数学八年级下册第11章 反比例函数11.1 反比例函数课后作业题

这是一份数学八年级下册第11章 反比例函数11.1 反比例函数课后作业题，共64页。
1．（2023上·山东东营·九年级统考期中）函数与在同一坐标系的图象是（ ）
A． B． C． D
2．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·山东青岛·统考一模）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
题型二：反比例函数的性质问题
4．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．点在它的图象上B．图象关于原点中心对称
C．当时，y随x的增大而增大D．它的图象位于第一，三象限
5．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图是三个反比例函数，，的图象，由此观察得到，，的大小关系为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）已知，，都在双曲线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
题型三：反比例函数的K几何意义的应用
7．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（ ）

A．4B．C．2D．
8．（2023上·吉林长春·九年级长春市第八十七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数的图象经过顶点D，与对角线，边交于点E，F，连接，点E为的中点，的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．（2023·广东揭阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（ ）

A．1B．3C．5D．7
题型四：反比例函数和一次函数的综合问题
10．（2023上·云南红河·九年级开远市第一中学校校考期中）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）求出两个函数解析式；
（2）求的面积．
（3）直接写出满足的的取值范围．
11．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）直线与反比例函数交于，交轴分别于，且的面积为10．

（1）求两个函数关系式．
（2）求的面积．
（3）直接写出不等式的解集．
12．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点M在y轴上，且的面积为4，求点M的坐标；
（3）将线段在平面内平移，当一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，请直接写出以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形的所有符合条件的P点坐标______．
题型五：反比例函数和实际应用问题
13．（2023·浙江杭州·校考二模）一辆汽车从甲地前往乙地，若以km/h的平均速度行驶，则3h后到达，
（1）该车原路返回时，求平均速度v（）与时间t（h）之间的函数关系式．
（2）已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天点至点间（含点与点）返回甲地，求平均速度v（）的取值范围．
②若该车最高限速为，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
14．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图所示，墙的长为，要利用这面墙围一个矩形小院，面积为，现有建材能建围墙总长至多，设，．

（1）写出y与x之间的函数解析式．
（2）要求x和y都取整数，且小院的长宽比尽可能的小，x应取何值？
15．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：

（1）在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？
题型六：反比例函数和几何性质综合问题
16．（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线：与坐标轴交于A、D两点，以为边在右侧作正方形，过C作轴于G点．过点C的反比例函数与直线交于E、F两点．
（1）求证：；
（2）求E、F两点坐标；
（3）填空：不等式的取值范围是______．
17．（2023上·四川成都·九年级棠湖中学校考期中）如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点．

（1）求k的值；
（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
18．（2023·广东深圳·校考模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：
（1）设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；
（2）证明：．
（3）如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【专题训练】
一、单选题
19．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．随的增大而减小B．图象分布在一、三象限
C．图象与坐标轴无交点D．图象于直线对称
20．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点A、B，下列说法正确的是（ ）

A．点B的坐标为
B．一次函数的表达式为y1=-x+5
C．反比例函数y2的值随x值的增大而增大
D．若，则或
21．（2023上·湖南娄底·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点、在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
22．（2023·广东东莞·统考一模）如图，的顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）疫情期间为预防病毒，某家庭对住房进行喷药消毒．已知消杀过程中室内每立方米空气中的含药量（毫克/立方米）与喷药的时间（分钟）成正比例，消杀完成后，与成反比例（如图所示）．已知消杀4分钟后完成，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人进入才安全．那么（ ）分钟后人可以进入房间．

A．13B．14C．15D．16
24．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（ ）
A．3B．6C．D．
25．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）已知点，是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
26．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是（）
A． B． C． D．
27．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ）
A．2.5B．3C．4D．无法确定
28．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（ ）

A．2B．3C．4D．
二、填空题
29．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为小时.

30．（2023上·广西崇左·九年级统考期中）如图点是反比例函数的图象上的一点，过作轴，垂足为．已知面积为3，则这个反比例函数的关系式为．
31．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象交于点，若，则．

32．（2023上·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为．

33．（2023上·湖南永州·九年级统考期中）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点从的直线与曲线相交于点M、N．若的面积为3，则．
三、解答题
34．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出不等式的解集．
35．（2023上·云南昆明·九年级云大附中校考期中）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标．
（3）直接写出当时，不等式的解集；
36．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）抛物线的顶点为P，双曲线经过点P和点B．
（1）求k的值；
（2）轴于D，轴于C，E为上一点，连接和．求的面积；
（3）在（2）的条件下，当A为中点时，经过E和A点的双曲线，求m的值．
37．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点．

（1）如图1，连接，求，的坐标；
（2）如图1，若以和为邻边作矩形，求过点的反比例函数的表达式；
（3）如图2，在第一象限内，直线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
38．（2023·辽宁抚顺·统考三模）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时：气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．

（1）请写出这一函数的解析式；
（2）当气球内气体的体积为时，气体的气压是多少？
（3）当气球内气体的气压为，气体的体积是多少？
（4）当气球内的气压大于时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少？
39．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．
（1）求与x之间的函数关系式；
（2）求与x之间的函数关系式；
（3）若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？
40．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图，直线与轴交于点，与反比例函数，过作轴于点，且．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线向下平移个单位后与反比例函数的图象交于一点，求的值．
41．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“对称函数"．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“对称函数”的图象如图2所示，可以得出它的“对称函数”的解析式为，

（1）写出函数关于直线的“对称函数”的解析式为______；
（2）若函数关于直线的“对称函数”图象经过，则______；
（3）已知正方形的顶点分别为：，，，，其中
①若函数关于直线的“对称函数”的图象与正方形有3个公共点，则______；
②若，函数关于直线的“对称函数”的图象与正方形有4个公共点，求n的取值范围．
42．（2023·四川成都·校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式：
（2）点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；
（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长。时间x（天）
3
5
6
8
……
硫化物的浓度
4
2.4
2
1.5
……
时间x/月份
2
3
4
5
售价 /（元/千克）
12
8
6
参考答案
【题型归纳】
题型一：反比例函数图像的性质问题
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，分类讨论：当k＞0时，则- k＜0，当时，则- k＜0，得出反比例函数的图象及二次函数的图象，进而可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当k＞0时，则- k＜0，
反比例函数图象经过一、三象限，二次函数开口向下，且与y轴交于正半轴，
当k＞0时，则- k＜0，反比例函数图象经过二、四象限，二次函数开口向上，且与y轴交于负半轴，
则满足条件的图象为： ，故选B．
2．A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∴，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴，
∴直线经过第一，二，四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，c的符号．
3．C
【分析】根据二次函数图像开口向上得到，再根据对称轴左同右异确定出，根据与y轴的交点确定出，然后确定出一次函数图像与反比例函数图像的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图像开口方向向上，∴，
∵对称轴位置在y轴左侧，∴，∴，
∵，∴的图像经过第一、二、三象限，
∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴，∴反比例函数图像在第二、四象限，故选C．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数与反比例函数的图像，掌握确定抛物线系数符号的方法，利用抛物线系数符号确定一次函数与反比例函数的图像是解题关键．
题型二：反比例函数的性质问题
4．C
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：A、当时，则，所以点在它的图象上，故不符合题意；
B、由反比例函数可知图象关于原点中心对称，故不符合题意；
C、当时，随的增大而减小，故符合题意；
D、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限，且图象距原点越远，的绝对值越大．
首先根据函数图象所在的象限可判断，，，然后根据图象距原点越远，的绝对值越大判断和的大小，进而得解．
【详解】解：由题图可知，反比例函数的图象在第二象限，
，
和的图象在第一象限，且的图象距原点较远，
，
．
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据题意得：反比例函数图象位于第一、三象限内，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点位于第一象限内，点、位于第三象限内，
∴，，
∴．
故选：C．
题型三：反比例函数的K几何意义的应用
7．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键．
【详解】解：∵轴，
，B两点纵坐标相同，
设，，则，，
，
，
故选：C．
8．C
【分析】首先设，表示出，再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求得．
【详解】解：设，
∵矩形，
∴，
∵矩形，E为的中点，
则E也为的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∵点E在反比例函数上，
∴，
∵E为的中点，
∴点，
∴点，
∵的面积为2，，
∴，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
9．C
【分析】连接，根据图象先证明与的面积相等，再根据题意分别计算出与的面积即可得的面积．
【详解】解：连接，设与y轴交于点D，如图，

∵反比例函数与函数的图象为中心对称图形，
∴O为的中点，
∴，
∵由题意得A点在上，B点在上，
∴，；
∴，
∴．
故选：C．
题型四：反比例函数和一次函数的综合问题
10．（1），；（2）；（3）或
【分析】此题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积问题，结合图像求不等式的取值范围；
（1）利用待定系数法求解；
（2）求得一次函数与轴的交点坐标，进而根据三角形的面积即可求解；
（3）结合图像解答即可
【详解】（1）解：反比例函数的图像过点，
，
反比例函数的解析式为，
反比例函数的图像过点，
，
，
，
一次函数的图像过A，两点，
，
解得，，
一次函数的解析式为；
（2）解：∵一次函数的解析式为，其图像与轴的交点坐标为
∴
（3）解：由图象可得：
的的取值范围是或．
11．（1），；（2）；（3）或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程、不等式的关系．
（1）过点Q作于C，先根据，求出，再用勾股定理求出，从而求得点Q的坐标，然后由用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用函数与方程的关系求出两函数另一交点坐标，再利用坐标与图形的性质求出的面积，即可由求解．
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：过点Q作于C，
∵，即
∴
∵
∴
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，，
把代入，得，
∴，
∴，
把，分别代入，得
，
解得：，
∴．
（2）解：联立两函数解析式，得
，
解得：，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由图象可得不等式的解集为或．
12．（1）；（2）的坐标为或；（3）点的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）分两种情况，当是对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解，当是对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：当时，，即点，
将点代入反比例函数的表达式得：，
解得：，
反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式得：，
解得：或，
，
设点，
令，，
∴，
，
解得：或，
的坐标为或；
（3）设，点，
当是对角线时，由中点坐标和得：，
解得：，
，
当是对角线时，由中点坐标和得：，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或．
题型五：反比例函数和实际应用问题
13．（1）；（2）①；②不能在当天点前返回甲地，理由见解析
【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题；
（2）①根据题意，结合（1）即可解决问题；
②将，代入，得千米/小时，超速了．进而可以解决问题．
【详解】（1）∵路程＝
∴v关于t的函数表达式为：；
（2）①8点至点时间长为3小时，8点至点时间长为5小时，
将代入，得．
将代入，得．
∴汽车平均速度v（）的取值范围为：；
②不能在当天点前返回甲地．理由如下：
∵8点至点时间长为2小时，
将，代入，
得千米/小时，超速了．
故汽车不会在当天点前返回甲地．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是掌握路程＝速度×时间．
14．（1）；（2）
【分析】（1）根据矩形面积公式进行求解即可；
（2）把60分解因数，得到两个因数的比值最小，再看是否满足建材能建围墙总长至多即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：∵，且x和y都取整数，，
又∵小院的长宽比尽可能的小，
∴，
又∵，
∴此时的长和宽符合题意，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．
15．（1）；（2）；（3）第15天
【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可；
（3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，
∵在线段上，
∴将A，B两点坐标代入函数表达式，
得，解得，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，与成反比例，
设函数的表达式为：，
将点B代入得：，
解得：，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（3）解：令．
解得．
∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
题型六：反比例函数和几何性质综合问题
16．（1）见解析；（2），；（3）或
【分析】（1）根据正方形的性质，得，，结合轴，得，则，证明；
（2）根据直线：与坐标轴交于A、D两点，易得，，结合，得，，所以，即可作答；
（3）结合（2）中的，，由图象知，不等式的取值范围是或．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：依题意，直线：，
令，则，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，，
∴，
故将点C代入反比例函数中，
得，
∴反比例函数的解析式为，
∵直线的解析式为，
联立①②得，
解得或，
∴，
（3）解：由图象知，结合（2）中的，，
不等式的取值范围是或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
17．（1）8
（2）点的坐标为：或或
（3）为定值，等于
【分析】（1）由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点，将点C、D的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）由题意设，，分三种情况：①若以，为对角线，②若以，为对角线，③若以，为对角线，根据平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可；
（3）连、、，易证，故，，，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
则点A、B的坐标分别为：，，
设点D的坐标为：，
由点E是的中点，由中点坐标公式得：，
即，解得，
则点D的坐标为：，
由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，
则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点
将点C、D的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，
则点C、D的坐标分别为：，；
则；
（2）∵由（1）知，
∴反比例函数的解析式为，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设，，
①若以，为对角线，如图1所示，

由平行四边形的性质及中点坐标公式可得：，即：
解得，
此时；
②若以，为对角线，如图2所示，

由平行四边形的性质及中点坐标公式可得：，即：
解得，
此时；
③若以，为对角线，如图3所示，

由平行四边形的性质及中点坐标公式可得：，即：
解得，
此时；
故点的坐标为：或或；
（3）如图4，连接、，

∵是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
所以，四边形中，，
因为四边形内角和为，
所以．
∴，
∴．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论，在利用中点坐标公式求解是解决第（2）小题的关键，通过构造全等三角形是解决第（3）小题的关键．
18．（1），证明见解析
（2）见解析
（3）或
【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上；
（2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，，
把点代入得：，
∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，
∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，

由题意得四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∴，
∵轴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，，
作于I，则，，，
，
则，，
即，
同理，当D点在上方时，有．

【专题训练】
一、单选题
19．A
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法即可判断．
【详解】解：∵反比例函数，
∴该函数图象在第一、三象限，故选项B正确；
在每个象限内，随的增大而减小，故选项A错误；
反比例函数图象坐标轴无交点，故选项C正确；
函数图象关于直线对称，故选项D正确；
故选：A．
20．D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数的增减性等等，把A、B横坐标代入反比例函数解析式求出A、B的坐标是解题的关键．
【详解】解：在中，当时，，
∴点B的坐标为，故A说法错误，不符合题意；
同理可得点A的坐标为，
把代入中得：，
∴，
∴一次函数的表达式为，故B说法错误，不符合题意；
∵在中，，
∴反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内的值随x值的增大而增大，故C说法错误，不符合题意；
由函数图象可知，当时，或，故D说法正确，符合题意；
故选D．
21．A
【分析】过点D作轴过点C作轴，可证，，求出，确定，求出，C向左移动n个单位后为，代入进而求n的值．
【详解】过点D作轴，过点C作轴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
当时，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵顶点D在反比例函数上，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵C向左移动n个单位后为，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点的平移等，综合性较强，正确添加常用辅助线是解题的关键．
22．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，等腰三角形判定与性质，根据A、C的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【详解】解：过点B作轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是，
，
在中，，
又，
，
又，
，
，
，
，
代入得：，
故选：D．
23．D
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出它们的关系式，再计算当时的值，从而得出答案．．
【详解】解：解：设正比例函数解析式：且过，
，
，
，
设反比例函数解析式：，且过，
，
，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
分钟后，人可以进入房间．
故选：D．
24．A
【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出与的面积，从而得出的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即可得到答案．掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，
连接、，设交轴于，
轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，
轴，
点、在反比例函数和在轴上方的图象上，
，
，
轴,
与“同底等高”，
，
故选：A．
25．D
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质．根据函数解析式知可得该反比例函数的图象在第二、四象限，又因为，所以点在第四象限，点在第在二象限，至此，结合各个象限中点的坐标特征即可得解．
【详解】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限，
又，
∴点，在第四象限，点，在第在二象限，
．
故选：D．
26．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键．
【详解】解：①当时，过一、三、四象限；位于一、三象限；
②当时，过一、二、四象象限；位于二、四象限．
观察图形可知，只有D选项符合题意．
故选D．
27．C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【详解】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，
∴，，，，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
28．A
【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连接，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作轴于点M，求出，即可求出k的值．
【详解】解：设，，，
∵，轴，
，
设AB的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∵，
，
设的关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴的关系式为：，
联立，
解得：或，
∵点D在第一象限，
∴，
，
连接，设与轴交于点，
，
∵，
，
为的中点，，
，
，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
过点A作轴于点M，
∵，，，
∴，
，
，
，
∴．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键．
二、填空题
29．4.8
【分析】将点分别代入，中，求出、，确定出函数关系式，再把代入两个函数式中求出对应的，把所求两个时间作差即可．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
【详解】解：由题意可得：
当时，，
当时，函数关系式为，
将代入可得：，
所以与的函数关系式为；
当时，函数关系式为，
将代入可得：，
所以与的函数关系式是：；
当时，将代入可得：，
解得：；
当时，将代入可得：，
解得：．
（小时），
所以成年人服药一次有效的时间是小时．
故答案为：．
30．
【分析】本题考查已知图形面积，求反比例函数的解析式．根据值的几何意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：面积为，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴，
∴解析式为：；
故答案为：．
31．20
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积等，正确地作出辅助线构造三角形的中位线是解决问题的关键．
过点作轴于，由和同高，可得出，进而可判定为的中位线，则，设，则点，由此可得，然后根据得，由此可求出的值．
【详解】过点作轴于，如图：

又∵和同高，
∴，
∵轴，
∴，
∴为的中位线，
∴，
设，
∴，
∴点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
即，
故答案为：20．
32．3
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，首先根据反比例函数中k的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出k的值．
【详解】解：由反比例函数中k的几何意义得：，由反比例函数的对称性可知：，
∴，
∴，
反比例函数图象在一、三象限，
，
．
故答案为：3．
33．4
【分析】由题意，，，可知：，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，，，利用根与系数的关系和的面积是3，可得结论．
【详解】解：连接，，过作轴于，过作轴于，
点，，，，
，，
，，
同理得：，，
，
，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转，
建立新的坐标系：为轴，为轴，
则旋转后的函数解析式为：，
在新的坐标系中，，，
设直线的解析式为：，
则，解得，
直线的解析式为：，
设，，，，
由得：，
，，
，
整理得，
，
，
，
，
；
故答案为：4．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，反比例函数的性质，一次函数，根与系数的关系，旋转的性质，数形结合．
三、解答题
34．（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：
（2）
（3）和
【分析】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，待定系数法求函数的解析式，函数的增减性．
（1）由A点在反比例函数上，可求出m，得到反比例函数解析式，再由B点在反比例函数图象上，求出n，由待定系数法求出一次函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出C点的坐标，由，从而求出的面积；
（3）由图象观察函数的图象在一次函数图象的上方时对应的x的范围．
【详解】（1）解：∵在反比例函数上，
，
反比例函数解析式为：，
又∵在反比例函数的图象上，
，即，
又∵，是一次函数图象上的点，
联立方程组得：，
解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：点C在一次函数上，
另，，即，
，，
，，，
，
；
（3）解：，
，
由图象知：当和时函数的图象在一次函数图象的上方，
∴不等式的解集为：和．
35．（1）；（2）或；（3）或．
【分析】（1）利用点在上求，进而代入反比例函数求即可；
（2）设，求得点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；
（3）解析式联立求得点的坐标，即可根据图象求得不等式的解集．
【详解】（1）把点代入，得，
把代入反比例函数，
；
反比例函数的表达式为；
（2）一次函数的图象与轴交于点，
，
设，
，
，
或，
的坐标为或；
（3）由题意得：
解得或，
，
由图象可知：不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
36．（1）；（2）6；（3）
【分析】（1）先根据二次函数求出点P的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据三角形的面积与反比例函数的比例系数k的关系解题即可；
（3）过点E作轴于H，过点A作轴于M，设，利用中位线的性质可以表示和长，进而表示A点坐标，然后把点A和点E的坐标代入解题即可．
【详解】（1）抛物线的顶点
∵双曲线经过点P，
∴，
∴
（2）∵点B在双曲线上，设，
∵轴，轴
∴
∴是矩形,
∴，,
∴；
（3）过点E作轴于H，过点A作轴于M．
设，
在中，A为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴
∴
把和代入双曲线
中得，
∴，
，
，解得
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，待定系数法，比例系数k的几何意义，三角形的中位线，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
37．（1），
（2）
（3）点坐标为或或
【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标；
（2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可；
（3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为，
，，
直线的解析式为，
当，，
，
，
，
，
，解得：，
；
（2）设的坐标为，
四边形为矩形，
为直角三角形，
当时，在外边，故不成立；
当时，
，
，
，
，
，
解得：，
，
设点，
，
，
，
，
设过点的反比例函数为，
，解得：，
过点的反比例函数为；
（3）使是等腰直角三角形，
设，，
①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
又，
，
，，
，解得：，
；
在下方，如下图，过点作交轴于，交与延长线于，

是等腰直角三角形，
同理可证，
，，
，解得：，
，
当时，的坐标为或；
②当时，如下图，在上方，过点作轴于，

是等腰直角三角形，
同理可证，
，，
，解得：，
此时不在边上，不符合题意；
③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点，

是等腰直角三角形，
同理可证，
，，
，解得：，
，
综上所述点坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式得求解，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．
38．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据温度=气体的气压气体体积V，求温度，再确定P与V的函数关系式；
（2）把代入（1）中的函数关系式求即可；
（3）把代入（1）中的函数关系式求即可；
（4）依题意，即，解不等式即可．
【详解】（1）设，将代入可得，解得，
∴；
（2）当时，；
当气球内气体的体积为时，气体的气压是；
（3）当时，，解得；
当气球内气体的气压为，气体的体积是；
（4）当时，，解得，
即气球内气体的体积应不小于．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
39．（1）为整数）
（2），且x为整数）
（3）水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为，
把代入解析式，则，
解得，
∴与x之间的函数关系式为为整数）；
（2）解：把代入，得：
，解得，
∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）；
（3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则
，
=
，
对称轴为直线．
∵，
∴当时，w随x的增大而减小．
∵x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值（元），
答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
40．（1）；（2）存在，点坐标为（，）；（3）
【分析】（1）根据直线求点的坐标，得的长度，然后由三角函数的定义求的长度，得出点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求解；
（2）根据反比例函数的解析式可求点的坐标，过点作关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置；
（3）直线向下平移个单位后解析式为：，与反比例函数联立方程组得到、的值代入计算即可．
【详解】（1）解：由，可知，
，
，
轴，
点的横坐标为，
点在直线上，
点的纵坐标为，即，
点在上，
，
反比例函数表达式为；
（2）存在．
过点作关于轴的对称点，连接交轴于点（如图所示）．此时最小，
点在反比例函数上，
，即点的坐标为，
与关于轴的对称，点坐标为，
的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、点代入上式得：
，解得，
直线的解析式为，
令，得，
点坐标为（,）；
（3）直线向下平移个单位后解析式为：，联立方程组得：
，解得，（另一解不符合题意舍去），
，，
．
【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数，三角函数，路径最短问题，二元一次方程等知识．解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数的定义和熟练运用两点之间线段最短解决几何中距离最小问题．
41．（1）；（2）；（3）①4；②或．
【分析】（1）根据“对称函数”的定义可知 “对称函数”的图象是关于的对称，故求出图象上任意两点坐标，再根据函数关于直线的“对称函数”是关于对称，求出对称点坐标，再由待定系数法求出“对称函数”的解析式即可；
（2）先求出点关于直线的对称点，将对称点代入求解即可；
（3）①先画出函数关于直线的“对称函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况求解即可；
②根据正方形和“对称函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限两个，分别结合图象进行求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴则点、关于直线的对称点为，，
设直线关于直线的对称直线为，
则，
解得，
∴直线为，
∴函数关于直线的”对称函数”的解析式为；
故答案为：
（2）点关于直线的对称点为，
∵函数关于直线的“对称函数”图象经过，
∴经过为，
∴，
解得：，
故答案为：．
（3）①函数关于直线的“对称函数”的图象如图所示：


∴函数关于直线的“对称函数”的图象与正方形有3个公共点，则有：

第一象限有两个公共点，第三个交点在第三象限，当图象上的点，，此时，
故答案为：4；
②如图：

若，函数关于直线的“对称函数”的图象与正方形有4个公共点，则第一象限一点一定有两个交点它们是、；
根据正方形和“对称函数”的图象对称性，
I．当时，“对称函数”的图象与正方形有2个公共点，

II．当时“对称函数”的图象与正方形有3个公共点，

III当时，“对称函数”的图象与正方形有4个公共点，如图所示，

IV．当时，如图所示，显然有“对称函数”的图象与正方形有4个公共点，

V．当时，如图所示，此时当时有，
∴“对称函数”的图象与正方形有4个公共点，

VI．当时，显然有“对称函数”的图象与正方形有5个公共点，

VII．当时，“对称函数”的图象与正方形在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，第二象限也有两个交点，共有6个交点；

VIII．当时，“对称函数”的图象与正方形在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，第二象限也有1个交点，共有5个交点；

IX．当时，“对称函数”的图象与正方形在第一象限有两个交点，第三象限有两个交点，第二象限有0个交点，共有4个交点；

综上所述：若，函数关于直线的“对称函数”的图象与正方形有4个公共点，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”对称函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
42．（1）一次函数和反比例函数的表达式分别为和
（2）或
（3）
【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）由，点满足在与直线距离为的直线上，设直线与轴交于点，作作与点，求出点坐标，，根据在直线上方和下方分情况求解，确定过原点且与平行，得到点在，再利用平移得到点在上，列方程组求出交点，即可求出点；
（3）由平移方式确定平移后的解析式，将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可．
【详解】（1）解：一次函数的图像经过点，
把代入中，得，
，
一次函数的表达式为，
反比例函数的图像经过点，
把代入中，得，
，
把代入反比例函数中，得，
，
反比例函数的表达式为，
一次函数和反比例函数的表达式分别为和；
（2），，
，
，
，
点满足在与直线距离为的直线上，
如图，设直线与轴交于点，作作与点，

令，则，
，
①当该直线位于直线的下方时，即，过原点且与平行时，上任意一点到的距离都是，即：，
②当该直线位于直线的上方时即，与关于对称，则上任意一点到的距离都是，向下平移两个单位得到：，可知向上平移两个单位得到：，
点在或上，
由，解得：，，
是反比例函数图像在第一象限上的点，
点的坐标为，
由，解得：，，
是反比例函数图像在第一象限上的点，
点的坐标为，
点的坐标为或；
（3）一次函数和反比例函数的交点为，，
由，解得：，，
，，
在第一象限的双曲线向左平移个单位，向下平移了个单位，在第三象限的双曲线向右平移个单位，向上平移了个单位，
平移后的曲线为和，
由，解得：，，
点的坐标为，点的坐标为，
．