七年级下册数学期中考点习题一遍过

这是一份七年级下册数学期中考点习题一遍过，共67页。试卷主要包含了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式，整式的混合运算—化简求值，因式分解-十字相乘法等等内容，欢迎下载使用。
1．已知a3•am•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值___________．
2．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝___________，（4，1）＝___________（2，0.25）＝___________；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
3．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：lg24＝___________；lg216＝___________；lg264＝___________．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
4．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2M（2015）+M（2016）的值：
（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
二、幂的乘方与积的乘方
5．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝___________，___________※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝___________※___________（结果化成最简形式）．
6．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝___________，D（16）＝___________．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．
三、同底数幂的除法
7．计算：
（1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4
（2）x6÷x3•x2+x3•（﹣x）2．
8．已知am＝6，an＝3，求a2m﹣3n的值．
9．若5x＝18，5y＝3，则5x﹣2y＝___________；若xn＝5，yn＝3，则（xy）2n＝___________；
若2x+3y﹣4＝0，则9x•27y的值为___________；若aa﹣3＝1，则a＝___________．
四、多项式乘多项式
10．如果（x+m）（x﹣5）＝x2﹣3x+k，那么k、m的值分别是（ ）
A．k＝10，m＝2B．k＝10，m＝﹣2C．k＝﹣10，m＝2D．k＝﹣10，m＝﹣2
11．若（ax+3）（6x2﹣2x+1）中不含x的二次项，则a的值为___________．
12．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
13．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝___________；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝___________；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝___________；
…
（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝___________．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝___________（其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
五、完全平方公式的几何背景
14．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是___________；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式：___________；
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
15．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式___________；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足___________时，S为定值，且定值为___________．（用含a或b的代数式表示）
六、完全平方式（共2小题）
16．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（ ）
A．若a＝2b+1，则S＝16B．若a＝2b+2，则S＝25
C．若S＝25，则a＝2b+3D．若S＝16，则a＝2b+4
17．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝___________；
（2）代数式为完全平方式，则k＝___________；
（3）解方程：＝6x2+7．
七、整式的混合运算—化简求值
18．先化简，再求值：a（a+6）﹣（a+3）（a﹣3）+（2a﹣1）2，其中a＝﹣1．
19．先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y），其中x＝1，y＝2．
八、因式分解-十字相乘法等
20．阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）
（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是___________；
A．提公因式法 B．十字相乘法 C．配方法 D．公式法
（2）这种方法的关键是___________；
（2）用上述方法把m2﹣6m+8分解因式．
21．【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题：
已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某个多项式的平方，求M．
【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：
当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，
∵4x2+M+1＝（2x）2+M+12＝（2x±1）2，
∴M＝±2×2x*1＝±4x；
当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x2的二项式的平方，
∵4x2+M+1＝M+2×2x2•1+12＝（2x2+1）2，
∴M＝4x4．
综上述，M为4x或﹣4x或4x4．
【解后反思】
①上述解答过程得到等式：4x2±4x+1＝（2x+1）2；4x4+4x2+1＝（2x2+1）2
观察等式左边多项式的系数发现：（±4）2＝4×4×1．
②结合多项式的因式分解又如：
16x2+24x+9＝（4x+3）2；9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2，
发现这两个多项式的系数规律：242＝4×16×9，（﹣12）2＝4×9×4．
③一般地：若关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．
（1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式： ；
【解决问题】
（2）若多项式9y2+4加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式N；
（3）若关于x的多项式x2﹣2（m﹣3）x+（m2+3m）是一个含x的多项式的平方，求实数m的值．
九、因式分解的应用
22．一个四位正整数J，将千位上的数字和十位上的数字交换，百位上的数字和个位上的数字交换，得到，我们称这个数P为原数的“披荆数”，并规定S（P）＝|（a+d）﹣（b+c）|；将千位上的数字和个位上的数字交换，百位上的数字和十位上的数字交换，得到，我们称这个数Z为原数的“斩棘数”，规定T（Z）＝|（e+f）﹣（g+h）|，且（分母为0时舍去）．
如：2147的“披荆数”为P＝4721，S（P）＝|（4+1）﹣（7+2）|＝4，2147的“斩棘数”为Z＝7412，T（Z）＝|（7+4）﹣（1+2）|＝8．
（1）2937的“披荆数”是___________，3587的“斩棘数”是___________；
（2）证明任意一个四位数的“披荆数”与“斩棘数”的差能被9整除；
（3）设四位正整数M＝1000x+500+10y+4（0＜x＜5≤y≤9，且x，y均为正整数），交换其十位和个位的数字得到N，若M﹣N为完全平方数且M能被3整除，则称M为“乘风破浪数”，请求出所有“乘风破浪数”M中F（M）的最大值．
23．对于一个各个数位均不为零的四位数M，若M的千位与百位组成的两位数能被它的个位和十位数字之和整除，则称M是“整除数”．
例如：M：9176：∵91÷（7+6）＝91÷13＝7，∴9134是“整除数”．
又如：M：6726：∵67÷（2+6）＝67÷8＝8…3，∴6726不是“整除数”
（1）判断7923，8457是否是“整除数”，并说明理由；
（2）四位数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a，b，c，d≤9，a≥b，且a，b，c，d均为整数）是“整除数”，且，记，当F（M）为整数时，求出所有满足条件的M．
十、同位角、内错角、同旁内角
24．如图，直线DE与三角形ABC的两边AB，AC相交，下列判断错误的是（ ）
A．∠6，∠1是同位角B．∠3，∠4是内错角
C．∠5，∠6是同位角D．∠1，∠2是同旁内角
25．如图，与∠1成同位角的角共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
十一、平行线的判定
26．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠3；②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判定a∥b的条件的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
27．如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（ ）
A．BE∥FGB．∠E＝54°C．AD∥BCD．∠AFB＝81°
十二、平行线的性质
28．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝___________度．
29．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点
（1）如图1，请写出∠AME，∠E，∠ENC之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME＝30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
（3）如图3，点G为CD上一点，∠AMN＝m∠EMN，∠GEK＝m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示）是___________．
30．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝ ，∠C＝ ，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）
十三、平行线的判定与性质
31．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，求∠KMN的度数．
32．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NE，来证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．
十四、平行线之间的距离
33．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 ．
34．如图，有两种说法：
①线段AB的长是点A到点B的距离．
②线段AB的长是直线l1、l2之间的距离．
关于这两种说法，正确的是（ ）
A．①正确，②错误B．①正确，②正确
C．①错误，②正确D．①错误，②错误
十五、三角形
35．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
36．观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有___________个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有___________个三角形（用含n的代数式表示结论）．
十六、三角形的角平分线、中线和高（共2小题）
37．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数
（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝___________．
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
38．按要求，画出图形并回答问题：
（1）在下列三角形中，分别画出AB边上的高．
（2）在方格纸中，过点C画线段AB的垂线，垂足为D，并量出C点到线段AB所在的直线的距离．
（3）过△ABC的顶点C，画MN∥AB，再过△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，交BC于点E．
十七、三角形的面积
39．如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△ABC＝16cm2，则S△BEF的值为（ ）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
40．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 ．
41．【阅读理解】
如图①，直线l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等∵l1∥l2，设l1与l2之间的距离为h，
则，．∴S△ABC＝S△DBC．
【类比探究】
（1）如图②，直线l1∥l2，当点D在l1、l2之间时，设点A、D到直线l2的距离分别为h、h'，则＝ ．
（2）如图③，直线l1∥l2，当点D在l1、l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图④，直线l1∥l2，当点D与△ABC在同一平面内时，直线AD交l2于点E．若AE＝3，，直接写出线段AD的长．
十八、三角形三边关系
42．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4B．5C．6D．7
43．已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．
十九、三角形内角和定理
44．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．
（提示：三角形的内角和等于180°）
①填空或填写理由
解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ ∥ ，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD+ ＝180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°
②依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
③已知AB∥CD，则
图（3）中的∠BPD与∠B、∠D的关系为 ；
图（4）中的∠BPD与∠B、∠D的关系为 ．
45．如图，D，E分别是锐角△ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2．
（1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度数．
（2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系．
（3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明．
二十、三角形的外角性质
46．概念认识
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ °；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝48°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
（4）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
47．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，若∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图2．作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分线，相交于点Q．试探索∠BQC与∠A之间的数量关系；
（3）如图3，在图2中延长线段BP，QC．交于点E，若在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
48．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．
二十一、多边形
49．古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中，图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……图②的点数叫做四边形数，从上至下第一个四边形数是1，第二个四边形数是1+3＝4，第三个四边形数是1+3+5＝9，……由此类推，图③中第六个五边形数是
（ ）
A．48B．49C．50D．51
50．已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
二十二、多边形内角与外角
51．已知在四边形ACDB中，AB∥CD，点P在AB，CD之间，E为AB上一点，F为CD上一点，PG平分∠EPF交AC于点G，PH∥CD交AC于点H．下列结论：①∠BEP+∠PFD＝2∠EPG，②|∠BEP﹣∠PFD|＝2∠HPG，③∠EPG﹣∠HPG＝∠PFD．其中正确的结论共有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
52．如图，∠MON＝90°，点A、B分别在直线OM、ON上，BC是∠ABN的平分线．
（1）如图1，若BC所在直线交∠OAB的平分线于点D时，尝试完成①、②两题：
①当∠ABO＝40°时，∠ADB＝ °；当∠ABO＝70°时，∠ADB＝ °；
②当点A、B分别在射线OM、ON上运动时（不与点O重合），试问：随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，请求出∠ADB的度数；如果会，请求出∠ADB的度数的变化范围；
（2）如图2，若BC所在直线交∠BAM的平分线于点C时，将△ABC沿EF折叠，使点C落在四边形ABEF内点C′的位置、求∠BEC′+∠AFC′的度数．
53．如图1，我们分别研究过三角形中两内角平分线所成的∠BIC、两外角平分线所成的∠BDC、一内角一外角平分线所成的∠BEC与∠A的关系．
（1）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分∠ABC和∠BCD，则∠P与∠A、∠D的数量关系为 ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，BM、CM分别平分∠EBC和∠BCF，请探究∠M与∠A、∠D的数量关系，并说明理由．
（3）在四边形ABCD中，∠F为∠ABC的平分线与边CD和BC延长线所成角的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β，则∠F＝ ．（用α、β表示）
二十三、生活中的平移现象
54．平移小菱形可以得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是 个．
55．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 m2．
二十四、平移的性质（共2小题）
56．将周长为8的△ABC沿BC方向右移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．12B．14C．10D．16
57．如图，将周长为7的三角形ABC沿BC边向右平移1个单位，得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
二十五、作图-平移变换
58．如图，在8×8的正方形网格中有△ABC，点A，B，C均在格点上．
（1）画出点B到直线AC的最短路径BD；
（2）过C点画出AB的平行线，交BD于点E；
（3）将△ABC向左平移4格，再向下平移3格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（4）判断∠BAC和∠CED的数量关系 ．
59．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
（1）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△A1B1C1；
（2）画出△ABC的BC边上的中线AD；
（3）求出△ABD的面积．
二十六、利用平移设计图案
60．如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n（n≥2）个图案中有白色六边形地面砖的块数是（ ）
A．4n﹣4B．4n﹣2C．4n+2D．4n+4
参考答案
一、同底数幂的乘法
1．
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，再根据指数相等列式求解即可．
【解答】解：∵a3•am•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），
∴a3+m+2m+1＝a25，
∴3+m+2m+1＝25，
解得m＝7，
故填7．
2．
【考点】同底数幂的乘法；有理数的混合运算．
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出3a＝5，3b＝6，3c＝30，求出3a×3b＝30，即可得出答案．
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
3．
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．
（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：lg24+lg216＝lg264．
（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；
（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．
【解答】解：（1）lg24＝2；lg216＝4；lg264＝6，
故答案为：2；4；6；
（2）∵4×16＝64，
∴lg24+lg216＝lg264；
（3）lgaM+lgaN＝lgaMN；
（4）设M＝am，N＝an，
∵＝m，＝n，
＝m+n，
∴+＝，
∴+＝lgaMN．
4．
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】（1）根据M（n）＝，可得M（5），M（6），根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据乘方的意义，可得M（2015），M（2016），根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据乘方的意义，可得M（n），M（n+1），根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；
（2）2M（2015）+M（2016）＝2×（﹣2）2015+（﹣2）2016＝﹣（﹣2）×（﹣2）2015+（﹣2）2016＝﹣（﹣2）2016+（﹣2）2016＝0；
（3）2M（n）+M（n+1）＝﹣（﹣2）×（﹣2）n+（﹣2）n+1＝﹣（﹣2）n+1+（﹣2）n+1＝0，
∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．
二、幂的乘方与积的乘方（共2小题）
5．
【考点】幂的乘方与积的乘方；有理数的混合运算．
【分析】（1）利用新定义，直接求得即可；
（2）①设间接未知数，利用新定义推导即可；
②利用前面的结论，直接运算即可．
【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，
∴2※16＝4，
∵a※36＝﹣2，
∴a﹣2＝36，
∴a﹣2＝（±6）2＝，
∴a＝±．
（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，
∴5x＝7，5y＝9，
∴5x×5y＝7×9＝63，
∴5x+y＝63，
∴5※63＝x+y，
即5※7+5※9＝5※63；
②∵3n※4n＝3※4，
∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n
＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）
＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．
故答案为：（1）4，±；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．
6．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．
【解答】解：（1）∵21＝2，
∴D（2）＝1，
∵24＝16，
∴D（16）＝4，
故答案为：1；4．
（2）①∵21＝a，
∴a＝2．
∴23＝23．
∴D（a3）＝3．
②D（15）＝D（3×5），
＝D（3）+D（5）
＝（2a﹣b）+（a+c）
＝3a﹣b+c，
＝（a+c）﹣（2a﹣b）
＝﹣a+b+c．
D（108）＝D（3×3×3×2×2），
＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）
＝3×D（3）+2×D（2）
＝3×（2a﹣b）+2×1
＝6a﹣3b+2．
，
＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）
＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]
＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]
＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]
＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2
＝5a﹣3b﹣c﹣2，
三、同底数幂的除法（共3小题）
7．
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝m8+m8+m8
＝3m8；
（2）原式＝x6﹣3+2+x3•x2
＝x5+x5
＝2x5．
8．已知am＝6，an＝3，求a2m﹣3n的值．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵am＝6，an＝3，
∴a2m﹣3n＝（am）2÷（an）3
＝62÷33
＝．
9．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵5x＝18，5y＝3，
∴5x﹣2y＝5x÷（5y）2＝18÷32＝2；
∵xn＝5，yn＝3，
∴（xy）2n＝（xn）2×（yn）2＝52×32＝225；
∵2x+3y﹣4＝0，
∴2x+3y＝4，
则9x•27y＝32x•33y＝32x+3y＝34＝81；
∵aa﹣3＝1，
∴a＝1或3或﹣1．
故答案为：2，225，81，1或3或﹣1．
四、多项式乘多项式（共4小题）
10．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出k、m的值即可．
【解答】解：（x+m）（x﹣5）＝x2﹣（5﹣m）x﹣5m，
∴x2﹣（5﹣m）x﹣5m＝x2﹣3x+k，
∴5﹣m＝3，﹣5m＝k，
解得：m＝2，k＝﹣10．
故选：C．
11．
【考点】多项式乘多项式；合并同类项．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据积中不含x的二次项，可求a的值．
【解答】解：（ax+3）（6x2﹣2x+1）
＝6ax3﹣2ax2+ax+18x2﹣6x+3
＝6ax3+（18﹣2a）x2+（a﹣6）x+3，
由题意可知18﹣2a＝0，
解得a＝9．
故答案为：9．
12．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴，
∴；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
13．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ a2﹣b2 ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ a3﹣b3 ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ a4﹣b4 ；
…
（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝ a2023﹣b2023 ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算前面简单的式子，观察规律可得结论；
（2）利用（1）中的规律直接得出结论即可；
（3）将式子乘以[2﹣（﹣1）]，并将式子适当变形，利用（2）中猜想的结论运算即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，
∴（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023，
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4，a2023﹣b2023；
（2）由（1）的运算结论猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．
故答案为：an﹣bn；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝[2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2）
＝[2﹣（﹣1）]（29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）9+1）
＝[2﹣（﹣1）][29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）9]+1
＝[210﹣（﹣1）10]+1
＝×（1024﹣1）+1
＝341+1
＝342．
五、完全平方公式的几何背景（共2小题）
14．
【考点】完全平方公式的几何背景；认识立体图形．
【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；
（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．
【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×＝14．
（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），
把a+b＝3，ab＝1代入得：
a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．
∴＝9．
15．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片5张；
（3）设DG长为x，求出S1，S2即可解决问题．
【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）如图，
（3）设DG长为x．
∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，
∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，
故答案为：a＝2b，a2．
六、完全平方式（共2小题）
16．
【考点】完全平方式；列代数式．
【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定．
【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，
ab＝2，a＞b＞0，
若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，
即2b2+b﹣2＝0，
解得：b＝（负值不合题意，舍去），
∴b＝，
∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，
∴选项A不正确；
若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，
即b2+b﹣1＝0，
解得：（负值不合题意，舍去），
∴b＝，
∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，
∴选项B不正确；
若S＝25，则（a+2b）2＝25，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝5，
∴a＝5﹣2b，
∴b（5﹣2b）＝2，
即2b2﹣5b+2＝0，
解得：b1＝，b2＝2，
当b＝时，a＝5﹣2b＝4，
2b+3＝4，
此时，a＝2b+3；
当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，
∴选项C正确；
若S＝16，则（a+2b）2＝16，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝4，
∴a＝4﹣2b，
∴b（4﹣2b）＝2，
即b2﹣2b+1＝0，
解得：b1＝b2＝1，
当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，
∴a≠2b+4，
∴选项D不正确；
故选：C．
17．
【考点】完全平方式．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；
（2）
＝[x2+（3y）2]+xk•2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；
（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
七、整式的混合运算—化简求值（共2小题）
18．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2+6a﹣a2+9+4a2﹣4a+1＝4a2+2a+10，
当a＝﹣1时，原式＝4﹣2+10＝12．
19．【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）
＝[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷（2y）
＝[﹣4y2+4xy]÷（2y）
＝﹣2y+2x，
当x＝1，y＝2时，原式＝﹣2×2+2×1＝﹣2．
八、因式分解-十字相乘法等（共2小题）
20．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】（1）以上把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法；
（2）这种方法的关键是利用公式变形；
（3）原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是配方法；
故选：C；
（2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形；
故答案为：（2）利用完全平方公式及平方差公式变形；
（3）原式＝m2﹣6m+9﹣1＝（m﹣3）2﹣1＝（m﹣3+1）（m﹣3﹣1）＝（m﹣2）（m﹣4）．
21．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；规律型：数字的变化类；因式分解﹣运用公式法．
【分析】（1）读懂题意，认真梳理系数的规律，按规律写出关系式；
（2）利用（1）的式子，解决问题；
（3）利用（1）得到的关系式列等式，求出m的值．
【解答】解：（1）系数a、b、c之间存在的这种关系式为：b2＝4ac；
故答案为：b2＝4ac；
（2）设单项式N的系数为b，
∵9y2+4加上单项式N是一个含y的二项式的平方，
∴b2＝4×9×4，
∴b＝±12，
∴满足条件的单项式N为：±12y；
（3）∵关于x的多项式x2﹣2（m﹣3）x+（m2+3m）是一个含x的多项式的平方，
∴[﹣2（m﹣3）]2＝4×1×（m2+3m），
解得：m＝1．
答：实数m的值为1．
九、因式分解的应用（共2小题）
22．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）利用“披荆数”，“斩棘数”的定义解答即可；
（2）设任意四位正整数为，则其“披荆数”为，“斩棘数”为，直接计算，即计算1000x+100y+10m+n﹣（1000y+100x+10n+m）可得＝9（100x﹣100y+m﹣n）得证结论；
（3）根据题意得，计算M﹣N，得M﹣N＝9（y﹣4），易知为正整数，且5≤y≤9，y为整数，可得y＝5或y＝8，由M为3的倍数，知x+5+y+4＝9+x+y应为3的倍数，且0＜x＜5，可得当y＝5时，x＝1或x＝4；当y＝8时，x＝1或x＝4；由定义得，将x，y所对应得值代入即可求得F（M），再找出最大值即可．
【解答】（1）解：2937的“披荆数”是3729，3587的“斩棘数”是7853，
故答案为：3729，7853；
（2）证明：设任意四位正整数为，
则其“披荆数”为，“斩棘数”为，
∴＝1000x+100y+10m+n﹣（1000y+100x+10n+m）＝900x﹣900y+9m﹣9n＝9（100x﹣100y+m﹣n）
∴“披荆数”与“斩棘数”的差能被9整除；
（3）解：∵（0＜x＜5≤y≤9，且x，y均为正整数），
∴，
∴M﹣N＝1000x+500+10y+4﹣（1000x+500+10+y）＝9y﹣36＝9（y﹣4），
∵M﹣N为完全平方数，
∴为正整数，且5≤y≤9，y为整数，
则：当y＝5时，；
当y＝6时，（舍去）；
当y＝7时，（舍去）；
当y＝8时，；
当y＝9时，（舍去）；
故y＝5或y＝8，
又∵M为3的倍数，
∴x+5+y+4＝9+x+y应为3的倍数，且0＜x＜5，
当y＝5时，x＝1或x＝4；当y＝8时，x＝1或x＝4；，
则当x＝1，y＝5时，；
当x＝4，y＝5时，；
当x＝1，y＝8时，；
当x＝4，y＝8时，；
故：F（M）的最大值为．
23．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）根据“整除数”得定义进行计算并判断即可；
（2）根据题意可得是11的倍数，再分别讨论是11的1倍、2倍、3倍、4倍及5倍，根据条件进行求解即可．
【解答】解：（1）7923不是“整除数”，8457是“整除数”，理由：
∵79÷（2+3）＝79÷5＝，
∴7923不是“整除数”；
∵84÷（5+7）＝84÷12＝7，
∴8457是“整除数”；
（2）∵四位数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a，b，c，d≤9，a≥b，且a，b，c，d均为整数）是“整除数”，且，
∴10a+b＝8（c+d），
∵，
∴F（M）＝＝＝，
∵F（M）为整数，
∴是11的倍数，
当7d﹣2c﹣5＝11时，7d＝16+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝6，d＝4，
∴10a+b＝8×（6+4）＝80，
∵1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴假设不成立；
当7d﹣2c﹣5＝22时，7d＝27+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝4，d＝5，
∴10a+b＝8x（4+5）＝72，
∵1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴a＝7，b＝2，
∴M＝7245；
当7d﹣2c﹣5＝33时，Td＝38+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝2，d＝6或c＝9，d＝8，
∴10a+b＝8×（2+6）＝64或10a+b＝8×（9+8）＝136，
∵1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴10a+b最大值为99，
∴a＝6，b＝4，
∴M＝6426；
当7d﹣2c﹣5＝44时，7d＝49+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴c＝7，d＝9，
∴10a+b＝8×（7+9）＝128，
∴1≤a，b≤9，a≥b，且a，b均为整数，
∴10a+b最大值为99，
∴假设不成立；
当7d﹣2c﹣5＝55时，7d＝60+2c，
∵1≤c，d≤9，且c，d均为整数，
∴7d最大值为63，
∴假设不成立；
综上，M＝7245或M＝6426．
十、同位角、内错角、同旁内角（共2小题）
24．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，可得答案．
【解答】解：A．∠1与∠4、∠5是同位角，故原说法错误，符合题意；
B．∠3与∠4是内错角，说法正确，不符合题意；
C．∠5，∠6是同位角，说法正确，不符合题意；
D．∠1，∠2是同旁内角，说法正确，不符而合题意．
故选：A．
25．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：
与∠1成同位角的角有∠DAB，∠EBH，∠FGH，共3个，
故选：C．
十一、平行线的判定（共2小题）
26．
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：能判断a∥b的条件是：②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；
故选：B．
27．
【考点】平行线的判定．
【分析】根据题目中的条件和平行线的判定方法，可以推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；
∴∠DAE＝∠CFE，
∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，
∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠E＝54°，故选项B正确，不符合题意；
∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故选项D正确，不符合题意；
∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，
∴∠AFG＝44°，
∵∠BEF＝54°，
∴∠AFG≠∠E，
∴BE和FG不平行，故选项A错误，符合题意；
故选：A．
十二、平行线的性质（共3小题）
28．
【考点】平行线的性质．
【分析】利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE．
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
29．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）过点E作EE'∥AB，根据平行线的性质进行证明即可；
（2）利用EF平分∠MEN，NP平分∠ENC可得∠NEE＝MEN，∠ENP＝∠END，再根据∠MEN＝∠AME+∠ENC，进行等量代换进行计算即可；
（3）由已知条件可得∠NEE＝MEN，∠ENP＝∠END，∠HEM＝∠EMN＝∠AMN，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．
【解答】解：（1）∠MEN＝∠AME+∠ENC，
证明如下：如图1所示，过点E作EE'∥AB，
∵AB∥CD，
∴EE′∥AB∥CD，
∴∠1＝∠AME，∠2＝＜CNE，
∵∠MEN＝1+22，
∴∠MEN＝∠AME+∠ENC：
（2）EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，
∴∠NEE＝MEN，∠ENP＝∠END．
∵EQ∥NP，
∴∠QEN＝∠ENP＝ENC．
∵∠MEN＝∠AME+∠ENC，
∴∠MEN﹣∠ENC＝∠AME＝30°，
∴∠FEQ＝∠NEF﹣∠NEQ＝∠MEN﹣∠ENC＝×30°＝15°；
（3）∠GEK+∠BMN﹣m∠GEH＝180°，证明如下：
∠AMN＝m∠EMN，∠GEK＝m∠GEM，
∴∠NEE＝MEN，∠ENP＝∠END．
∵EH∥MN，
∴∠HEM＝∠EMN＝∠AMN，
∵∠GEH＝∠GEM﹣∠HEM＝∠GEK﹣∠AMN，
∴m∠GEH＝∠GEK﹣∠AMN，
∴∠AMN＝180°﹣∠BMN，
∴m∠GEH﹣∠GEK﹣（180°﹣∠BMN ），
∴∠BMN+∠GEK﹣m∠GEH＝180°．
30．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作CF∥AB，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作EG∥AB，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作PE∥AB，利用角平分线的概念求得∠PED＝∠EDC＝25°，，再利用平行线的性质求角即可．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：∠EAB；∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠FCB＝180°，
∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（3）①过E作EG∥AB，
∵AB∥DC，
∴EG∥CD，
∴∠GED＝∠EDC，
∵DE平分∠ADC，
∴，
∴∠GED＝25°，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∵GE∥AB，
∴∠BEG＝∠ABE＝18°，
∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；
②过E作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠PED＝∠EDC＝25°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，
∴，
∵AB∥PE，
∴∠ABE+∠PEB＝180°，
∴，
∴．
十三、平行线的判定与性质（共2小题）
31．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）利用∠CHG＝∠DHF，再利用等量代换，即可解决；
（2）过K作KR∥AB，因为AB∥CD，所以RK∥AB∥CD，则∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，代入即可解决．
（3）过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，可以得到MT∥AB∥CD∥KR，设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，利用平行线的性质，用x表示出角，即可解决．
【解答】（1）证明：∵∠CHG＝∠DHF，∠AGH+∠DHF＝180°，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过K作KR∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴RK∥AB∥CD，
∴∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，
∵∠MPG+∠NQH＝90°，
∴∠MKR+∠NKR＝90°
∴∠MKN＝90°，
∴MK⊥NK；
（3）解：如图，过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，
∵AB∥CD，
∴MT∥AB∥CD∥KR，
∵KH平分∠MKN，
∴∠MKH＝∠NKH＝45°
∵，
∴设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM＝∠DHG＝17x，
∴∠KHD＝34x∴∠KHQ＝180°﹣34x，
∵CD∥KR，
∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣34x，
∵MT∥AB∥KR
∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝7x，∠TMH＝∠MHD＝17x，
∵∠MKH＝45°，
∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣34x+7x＝45°，
∴x＝5°，
∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，
∴∠KMN＝17x﹣7x＝10x＝50°．
32．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ADE＝∠BDE，然后再利用等量代换可得∠ADE＝∠BED，从而利用平行线的判定，即可解答；
（2）过点E作EH∥BD，利用猪脚模型，进行推理，即可解答；
（3）设∠BDM＝2x，利用角平分线的定义可得∠BDM＝∠MDE＝2x，从而可得∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，进而可得∠ADB＝2∠BDE＝8x，然后利用平行线的性质可得∠B＝180°﹣8x，再根据垂直定义可得∠DEN＝90°，最后利用（2）的结论可得∠ENG＝90°﹣4x，再利用角平分线的定义可得∠MDN＝90°﹣x，从而可得∠EDN＝90°﹣3x，进而可得∠DNE＝3x，∠FDN＝7x﹣90°，再根据已知∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠BED，
∴AD∥BE；
（2）证明：过点E作EH∥BD，
∴∠DEH＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEH，
∵BD∥FG，
∴EH∥FG，
∴∠HEN＝∠ENG，
∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，
∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）解：设∠BDM＝2x，
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDM＝∠MDE＝2x，
∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，
∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，
∵DE⊥EN，
∴∠DEN＝90°，
由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，
∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，
∵DN平分∠PDM，
∴∠MDN＝∠PDM＝（180°﹣∠BDM）＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，
∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，
∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，
∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，
解得：x＝15°，
∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，
∴∠EDN的度数为45°．
十四、平行线之间的距离（共2小题）
33．
【考点】平行线之间的距离．
【分析】作DG⊥BC，AH⊥BC，根据△DCE的面积为6，求出DG，根据两平行线间的距离相等得到AH的长，根据平行四边形的面积公式得到答案．
【解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∴AH＝DG，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，又BE＝8，
∴CE＝3，又△DCE的面积为6，
∴DG＝4，
∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20，
故答案为：20．
34．
【考点】平行线之间的距离；两点间的距离．
【分析】由两点之间的距离的定义可知①正确；由平行线间的距离的定义可判断②正确．
【解答】解：①线段AB的长是点A到点B的距离正确；
②线段AB的长是直线l1、l2之间的距离正确；
故选：B．
十五、三角形（共2小题）
35．
【考点】三角形．
【分析】根据等边三角形的判定方法逐项的可求解．
【解答】解：①有两个角是60°的三角形是等边三角形，故符合题意；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故不符合题意：
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形是等边三角形，故符合题意；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形不一定是等边三角形，故不符合题意．
所以等边三角形的个数为2个，
故选：B．
36．
【考点】三角形．
【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数．
【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
十六、三角形的角平分线、中线和高（共2小题）
37．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；
（3）根据（2）中所得解答即可．
【解答】解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠CAD＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]＝（∠C﹣∠B），
∵∠C﹣∠B＝30°，
∴∠DAE＝×30°＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵∠C﹣∠B＝α，
∴∠DAE＝×α＝．
38．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；平行线．
【分析】（1）首先找到AB边对的顶点C，以C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点N，再以点N和A为圆心，以任意长为半径，画弧，两弧交于点Q，连接CQ交AB于点M，CM即是要画的AB边上的高．
（2）连接CA和CB，以点C为圆心，以AB长为半径画弧，角AB于点M，以点M和B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交点为N，连接CN交AB于点D，CD即要画的垂线．C点到线段AB所在的直线的距离，即线段CD的长度．
（3）过△ABC的顶点C，画MN∥AB，即是画∠ACN＝∠A即可；
先找到△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，即是画∠BDE＝∠A．
利用画一个角等于一个已知角的画法去画即可．
【解答】解：（1）首先找到AB边对的顶点C，以C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点N，再以点N和A为圆心，以任意长为半径，画弧，两弧交于点Q，连接CQ交AB于点M，CM即是要画的AB边上的高．同理可画出余下的两个三角形的高CM．
（2）连接CA和CB，以点C为圆心，以AB长为半径画弧，角AB于点M，以点M和B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交点为N，连接CN交AB于点D，CD即要画的垂线．C点到线段AB所在的直线的距离，即线段CD的长度．
（3）分别画∠1＝∠2，∠3＝∠2．如图所示．
十七、三角形的面积（共3小题）
39．
【考点】三角形的面积．
【分析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．
【解答】解：S阴影＝S△BCE＝S△ABC＝4cm2．
故选：B．
40．
【考点】三角形的面积．
【分析】利用三角形相似的性质和根据三角形同底不同高的性质，求出面积之比，再进行计算即可求出其面积的值．
【解答】解：如下图，
△AOB∽△DOC，AB＝2，CD＝4，
∴S△AOB：S△DOC＝AB2：CD2＝1：4，
设S△AOB＝x，则S△DOC＝4x，
∵△CDB与△ABD同底，
∴S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
令S△OBD＝a，则有，
S△ABD＝S△AOB+S△OBD＝x+a，
S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a，
∵S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
∴（4x+a）：（x+a）＝2：1，解得a＝2x，
∴S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a＝4x+2x＝6x，
∵S△CDB＝CD•BD＝×4×4＝8，
∴6x＝8，解得x＝，
∵S△DOC＝4x，
∴S△DOC＝4x＝4×＝，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
41．
【考点】三角形的面积；点到直线的距离；平行线之间的距离．
【分析】（1）由三角形面积公式即可得到结论；
（2）由三角形面积公式，相似三角形的性质，即可证明；
（3）由（2）的结论即可求出AD的长．
【解答】（1）解：∵△ABC的面积＝BC•h，△DBC的面积＝BC•h′，
∴＝＝，
故答案为：．
（2）证明：过点A作AE⊥BM于E，过点D作DF⊥BM于F，
∴AE∥DF，
∴△AEM∽△DFM，
∴，
由（1）知，
∴．
（3）当D在l1的上方，
由（2）知＝＝，
∵AE＝3，
∴DE＝7，
∴AD＝7﹣3＝4；
当D在l1的下方，
由（2）知＝＝，
∵AE＝3，
∴DE＝7，
∴AD＝3+7＝10．
∴线段AD的长是4或10．
十八、三角形三边关系（共2小题）
42．
【考点】三角形三边关系；三角形的角平分线、中线和高．
【分析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10．
【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．
43．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【解答】解：|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|
＝﹣（a﹣b﹣c）+2（b﹣c﹣a）+（a+b﹣c）
＝﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c
＝﹣2a+4b﹣2c．
十九、三角形内角和定理（共2小题）
44．
【考点】三角形内角和定理；平行公理及推论；平行线的判定与性质．
【分析】①过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，证出结论；
②与①的方法类似，过点P作EP∥AB，根据两直线平行，内错角相等，证出结论；
③过点P作EP∥AB，可以看出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系．
【解答】解：①猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°，
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD+∠CDP＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；CD，EF，∠CDP；
②猜想∠BPD＝∠B+∠D．
理由：过点P作EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，同位角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD＝∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
③与②的作法相同，过点P作EP∥AB，可得：（3）∠BPD+∠B＝∠D，（4）∠BPD＝∠B﹣∠D．
45．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】（1）利用四边形的内角和求∠DPE即可；
（2）分两种情况讨论：当P点在DE的下方时，同（1）的方法即可；当P点在DE的下方时，利用四边形CDPE的内角和求解，注意∠DPE是大于180°的角，需要进行转化；
（3）利用三角形的外角和三角形的内角定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠2＝65°，
∴∠CEP＝180°﹣∠2＝115°，
∴∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣60°﹣110°﹣115°＝75°；
（2）∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2或∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°，理由如下：
当点P位于DE下方时，∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣∠C﹣∠1﹣（180°﹣∠2），
∴∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2；
当点P位于DE上方时，∠DPE＝360°﹣（360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CPE）＝∠C+∠1+（180°﹣∠2）＝∠C+∠1+180°﹣∠2，
∴∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°；
（3）∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°，理由如下：
设DP与BC交于点Q，
∴∠CQD＝∠2+∠DPE，
∵∠1+∠C+∠CQD＝180°，
∴∠1+∠C+∠2+∠DPE＝180°，
∴∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°．
二十、三角形的外角性质（共3小题）
46．
【考点】三角形的外角性质；列代数式．
【分析】（1）BD是“邻AB三分线”时，BE是“邻BC三分线”时，根据三角形的三分线求出即可；
（2）分情况讨论如图当BD是“邻AB三分线”时，∠BDC＝∠A+∠ABD；当BD′是“邻BC三分线”时，∠BDC′＝∠A+∠ABD′即可得答案；
（3）求出∠PBC+∠PCB＝140°，根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线求出∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，求出∠ABC+∠ACB＝135°，再求出∠A即可；
（4）画出符合的所有情况，①当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，②当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，④当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，
∴∠ABD＝∠DBE＝∠EBC＝ABC＝60°＝20°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DAE＝20°+20°＝40°，
故答案为：40；
（2）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A＝60°，∠ABC＝48°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°+×48°＝76°；
当BD′是“邻BC三分线”时，
∵∠A＝60°，∠B＝48°，
∴∠BDC′＝∠A+∠ABD′＝60°+×48°＝92°；
综上所述，∠BDC＝76°或92°，
故答案为：76°或92°；
（3）如图，
∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣°＝°；
（4）分为四种情况：
情况一：如图1，
当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可得：∠PCD＝∠ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝m°；
情况二：如图2，
当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可知：∠PCD＝∠ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝；
情况三、
当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
当m°＞n°时，如图3，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝；
当α＜β时，如图4，
由外角及对顶角可得：∠DCE＝∠PCB＝∠ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠FBC﹣∠PCB＝n°﹣（m°+n°）＝；
情况四、如图5，
当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝m°；
综合上述：∠BPC的度数是m°或或或或m°．
47．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A，
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
48．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）【问题探究】
由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4，推出2∠P＝∠ABC+∠ADC，即可解决问题．
【拓展延伸】由（1）的结论易求2∠P＝∠C+∠CAP+∠B+∠BDP﹣∠PDC﹣∠PAB，∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B，再将已知条件代入化简可求2∠P，进而可求解∠P．
【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）解：【问题探究】∠P＝52°，
理由：如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°；
【拓展延伸】
由（1）可知：∠C+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠C+∠CAP＝∠P+∠PDC，∠B+∠BDP＝∠P+∠PAB，
∴∠C+∠CAP+∠B+∠BDP＝2∠P+∠PDC+∠PAB，∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B，
∴2∠P＝∠C+∠CAP+∠B+∠BDP﹣∠PDC﹣∠PAB，
∵∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BDP＝∠CDB，∠PAB＝∠CAB，
∴2∠P＝α+β+∠CAB+∠CDB﹣∠CDB﹣∠CAB＝α+β+∠CDB﹣∠CAB＝α+β+（∠CDB﹣∠CAB）＝α+β+（∠C﹣∠B）＝α+β+（α﹣β）＝，
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
二十一、多边形（共2小题）
49．
【考点】多边形；数学常识；规律型：数字的变化类．
【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题．
【解答】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图③中第六个五边形数是1+4+7+10+13+16＝51．
故选：D．
50．
【考点】多边形；三角形的面积．
【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明．
【解答】解：（1）S1＝24，S2＝24，S3＝24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S△BAC＝AC•OB，S△DAC＝AC•OD，
∴S四边形ABCD＝AC•OB+AC•OD＝AC•（OB+OD）＝AC•BD＝24．
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD＝AO•BD，S△BCD＝CO•BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AO•BD+CO•BD＝BD（AO+CO）＝BD•AC＝24．
二十二、多边形内角与外角（共3小题）
51．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【分析】根据题意，画出正确的图形，根据平行线的性质、角的和与差推理即可．
【解答】解：①∵AB∥CD，PH∥CD，
∴AB∥PH，∠PFD＝∠FPH，
∴∠BEP＝∠EPH，
∴∠BEP+∠PFD＝∠EPH+∠EPH＝∠EPF，
∴PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠PFD＝2∠EPG，
故①选项是正确的；
②由①知，∠BEP＝∠HPE，∠PFD＝∠FPH，
∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|∠HPE﹣∠FPH|，
∵∠HPE＝∠GPE﹣∠HPG，
∠FPH＝∠GPF+∠HPG，
∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|∠HPE﹣∠FPH|
＝|∠GPE﹣∠HPG﹣（∠GPF+∠HPG）|
＝|∠GPE﹣∠GPF﹣2∠HPG|，
∵∠GPE＝∠GPF，
∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|﹣2∠HPG|＝2∠HPG，
故②选项是正确的；
③由①知，
∵∠EPG﹣∠HPG＝∠HPE，
∠HPE＝∠BEP，
∴∠EPG﹣∠HPG＝∠BEP≠∠PFD，
故③选项是错误的．
故选：C．
52．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】（1）①根据角平分线的定义得到∠DAB＝∠OAB＝25°，∠ABC＝∠ABN＝70°，根据三角形的外角的性质计算即可；根据角平分线的定义得到∠DAB＝∠OAB＝10°，∠ABC＝∠ABN＝55°，根据三角形的外角的性质计算即可；
②仿照①的作法计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠CAB+∠CBA＝135°，根据翻转变换的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）①∵∠ABO＝40°，
∴∠OAB＝50°，∠ABN＝140°，
∵BC是∠ABN的平分线，AD是∠OAB的平分线，
∴∠DAB＝∠OAB＝25°，∠ABC＝∠ABN＝70°，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；
∵∠ABO＝70°，
∴∠OAB＝20°，∠ABN＝110°，
∵BC是∠ABN的平分线，AD是∠OAB的平分线，
∴∠DAB＝∠OAB＝10°，∠ABC＝∠ABN＝55°，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；
故答案为：45；45；
②随着点A、B的运动，∠ADB的大小不变．
设∠ABO＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠BAD＝45°﹣，∠ABC＝90°﹣，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°+，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝45°；
（2）∵∠MON＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝（∠BAM+∠ABN）＝135°，
∴∠C＝45°，
∴∠CEC′+∠CFC′＝2（180°﹣∠C）＝270°，
∴∠BEC′+∠AFC′＝360°﹣（∠CEC′+∠CFC′）＝90°．
53．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】（1）由三角形的内角和得，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB），由四边形的内角和得，∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），再根据角平分线的定义整理可得结论；
（2）根据三角形内角和可得∠MBC+∠MCB＝180°﹣（∠ABC+∠DCB），根据四边形的内角和可得∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠BAD+∠CDA），整理可得结论；（3）根据题意画出图形，由三角形外角的性质可得，∠F＝∠FCE﹣∠FBC，由四边形的内角和可得∠DCB+∠ABC＝360°﹣（α+β），整理可得结论．
【解答】解：（1）∠P＝（∠A+∠D），
由三角形的内角和得，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB），
由四边形的内角和得，∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠DCB），
∴∠P＝180°﹣[360°﹣（∠A+∠D）]＝（∠A+∠D），
故答案为：∠P＝（∠A+∠D）；
（2）∠M＝180°﹣（∠A+∠D）．
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝180°﹣∠DCB，
∵BM平分∠EBC，CM平分∠FCB，
∴∠MBC＝∠EBC＝90°﹣∠ABC，∠MCB＝∠FCB＝90°﹣∠DCB，
∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣（∠ABC+∠DCB），
∵四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），
又∵△MBC中，∠M＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝（∠ABC+∠DCB），
∴∠M＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）；
（3）如图，
由三角形外角的性质可得，∠F＝∠FCE﹣∠FBC，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠DCE，
∴∠F＝∠DCE﹣∠ABC＝（∠DCE﹣∠ABC）＝（180°﹣∠DCB﹣∠ABC）＝90°﹣（∠DCB+∠ABC），
∵∠DCB+∠ABC＝360°﹣（α+β），
∴∠F＝90°﹣[360°﹣（α+β）]＝（α+β）﹣90°．
故答案为：（α+β）﹣90°．
二十三、生活中的平移现象（共2小题）
54．
【考点】生活中的平移现象；规律型：图形的变化类．
【分析】根据各个图形中小菱形的摆放规律得出答案即可．
【解答】解：第（1）个图案中，“小菱形”的个数为2，
第（2）个图案中，“小菱形”的个数为（1+3）×2＝8，
第（3）个图案中，“小菱形”的个数为（1+3+5）×2＝18，
第（4）个图案中，“小菱形”的个数为（1+3+5+7）×2＝32，
……
第（20）个图案中，“小菱形”的个数为[1+3+5+7+…+（2×20﹣1）]×2＝800，
故答案为：800．
55．
【考点】生活中的平移现象．
【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形．
∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米），
∴矩形EFCG的面积＝30×18＝540（平方米）．
答：绿化的面积为540m2．
故答案为：540．
二十四、平移的性质（共2小题）
56．
【考点】平移的性质．
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．
【解答】解：由题意，AB+BC+AC＝8，AC＝DF，AD＝BE＝CF＝2，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝8+4＝12，
故选：A．
57．
【考点】平移的性质．
【分析】由平移的性质得AD＝CF＝1，AC＝DF，再根据四边形的周长公式求解即可．
【解答】解：由题意得：AD＝CF＝1，AC＝DF，
∵△ABC的周长为8，
∴AB+BC+AC＝7，
∴AB+BC+DF＝7，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD
＝AB+BC+DF+AD+CF
＝7+1+1
＝9．
二十五、作图-平移变换（共2小题）
58．
【考点】作图﹣平移变换；平行线的判定与性质．
【分析】（1）过点B作AC的垂线，交AC的延长线于点D即可．
（2）利用网格，取格点G，作直线CG即可．
（3）根据平移的性质作图即可．
（4）由平行线的性质可得∠BAC＝∠ECD，再由∠DCE+∠DEC＝90°，可得∠BAC+∠DEC＝90°，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，BD即为所求.
（2）如图，直线CE即为所求．
（3）如图，△A1B1C1即为所求．
（4）∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠BAC+∠DEC＝90°，
即∠BAC和∠CED的数量关系为互余．
故答案为：互余．
59．
【考点】作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）利用网格取BC的中点D，连接AD即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，AD即为所求．
（3）△ABD的面积为＝．
二十六、利用平移设计图案（共1小题）
60．
【考点】利用平移设计图案；规律型：图形的变化类．
【分析】根据图形每平移一次增加4个白色六边形地面砖得出结论即可．
【解答】解：由题意知，图形每平移一次增加4个白色六边形地面砖，第1个图案中有6个白色六边形地面砖，
∴第n（n≥2）个图案中有白色六边形地面砖的块数是6+4（n﹣1）＝4n+2，
故选：C．