm，
在△CAP和△PBQ中AC=BP∠A=∠PBQ=90°AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠APC＝∠BQA，
∵∠BQP+∠QPB＝90°，
∴∠APC+∠QPB＝90°，
∴∠CPQ＝180°﹣90°＝90°，
∴CP⊥PQ；
（2）若点P在AB上，点Q在BN上，
且△APC≌△BPQ，
如图 1，t＝2，x＝3，
若点P在AB上，点Q在BN上，
且△APC≌△BQP；
如图2：t＝1，x＝4，△APC≌△BQP；
如图3，若点P在BM上，点Q在BN上，t＝7，x=107，△APC≌△BQP；
．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
27．
【分析】（1）由路程＝速度×时间公式求得；
（2）①当a＝2，t＝1时，得出BP＝CQ，AB＝CP，根据“SAS”得证；
②根据①结合“全等三角形的对应角相等”可得∠A＝∠CPQ，进而根据等量代换得证；
（3）分为△BAP≌△CPQ或△BAP≌△CQP两种情形，若△BAP≌△CPQ，可得对应边PC＝AB＝4，CQ＝BP＝BC﹣PC＝2，进而根据“时间=路程速度“，“速度=路程时间”求得，另一种情形类似．
【解答】（1）解：由题意可知，
当t＝1，CP＝4，用含a的代数式表示CQ的长为a；
故答案为：4，a；
（2）证明：①如图1，
当a＝2，t＝1时，
BP＝CQ＝2，
∵BC＝6，
∴CP＝AB＝4，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP≌△PCQ（SAS）；
②∵△ABP≌△PCQ，
∴∠A＝∠CPQ，
在Rt△ABP中，
∠A+∠APB＝90°，
∴∠CPQ+∠APB＝90°，
∴∠APQ＝90°，
∴AP⊥PQ．
（3）解：∵∠ABC＝∠DCB，
∴△BAP≌△CPQ或△BAP≌△CQP，
如图2，
若△BAP≌△CPQ，
则PC＝AB＝4，
∴CQ＝BP＝BC﹣PC＝2，
∴t=22=1，
a＝vq＝2，
如图3，
若△BAP≌△CQP，
则CQ＝AB＝4，
BP＝CP=12BC＝3，
∵tQ＝tP=32，
∴a=432=83．
故a的值为2或83．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质．
28．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠DAC＝∠ECB，根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）
（3）分点N沿F→C路径运动、点N沿C→B路径运动、点N沿B→C路径运动、点N沿C→F路径运动四种情况计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥直线l，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠CEBCA=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）证明：点B与点F关于直线l对称，
∴BE＝EF，
∵△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴CD＝EF，
∴DE＝CD+CE＝EF+AD；
（3）解：由题意得，CF＝BC＝6cm，
由（1）得，∠DAC＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴当CM＝CN时，△MDC≌△CEN，
当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，
解得，t＝﹣1，不合题意，
当点N沿C→B路径运动时，8﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝3.5，
当点N沿B→C路径运动时，8﹣t＝3t﹣12，
解得，t＝5，
当点N沿C→F路径运动时，8﹣t＝3t﹣18，
解得，t＝6.5，
综上所述，当t＝3.5或5或6.5时，△MDC≌△CEN．
【点评】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
29．
【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD；
（2）由（1）同理可得△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案；
（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
故答案为：BD＝AE，CE＝AD；
（2）DE＝BD+CE，
由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴DE＝BD+CE；
（3）存在，当△DAB≌△ECA时，
∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，
∴t＝1，此时x＝2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，
∴t=AD2=94，x＝7÷94=289，
综上：t＝1，x＝2或t=94，x=289．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
30．
【分析】（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2时；
（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP＝CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP＝CQ时，△BOP≌△FCQ．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是高，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠EAO＝∠EBC，
在△AOE和△BCE中，
∠EAO=∠EBCAE=BE∠AEO=∠BEC，
∴△AOE≌△BCE（ASA），
∴AO＝BC＝5．
（2）∵BD=23CD，BC＝5，
∴BD＝2，CD＝3，
由题意OP＝t，BQ＝4t，
①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，
∴S=12•t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜12）．
②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2，
∴S=12⋅t（4t﹣2）＝2t2﹣t（12＜t≤5）．
综上所述：S=-2t2+t(0＜t＜12)．2t2-t(12＜t≤5)．；
（3）存在．
①如图2中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，
∴△BOP≌△FCQ（SAS）．
∴CQ＝OP，
∴5﹣4t＝t，
解得t＝1，
②如图3中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，
∴△BOP≌△FCQ（SAS）．
∴CQ＝OP，
∴4t﹣5＝t，
解得t=53．
综上所述，t＝1或53s时，△BOP与△FCQ全等．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型。