2023-2024学年辽宁省大连市九年级（下）期初数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市九年级（下）期初数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线y=−(x−1)2的图象一定经过( )
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
3.下列事件中属于必然事件的是( )
A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数
B. 在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球
C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上
D. 七年级370名学生中至少有2名学生生日是同一天
4.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是( )
A. 115°
B. 105°
C. 100°
D. 95°
5.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为( )
A. 36°
B. 60°
C. 65°
D. 72°
6.如图，l1//l2，AF：BF=2：5，BC：CD=4：1，则AE：EC的值为( )
A. 5：2
B. 1：4
C. 2：1
D. 3：2
7.如图，△ABC和△DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，下列说法正确的是( )
A. 旋转中心是点B
B. 旋转角是60°
C. 既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转
D. 旋转角是∠ABC
8.如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD，要使△ABD与△ABC相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是( )
A. ADAB=BDBC
B. ∠ADB=∠ABC
C. ∠ABD=∠C
D. AB2=AD⋅AC
9.一个扇形的半径为3，圆心角为40°，则该扇形的面积是( )
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
10.初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x轴表示级部参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率(该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值)，其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是( )
A. 甲>乙>丙>丁B. 丙>甲=丁>乙C. 甲=丁>乙>丙D. 乙>甲=丁>丙
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若反比例函数y=k−1x图象的一支在第三象限，则k的取值范围是______．
12.若点A(m−3,y1)，B(m,y2)，C(m+4,y3)都在二次函数y=(x−m)2+1(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．
13.把点A(−3,4)绕原点旋转180°后得到点B，则点B的坐标为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，△OAB中，点A在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点B在x轴上，AO=AB，AC⊥OB于点C，若S△AOB=6，则k的值为______．
15.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=10，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE.连接DE，直线DE交BC于F.设BP=x，S△EPF=y，则y与x之间的函数关系式为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(3,0)点，当x=1时，函数的最小值为−4．
(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；
(2)当0(3)直线x=m与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和直线y=x−3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
17.(本小题8分)
《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，(注：1尺=10寸)问这块圆柱形木材的直径是多少寸？
18.(本小题9分)
“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项日，分别是“半程马拉松”(21.0975公里)和“迷你马拉松”(约5公里)．
(1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如表调查：
请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为______；(精确到0.1)
(2)小明(来自北京市)，小军(来自长沙市)、小红(来自清远市)、小丽(来自广州市)四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
19.(本小题8分)
如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D.已测得BD=40m，DC=20m，EC=24m，求河宽AB．
20.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(n,1)和点B(−1,−4)
(1)求这两个函数表达式；
(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
21.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上的一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC=∠AOF．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若sinC=13，BD=8，求⊙O的半径．
22.(本小题12分)
小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y(km)和时间x(h)之间的关系大致如图所示．
(1)求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
(2)小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
23.(本小题12分)
如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动(不与点A、B重合)，点F在射线AM上，且AF= 2BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．
(1)求证：CE=EF；
(2)求△AEG的周长(用含a的代数式表示)；
(3)试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=−(x−1)2的顶点为(1,0)且开口向下，
∴抛物线一定经过第三，四象限，
故选：D．
根据抛物线的顶点坐标和开口方向求解．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，根据解析式开口方向及顶点位置求解．
3.【答案】D
【解析】解：A、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件，故A不符合题意；
B、在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件，故B不符合题意；
C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、七年级370名学生中至少有2名学生生日是同一天，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选：B．
根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
5.【答案】D
【解析】解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC=360°5×2=144°，
∴∠APC=12∠AOC=72°，
故选：D．
连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵l1/​/l2，
∴AGBD=AFBF，
∵AF：BF=2：5，
∴AGBD=25，
即AG=25BD，
∵BC：CD=4：1，BC+CD=BD，
∴CD=15BD，
∴AGCD=25BD15BD=21，
∵l1/​/l2，
∴AEEC=AGCD=21，
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理得出AGBD=AFBF=25，AEEC=AGCD，求出AG=25BD，CD=15BD，再求出AGCD即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟记平行线分线段成比例定理是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
7.【答案】C
【解析】解：A、由旋转的性质可知，△ABC通过旋转得到△DCE，它的旋转中心是点C，故选项A不符合题意；
B、∵AC⊥CD，
∴旋转角为90°，故选项B不符合题意；
C、两个三角形，既可看成是顺时针旋转又可看成是逆时针旋转，旋转角都是90°，故选项C符合题意；
D、旋转角是∠ACD或∠ECD，故选项D不符合题意；
故选：C．
由旋转的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，由旋转的性质得出旋转中心为点C是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在△ABD与△ABC中，由于∠A=∠A，若添加∠ADB=∠ABC或∠ABD=∠C，
满足“两角对应相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件B或C．
在△ABD与△ABC中，由于∠A=∠A，若添加ABAD=ACAB，即AB2=AD⋅AC，
满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件D．
在△ABD与△ABC中，若添加ADAB=BDBC，由于不能说明∠ADB=∠ABC，也不能说明三边对应成比例，
故要使△ABD与△ABC相似，不能添加一个条件A．
故选：A．
利用相似三角形的判定定理，逐个试验得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意，S扇形=40π×32360=π．
故选：A．
直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：S=nπr2360．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴甲、丁两级部的优秀人数相同，
∵点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，
∴乙级部的xy的值最大，即优秀人数最多，丙级部的xy的值最小，即优秀人数最少，
故选：D．
根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定乙级部的优秀人数最多，丙级部的优秀人数最少，甲、丁两级部的优秀人数相同．
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
11.【答案】k<1
【解析】解：∵y=k−1x的图象的一支在第三象限，
∴k−1>0，
解得k<1．
故答案为：k<1．
先根据反比例函数的性质得出k−1>0，再解不等式即可得出结果．
本题考查了反比例函数的图象和性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
12.【答案】y2【解析】解：由二次函数y=(x−m)2+1(m为常数)可知，对称轴为直线x=m，
∵a=1>0，
∴二次函数开口向上，当x=m时，函数取得最小值，即y2最小，
且在x>m时，y随x的增大而增大，
而点A的对称点为(m+3,y1)，
∵m∴y2故答案为：y2先求出二次函数的开口方向，对称轴，再找到点A的对称点为(m+3,y1)，由自变量范围m本题考查了二次函数的增减性质，利用增减性来比较函数值的大小．熟悉二次函数增减性和找到点A的对称点是解题的关键．
13.【答案】(3,−4)
【解析】解：根据点A(−3,4)绕坐标原点旋转180°得到点B，可知A、B两点关于原点对称，
∴点B坐标为(3,−4)，
故答案为(3,−4)．
根据中心对称的性质解决问题即可．
本题主要考查了旋转的性质及关于原点及y轴对称的点的坐标的特点．
14.【答案】6
【解析】解：∵AO=AB，AC⊥OB，S△AOB=6，
∴|k|=6，
又∵曲线位于第一象限，
∴k=6．
故答案为：6．
利用等腰三角形的性质以及反比例函数y=kx(k≠0)中k的几何意义即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】y=−12x2+52x
【解析】解：(1)如图1，过点E作EH⊥BC于H，
∵将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP=PE，∠APE=90°=∠ABP=∠PHE，
∴∠BPA+∠EPH=90°，∠BAP+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠EPH，
在△BAP和△HPE中，
∠ABP=∠PHE∠BAP=∠EPHAP=PE，
∴△BAP≌△HPE(AAS)，
∴BP=EH=x，AB=PH=5，HC=10−5−x=5−x，
∵EH⊥BC，CD⊥BC，
∴∠EHF=∠DCF，
又∵∠EFH=∠DFC，
∴△EHF∽△DCF，
∴EHCD=FHCF=x5，
∴FHFH+5−x=x5，
∴FH=x，
∴PF=PH−FH=5−x，
∴y=12×(5−x)x=−12x2−52x.
古答案为：y=−12x2−52x.
过点E作EH⊥BC于H，由“AAS”可证△BAP≌△HPE，可得BP=EH=x，AB=PH=5，由相似三角形三角形的性质可表示出FH，再表示出PF即可求解；
本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键．
16.【答案】解：(1)∵当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值为−4，
∴二次函数的图象的顶点为(1,−4)，
∴二次函数的解析式可设为y=a(x−1)2−4(a≠0)，
∵二次函数的图象经过(3,0)点，
∴a(3−1)2−4=0．
解得a=1．
∴该二次函数的解析式为y=(x−1)2−4；
如图，

(2)当x=4时，y=5；当x=0时，y=−3，
∴当0(3)由图象可得m<0或m>3．
【解析】(1)设顶点式y=a(x−1)2−4(a≠0)，再把(3,0)代入求出a得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
(2)根据图象可得答案；
(3)先画出直线y=x−3，则可得到直线y=x−3与抛物线的交点坐标为(0,−3)，(3,0)，然后写出抛物线在直线y=x−3上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
17.【答案】解：设⊙O的半径为r．
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=5，
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r−1，OA=r，
则有：r2=52+(r−1)2，
解得：r=13，
∴⊙O的直径为26寸．
【解析】设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中，AD=5，OD=r−1，OA=r，则有r2=52+(r−1)2，解方程即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】0.7
【解析】解：(1)由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.7．
故答案为：0.7；
(2)小明(来自北京市)记为甲，小军(来自长沙市)记为乙、小红(来自清远市)记为丙、小丽(来自广州市)记为丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有2种，
则恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率为212=16．
(1)利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
(2)画树状图，共有12种等可能的情况，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠ABD=∠ECD=90°，
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等)，
∴△ABD∽△ECD，
∴ABEC=BDCD，
即AB24=4020，
解得AB=12．
答：河的宽度AB为12m．
【解析】求出△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵点B(−1,−4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=−1×(−4)=4，
∴反比例函数解析式为：y=4x．
∵点A(n,1)在y=4x上，
∴n=4．
∴A(4,1)．
将点A(4,1)，B(−1,−4)代入y=kx+b，得4k+b=1−k+b=−4．
∴k=1b=−3．
∴一次函数的解析式为：y=x−3．
(2)一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：−14．
【解析】(1)将B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数解析式即可求出n的值．最后将A、B的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式．
(2)根据图象即可求得．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据待定系数法求出两函数的解析式，注意数形结合，本题属于中等题型．
21.【答案】(1)证明：连接OD，

∵OF⊥AD，
∴∠AEO=90°，
∴∠OAD+∠AOF=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC=∠AOF，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)在Rt△ODC中，sinC=13，
∴ODOC=13，
∴设OD=r，OC=3r，
∴BC=OC+OB=4r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AEO=90°，
∴OE/​/BD，
∵OA=OB，
∴AE=DE，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=12BD=4，
∵OE/​/BD，
∴∠COF=∠B，∠CFO=∠CDB，
∴△COF∽△CBD，
∴OFBD=OCBC=3r4r=34，
∴OF=34BD=6，
∵∠DOE=∠DOF，∠OED=∠ODF，
∴△OED∽△ODF，
∴OEOD=ODOF，
∴4r=r6，
∴r=2 6或r=−2 6(舍去)，
∴⊙O的半径为2 6．
【解析】(1)连接OD，根据垂直定义可得∠AEO=90°，从而可得∠OAD+∠AOF=90°，再根据等腰三角形的性质，可得∠OAD=∠ODA，从而可得∠ADC+∠ODA=90°，进而可得∠ODC=90°，即可解答；
(2)根据已知可设OD=r，OC=3r，从而可得BC=4r，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而可得OE/​/BD，进而可得OE是△ABD的中位线，即可求出OE=4，然后证明A字模型相似三角形△COF∽△CBD，利用相似三角形的性质可得OF=6，最后再证明△OED∽△ODF，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及切线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：
b=270k+b=180，
解得k=−90b=270，
∴y与x之间的函数关系式为y=−90x+270(0≤x≤2)；
(2)把x=2代入y=−90x+270，得y=−180+270=90，
从A服务区到家的时间为：90÷60=1.5(小时)，
2.5+1.5=4(小时)，
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法解答即可；
(2)根据“时间=路程÷速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答．
本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：
则∠AHF=90°，
∵AM平分∠DAH，
∴∠FAH=45°，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴FH=AH，AF= 2AH= 2FH，
∵AF= 2BE，
∴FH=AH=BE，
∴AH+AE=BE+AE，
∴HE=AB=BC，
在△FEH和△ECB中，
FH=EB∠FHE=∠B=90°HE=BC
∴△FEH≌△ECB(SAS)，
∴CE=EF；
(2)解：∵△FEH≌△ECB，
∴∠FEH=∠ECB，
∵在Rt△BCE中，∠ECB+∠CEB=90°，
∴∠FEH+∠CEB=90°，
∴∠CEF=90°，
由(1)知，CE=EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF=∠EFC=45°，
把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，如图2所示：
则∠GCN=90°，CG=CN，DG=BN，
∴∠NCE=∠GCN−∠GCE=45°，
∴∠NCE=∠GCE，
在△CEG和△CEN中，
CG=CN∠GCE=∠NCECE=CE
∴△CEG≌△CEN(SAS)，
∴GE=NE=EB+BN=EB+DG，
∴△AEG的周长=AE+GE+AG=AE+EB+DG+AG=AB+AD=2a；
(3)解：设AE=x，
由(1)得：FH=BE=a−x，
则△EAF的面积=12AE×FH=12x(a−x)=−12(x−a2)2+a28
∴当x=a2，即点E在AB边中点时，△EAF的面积最大，最大值为a28
【解析】(1)过点F作FH⊥AB于H，则∠AHF=90°，证出△AFH是等腰直角三角形，得出FH=AH，AF= 2AH= 2FH，证出HE=AB=BC，证明△FEH≌△ECB(SAS)，即可得出CE=EF；
(2)证出∠CEF=90°，得出△CEF是等腰直角三角形，∠ECF=∠EFC=45°，把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，则∠GCN=90°，CG=CN，DG=BN，得出∠NCE=∠GCN−∠GCE=45°，进而得出∠NCE=∠GCE，证得△CEG≌△CEN(SAS)，得到GE=EN=EB+BN=EB+DG，据此解答即可；
(3)设AE=x，由(1)得FH=BE=a−x，则△EAF的面积=12AE×FH=12x(a−x)=−12(x−a2)2+a28，由平方数的非负性质即可得出答案。
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键。调查总人数
20
50
100
200
500
参加“述你马拉松”人数
15
33
72
139
356
参加“迷你马拉松”频率
0.750
0.660
0.720
0.695
0.712